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2025-2026学年浙江省宁波市余姚中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3.若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多少种排法( )
A. B. C. D.
7.甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球先从甲箱中等可能地取出个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则( )
A. B. C. D.
8.已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各结论正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. 命题“，有”的否定是“，使”
C. 的最小值为
D. 若，，则
10.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则( )
A. 与正相关 B.
C. 样本数据的第百分数为 D. 各组数据的残差和为
11.已知定义域为的函数满足，且，则( )
A. 为偶函数 B. 为偶函数
C. 为周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为 用数字作答
13.已知定义域为的函数，则关于的不等式的解集为______．
14.设方程的两根为，，方程的两根为，，，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知三棱柱的棱长均为，，平面平面．
求该棱柱的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二名学生其中男生名按性别采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表：
每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计
男生
女生
合计
根据统计数据完成以上列联表，依据的独立性检验，能否认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？
若从抽出的名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于”采用分层随机抽样抽取名学生准备进行身体素质测试，在这名学生中随机抽取名学生，记这名学生每天体育锻炼时间不低于的人数为，求的分布列和数学期望．
附参考数据及公式：，其中．
18.本小题分
甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若采用局胜制先赢得局胜利的一方获胜，，记甲获胜的概率为．
若，求；
比较与的大小并说明理由．
19.本小题分
已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且其中为自然对数的底数
求的值；
若函数存在零点，求的取值范围；
设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】解：方法一：由，
根据余弦定理可得，，
则，即，
由，根据正弦定理可得，则，即；
方法二：由，
根据正弦定理可得，，则，
则，即，
由，根据正弦定理可得，则，即；
由余弦定理可得，
又因为，可得；
由知，，，
则，，
由正弦定理，则，即，
又，则，所以，
所以．

16.【答案】解：取的中点，连接，，
由题意知，是边长为的等边三角形，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
而平面，
所以，
因为，所以，
又，，所以，即，
又，、平面，
所以平面，
所以棱柱的体积．
由知平面，，
所以，，两两互相垂直，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.【答案】
每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 总计
男生
女生
总计
可以认为女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异 的分布列为：

18.【答案】 ，；，；，；如下：
考虑赛满局，则分为前局和最后局：
若前局甲胜局，此时甲已经取胜，在局赛制中，
无论最后两局结果如何，甲依然取胜，
此种情况甲获胜概率为：；若前局甲胜局，概率为：，要想保证甲胜，最后两局甲不能全输，
所以这种情况甲获胜概率为：；若前局甲胜局，则乙胜局，要想保证甲胜，最后两局甲必须全胜；此时甲获胜概率为：，
所以，
而，
代入得：，
由组合数的对称性可知：，得，
所以当，，当，，当，
19.【答案】
第1页，共1页

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