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第4节　机械能守恒定律
课题1　机械能守恒定律
1. 知道机械能的各种形式，会正确分析动能与势能之间的相互转化．
2. 理解机械能守恒的条件，并能判断机械能是否守恒．
3. 会用机械能守恒定律解决相关问题．
动能和势能（包括重力势能和弹性势能）统称为机械能，即E＝Ek＋Ep.毛泽东的诗词中曾写道“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”．试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
1. 设物体沿光滑曲面从A位置运动到B位置，在A位置时物体动能为Ek1，重力势能为Ep1，在B位置时动能为Ek2，重力势能为Ep2，试利用动能定理等已学规律探究物体运动过程中机械能变化的规律．
延伸：在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以互相转化，总的机械能也保持不变．
2. 理解机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以　　　　，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：　　　　　　　　　　　　．
注意：初、末状态必须选择同一参考平面计算势能．
(3)守恒条件：物体系统内只有　　　　或　　　　做功．
3. (1)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断中正确的是(　　)
甲　　　　 　乙　　　　　　　 丙　　　　　　　 　丁
A. 图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B. 图乙中，物体A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C. 图丙中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒
D. 图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能不守恒
(2)总结机械能是否守恒的三种判断方法：
①________________________________________________________________；
②________________________________________________________________；
③_______________________________________________________________.
应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒，而且机械能守恒定律，只涉及系统的初、末状态的物理量，不需要对中间过程进行分析和计算，使处理问题得到简化．
应用机械能守恒定律解题的基本思路：
(1)选取研究对象——物体或系统；
(2)选取研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒；
(3)恰当选取零势能面，确定研究对象初、末状态的机械能（如果利用E1＝E2才需选取零势能面）；
(4)选取机械能守恒定律的表达式列方程，进行求解．
1. 如图所示，用细绳把一重物吊在高处（成为一个摆），并把重物拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动．
(1)重物摆回来时，会打到鼻子吗？做做看，并解释原因．
(2)若摆长为l，最大偏角为θ，不计空气阻力，则重物运动到最低位置时的速度多大？
2. 如图所示，连接小球的轻绳不可伸长，若将小球拉到绳与水平方向成θ＝30°的位置处由静止释放（此时绳刚好被拉直），小球的质量为m，绳长为L，重力加速度为g，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？
总结：当轻绳突然绷紧，小球速度发生突变时，存在机械能的损失．
1. 关于机械能，下列说法正确的是(　　)
A. 机械能守恒时，物体的动能和重力势能都不变
B. 物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C. 物体机械能的变化等于合力对它做的功
D. 物体所受合力不为零时，其机械能可以守恒
2. 下列实例中，研究对象满足机械能守恒的是(　　)
A. 沿滑梯匀速下滑的小孩
B. 在空中做斜抛运动的铅球
C. 打开降落伞后下降的跳伞运动员
D. 随着摩天轮在竖直平面内匀速转动的乘客
3. 质量为1 kg的物体从倾角为30°、长为2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是（g取10 m/s2）(　　)
A. 0，－5 J　 B. 0，－10 J
C. 10 J，5 J　 D. 20 J，－10 J
4. 如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 重物的机械能守恒
B. 重物的机械能增加
C. 重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D. 重物与弹簧组成的系统机械能守恒
5. 如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，重力加速度为g，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则(　　)
A. 物体在海平面上的重力势能为mgh
B. 重力对物体做的功为 －mgh
C. 物体在海平面上的动能为 mv＋mgh
D. 物体在海平面上的机械能为 mv＋mgh
6. 以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面（足够长）上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　)
A. h1＝h2＞h3　　 B. h1＝h2＜h3
C. h1＝h3＜h2 D. h1＝h3＞h2
7. 物体从某一高度做初速度为v0的平抛运动，Ep为物体的重力势能，Ek为物体的动能，h为下落高度，t为飞行时间，v为物体的速度大小．以水平地面为零势能面，不计空气阻力，下列反映Ep与各物理量之间关系的图像中可能正确的是(　　)
A B C D
8. 游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示．甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图像，正确的是(　　)
A B C D
9. 如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势能面，g取10 m/s2，一切阻力可忽略不计．求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度．
10. 如图所示，用细圆管组成的光滑轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r R.有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管．重力加速度为g，问：
(1)若要小球能从C端出来，初速度v0需多大？
(2)在小球从C端出来的瞬间，管壁对小球的作用力大小为 mg，那么小球的初速度v0应为多少？
课题2　机械能守恒定律的应用
1. 加深对机械能守恒条件的理解．
2. 会熟练应用机械能守恒定律解决问题．
3. 会解决多物体系统机械能守恒问题．
多个物体组成的系统，如果仅仅在动能和势能之间转化时，系统机械能守恒（单个物体机械能不一定守恒），往往分别找出各个物体的势能变化，同时找出各物体的速度关系，进而利用机械能守恒定律解决问题．
机械能守恒定律有三种常见的表达式：
表达式 意义 注意事项
守恒观点 E1＝E2或 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 系统初、末状态机械能的总和　　　　 初、末状态必须选择同一零势能面计算势能
转化观点 ΔEk＝－ΔEp 系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的 　　　　能 应用时关键在于分清势能的减少量或增加量
转移观点 ΔEA＝－ΔEB A物体增加的机械能等于B物体减少的　　　　能 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解．
1. 如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M＝2m的砝码相连．让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离，此时竖直绳长小于桌高且木块仍在桌面上，则此时砝码的速度为多大？
2. 如图所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长l＝0.4 m．现将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放，求当运动到使细线与水平方向成30°角时，金属环A和B的速度大小．（g取10 m/s2）
总结：对于绳、杆、斜面关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找物体间的速度关系（关联速度）、位移与高度变化量的关系．
3. 如图所示，均匀铁链长为L，平放在距地面为2L的光滑水平桌面上，其长度的 悬垂于桌面下．从静止开始释放铁链，求铁链的下端刚要着地时的速度大小．
总结：像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解．
机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
物理意义 重力或弹力做功的过程是系统的动能与势能相互转化的过程，其他力（重力、弹力以外）所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用范围 需要判断是否满足守恒条件，一般需要确定零势能面 无条件限制，不需要确定零势能面，一般选择地面为参考系
结论 能用机械能守恒定律解决的问题，一般都能用动能定理解决 能用动能定理解决的问题，不一定能用机械能守恒定律解决
提示：动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．
1. 如图所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面．一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB.由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体B所做的功．（重力加速度为g）
2. 如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动．已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放．（重力加速度为g）
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
高中阶段一般从能量守恒的角度求解弹簧的弹性势能．
1. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
A. 圆环的机械能守恒
B. 弹簧弹性势能变化了 mgL
C. 圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D. 圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
2. 如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
1. 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧．从静止开始释放b球，则当b球刚落地时，a球的速度为（不计空气阻力，重力加速度为g）(　　)
A. 　　 B. 　　 C. D.
（第1题） （第2题） （第3题）
2. 一人在指定的地点放烟花庆祝农历新年，如图所示．某一瞬间两颗烟花弹同时从盒子中飞出，烟花弹a的初速度方向竖直向上，烟花弹b的初速度方向斜向右上方，如果两颗烟花弹到达的最大高度相等，忽略空气阻力，则(　　)
A. 两颗烟花弹初速度大小相等
B. 烟花弹b在最高点速度为零
C. 烟花弹b上升过程中运动的时间更长
D. 在空中运动的过程中，两颗烟花弹的速度变化率相同
3. 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．不计空气阻力，则小球(　　)
A. 下落至B处速度最大
B. 由A至D的过程中机械能守恒
C. 由B至C的过程中，加速度先增大后减小
D. 由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
4. 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能．
5. 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放（A落地时，立即烧断细线），求B上升的最大高度．
6. 如图所示，倾角为30°、足够长的光滑斜面体固定在水平地面上，顶端A点处固定有一光滑轻质定滑轮，一根轻绳跨过定滑轮，一端与斜面上质量为m＝2 kg的小滑块相连，另一端与光滑水平地面上质量为M＝10 kg的小车相连．开始小滑块位于斜面顶端A点处，小车位于水平地面A′点，轻绳恰好伸直且与水平地面间的夹角为30°.由静止释放小滑块，某时刻小滑块经过斜面上B点时测得速度为v＝0.5 m/s，此时小车经过水平地面B′点，轻绳与水平地面间的夹角为60°，滑块、小车和定滑轮均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小车经过水平地面B′点时的速度v′的大小；
(2)A、B两点间的距离L.
7. 如图所示，在长为L的轻杆中点和端点各固定一质量为m的球A、B，杆可绕轴O无摩擦地转动，使杆从水平位置无初速度释放．问当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？（重力加速度为g）
8. 如图甲所示，半径为R的光滑半球壳固定于水平地面上，开口平面平行于地面，O为球心，质量均为m的A、B两小球用长为R的轻质硬杆连接置于球壳内，重力加速度为g.
(1)求两球静止时杆对A球的作用力大小F；
(2)如图乙所示，在过O的竖直平面内将B球置于开口边缘且A球紧靠壳壁，将两小球由静止释放，求两球速度最大时A球的速度大小v.
　　 甲　　　　　　　 乙
9. 如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物块A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC＝h.开始时小物块A受到水平向左的拉力静止于P点，PO与水平方向的夹角为30°.
(1)求小物块A受到的水平拉力大小；
(2)撤去水平拉力，问：
①当PO与水平方向的夹角为45°时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？
②物块A在运动过程中的最大速度是多少？
10. 如图所示是某城市广场喷泉喷出水柱的场景．从远处看，喷泉喷出的水柱超过了40层楼的高度；靠近看，喷管的直径约为10 cm.请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大？（g取10 m/s2，ρ水＝1×103 kg/m3，结果保留三位有效数字）
第4节　机械能守恒定律
课题1　机械能守恒定律
【活动方案】
活动一：
箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；箭下落过程中，重力势能又向动能转化．
活动二：
1. 对物体在A到B过程应用动能定理W＝Ek2－Ek1，过程中只有重力做功，由重力做功与重力势能的关系可得W＝Ep1－Ep2，即Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，也可表示为Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E1＝E2，因为A、B两位置是任意的，所以在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，但总机械能保持不变．
2. (1)互相转化
(2)E1＝E2(或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2)
(3)重力　弹力
3. (1)C
(2)①用定义判断：分析动能和势能的和是否变化
②用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
③用能量转化判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒
活动三：
1. (1)不会打到鼻子．若没有阻力，重物刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律；若存在阻力，机械能损失，重物速度为零时的高度低于开始下落时的高度，重物一定不能到达鼻子的位置．
(2)
2. 小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成30°角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图所示．
由几何关系知，绳被拉直时小球下降的高度为L，此时小球的速度记为v1，根据自由落体运动有v＝2gL，
解得v1＝.
将v1分解为沿绳方向的速度v11和垂直于绳方向的速度v12，绳绷直的瞬间，v11变为0，有
v12＝v1cos θ＝，
绳绷直后，小球在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点C时的速度记为v2，由机械能守恒定律有mv＝mv＋mgL(1－sin θ)，
在C点绳对小球的拉力记为F，根据牛顿第二定律有F－mg＝m，
解得F＝mg.
【检测反馈】
1. D　机械能守恒是指机械能的总和不变，其中动能和重力势能都可以变化，A错误；物体处于平衡状态时，动能不变，但重力势能可以变化，机械能不一定守恒，B错误；合力做的功等于动能的变化量，C错误；物体所受合力不为零，但如果只有重力或弹力做功，则机械能守恒，D正确．
2. B　3. A
4. D　重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故C错误，D正确．
5. C　以地面为参考平面，海平面低于地面的高度为h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故A错误；重力做功与路径无关，与初、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝Ek2－mv，则物体在海平面上的动能为Ek2＝mv＋mgh，故C正确；根据机械能守恒知，物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能，为mv，故D错误．
6. D　竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝mv，所以h＝；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv－mv，所以h2＜h1＝h3，D正确．
7. D　平抛运动过程机械能守恒，有Ep＝E－Ek，则Ep-Ek图像为倾斜向下的直线，故A错误；以地面为零势能面，设抛出点的高度为h0，则重力势能为Ep＝mgh0－mgh，则Ep-h图像为倾斜向下的直线，故B错误；平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，有h＝gt2，故有Ep＝mgh0－mgh＝mgh0－mg·gt2，则Ep-t图像为开口向下的抛物线，故C错误；根据动能定理有mgh＝mv2－mv，则有Ep＝mgh0－mgh＝mgh0－＝mgh0＋mv－mv2，则Ep-v图像为开口向下的抛物线，故D正确．
8. B　根据机械能守恒，甲、乙的末速度相等．由牛顿第二定律可知甲的加速度逐渐减小，乙的加速度逐渐增加，而v-t图线的斜率等于加速度，两条轨道的长度相同，图线与横坐标轴围成的面积相等．故B正确．
9. (1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝5 880 J.
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得E＝mv，
解得vB＝＝14 m/s.
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm，
解得hm＝9.8 m.
10. (1)要使小球能运动到C处，且从C端出来，即小球至少能到达C点，
必须满足mv≥mg×2R，
即v0≥2.
(2)从B到C小球机械能守恒，
mv＝2mgR＋mv，
小球在C处受重力mg和细管给予的作用力FN，
根据牛顿第二定律mg＋FN＝，
解得FN＝－5mg.
由于管壁对小球的压力没有明确方向，需要分类讨论．
①当小球受到向下的压力时，
FN＝mg，v0＝，
②当小球受到向上的压力时，
FN＝－mg，v0＝.
课题2　机械能守恒定律的应用
【活动方案】
活动一：
相等　势　机械
1. 砝码、木块及轻绳组成的系统在相互作用的过程中，只存在砝码、木块的动能和重力势能之间的转化，故系统的机械能守恒．
方法一：利用E2＝E1求解．设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考平面，则系统的初始机械能E1＝－Mgx，系统的末态机械能E2＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2，
由E2＝E1，
得－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2＝－Mgx，
又M＝2m，联立解得v＝.
方法二：利用ΔEk增＝ΔEp减求解．在砝码下降h的过程中，
系统增加的动能ΔEk增＝(M＋m)v2，
系统减少的重力势能ΔEp减＝Mgh，
由ΔEk增＝ΔEp减，
得 (M＋m)v2＝Mgh，
联立解得v＝＝.
方法三：利用ΔEm增＝ΔEM减求解．在砝码下降的过程中，木块增加的机械能ΔEm增＝mv2，砝码减少的机械能ΔEM减＝Mgh－Mv2，
由ΔEm增＝ΔEM减，得 mv2＝Mgh－Mv2，
联立解得 v＝.
方法四：利用动能定理求解．设拉力对木块所做的功为W，则拉力对砝码所做的功为－W，对木块由动能定理得W＝mv2，
对砝码由动能定理得Mgh－W＝Mv2，
联立解得v＝.
方法五：利用牛顿定律及运动学关系求解．设绳中张力为T，对砝码有Mg－T＝Ma，对木块有T＝ma，砝码和木块都做匀加速直线运动，位移大小都为h，由运动学规律得2ah＝v2，联立解得v＝.
2. A释放后，在A、B运动过程中，因为A、B组成的系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化，两环机械能之和是保持不变的．设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向分解，如图所示．
分析可知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3大小相等，所以有vAsin θ＝vBcos θ，
在这一过程中A下降的高度为l sin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有
mgl sin θ＝mv＋mv，
联立解得vA＝ m/s，vB＝1 m/s.
3. 以整个铁链为研究对象，在铁链从静止开始运动至其下端刚要着地的整个过程中，只有重力做功，机械能守恒．但要表示整个铁链的重力势能必须把铁链分成两段，才能方便表达，取地面为零势能面，铁链初始状态的机械能
E1＝mg×2L＋mg×＝mgL，
下端刚要着地时的机械能E2＝mg·＋mv2，
由机械能守恒定律有E2＝E1，
得mg·＋mv2＝mgL，
解得铁链下端刚要着地时的速度大小为v＝.
活动二：
1. 方法一：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒．系统重力势能的减少量
ΔEp减＝mAg－mBgR，
系统动能的增加量ΔEk增＝(mA＋mB)v2，
由ΔEp减＝ΔEk增，
得mAg－mBgR＝(mA＋mB)v2，
又 mA＝2mB，
联立以上两式得v2＝(π－1)gR，
对物体B应用动能定理，细线的张力对物体B做的功W＝mBv2＋mBgR＝mBgR.
方法二：细线在运动中没有动能和势能，也就没有动能和势能的变化，而A、B两物体给予细线的力必须大小相等，且总功为零，则设细线给予B的力做功W，细线给予A的力做功－W，对A、B分别应用动能定理，
mAg－W＝mAv2－0，
W－mBgR＝mBv2－0，
解得W＝mBgR.
2. (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒．设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，
有mg×2l－mgl＝mv＋mv，
vA＝2lω，vB＝lω，
联立解得vB＝，vA＝.
(2)对A球，由动能定理得
mg×2l＋W＝mv，
联立解得W＝－mgl.
活动三：
1. B　圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒．圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝＝L，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了 mgL.故B正确．
2. (1)由a球恰好能到达A点，知m1g＝m1，
由机械能守恒定律得m1v－m1v＝m1g×2R，
联立解得va＝.
(2)对于b球由机械能守恒定律得m2v＝m2g×10R，
解得vb＝＝2.
(3)由机械能守恒定律得Ep＝m1v＋m2v，
解得Ep＝gR.
【检测反馈】
1. A　a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正确．
2. D　烟花弹a的初速度方向竖直向上，到达最高点时速度为0，则有magh＝mv，烟花弹b的初速度方向斜向右上方，到达最高点时速度不为0，则有mbgh＝mv－mv′，联立解得v＝v－v′，所以两颗烟花弹初速度大小不相等，A错误；烟花弹b在最高点速度不为零，只是竖直方向分速度为0，B错误；根据运动的独立性原理可知，a、b在竖直方向的运动一样，所以上升的最大高度相同时，两烟花弹上升过程中运动的时间相同，所以C错误；在空中运动的过程中，两颗烟花弹的速度变化率相同，因为速度变化率等于物体的加速度，所以D正确．
3. D　小球从A至B过程，做自由落体运动，速度逐渐增大，小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，加速度减小，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，加速度增大，所以从A至D过程小球的动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C错误；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．
4. (1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝mv＝×4×52 J＝50 J.
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有 mv＝mv＋Ep1，
则Ep1＝mv－mv＝32 J.
5. 设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，
有3mgR－mgR＝(3m＋m)v2，
解得v＝.
对B运用动能定理有
－mgh＝0－mv2，
解得h＝，
则B上升的最大高度为H＝h＋R＝.
6. (1)将小车在B′点的速度分解成沿绳向上和垂直绳向下两个方向，则有v′cos 60°＝v，
解得此时小车在水平地面B′点时的速度大小为v′＝＝1 m/s.
(2)滑块和小车组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得
mgL sin 30°＝mv2＋Mv′2，
解得L＝0.525 m.
7. 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得
mgL＋mgL＝mv＋mv，
因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，
故vB＝2vA，
联立得vA＝，vB＝.
根据动能定理，
对A有WA＋mg·＝mv－0，
解得WA＝－mgL；
对B有WB＋mgL＝mv－0，
解得WB＝mgL.
8. (1)两球静止时杆对A球受力分析如图所示，
由平衡条件F1＝mg tan 30°，
解得F1＝mg.
(2)A、B两小球和轻质硬杆组成的系统机械能守恒，两小球的速度相等，从释放到杆水平，两小球速度最大，设最大速度为v，由机械能守恒定律得mgR cos 30°＝×2mv2，
解得v＝.
9. (1)如图所示，对物块A、B进行受力分析，由平衡条件有
对B：T＝mBg，
对A：F＝T′cos 30°，
T＝T′，
联立解得F＝mBg.
(2)①如图所示，有vAcos θ＝vB，
当PO与水平方向的夹角为45°时，得 ＝.
②A的最大速度出现在θ＝90°时，由系统机械能守恒得mBg＝mAv，
解得vm＝.
10. 管口的圆形内径约有10 cm，
则半径r＝5 cm＝0.05 m，
根据实际情况，每层楼高约h＝3 m，
所以喷水的高度H＝40h＝120 m，
则管口处水的速度为
v＝＝ m/s＝20 m/s.
设电动机输出功率为P，在接近管口很短一段时间Δt内水柱的质量为
m＝ρvΔtS＝ρπr2vΔt，
根据动能定理可得PΔt＝mv2，
解得P＝≈4.61×105 W.第4节　机械能守恒定律
训练1　机械能守恒定律
1 （2025扬州合格考模拟）下列实例中，机械能守恒的是(　　)
A. 小钢球做自由落体运动
B. 火箭加速升空
C. 跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降
D. 汽车关闭发动机后在水平路上滑行
2 （2025宿迁开学测试）如图所示，是加油机给战斗机加油的情景，在加油过程中，加油机和战斗机的飞行高度、速度和方向均不变，关于加油机和战斗机的机械能说法正确的是(　　)
A. 战斗机动能增加，势能减小，机械能不变
B. 加油机动能减少，势能不变，机械能不变
C. 加油机动能减小，势能不变，机械能减小
D. 战斗机动能增加，势能增加，机械能增加
3 （2025扬州合格考模拟）“神舟”载人飞船在发射至返回的过程中，下列阶段中飞船或返回舱（与地球组成的系统）的机械能守恒的是(　　)
A. 飞船升空的阶段
B. 飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段
C. 返回舱在大气层内向着地球做无动力飞行的阶段
D. 降落伞张开后，返回舱下降的阶段
4 （2025扬州阶段测试）质量为m的物体在竖直向上的恒定拉力F的作用下，由静止开始向上运动高度H，所受空气阻力恒为f，重力加速度为g.此过程中，下列说法中正确的是(　　)
A. 物体的动能增加了(F－mg)H
B. 物体的重力势能减少了mgH
C. 物体的机械能减少了fH
D. 物体的机械能增加了(F－f)H
5 （2025教材习题改编）如图所示，某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学从地面上的位置1将足球以速度v0踢起，最高可以到达离地面高度为h的位置2，选地面为零势能面，足球可以看成质点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 足球从位置1到位置2的运动过程机械能守恒
B. 该同学对足球做的功等于 mv
C. 足球在位置2处的机械能为mgh
D. 若从位置1到位置2足球克服空气阻力做的功为W，足球在位置2处的动能为mv－mgh＋W
6 （2025南通如东测试）在缓震材料上方高度H1为0.6 m处，将质量0.6 kg的钢球以一定初速度v0竖直向下抛出，钢球刚接触缓震材料时速度大小为4 m/s，与缓震材料的接触时间为0.1 s，钢球反弹的最大高度H2为0.45 m．假设钢球始终在竖直方向运动，不计空气阻力．钢球从抛出到反弹至最高点过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 钢球的机械能损失0.9 J
B. 钢球的平均速度大小为0.25 m/s
C. 重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量
D. 合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量
7 （2025教材习题改编）如图所示，把质量为m的石块从h高处以30°角斜向上方抛出，初速度大小为v0，不计空气阻力，重力加速度为g.取石块出手点为零势能参考平面，则下列说法正确的是(　　)
A. 石块运动过程中的最大动能为 mv
B. 石块运动过程中的机械能为mgh＋mv
C. 石块从抛出到落地动能的变化量为mgh
D. 石块运动过程中最小速度为 v0
8 （2025南通如皋阶段测试）体育课上，小杜同学将篮球使劲掷向地面后篮球向斜向上方反弹，从篮球反弹到篮球到达最高点离地高度h＝2 m的过程中，忽略空气阻力，关于篮球的动能Ek（图中实线所示）和重力势能Ep（图中虚线所示）随高度h变化的图像可能正确的是(　　)
A B
C D
9 （2025教材习题改编）一个质量为m（可视为质点）的小球，用长为L且不可伸长的轻绳悬挂于O点的正下方P点．现将小球拉至与O点等高处，由静止释放，如图所示．重力加速度为g，摆动过程中忽略一切阻力．
(1) 求小球到达最低点P时的速度大小；
(2) 求小球到达最低点P时轻绳拉力的大小．
10 （2025南通阶段测试）轻质弹簧一端固定在地面上，另一端连接物体A，一轻绳跨过定滑轮分别与A、B两物体相连接．手托着B，轻绳恰好伸直且无张力，由静止释放B后，A、B在竖直方向运动，A、B均不会与滑轮和地面相碰．已知A、B质量分别为m、2m，弹簧劲度系数为k，原长为L0，始终处于弹性限度内，重力加速度为g，不计阻力．求：
(1) 刚释放B时弹簧的长度L；
(2) A运动中的最大速度v；
(3) B运动到最低点时的加速度大小a.
训练2　机械能守恒定律的应用
1 （2024南通合格考模拟）竹蜻蜓是一种中国传统的儿童玩具．如图所示，玩时，双手一搓，然后手一松，竹蜻蜓就会飞上天空，竹蜻蜓从最高点下落到地面的过程中，若空气阻力不可忽略，则它的机械能(　　)
A. 守恒
B. 增大
C. 减小
D. 先减小后增大
2 （2025盐城合格考模拟）“蹦极”是一种富有刺激性的勇敢者的运动项目．如图所示，一根弹性橡皮绳一端系于跳台，另一端系于人的腿部．不计空气阻力，在蹦极者从跳台下落到最低点的过程中，则(　　)
A. 弹性绳伸直时人开始做减速运动
B. 蹦极者重力势能与橡皮绳弹性势能之和一直减小
C. 加速度先不变后减小再增大
D. 蹦极者的机械能先增大后减小
3 （2025盐城合格考模拟）某同学将手中的弹簧笔竖直向下按压在水平桌面上，如图所示，当他突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其上升过程中的Ekh图像如图所示，则下列判断正确的是(　　)
　
A. 弹簧原长为h1
B. 弹簧最大弹性势能大小大于Ekm
C. O到h3之间弹簧的弹力先增加再减小
D. h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和不变
4 弹弓飞箭（如图所示）颇受小孩的喜爱，某次一小孩手拉紧橡皮筋发射器，松开手后将飞箭竖直射向天空．从松开手至飞箭到达最高点的过程中（橡皮筋始终在弹性限度内且不计空气阻力），下列说法正确的是(　　)
A. 飞箭的机械能一直增大
B. 飞箭重力做功的功率一直增大
C. 飞箭与橡皮筋刚分离时，飞箭的速度最大
D. 橡皮筋的弹性势能和飞箭的重力势能之和先减小后增大
5 有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力加速度g＝10 m/s2，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s，则金属链条的长度为(　　)
A. 0.6 m B. 1 m C. 2 m D. 2.6 m
6 （2024南通海门抽检）如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆水平放置，静止释放小球后，小球b向下转动，小球a向上转动，在转动90°的过程中，下列说法正确的是(　　)
A. b球的重力势能减少，动能增加
B. a球的重力势能增大，动能减少
C. a球和b球各自的机械能保持不变
D. a球和b球的机械能总和不断减小
7 如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l0.质量为m的铁球由弹簧的正上方高h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，铁球下落到最低点．不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A. 小球刚接触弹簧时具有的动能最大
B. 下落过程中小球的机械能守恒
C. 当弹簧压缩量x0＝ 时，小球的动能最大，弹性势能最小
D. 小球的整个下落过程中，其重力势能一直减小，机械能先不变，后减小
8 如图所示，半径R＝1.6 m的光滑半圆形轨道固定于竖直平面内，下端与传送带相切于B点，水平传送带上A、B两端点间距L＝16 m，传送带以v0＝10 m/s的速度顺时针运动，将质量m＝1 kg的小滑块（可视为质点）放到传送带上，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1) 将滑块在传送带A端由静止释放，求滑块由释放到第一次经过B端时所需时间；
(2) 若滑块仍由静止释放，要想滑块能通过圆轨道的最高点C，求滑块在传送带上释放的位置范围．
9 （2023镇江模拟）如图所示，两根轻绳连接小球P，右侧绳一端固定于A点，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，物体Q、N通过一轻弹簧连接，Q、N质量均为m，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向的夹角分别为37°和53°，此时物体N与地面弹力恰好为零．现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且无弹力，释放小球P开始运动，已知右侧绳长为L，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，求：
(1) 小球P的质量M；
(2) 小球P运动到图示位置时，Q的速度v；
(3) 小球P从释放到图示位置过程中轻绳对物体Q做的功W.
第4节　机械能守恒定律
训练1　机械能守恒定律
1. A　小钢球做自由落体运动时，只有重力做功，小球机械能守恒，A正确；火箭加速升空时，除重力做功外，发动机还对火箭做功，火箭机械能不守恒，B错误；跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降过程，动能不变，重力势能减小，运动员机械能不守恒，C错误；汽车关闭发动机后在水平路上滑行时，摩擦力对其做负功，汽车机械能不守恒，D错误．
2. D　战斗机油量不停地增加，质量增大，速度不变，动能增大；战斗机的质量增大，高度不变，重力势能增大．机械能为动能和重力势能之和，所以战斗机机械能增大．加油机油量不停地减少，质量减少，速度不变，动能减少；加油机的质量减少，高度不变，重力势能减少．机械能为动能和重力势能之和，所以加油机机械能减少．A、B、C错误，D正确．
3. B　飞船升空的阶段，飞船的重力势能和动能均增加，飞船的机械能增加，A错误；飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段，只有万有引力对飞船做功，飞船的机械能守恒，B正确；返回舱在大气层内向着地球做无动力飞行的阶段，由于空气阻力对返回舱做负功，返回舱的机械能减少，C错误；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，由于空气阻力对返回舱做负功，返回舱的机械能减少，D错误．
4. D　根据动能定理可得，物体的动能增量等于合外力做的功，动能增加量大小为ΔEk＝(F－mg－f)H，A错误；物体的高度增加，重力势能增加了mgH，B错误；物体的动能和重力势能都增加，机械能也增加ΔE＝(F－mg－f)H＋mgH＝(F－f)H，C错误，D正确．
5. B　由图可知足球从位置1到位置2的水平位移与从位置2到位置3的水平位移大小明显不一样，可知足球在运动中空气阻力不能忽略，足球从位置1到位置2的运动过程机械能不守恒，A错误；由动能定理可知该同学对足球做的功为W＝mv，B正确；足球在位置2处的速度不为零，机械能大于mgh，C错误；足球从位置1到位置2由动能定理得－mgh－W＝Ek－mv，则足球在位置2处的动能为Ek＝mv－mgh－W，D错误．
6. B　钢球从抛出到接触缓震材料以及反弹上升最大高度的过程中，机械能守恒，刚接触缓震材料时的机械能E1＝mv2＝×0.6×42 J＝4.8 J，反弹时的机械能为E2＝mgH2＝0.6×10×0.45 J＝2.7 J，故损失的机械能为ΔE＝E1－E2＝2.1 J，A错误；从抛出到接触缓震材料，根据机械能守恒定律有mgH1＋mv＝mv2，解得v0＝2 m/s，故从抛出到接触缓震材料所用时间t1＝＝0.2 s，反弹至最高点所用时间t2＝＝0.3 s，整个过程所用时间t＝t1＋t2＋Δt＝0.6 s，故整个过程的平均速度＝＝0.25 m/s，B正确；整个过程中，根据动能定理可知，重力与弹力所做的功之和等于钢球动能的变化量，而钢球机械能的变化量等于除重力外其他力(非合外力)对钢球做的功，C、D错误．
7. C　石块从抛出到落地，由动能定理有mgh＝Ekm－mv，可知石块运动过程中的最大动能为Ekm＝mgh＋mv，A错误；取石块出手点为零势能参考平面，根据机械能守恒定律得，石块运动过程中的机械能为E＝mv，B错误；石块从抛出到落地，由动能定理mgh＝ΔEk，C正确；当石块运动到最高点时，速度最小，则石块运动过程中最小速度为vmin＝v0cos 30°＝v0，D错误．
8. C　由于篮球反弹后做斜抛运动，当篮球运动最高点h＝2 m时，篮球具有一定的水平速度，篮球的动能不为0，B、D错误；设篮球在地面反弹时的初动能为Ek0，此时的篮球的重力势能为0，篮球在空中只有重力做功，篮球的机械能守恒，根据机械能守恒可得Ek＋Ep＝Ek0，当动能与重力势能相等时，有Ek＝Ep＝Ek0，A错误，C正确．
9. (1) 由机械能守恒定律可得mgL＝mv2，
解得小球到达P点时的速度大小为v＝，
小球到达最低点P时的速度大小为.
(2) 小球达到P点时，根据牛顿第二定律可得
F－mg＝，
结合上式解得F＝3mg，
即小球到达最低点P时轻绳拉力的大小为3mg.
10. (1) 刚释放B时，绳没有拉力，设弹簧压缩量为x，根据平衡，对A，kx＝mg，
解得x＝，
刚释放B时弹簧的长度
L＝L0－x＝L0－.
(2) 速度最大时，加速度为零，设此时弹簧伸长量为x0，则有kx0＋mg＝2mg，
解得x0＝，
与之前的压缩量相等，故弹簧的弹性势能不变，则从释放到A速度最大，对整个系统根据机械能守恒有
2mg(x＋x0)＝mg(x＋x0)＋mv2＋×2mv2，
解得v＝2g，
方向竖直向上．
(3) 设刚释放时弹簧的弹性势能为Ep1，B运动到最低点时，弹簧的伸长量为x1，弹簧的弹性势能为Ep2，对系统从释放到B运动到最低点，根据机械能守恒有2mg(x＋x1)＋Ep1＝mg(x＋x1)＋Ep2，
又因为Ep1＝x，Ep2＝x1
解得x1＝，
根据牛顿第二定律，对A，
kx1＋mg－T＝ma，
对B，T－2mg＝2ma，
解得a＝g.
训练2　机械能守恒定律的应用
1. C　竹蜻蜓从最高点下落到地面的过程中空气阻力不可忽略，则要推动空气，同时需要克服阻力做功，所以机械能要减小，C正确．
2. C　绳绷紧后，由于绳的弹力与形变量有关，初始阶段形变量较小，重力大于绳的弹力，人继续向下加速，A错误；由能量守恒知蹦极者重力势能与橡皮绳弹性势能之和的减少量等于人的动能增加量，人的动能先增大后减小，蹦极者重力势能与橡皮绳弹性势能之和先减小后增大，B错误；自由落体阶段加速度不变，绳绷紧时mg－T＝ma，绳的弹力增大，a减小，当弹力等于重力时，人的速度最大，再向下运动中T－mg＝ma，绳的弹力增大，a增大，C正确；绳的弹性势能先不变后增大，由能量守恒知蹦极者的机械能先不变后减小，D错误．
3. B　弹簧笔竖直向上弹起过程，所受重力保持不变，弹簧弹力减小，当二力平衡时，加速度为零，速度达到最大，动能最大．此时弹簧还有一定的形变量，所以h1不是原长，所以弹簧最大弹性势能大于Ekm，整个运动过程中，弹簧的弹力先减小，最后为0，A、C错误，B正确；运动过程中，对系统来说，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统机械能守恒，h1到h2之间弹簧笔的重力势能增加，弹性势能和动能之和减小，D错误．
4. D　飞箭与橡皮筋未分离前，橡皮筋对飞箭做正功，飞箭的机械能是增加的，飞箭离开橡皮筋后机械能不变，A错误；飞箭与橡皮筋未分离前，先做加速度逐渐减小的加速运动，接着做加速度逐渐增大的减速运动，离开橡皮筋后，做竖直上抛运动，速度逐渐减小，当飞箭受到橡皮筋的弹力等于其重力时，即加速度为零时，飞箭的速度达最大，所以飞箭重力做功功率先增大再减少，B、C错误；把橡皮筋与飞箭看成一个系统，系统的机械能守恒，而飞箭的动能是先增大后减小，则可知橡皮筋的弹性势能和飞箭的重力势能之和先减小后增大，D正确．
5. C　设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin θ－×2mg×＋0＝－mgL(1＋sin θ)，链条全部滑出后，动能为E′k＝×2mv2，重力势能为E′p＝－2mg，由机械能守恒定律可得E＝E′k＋E′p，即－mgL(1＋sin θ)＝mv2－mgL，解得L＝2 m，C正确．
6. A　在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，使两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，a、b两球的总机械能守恒，杆对a和b都做功，故a、b各自的机械能不守恒．A正确．
7. D　对小球受力分析可知，从开始下落h过程为自由落体运动，接着开始压缩弹簧，在弹力小于重力的过程中，弹力与重力的合力竖直向下，小球做加速度减小的加速运动，当弹力与重力相等时，小球速度最大，动能最大，小球继续下落，弹力大于重力，两者合力竖直向上，小球做加速度增大的减速运动直到速度为零，A错误；以上分析可知，当弹力与重力相等时，小球速度最大，动能最大，根据平衡条件mg＝kx0，解得弹簧压缩量x0＝，而小球下落高度为h刚要开始压缩弹簧时，弹簧弹性势能最小，C错误；小球自由下落过程中，重力做正功，重力势能减小，该过程机械能不变，小球接触弹簧向下运动过程中，重力做正功，重力势能减小，但弹力对其做负功，故机械能减小，D正确，B错误．
8. (1) 对滑块受力分析，由牛顿第二定律得
μmg＝ma，
由运动学公式得v0＝at1，
解得滑块速度达到v0用时 t1＝2.5 s，
设滑块速度达到v0时经过的位移为x1，
由运动学公式得x1＝at＝12.5 m，
设滑块匀速运动的位移为x2，
x2＝L－x1＝3.5 m，
则滑块运动匀速运动的时间为t2＝＝0.35 s，
滑块由释放到第一次经过B端时所需时间为
t＝t1＋t2＝2.85 s，
(2) 恰好通过C点时，由牛顿运动定律得
mg＝m，
由机械能守恒定律得 mv－mv＝mg·2R，
解得滑块通过B点的速度至少为vB＝4 m/s，
由运动学公式得 v＝2as，
解得滑块加速运动的距离至少为 s＝10 m，
则滑块在A端与距A端6 m的范围内任何一个位置释放均可到达半圆轨道的最高点C处．
9. (1) 整个系统处于静止状态时，对小球P受力分析，根据平衡条件有 ＝Mg，
对物体Q有mg＋T弹＝TB，
对物体N有T弹＝mg，
联立解得M＝m.
(2) 根据系统能量守恒有
MgL sin 37°＝mv2＋Mv2＋mgh，
根据几何关系h＝L tan 37°－(－L)，
联立解得v＝.
(3) 对物体Q由动能定理有 mv2＝－mgh＋W，
联立解得W＝mgL.(共41张PPT)
第八章
第4节　机械能守恒定律
课题1　机械能守恒定律
机械能守恒定律
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．知道机械能的各种形式，会正确分析动能与势能之间的相互转化．
2．理解机械能守恒的条件，并能判断机械能是否守恒．
3．会用机械能守恒定律解决相关问题．
活 动 方 案
活动一：分析机械能各种形式间的转化
动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，即E＝Ek＋Ep．毛泽东的诗词中曾写道“一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕”．试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
【答案】箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；箭下落过程中，重力势能又向动能转化．
活动二：推导并理解机械能守恒定律
1．设物体沿光滑曲面从A位置运动到B位置，在A位置时物体动能为Ek1，重力势能为Ep1，在B位置时动能为Ek2，重力势能为Ep2，试利用动能定理等已学规律探究物体运动过程中机械能变化的规律．
【答案】对物体在A到B过程应用动能定理W＝Ek2－Ek1，过程中只有重力做功，由重力做功与重力势能的关系可得W＝Ep1－Ep2，即Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，也可表示为Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E1＝E2，因为A、B两位置是任意的，所以在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，但总机械能保持不变．
延伸：在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以互相转化，总的机械能也保持不变．
2．理解机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以____________，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：______________________________．
注意：初、末状态必须选择同一参考平面计算势能．
(3)守恒条件：物体系统内只有________或________做功．
互相转化
E1＝E2(或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2)
重力
弹力
3．(1)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断中正确的是 (　　)
甲　　　　　　乙　　　　　　　　　 丙　　　　　　 　丁
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．图乙中，物体A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．图丙中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒
D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能不守恒
【答案】C
(2)总结机械能是否守恒的三种判断方法：
①__________________________________________；
②________________________________________________________ ______________________________________________________；
③________________________________________________________ ____________________________________________________．
　　用定义判断：分析动能和势能的和是否变化
　　用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
　　用能量转化判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒
活动三：应用机械能守恒定律解决问题
应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒，而且机械能守恒定律，只涉及系统的初、末状态的物理量，不需要对中间过程进行分析和计算，使处理问题得到简化．
应用机械能守恒定律解题的基本思路：
(1)选取研究对象——物体或系统；
(2)选取研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒；
(3)恰当选取零势能面，确定研究对象初、末状态的机械能(如果利用E1＝E2才需选取零势能面)；
(4)选取机械能守恒定律的表达式列方程，进行求解．
1．如图所示，用细绳把一重物吊在高处(成为一个摆)，并把重物拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动．
(1)重物摆回来时，会打到鼻子吗？做做看，并解释原因．
(2)若摆长为l，最大偏角为θ，不计空气阻力，则重物运动到最低位置时的速度多大？
2．如图所示，连接小球的轻绳不可伸长，若将小球拉到绳与水平方向成θ＝30°的位置处由静止释放(此时绳刚好被拉直)，小球的质量为m，绳长为L，重力加速度为g，求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？
总结：当轻绳突然绷紧，小球速度发生突变时，存在机械能的损失．
检 测 反 馈
1．关于机械能，下列说法正确的是 (　　)
A．机械能守恒时，物体的动能和重力势能都不变
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体机械能的变化等于合力对它做的功
D．物体所受合力不为零时，其机械能可以守恒
1
1
【解析】机械能守恒是指机械能的总和不变，其中动能和重力势能都可以变化，A错误；物体处于平衡状态时，动能不变，但重力势能可以变化，机械能不一定守恒，B错误；合力做的功等于动能的变化量，C错误；物体所受合力不为零，但如果只有重力或弹力做功，则机械能守恒，D正确．
【答案】D
2．下列实例中，研究对象满足机械能守恒的是 (　　)
A．沿滑梯匀速下滑的小孩
B．在空中做斜抛运动的铅球
C．打开降落伞后下降的跳伞运动员
D．随着摩天轮在竖直平面内匀速转动的乘客
【答案】B
2
3．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长为2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2) (　　)
A．0，－5 J B．0，－10 J
C．10 J，5 J D．20 J，－10 J
【答案】A
3
4．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是 　 　 　 (　　)
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
4
4
【解析】重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故C错误，D正确．
【答案】D
5．如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，重力加速度为g，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则 (　　)
A．物体在海平面上的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
5
5
【答案】C
6．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则 (　　)
A．h1＝h2＞h3　
B．h1＝h2＜h3
C．h1＝h3＜h2
D．h1＝h3＞h2
6
6
【答案】D
7．物体从某一高度做初速度为v0的平抛运动，Ep为物体的重力势能，Ek为物体的动能，h为下落高度，t为飞行时间，v为物体的速度大小．以水平地面为零势能面，不计空气阻力，下列反映Ep与各物理量之间关系的图像中可能正确的是 (　　)
7
7
7
【答案】D
8．游乐场中，从离水面一定高度的A处到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示．甲、乙两名小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v随时间t变化的下列图像，正确的是 　 　 (　　)
8
8
【解析】根据机械能守恒，甲、乙的末速度相等．由牛顿第二定律可知甲的加速度逐渐减小，乙的加速度逐渐增加，而v－t图线的斜率等于加速度，两条轨道的长度相同，图线与横坐标轴围成的面积相等．故B正确．
【答案】B
9．如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势能面，g取10 m/s2，一切阻力可忽略不计．求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度．
9
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10．如图所示，用细圆管组成的光滑轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r R．有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管．重力加速度为g，问：
(1)若要小球能从C端出来，初速度v0需多大？
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【答案】(1)要使小球能运动到C处，且从C端出来，即小球至少能到达C点，
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第八章
第4节　机械能守恒定律
课题2　机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．加深对机械能守恒条件的理解．
2．会熟练应用机械能守恒定律解决问题．
3．会解决多物体系统机械能守恒问题．
活 动 方 案
活动一：分析多物体组成的系统机械能守恒问题
多个物体组成的系统，如果仅仅在动能和势能之间转化时，系统机械能守恒(单个物体机械能不一定守恒)，往往分别找出各个物体的势能变化，同时找出各物体的速度关系，进而利用机械能守恒定律解决问题．
机械能守恒定律有三种常见的表达式：
表达式 意义 注意事项
守恒观点 E1＝E2或 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 系统初、末状态机械能的总和________ 初、末状态必须选择同一零势能面计算势能
转化观点 ΔEk＝－ΔEp 系统增加(或减少)的动能等于系统减少 (或增加)的______能 应用时关键在于分清势能的减少量或增加量
转移观点 ΔEA＝－ΔEB A物体增加的机械能等于B物体减少的________能 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
相等
势
机械
当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解．
1．如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M＝2m的砝码相连．让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离，此时竖直绳长小于桌高且木块仍在桌面上，则此时砝码的速度为多大？
2．如图所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长l＝0.4 m．现将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放，求当运动到使细线与水平方向成30°角时，金属环A和B的速度大小．(g取10 m/s2)
【答案】A释放后，在A、B运动过程中，因为A、B组成的系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化，两环机械能之和是保持不变的．设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向分解，如图所示．
分析可知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3大小相等，所以有vAsin θ＝vBcos θ，
总结：对于绳、杆、斜面关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找物体间的速度关系(关联速度)、位移与高度变化量的关系．
总结：像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解．
活动二：比较机械能守恒定律与动能定理
机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
物理意义 重力或弹力做功的过程是系统的动能与势能相互转化的过程，其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度
机械能守恒定律 动能定理
应用范围 需要判断是否满足守恒条件，一般需要确定零势能面 无条件限制，不需要确定零势能面，一般选择地面为参考系
结论 能用机械能守恒定律解决的问题，一般都能用动能定理解决 能用动能定理解决的问题，不一定能用机械能守恒定律解决
提示：动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．
1．如图所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面．一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB．由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体B所做的功．(重力加速度为g)
方法二：细线在运动中没有动能和势能，也就没有动能和势能的变化，而A、B两物体给予细线的力必须大小相等，且总功为零，则设细线给予B的力做功W，细线给予A的力做功－W，对A、B分别应用动能定理，
2．如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动．已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放．(重力加速度为g)
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
活动三：分析含有弹簧的机械能守恒问题
高中阶段一般从能量守恒的角度求解弹簧的弹性势能．
1．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中 (　　)
【答案】B
2．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B．已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g．求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep．
检 测 反 馈
1．如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b．a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧．从静止开始释放b球，则当b球刚落地时，a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g) (　　)
1
1
【答案】A
2．一人在指定的地点放烟花庆祝农历新年，如图所示．某一瞬间两颗烟花弹同时从盒子中飞出，烟花弹a的初速度方向竖直向上，烟花弹b的初速度方向斜向右上方，如果两颗烟花弹到达的最大高度相等，忽略空气阻力，则 　 　 　 (　　)
A．两颗烟花弹初速度大小相等
B．烟花弹b在最高点速度为零
C．烟花弹b上升过程中运动的时间更长
D．在空中运动的过程中，两颗烟花弹的速度变化率相同
2
2
【答案】D
3．如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．不计空气阻力，则小球 (　　)
3
A．下落至B处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至C的过程中，加速度先增大后减小
D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
3
【解析】小球从A至B过程，做自由落体运动，速度逐渐增大，小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，加速度减小，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，加速度增大，所以从A至D过程小球的动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C错误；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．
【答案】D
4．如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能．
4
5．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，求B上升的最大高度．
5
5
6．如图所示，倾角为30°、足够长的光滑斜面体固定在水平地面上，顶端A点处固定有一光滑轻质定滑轮，一根轻绳跨过定滑轮，一端与斜面上质量为m＝2 kg的小滑块相连，另一端与光滑水平地面上质量为M＝10 kg的小车相连．开始小滑块位于斜面顶端A点处，小车位于水平地面A′点，轻绳恰好伸直且与水平地面间的夹角为30°．由静止释放小滑块，某时刻小滑块经过斜面上B点时测得速度为v＝0.5 m/s，此时小车经过水平地面B′点，轻绳与水平地面间的夹角为60°，滑块、小车和定滑轮均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2．求：
(1)小车经过水平地面B′点时的速度v′的大小；
(2)A、B两点间的距离L．
6
6
7．如图所示，在长为L的轻杆中点和端点各固定一质量为m的球A、B，杆可绕轴O无摩擦地转动，使杆从水平位置无初速度释放．问当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？(重力加速度为g)
7
7
7
8．如图甲所示，半径为R的光滑半球壳固定于水平地面上，开口平面平行于地面，O为球心，质量均为m的A、B两小球用长为R的轻质硬杆连接置于球壳内，重力加速度为g．
(1)求两球静止时杆对A球的作用力大小F；
(2)如图乙所示，在过O的竖直平面内将B球置于开口边缘且A球紧靠壳壁，将两小球由静止释放，求两球速度最大时A球的速度大小v．
8
乙
甲
8
【答案】(1)两球静止时杆对A球受力分析如图所示，
由平衡条件F1＝mg tan 30°，
9．如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物块A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC＝h．开始时小物块A受到水平向左的拉力静止于P点，PO与水平方向的夹角为30°．
9
(1)求小物块A受到的水平拉力大小；
(2)撤去水平拉力，问：
①当PO与水平方向的夹角为45°时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？
②物块A在运动过程中的最大速度是多少？
9
【答案】(1)如图所示，对物块A、B进行受力分析，由平衡条件有
对B：T＝mBg，
对A：F＝T′cos 30°，
T＝T′，
9
9
10．如图所示是某城市广场喷泉喷出水柱的场景．从远处看，喷泉喷出的水柱超过了40层楼的高度；靠近看，喷管的直径约为10 cm．请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大？(g取10 m/s2，ρ水＝1×103 kg/m3，结果保留三位有效数字)
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