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2025-2026学年吉林省长春市实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
3.某地区名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为人，则估计成绩超过分的学生人数约为( )
A. B. C. D.
4.有件产品，其中件是次品，从中放回地取次每次件，若表示取得次品的次数，则( )
A. B. C. D.
5.现有语文、数学课本共本其中语文课本不少于本，从中任取本，至多有本语文课本的概率是，则语文课本有( )
A. 本 B. 本 C. 本 D. 本
6.学校要安排五一青春歌会的个节目的演出顺序，除第个节目和最后个节目已确定外，个音乐节目要求排在第，，，的位置，个舞蹈节目要求不相邻，个曲艺节目也不相邻，则安排方法有( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足，且，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球，现从中任取个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得分，取出一个黑球得分，随机变量为得分，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则关于此函数的下列命题正确的是( )
A. 使函数有一个零点 B. 使恒成立
C. 使函数有两个极值点 D. ，曲线与定直线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.高二年级为了丰富学生的生活，举办了篮球争霸赛，比赛分成两个阶段，第一阶段是小组赛，个班分成，，，四个小组，组有支队伍，其它三组是支队伍此阶段小组内每两支球队进行一场比赛，小组的名次前两名晋级复赛，设各组进入复赛的分别记为，，，，，，，，第二阶段复赛阶段为淘汰赛，对阵如图所示则所有比赛一共进行 场
13.已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标为 ．
14.总冠军在，两支水平相当的球队之间进行，总冠军比赛采用七场四胜制，比赛进行的场数记为随机变量，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
语文郭老师要从篇课文中随机抽出篇不同的课文让同学们背诵，规定要至少背诵出篇才能及格张同学只会背诵其中的篇．
设张同学抽到他会背诵的课文的数量为，求的分布列和期望；
求张同学能及格的概率．
16.本小题分
已知，展开式的第二项，第三项，第四项的二项式系数成等差数列．
求；
求的值；
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若在上的最小值为，求的值．
18.本小题分
某儿童乐园提供，两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是．
求某家庭第二次来，购买的是产品的概率；
记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差；
第中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少？
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求证：；
若使方程三个不等的根，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】分布列为：

16.【答案】
17.【答案】当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增
18.【答案】 ； 有家选择产品的概率最大，最大概率为
19.【答案】 由题意知，定义域为，，
，当时，，显然为增函数，
当时，，当时，，根据零点存在定理，
使，而当，，，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，即，则即，
因为，所以，故，所以，
令，则，
故在为增函数，所以，即原不等式成立
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