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2025-2026学年山西省长治市长子县第一中学等校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
2.在篮球比赛中，罚球命中次得分，不中得分如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球次的得分的均值是多少？( )
A. B. C. D.
3.从装有颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取次，设摸得白球数为，已知，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
5.已知事件、相互独立，事件发生的概率为，事件发生的概率为，则事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
6.设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.随机变量的分布列如下表，且，则( )
A. B. C. D.
8.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中不正确的是( )
A. 在“已发生”的条件下，发生的概率可记作
B. 对事件，，有
C. 若，则事件，相互独立
D. 相当于事件发生的条件下，事件发生的概率
10.如图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.设随机变量服从正态分布，记，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一件工作可以用两种方法完成，有人会用第种方法完成，有人会用第种方法完成，从中选人来完成这件工作，不同选法的总数是______．
13.的展开式为 ．
14.一个箱子里有个球，分别以标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在件产品中有件合格品，件次品．产品检验时，从件产品中任意抽出件．
一共有多少种不同的抽法？
抽出的件中恰好有件是次品的抽法有多少种？
抽出的件中至少有件是次品的抽法有多少种？
16.本小题分
在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回．求：
Ⅰ第次抽到代数题且第次抽到几何题的概率；
Ⅱ在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率．
17.本小题分
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取人，甲校有人答对，乙校有人答对，用频率估计概率．
从甲校随机抽取人，求这个人做对该题目的概率．
从甲、乙两校各随机抽取人，设为做对的人数，求恰有人做对的概率以及的数学期望．
若甲校同学掌握这个知识点则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小结论不要求证明
18.本小题分
甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得分，负者得分设每个球甲胜概率为，乙胜概率为，，且各球胜负独立对正整数，记为打完个球后甲比乙至少多得分的概率，为打完个球后乙比甲至少多得分的概率．
求，用表示；
若，求；
证明：对任意正整数，．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意知从件产品中抽件，是一个组合问题，
即是从个产品中所出现的个产品的组合，共有
抽出的三件产品恰好有一件次品，则包括一件次品和两件正品，
共有种结果．
解法一：根据题意，“至少有件次品”可分为“有件次品”与“有件次品”两种情况，
“有件次品”的抽取方法有种，
“有件次品”的抽取方法有种，
则共有种不同的抽取方法，
解法二，“至少有件次品”的对立事件是“三件都是合格品”
“三件都是合格品”的抽取方法有种，
抽出的件中至少有件是次品的抽法有
答：一共有种不同的抽法
抽出的件中恰好有件是次品的抽法有种结果
抽出的件中至少有件是次品的抽法有种结果．
16.【答案】解：Ⅰ设事件表示“第次抽到代数题”，事件表示“第次抽到几何题”，
则，．
Ⅱ由Ⅰ可得，在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率．
17.【答案】 ，
18.【答案】；；
；
证明见解答．
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