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北师大版2025—2026学年七年级下册期末复习全优达标卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．是的（　　）倍．
A．2 B．4 C．2024 D．
3．将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知平分，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
7．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□.□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
9．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．50件外观相同的产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是　 　．
12．如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为　 　；
13．一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度 (厘米)与燃烧时间 (小时)()之间的关系是　 　．
14．若，则　 　．
15．如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为　 　度．
16．如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______；
（3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
19．某通讯公司公布了收费标准，其中包月129元时，国内拨打电话超出部分0.15元/分.由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费.用x表示国内拨打超出时间，y表示国内拨打超出部分的电话费，下表是超出部分国内拨打的收费标准
超出时间x/分 1 2 3 4 5 ……
超出部分的电话费y/元 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 ……
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果国内拨打电话超出6分钟，那么超出部分的电话费是多少元？
（3）如果某次国内拨打电话超出部分的费用是1.2元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出几分钟？
20．已知点O为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．
（1）若，则是___________°；
（2）若，求的度数；
（3）如图2，D是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
21．如图所示，在中，、是角平分线．
（1），，求的度数，并说明理由．
（2）题中，如将“，”改为“”，求的度数．
（3）若，直接写出的度数．
22．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注：）
（1）如图1，若直角三角板的一边落在射线上，则　 　；
（2）如图2，若恰好平分，求的度数；
（3）如图3，若始终在的内部，猜想和满足怎样的数量关系？并说明理由．
23．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数．
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）图中第6行的第4个数是 ；
（2）若（m，n是常数），则 ， ；
（3）已知，则 ；
（4）若，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年七年级下册期末复习全优达标卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴.
2．是的（　　）倍．
A．2 B．4 C．2024 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴是的2024倍．
故答案为：C
【分析】本题考查同底数幂除法的应用.根据题意，利用倍数关系可列出算式，再利用同底数幂的除法法则：“同底数幂相除，底数不变、指数相减”，进行计算可求出答案．
3．将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：列表如下：
传 承 李 白 文 化
传 承，传 李，传 白，传 文，传 化，传
承 传，承 李，承 白，承 文，承 化，承
李 传，李 承，李 白，李 文，李 化，李
白 传，白 承，白 李，白 文，白 化，白
文 传，文 承，文 李，文 白，文 化，文
化 传，化 承，化 李，化 白，化 文，化
共有30种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数为2，
∴抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为．
故答案为：B .
【分析】根据列表法得出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式解答即可．
4．如图，已知平分，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据角平分线的性质得到，进而结合题意即可求解。
5．如图，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、若，则，不能判定，不符合题意；
B、若，则，不能判定，不符合题意；
C、若，则，符合题意；
D、若，不能判定，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得Q=40-0.2t.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：t分钟流出的油量为0.2t，利用原有的量减去流出的量=剩余油量就可得到对应的关系式.
7．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□.□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意左边式子曲括号-3xy（4y-2x-1）=-12xy2+6x2y+3xy，右边式子=-12xy2+6x2y+□，□内应写3xy。
故答案为：B.
【分析】根据题意左边式子为单项式乘多项式，根据相乘法则m（a+b+c）=am+bm+cm，进行计算即可。
8．如图是5×4的正方形网格，△ABC的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边，
故选：B．
【分析】分为或为公共边作三角形解答即可．
9．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
10．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．50件外观相同的产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 50件外观相同的产品中有2件不合格，
∴P（ 抽到不合格产品 ）=.
故答案为：.
【分析】由题意可知一共有50种结果数， 从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的情况有2种，然后利用概率公式进行计算.
12．如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为　 　；
【答案】800
【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE=800．
故答案为：800．
【分析】先利用“SAS”证出△ABC≌△EDC，再利用全等三角形的性质可得AB=DE=800．
13．一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度 (厘米)与燃烧时间 (小时)()之间的关系是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得h=-5t+25.
故答案为：h=-5t+25.
【分析】由题意可得：t小时燃烧5t，利用原长减去t小时燃烧的长度即为剩下的长度，据此解答.
14．若，则　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据同底数幂乘除法和幂的乘方法则得到，求出m的值即可．
15．如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为　 　度．
【答案】40
【解析】【解答】解：延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，如图所示：
∵∠ABC＝90°，∠BAD＝110°，∠C＝70°，
∴∠ADC＝360° 90° 110° 70°＝90°，
∵BC垂直平分AE，DC垂直平分AF，
∴点A与点E关于直线BC对称，点A与点F关于直线DC对称，
∴AM＝EM，AN＝FN，
连接EF交BC于点G，交DC于点H，
∵AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，
∴当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，
∵∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，
∴∠AGH＝∠GEA＋∠GAE＝2∠GEA，∠AHG＝∠HFA＋∠HAF＝2∠HFA，
∴∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，
∴∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°，
故答案为：40．
【分析】延长AB到点E，使EB＝AB，延长AD到点F，使FD＝AD，连接EM、FN，连接EF交BC于点G，交DC于点H，再结合AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN，且AM＋MN＋AN≥EF，可得当点M与点G重合且点N与点H重合时，AM＋MN＋AN＝EM＋MN＋FN＝EF，此时△AMN的周长最小，再结合∠GEA＝∠GAE，∠HFA＝∠HAF，可得∠AGH＋∠AHG＝2（∠GEA＋∠HFA）＝2（180° ∠BAD）＝2×（180° 110°）＝140°，最后求出∠MAN＝∠GAH＝180° （∠AGH＋∠AHG）＝180° 140°＝40°即可.
16．如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是　 　．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：平分，平分，平分，
，
，
，
②中，，，
，，，故②正确；
①中，由，故①正确；
③中，由，故③错误；
④中，设，则，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，几何图中角的计算，根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：（1）
；
（2）解：

【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和0指数幂，再计算加法；
（2）将多项式除以单项式，转化为单项式除以单项式的差计算．
18．“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______；
（3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
【答案】（1）80
（2）72
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得调查的学生人数为：（名），
故答案为：80.
（2）D的人数为：（名），
∴补全条形统计图如下图：
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）用A的人数除以其所占百分比得到被调查的学生人数；
（2）先用被调查的学生总人数减去A，B，C，E的人数得到D人数，然后再补全统计图，用360°乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得刚好选到相同性别学生的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：（名），
即在这项调查中，共调查了80名学生．
故答案为：80；
（2）解：D的人数（名），
补全统计图如图所示：
，
，
即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：；
（3）解：作树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
19．某通讯公司公布了收费标准，其中包月129元时，国内拨打电话超出部分0.15元/分.由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费.用x表示国内拨打超出时间，y表示国内拨打超出部分的电话费，下表是超出部分国内拨打的收费标准
超出时间x/分 1 2 3 4 5 ……
超出部分的电话费y/元 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 ……
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果国内拨打电话超出6分钟，那么超出部分的电话费是多少元？
（3）如果某次国内拨打电话超出部分的费用是1.2元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出几分钟？
【答案】（1）解：由题意和表格可知，这个表反映了国内拨打电话超出时间x与国内拨打电话超出部分的电话费y之间的关系，国内拨打电话超出时间x是自变量，国内拨打电话超出部分的电话费y是因变量.
（2）解：由表格可知，如果国内拨打电话超出6分钟，那么超出部分的电话费是0.9元.
（3）解：由表格可知，如果某次国内拨打电话超出部分的费用是1.2元，那么小明的爸爸国内拨打电话超出8分钟.
【解析】【分析】（1）根据表格即可判断自变量，因变量以及关系‘
（2）根据题意可知超出部分的电话费是超出时间的0.15倍，即可求出打电话超出6分钟时超出部分的电话费；
（3）利用超出部分的电话费是超出时间的0.15倍和超出部分的费用为1.2元，即可求出超出电话的时间.
20．已知点O为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．
（1）若，则是___________°；
（2）若，求的度数；
（3）如图2，D是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），理由见解析
【解析】【解答】解：（1），，
，
平分，
，
；
故答案为：
【分析】（1）先根据余角的定义，结合，求得，再根据平分，求得，最后利用，进行计算，即可求解；
（2）由且平分，得到，结合，求得，结合，即可求解；
（3）令，，则，根据，由两角互余得到，得到与满足的数量关系．
21．如图所示，在中，、是角平分线．
（1），，求的度数，并说明理由．
（2）题中，如将“，”改为“”，求的度数．
（3）若，直接写出的度数．
【答案】（1）解：解：、是角平分线，
，．
的度数为，理由：
，，
，．
，
．
（2）解：，
．
，即．
，
．
（3）解：，
．
，即．
，
．
【解析】【分析】先利用角平分线的性质说明∠OBC与∠ABC、∠OCB与∠ACB的关系．
（1）先求出∠OBC与∠OCB的度数，利用三角形的内角和定理得结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB的度数，最后利用三角形的内角和定理得结论；
（3）先利用三角形的内角和定理用含m的代数式表示出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的性质用含m的代数式表示出∠OBC+∠OCB的度数，最后利用三角形的内角和定理得结论。
22．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注：）
（1）如图1，若直角三角板的一边落在射线上，则　 　；
（2）如图2，若恰好平分，求的度数；
（3）如图3，若始终在的内部，猜想和满足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴．
∴．
【解析】【解答】解：（1）因为∠DOE=90°，∠BOC=70°，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20°.
【分析】 (1)根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
(2)根据角平分线定义求出∠BOE=140°，代入∠BOD=∠BOC-∠DOE，再利用∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
(3)根据图形得出∠BOD +∠COD=∠BOC=70°，∠COE +∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案.
23．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数．
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）图中第6行的第4个数是 ；
（2）若（m，n是常数），则 ， ；
（3）已知，则 ；
（4）若，求的值．
【答案】（1）10
（2）4，2
（3）
（4）解：∵，
∴当时，，
当时，，
∴．
【解析】【解答】（1）解：由第5行得到第6行的结果为
∴图中第6行的第4个数是．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴．
故答案为：4，2；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）参照前几行的计算方法，结合第5行的数据求解即可；（2）根据前几项可得直接写出的结果即可；
（3）根据前几项可得直接写出的结果即可；
（4）将x=0代入求出，再将x=1代入求出，最后求解即可.
（1）解：由第5行得到第6行的结果为
∴图中第6行的第4个数是．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴．
故答案为：4，2；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）解：∵，
∴当时，，
当时，，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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