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2026年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考前模拟数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
2.中国传统的窗花经过不断改良，成为传统与现代设计交融的典范工匠将木条以随机角度拼接，形成看似碎裂却暗含规律的图案，通过分形几何的迭代分割，在不规则中实现视觉平衡以下四幅窗花图案中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为，则污损处“”的个数为( )
A. B. C. D.
4.化简的结果为 ．
A. B. C. D.
5.一副直角三角板按如图所示的位置摆放顶点重合已知，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形内接于，连接若是劣弧的中点，平分，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.定义：，例如：，则关于的方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8.如图，菱形的边长为，过顶点作，垂足为，交对角线于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，作半径为的圆，是上一动点，在轴上方确定一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，垂足为当为的切线时，斜边的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，轴，轴，直线：交轴于点，交轴于点，该直线以每秒个单位的速度沿轴正方向平移在平移过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为秒，与的函数图象如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出与相加和为零的实数： ．
12.某篮球协会需要采购一批篮球，检测部门对甲、乙两厂竞标的篮球样品进行检测，所抽取篮球直径的方差分别是：则应选取 厂生产的篮球填“甲”或“乙”．
13.关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为 ．
14.如图，在扇形中，，是上的一点，连接并将扇形沿翻折，点恰与点重合，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在矩形中，，为延长线上一点，且为对角线的中点，连接交于点，连接若为等腰三角形，则的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
观察下列各式：
；
；
；
；
；
请根据上述规律，回答下列问题．
请直接写出第六个等式 ．
若两个两位数，十位数字都为，一个数的个位数字为，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立．
17.本小题分
某校开展了以“人工智能在学习中的应用”为主题的知识竞赛活动，现从该校随机抽取若干学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表．
抽取的学生竞赛成绩频数分布表
组别 分数段 频数 频率
备注：组名学生的成绩：，，，，，
根据以上信息，解答下列问题：
表格中的 ， ；本次调查所得数据的中位数为 ．
若规定竞赛成绩在分及以上为优秀，估计该校人中成绩为优秀的学生人数．
若本次抽测获得满分的有男女三名同学，若从三人中随机抽取两人作为技术辅导员，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两名同学恰为男女的概率．
18.本小题分
如图，在单位长度为的网格坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．
将绕点逆时针旋转，点的对应点为，在网格坐标系内确定点，并写出其坐标．
若反比例函数的图象经过点，则的值为 ．
连接，将向下平移，当点平移后的对应点落在反比例函数的图象上时，求平移后点的对应点的坐标．
19.本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，，和的平分线相交于点．
请用无刻度的直尺和圆规作和的平分线，令其分别交，于点和点，并再令两角平分线的交点为要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法
证明中所得四边形是矩形
20.本小题分
窑洞是一种古老的传统民居形式，具有浓厚的乡土气息和地方特色，冬暖夏凉．河南最有特色的窑洞为荥阳市高山镇石洞沟村南街的窑洞．某数学小组到荥阳高山镇一窑洞图研学，抽象出数学模型如图窑洞拱门下半部可看作一个矩形，上半部看作是一个弓形．若测得米，米，在上的点处测得，请根据以上数据，求窑洞拱门最高点到地面的距离．结果精确到米．参考数据：
21.本小题分
科研人员用甲、乙两种原料配制植物生长液，已知每克乙原料比每克甲原料贵元，且用元购买的甲原料的重量与用元购买的乙原料的重量相等已知每克甲原料含单位的氮，每克乙原料含单位的氮
求甲、乙两种原料的单价各为多少元．
若科研人员计划购进甲、乙两种原料共克，在采购费用不超过元的情况下，要使得两种原料的总含氮量最大，应如何购买两种原料？
22.本小题分
垂柳，自古被视为优雅柔美的象征相传隋炀帝开凿大运河时，诏令沿岸植柳，赐姓“杨”，故初称“杨柳”其枝条细长下垂，随风摇曳，宛如少女的秀发，后渐得“垂柳”之名唐宋诗词多咏其姿，遂成中华园林经典意象，寓意离别与思念某数学爱好者从湖边的一株垂柳如图抽象出了二次函数模型，三根柳枝，，的函数图象都经过原点，且与水面分别交于，，三点如图，已知抛物线型柳枝的顶点坐标为．
求抛物线的函数解析式无需写出自变量的取值范围
若三条抛物线型柳枝，和的顶点都在经过原点的同一直线上，柳枝与水面的最大高度为，求的长．
抛物线型柳枝的落水点在点，之间不包含点，，直接写出的取值范围．
23.本小题分
在中，，，为的外角平分线，在上取点，构造以为直角的直角三角形，且使得．
【初步探究】如图，若，则与的数量关系为 ，位置关系为 ．
【类比应用】如图，若，中的结论还成立吗？请说明理由．
【拓展探究】在的基础上，连接，若为直角三角形，请直接写出的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】甲
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】
【小题】
，证明如下：
左
右边．

17.【答案】【小题】
【小题】
解：人．
答：该校人中成绩为优秀的学生人数约为人；
【小题】
解：设男生为，，女生为，依据题意列表如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰为男女的情况有种，
抽取的两名同学恰为男女．

18.【答案】【小题】
点的位置如图，坐标为．
【小题】
【小题】
解：已知点的坐标为，设向下平移个单位长度后点的对应点的坐标为．
点落在反比例函数的图象上，
，解得．
即向下平移了个单位长度．
由知，点的坐标为，
平移后点的对应点的坐标为．

19.【答案】【小题】
如图所示即为所求．
【小题】
证明：四边形是平行四边形，
，
．
由可知，分别是和的平分线，
．
同理可得，，
四边形是矩形．

20.【答案】解：如图，取的中点，连接，，过点作，垂足为此时垂线段的长度即为窑洞拱门最高点到地面的距离．
四边形为矩形，
．
，
．
，
．
是的中点，
，
，
．
，，
米．
在中，米．
，
四边形为矩形，
米，
米．
答：窑洞拱门最高点到地面的距离约为米．

21.【答案】【小题】
解：设甲原料的单价为元，则乙原料的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，为原分式方程的解，且符合题意，
此时．
答：甲、乙两种原料的单价分别为元和元．
【小题】
解：设购买甲原料克，则购买乙原料克，
根据题意，得，
解得，
设两种原料的总含氮量为单位，则，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：应购买甲原料克，乙原料克．

22.【答案】【小题】
解：设解析式为．
抛物线过原点，
，
解得．
抛物线的解析式为．
【小题】
解：设抛物线型柳枝的顶点在直线上，
，
解得．
直线解析式为．
柳枝与水面的最大高度为，
抛物线的顶点纵坐标为．
当时，即，
解得，
抛物线的顶点坐标为．
设柳枝的解析式为，
将坐标原点代入，得，
解得．
抛物线的解析式为．
将代入，
解得舍去，．
的长为．
【小题】
解：由题意知的顶点坐标为．
抛物线的顶点在直线上，
，由题可知，
．
对于，
当时，．
当时，，解得，
点坐标为．
柳枝的落水点在点，之间，
，
，
解得，
的取值范围为．

23.【答案】【小题】
【小题】
部分成立，，．
理由：在与中，
，
，，
，．
，
，
，
，
，
如图，延长交于点，交于点．
，
．
又，
，
．
【小题】
解：，
，
为的外角平分线，
当为直角三角形时，分两种情况：
若时，如图，
，，．
，
，
由得，
，
若时，如图，
，
，
由得，
综上所述：若为直角三角形，得长为或．

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