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北师大版2025—2026学年八年级下册期末模拟押题通关卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对实数，定义一种新的运算，规定若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，那么代数式的值为（　　）
A．6 B．7 C．13 D．42
3． 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，点A对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
6．如图，如图所示，在中，，，P是内一点，且，则的度数为（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
7．小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据以下信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　）
每人使用各种交通工具，每移动1千米产生的碳排放量：
●自行车：0千克 ●公交车：千克 ●机车：千克 ●汽车：千克
A．305天 B．306天 C．307天 D．308天
8．如图，四边形的对角线和相交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
9．如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴正半轴、 轴正半轴上， 顶点 在第一象限， 已知 ， 将矩形 绕点 逆时针旋转， 每次旋转 ， 则第 2025 次旋转结束时， 点 的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
10．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2= 　 　．
12．如图，边长为的正三角形向右平移，得到正三角形，此时阴影部分的周长为　 　.
13．如图，已知等边，直线，，则的度数为　 　．
14．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的不等式的解集为　 　．
15．已知，，，且，则　 　．
16．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式：
（1）；
（2）．
18．某超市准备购进甲、乙两种品牌的牛肉进行售卖，进货时发现，A品牌牛肉每袋的进价比B品牌牛肉每袋的进价少9元，用720元购进A品牌牛肉的数量和用900元购进B品牌牛肉的数量相同.
（1）求A，B两种品牌牛肉每袋的进价；
（2）若该超市需要购进A，B两种品牌的牛肉共90袋，且购进这两种牛肉的总成本不超过3870元，该超市至少需要购进A品牌牛肉多少袋？
19．已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点．
（1）如图1，点与点重合，点与点重合，求证：；
（2）如图2，用等式表示和的数量关系，并证明．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6．
（1）求一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
21．已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M．
（1）当时．
①求的度数；
②若于N，求图中的值；
（2）若，，求（用含x，y的代数式表示）．
22．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
（1）的平方差倒数是______；
（2）是n的平方差倒数，求m的值；
（3）已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值．
23．如图，为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数．
（3）在(2)条件下，若，，，求的长．
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北师大版2025—2026学年八年级下册期末模拟押题通关卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对实数，定义一种新的运算，规定若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
①当0解得：，不符合题意，舍去
②当x≥1时，可得
解得：
∵不等式组恰好有3个整数解
∴8解得：
故答案为：D
【分析】分情况讨论，当02．已知，，那么代数式的值为（　　）
A．6 B．7 C．13 D．42
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ab=6，a+b=7，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=6×7=42.
故答案为：D.
【分析】将代数式分解因式可得到ab（a+b），然后整体代入求值.
3． 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，点A对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过A'作A'C⊥y轴于C，
∴∠A'CO=∠OBA=90°
∵∠OBA=90°，∠A=30°，
∴∠AOB=60°
由旋转的性质得OA'=OA，∠A'OA=60°，
∴∠AOC=∠COB-∠AOB=30°，
∴∠A'OC=∠A'OA-∠AOC=30°
在△A'OC和△OAB中
∴△A'OC≌△OAB (AAS)
∴，A'C=OB=1，
∴点A的坐标为
故答案为：A.
【分析】过A'作A'C⊥y轴于C，由旋转的性质得OA'=OA，∠A'OA=60°，可得∠A'OC=30°，证明△A'OC≌△OAB根据全等三角形的性质得，A'C=OB=1，即可求解.
4．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设规定的时间为x天，根据题意得
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1；快马送的时间=规定的时间-3；再根据 快马的速度是慢马的2倍 ，列方程即可.
5．我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（　　）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】D
【解析】【解答】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故答案为：D．
【分析】设他答对道题，根据“ 共道抢答题， 得分不低于分 ”列不等式解题即可．
6．如图，如图所示，在中，，，P是内一点，且，则的度数为（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵
∴
∵∠1=∠2，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据三角形内角和定理可求出的度数，根据等边对等角可得再根据已知∠1=∠2，即可知于是可求出然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
7．小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据以下信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　）
每人使用各种交通工具，每移动1千米产生的碳排放量：
●自行车：0千克 ●公交车：千克 ●机车：千克 ●汽车：千克
A．305天 B．306天 C．307天 D．308天
【答案】D
【解析】【解答】解：设至少改搭公交车上下班天；
汽车每千米碳排放量为千克，公交车为千克，每千米减少（千克）；
每天上下班总路程为20千米，因此每天减少碳排放量（千克），
则：，
解得：
，为整数，
∴最小为，
即她至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量；
故选：D．
【分析】设至少改搭公交车上下班天，根据题意，列出不等式，求解即可．
8．如图，四边形的对角线和相交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】【解答】解：A：对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形；A选项正确，不合题意；
B：AD∥BC，则∠ADC+∠BCD=180°，则∠ABC+∠BCD=180°，则AB∥DC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B选项正确，不合题意；
C：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，C选项错误，符合题意；
D：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，D选项正确，不合题意；
故答案为C
【分析】本题考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键。1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
9．如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴正半轴、 轴正半轴上， 顶点 在第一象限， 已知 ， 将矩形 绕点 逆时针旋转， 每次旋转 ， 则第 2025 次旋转结束时， 点 的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作轴于点E，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，，
∴每循环4次与原图形重合，
∵，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
过点作轴于点，如图所示：
则，，
，，
，
，，
，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为．
故答案为：B
【分析】过点C作轴于点E，连接，先根据等腰直角三角形的性质结合题意等量代换得到，进而根据勾股定理即可得到CE=BE=2，从而即可得到OE，再结合题意即可得到点C的坐标，再根据旋转的性质结合题意即可发现每循环4次与原图形重合，从而即可得到第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，过点作轴于点，则，，根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而即可得到点C的坐标。
10．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2= 　 　．
【答案】-18
【解析】【解答】解：∵x+y=6，xy=-3 ，
∴x2y+xy2= xy(x+y)=-3×6=-18.
故答案为：-18.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
12．如图，边长为的正三角形向右平移，得到正三角形，此时阴影部分的周长为　 　.
【答案】12
【解析】【解答】解：∵为边长为的等边三角形，
∴，，
∵等边向右平移得到，
∴，，
∴，，
∴阴影部分为边长为等边三角形，
∴阴影部分的周长为，
故答案为：.
【分析】根据等边三角形和平移的性质，可求出，，利用三角形的判定定理得出阴影部分为边长是的等边三角形，进而由周长的公式直接计算即可.
13．如图，已知等边，直线，，则的度数为　 　．
【答案】75
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故填：75．
【分析】根据等边三角形的性质，得出，再根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案．
14．如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
整理，，
即
由函数图象知，函数的图象在函数的图象上方时，有，
此时.
故答案为：．
【分析】关于的不等式可整理为：，结合题意，符合不等式的图象就是直线y2低于y1的x所对应的值，根据图象中两直线的交点p的坐标即可求解．
15．已知，，，且，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵①，②，③，
∴①-②，
∵
∴，即，，，
∴
故答案为：．
【分析】利用已知等式相减分别求出，结合，可得，根据，然后整体代入计算即可求解．
16．如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
∴
在与中：
∴（AAS）
∴
又∵是正方形，
∴，，
∴，
∴是平行四边形，
∴
∴、、在一条直线上，
故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略）
则：
∵，
∴
∴．
故答案为：6．
【分析】连接，过点作，根据正方形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得（AAS），则，再根据正方形性质可得，，，则，，根据平行四边形判定定理可得是平行四边形，则，即、、在一条直线上，也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明，再根据，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）原式
（2）原式
【解析】【分析】（1）首先提取公因式(a-b)，然后利用平方差公式进行分解；
（2）首先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式进行分解.
18．某超市准备购进甲、乙两种品牌的牛肉进行售卖，进货时发现，A品牌牛肉每袋的进价比B品牌牛肉每袋的进价少9元，用720元购进A品牌牛肉的数量和用900元购进B品牌牛肉的数量相同.
（1）求A，B两种品牌牛肉每袋的进价；
（2）若该超市需要购进A，B两种品牌的牛肉共90袋，且购进这两种牛肉的总成本不超过3870元，该超市至少需要购进A品牌牛肉多少袋？
【答案】（1）解：设A品牌牛肉每袋的进价为x元，则B品牌牛肉每袋的进价为（x+9)元.
根据题意，得.
解得x=36.
经检验，x=36为所列方程的根.
B品牌牛肉每袋的进价为36+9=45(元).
答：A品牌牛肉每袋的进价为36元，B品牌牛肉每袋的进价为45元.
（2）解：设购进A品牌牛肉m袋，则购进B品牌牛肉(90-m)袋.
根据题意，得36m+45(90-m)≤3870.
解得m≥20.
答：该超市至少需要购进A品牌牛肉20袋.
【解析】【分析】（1）设A品牌牛肉每袋的进价为x元，则B品牌牛肉每袋的进价为（x+9)元，根据 用720元购进A品牌牛肉的数量和用900元购进B品牌牛肉的数量相同列出方程，计算并检验即可解答；
（2）设购进A品牌牛肉m袋，则购进B品牌牛肉(90-m)袋，根据题干信息购进这两种牛肉的总成本不超过3870元，列出不等式36m+45(90-m)≤3870，计算即可解答.
19．已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点．
（1）如图1，点与点重合，点与点重合，求证：；
（2）如图2，用等式表示和的数量关系，并证明．
【答案】（1）解∵EB⊥CF，
∴∠AFE=∠AFB=90.°
∵AE=AC=AB， AF=AF，
∴△AEF≌△ABF(HL)
∴EF=BF
（2）解：BG=CD， 证明如下： 连接CE
由题意知， AE=AD， ∠EAD=180°-2α
在△BAC中， AB=AC， ∠B=α
∴∠C=α
∠BAC-∠DAC=∠EAD-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴CE=BD
∠ECA=∠B=α=∠FCG
∵EG⊥CF
又∵FC=FC
∴△ECF≌△GCF (ASA)
∴CE=CG
∴CG=BD
∴BG=CD
【解析】【分析】（1）根据HL证得AEF≌△ABF，进而得出EF=BF；
（2）BG=CD，首先根据ASA证得△BAD≌△CAE，可得出CE=BD ，∠ECA=∠B=α=∠FCG，进而根据ASA可得出△ECF≌△GCF ，即可得出△ECF≌△GCF，得出CE=CG ，进而得出CG=BD，进一步根据等式的性质可得出BG=CD。
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，与正比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的纵坐标为6．
（1）求一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
解得：，
的图象经过点和，
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：时，自变量的取值范围为：．
【解析】【解答】解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
【分析】（1）将y=6代入y=-1.5x算出x的值，可得点C（-4，6），再根据待定系数法可求出直线y1的解析式；
（2）从图象角度看，求y1＞y2＞0时，自变量x的取值范围，求出求点B与点C之间部分自变量x的取值范围.
（1）解：当时，，
解得：，
的图象经过点和，
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：由图象得：时，自变量的取值范围为：．
21．已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M．
（1）当时．
①求的度数；
②若于N，求图中的值；
（2）若，，求（用含x，y的代数式表示）．
【答案】（1）解：平分平分，
，
，
，
，
，
，
于，
，
，由知，
，
（2）解：，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理求解即可；
②先根据三角形内角和定理求出，再根据角的和差关系运算即可；
（2）先根据三角形的外角性质得到x+y和∠BMC，再根据角的关系列出代数式即可．
（1）解：平分平分，
，
，
，
，
，
，
于，
，
，由知，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
．
22．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数．
（1）的平方差倒数是______；
（2）是n的平方差倒数，求m的值；
（3）已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值．
【答案】（1）
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．
【解析】【解答】解：（1），
的平方差倒数是，
故答案为：；
【分析】
（1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，把n=4代入计算，即可解题；
（2）根据“是n的平方差倒数”结合新定义建立分式方程求解并检验解得合理性，即可解题；
（3）先将分式的分母利用整式的乘法计算并合并同类项化简得再对分母配方得到，再根据新定义得到，化简得到，再由，b，n为正整数，又是一个完全平方数得到可取的最小值为6，从而可得a+b的最小值，求解即可．
（1）解：，
的平方差倒数是，
故答案为：；
（2）解：由题易得，，
即，
解得，
经检验，是该方程的解，
此时；
（3）解：
，
，
，
，b，n为正整数，
可取的最小值为6，
的最小值为．
23．如图，为等边三角形，在、上分别取点、，使，连接．
（1）求证：是等边三角形．
（2）点、分别是、的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求的度数．
（3）在(2)条件下，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形
，
，
≌
，
点、分别是、的中点，
．
，
≌，
，，
，
；
（3）解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵，，
∴，，
∴，
点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，
∴，，
取AB中点P，连接MP，
则，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
∴．
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）利用等边三角形的性质及等式的性质可推出∠BAE=∠CAD，从而用SAS证△CAD≌△BAE，得∠ACD=∠ABE，CD=BE，由中点定义得出CN=BM，从而再用SAS证△ACN≌△ABM，得AN=M，∠CAN=∠BAM，推出∠MAN=60°，即可证明结论；
（3）作EF⊥AB于点F，易得∠EAB=30°，由含30°角直角三角形性质可得EF的长；点M是BE的中点，作MH⊥AB于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得MH∥EF，由三角形中位线定理得，取AB中点P，连接MP，在由三角形中位线定理得MP∥AE，，由平行线的性质得∠MPH=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出PH，进而在Rt△AMH中，利用勾股定理算出AM，从而即可解决问题.
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