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8.1 成对数据的统计相关性
第八章 成对数据的统计分析
8.1.1变量间的相关关系
在现实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系，如：
成年子女身高和父母身高之间的关系；
青少年使用手机时长和近视的关系；
高中生数学成绩和物理成绩的关系；
某城市空气污染指数和燃油汽车数量的关系……
推断变量之间关系的知识和方法
现实世界中还存在这样的情况：
两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.
如：人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能唯一确定他的体重值.
两个变量的关系
不相关：身高与视力
相关关系
函数关系：速度(x)与路程(y)
线性相关
非线性相关
问题：该如何刻画这两个变量之间的相关关系呢？下面我们就来研究这个问题.
1.变量间的相关关系
一个人的体重与他的身高有关系.
一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小.
但身高并不是体重的唯一决定因素，例如：生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素.
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
生活中具有相关关系的变量
【子女身高y与父亲身高x之间的关系】一般来说，父亲的个子高(矮)，其子女的个子也会比较高(矮)；但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高.
【商品销售收入y与广告支出x之间的关系】一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高，但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与产品质量、居民收入等因素有关.
【空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系】一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升；但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素.
【粮食亩产量y与施肥量x之间的关系】在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高；但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响.
子女身高y与父亲身高x之间的关系
商品销售收入y与广告支出x之间的关系
空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系
粮食亩产量y与施肥量x之间的关系
在相关关系中，无法直接用函数去描述变量y与变量x之间的关系。
根据以往积累的经验做出推断，“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经经验推断又有不足，比如：不同经验的人对同一情形可能会得出不同的结论，不是所有的情形都有经验可循等.
借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断.
[例1] (多选)下列说法正确的是 (　　 )
A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B．同一物体的加速度与作用力的关系是函数关系
C．产品的成本与产量的关系是函数关系
D．广告费用与销售量的关系是相关关系
ABD
[练1] (多选)下列关系是相关关系的是 (　　)
A．角度和它的正弦值之间的关系
B．日照时间与水稻的单位产量
C．作文水平与课外阅读量之间的关系
D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系
BC
问题：在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示. 表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考：根据以上数据，你能直观刻画并推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？
散点图
散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.
观察和推断：观察由人体的脂肪含量和年龄的简单随机样本数据绘制而成的散点图变化趋势，推断两个变量的相关关系.
两个变量正相关
这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近；
表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈增加趋势.
这些散点大致落在一条从左上角到右下角的直线附近；
两个变量负相关
2.变量间相关关系的类型
从整体上看，
当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，
则称两个变量正相关；
当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，
则称这两个变量负相关.
如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关.
线性相关
非线性相关
(曲线相关)
散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性
有相关性
观察散点图中成对样本数据的分布规律，可大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等.
散点图虽然直观，但无法确切(量化)地反映成对样本数据的相关类型和相关程度的大小.
[例2] 已知对变量x，y有如下观察的数据：
x 151 152 153 154 156 157
y 40 41 41 41.5 42 42.5
x 158 160 161 162 163 164
y 43 44 45 45 46 45.5
(1)画出散点图；
(2)判断变量x，y具有何种相关关系．
(2)根据散点图中点散布在左下角到右上角的区域，即从整体上看，变量x的值由小变大时，另一个变量y的值也由小变大，所以它们具有正相关关系．
[练2] (2025·渭南高二月考)观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的是 (　　)
A．①② B．①④
C．③④ D．③
C
[练3] (2025·北京海淀期中)某校地理小组在某座山测得海拔、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是 (　　)
A．气压与海拔呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔呈负相关
D．沸点与海拔、沸点与气压的相关性都很强
A
[例3] 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能根据散点图说明施化肥量与水稻产量可以近似成什么关系吗？ 水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，
但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增长，不会一直随施化肥量的增加而增长．
形
数
思考1：能否引入一个适当的“数字特征”，来度量样本数据是正相关还是负相关呢？
8.1.2 样本相关系数
样本(线性)相关系数r
①r的正负：反映成对样本数据的变化趋势
变量x和变量y的样本(线性)相关系数：
思考3：r的大小能否刻画成对样本数据的相关程度的强弱？r的取值范围是什么？
强
强
弱
弱
②r的范围： 1≤r≤1
①r的正负：反映成对样本数据的变化趋势
变量x和变量y的样本(线性)相关系数：
②r的范围： 1≤r≤1
③|r|的大小：反映成对样本数据线性相关的程度(即散点集中于某条直线的程度)：
|r|越接近1：线性相关程度越强；
|r|越接近0：线性相关程度越弱.
r=0时，只表明成对样本数据间无线性相关关系，但不排除它们有其他相关关系.
④样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好.
r=0.97
r=-0.85
r=0.24
r=-0.05
正线性相关程度很强
负线性相关程度较强
正线性相关程度很弱
负线性相关程度极弱
①r的正负：反映成对样本数据的变化特征
②r的范围： 1≤r≤1
③|r|的大小：反映成对样本数据间线性相关的程度(即散点集中于一条直线的程度)：
当|r|越接近1时，线性相关程度越强；当|r|越接近0时，线性相关程度越弱.
如：要确切了解脂肪含量y与年龄x的线性相关程度，需要调查所有人的年龄及其脂肪含量，再将得到的成对数据代入r的公式，计算出相关系数r.
在实际中，获得总体中所有的成对数据往往是不容易的.
在有限的总体中，可以利用这两个变量取值的所有成对数据，通过上述公式就可计算出两个变量的相关系数，这个相关系数就能确切地反映变量之间相关关系的正负性及线性相关程度的强弱.
通过抽样获取两个变量的一些成对样本数据，再计算出样本相关系数，通过样本相关系数去估计总体相关系数，从而了解两个变量之间的相关程度.
思想：用样本估计总体
样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好.
[练1] (2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是 (　　)
A
◎随堂演练
1．对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是(　　)
A．r1>r2>r3
B．r2>r3>r1
C．r1>r3>r2
D．r3>r2>r1
C
C
[练2] 甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并分别求得相关系数r，如下表：
人员 甲 乙 丙 丁
r －0.82 0.78 0.69 0.87
则试验结果更能体现两变量有很强的线性相关性的是同学 (　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D
[例1] (2025·汉中高二期末)某大学生去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积(单位：mm2)和耗材量(单位：mm3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
零件的横截面积xi 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量yi 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.90
大本P71
[例2] 如图是我国2018年至2024年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(注：年份代码1～7分别对应年份2018～2024)
[练3] 某学生记英语单词的时间t(单位：h)与检测效果y的数据如表所示．
t 1 2 3 4 5 6 7
y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明(若|r|≥0.75，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系).
参考公式及数据：
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Thanks!
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