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第1章
直线与方程
1.3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．借助图形探究两条平行直线的斜率关系．
2．掌握用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想．
活 动 方 案
活动一　探究两条直线平行的条件
1．知识回顾
(1) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：
【解析】 由斜率的定义可知，当α在(0°，90°)的范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90°，180°)的范围内时，直线的斜率小于零；当α＝0°时，直线的斜率为零；当α＝90°时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系，且在[0°，90°)和(90°，180°)的范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然，因此，若需在[0°，90°)或(90°，180°)的范围内比较倾斜角的大小，则只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
(2) 直线方程：①点斜式；②斜截式；③两点式；④截距式；⑤一般式．
2．探究两条直线平行的条件
(1) 能否用直线的斜率刻画两条直线的平行关系？
【解析】 能
(2) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
【解析】 k1＝k2
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考1
这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？
【解析】 成立的前提是两条直线的斜率都存在，反之也成立．
思考2
如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？
【解析】 如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以l1∥l2.
活动二　判断两直线平行
1
　　　判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.
2
【解析】 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，
所以k1＝k2.
又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，
所以l1与l2不重合，
从而l1∥l2.
对于两条不重合的直线，若斜率存在，则这两条直线平行的充要条件是斜率相等．
已知点A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为_______．
0或1
活动三　求直线方程
　　　(1) 求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程；
(2) 当a为何值时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行？
3
一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋λ＝0，其中λ待定．
【解析】 (1) 由l1：y＝－3x－5，得k1＝－3，由两直线平行知k2＝k1＝－3，又因为直线l2过点(0，2)，
所以所求直线的方程为y＝－3x＋2.
(2) 根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意，所以若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
　(1) 求过点(0，2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程；
(2) 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.若这两条直线平行，求k的值．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是 (　　)
A．－8　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．10
A
1
2
3
4
5
2．(2025芜湖期中)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0，则“k＝3”是“l1∥l2”的 (　　)
A．充分且不必要条件　　　　 B．必要且不充分条件
C．充要条件　　　　 D．既不充分又不必要条件
【解析】 因为直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0和l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，所以－2(k－3)＝2(k－3)(4－k)，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，l1∥l2；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，l1∥l2.综上，“k＝3”是“l1∥l2”的充分且不必要条件．
A
1
2
3
4
5
3．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 (　　　)
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2　　　B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2　　D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
【解析】 根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等时，直线平行；当直线的倾斜角相等时，直线平行；当直线平行时，倾斜角必相等．故选BCD.
BCD
1
2
3
4
5
4．(2025张家口期中)过点A(4，1)与直线4x－3y－1＝0平行的直线方程为________________．
【解析】 设过点A(4，1)与直线4x－3y－1＝0平行的直线方程为4x－3y＋t＝0，代入点A(4，1)，得4×4－3×1＋t＝0，解得t＝－13，故所求直线方程为4x－3y－13＝0.
4x－3y－13＝0
1
2
3
4
5
5．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．
【解析】 设点D(m，n)，
由题意，得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
所以顶点D的坐标为(3，4).
谢谢观看
Thank you for watching1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
建议用时：40分钟　答案P17　评价：________
一、 单项选择题
1 过A(2，5)，B(－4，5)两点的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 以上都不对
2 (2025湘潭一中期中)若直线l1：x＋ay－1＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－2＝0平行，则实数a的值为(　　)
A. －2或1 B. 1 C. －2 D. －
3 顺次连接点A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)所构成的图形是(　　)
A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对
4 与直线3x－2y＋3＝0平行，且过点(1，1)的直线方程是(　　)
A. 2x－3y＋1＝0 B. 2x＋3y－5＝0
C. 3x－2y－1＝0 D. 3x＋2y－5＝0
5 (2025西南大学附中期中)“a＝1”是“直线ax＋(a－2)y－1＝0和直线x－ay＋2＝0平行”的　(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6 已知直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A. 4和3 B. －4和3 C. －4和－3 D. 4和－3
二、 多项选择题
7 已知直线l：mx＋y＋1＝0，点A(1，0)，B(3，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点(0，1)
B. 当m＝0时，直线l的斜率不存在
C. 当m＝1时，直线l的倾斜角为
D. 当m＝－时，直线l与直线AB平行
8 (2025普宁勤建学校月考)下列直线l1与直线l2平行的是(　　)
A. 直线l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，直线l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B. 直线l1经过点A(0，1)，B(－2，－1)，直线l2经过点C(3，4)，D(5，2)
C. 直线l1经过点A(0，)，B(1，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点
D. 直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0
三、 填空题
9 过点P(3，4)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________．
10 已知直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是________．
11 直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角α为________，过点(2，0)且与直线l平行的直线的方程是________．
四、 解答题
12 判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.
13 (2025广安二中月考)已知点A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). 若A，B，C，D四点可以构成平行四边形，求点D的坐标．
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
建议用时：40分钟　答案P17　评价：________
一、 单项选择题
1 已知直线l1的倾斜角α1＝30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. － B. C. － D.
2 已知点A(1，－2)，B(m，0)，若直线AB与直线l：x＋2y－1＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A. －3 B. 2 C. 3 D. 4
3 (2025天津南开中学质量监测)经过点(－2，1)，且与直线x＋3y－2＝0垂直的直线的方程为(　　)
A. 3x－y＋5＝0 B. 3x－y＋7＝0
C. 3x＋y＋5＝0 D. x＋3y＋5＝0
4 已知点M(3，0)，N(1，4)，点P在y轴上，且∠MPN＝90°，则点P的坐标为(　　)
A. (0，1) B. (0，2) C. (0，3) D. (0，1)或(0，3)
5 (2025温州期中)已知两条直线l1：(m＋1)x＋y－1＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为(　　)
A. －2或1 B. －2 C. 1 D. －
6 (2025眉山华兴中学月考)顺次连接点A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是(　　)
A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对
二、 多项选择题
7 (2025枣庄十六中质检)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等
B. 若l1，l2的斜率相等，则l1，l2平行
C. 若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直
D. 若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积等于－1
8 已知直线2x＋ay＝2和ax＋2y＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l1∥l2，则a＝2
B. 若l1⊥l2，则a＝0
C. 若l1∥l2，则a＝±2
D. 若l1⊥l2，则a＝1
三、 填空题
9 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，)，点B在第一象限且OB⊥OA，则∠BOy的平分线所在直线的斜率为________．
10 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则边AB上的高所在直线的斜率为________．
11 已知直线l过点(1，－4)，若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，则直线l的方程是________；若直线l与直线2x＋3y＋5＝0垂直，则直线l的方程是________．
四、 解答题
12 判断下列直线l1与l2是否垂直：
(1) l1的倾斜角为，l2经过M(－4，－)，N(5，2)两点；
(2) l1的斜率为－，l2经过P(3，－2)，Q(－6，4)两点；
(3) l1的斜率为－，l2的倾斜角为α，α为锐角，且tan 2α＝－；
(4) l1经过点A(3，a)和B(a－2，3)，l2经过点C(2，3)和D(－1，a－2).
13 (2025天津塘沽一中月考)已知A(1，0)，B(－3，3)为直线l1上的两点，直线l2：(m＋1)x＋(m－1)y＋6＝0.
(1) 求直线l1的方程；
(2) 若l1⊥l2，求实数m的值；
(3) 若经过点B的直线l3与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l3的方程．
1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
1. B　因为斜率都为0且不重合，所以平行．
2. C　由题意，得1×2－a×(a＋1)＝0，即(a－1)(a＋2)＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝1时，两直线方程分别为l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y－1＝0，此时两直线重合，不符合题意，舍去；当a＝－2时，两直线方程分别为l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y＋2＝0，符合题意．综上，a＝－2.
3. A　因为点A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)，所以kAB＝＝，kBC＝＝－3，kCD＝＝，kAD＝＝－3，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，所以四边形ABCD是平行四边形．
4. C　设与直线3x－2y＋3＝0平行的直线方程为3x－2y＋m＝0(m≠3)，则3×1－2×1＋m＝0，解得m＝－1，故所求直线的方程为3x－2y－1＝0.
5. A　当a＝1时，两直线方程为x－y－1＝0和x－y＋2＝0，则两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行，所以“a＝1”是“直线ax＋(a－2)y－1＝0和直线x－ay＋2＝0平行”的充分条件．若直线ax＋(a－2)y－1＝0和直线x－ay＋2＝0平行，若a≠0，则＝，解得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，两直线方程分别为2x＋4y＋1＝0和x＋2y＋2＝0，斜率相等，且两直线不重合，则两直线平行；当a＝1时，两直线方程分别为x－y－1＝0和x－y＋2＝0，斜率相等，且两直线不重合，则两直线平行；若a＝0，则两直线方程为y＝－和x＝－2，两直线垂直，不平行，所以若直线ax＋(a－2)y－1＝0和直线x－ay＋2＝0平行，则a＝－2或a＝1.综上，“a＝1”是“直线ax＋(a－2)y－1＝0和直线x－ay＋2＝0平行”的充分且不必要条件．
6. C　由题意，得＝，则n＝－3.又直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，所以＝≠，解得m＝－4.
7. CD　直线l恒过点(0，－1)，故A错误；当m＝0时，直线l的方程为y＝－1，斜率为0，故B错误；当m＝1时，直线l的斜率为－1，倾斜角为，故C正确；当m＝－时，直线l的方程为y＝x－1.又直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝x－，与直线l斜率相同且不重合，所以直线l与直线AB平行，故D正确．故选CD.
8. AC　对于A，kAB＝＝－，kCD＝＝－，所以kAB＝kCD.又直线l1的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋，直线l2的方程为y＋3＝－(x－3)，即y＝－x－，所以直线l1与直线l2平行，故A正确；对于B，kAB＝＝1，kCD＝＝－1，所以kAB≠kCD，所以直线l1与直线l2不平行，故B错误；对于C，kAB＝＝，直线l2的斜率为kl2＝tan 60°＝，所以kAB＝kl2.又直线l1的方程为y－＝x，即y＝x＋，直线l2的方程为y＝x，所以直线l1与直线l2平行，故C正确；对于D，直线l1的方程为x＝0，直线l2与x轴平行或重合，所以直线l1与直线l2垂直，不平行，故D错误．故选AC.
9. 2x－y－2＝0　设与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，将点P(3，4)代入，得m＝－2×3＋4＝－2，故所求直线的方程为2x－y－2＝0.
10. 平行或重合　由直线l1的倾斜角为135°，得斜率kl1＝tan 135°＝－1.由直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，得kl2＝＝－1，所以kl1＝kl2，所以直线l1与l2平行或重合．
11. 　x＋y－2＝0　由题意，得直线l的斜截式方程为y＝－x－，所以k＝tan α＝－.又0≤α<π，则α＝.过点(2，0)且与直线l平行的直线的斜率为－，所以 y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.
12. 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，
所以k1＝k2.
又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，
所以直线l1与l2不重合，
则l1∥l2.
(2) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，
所以k1≠k2，
则l1与l2不平行．
13. 由题意，得kAB＝＝－，kAC＝＝1，kBC＝＝－2.
设点D的坐标为(a，b)，
若四边形ABCD是平行四边形，则kCD＝kAB，kAD＝kBC，
即解得即点D的坐标为(－1，6)；
若四边形ABDC是平行四边形，则kCD＝kAB，kBD＝kAC，
即解得即点D的坐标为(7，2)；
若四边形ACBD是平行四边形，则kBD＝kAC，kAD＝kBC，
即解得即点D的坐标为(3，－2).
综上，点D的坐标为(－1，6)或(7，2)或(3，－2).
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
1. C　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，所以直线l2的斜率为tan 120°＝－.
2. B　直线l：x＋2y－1＝0的斜率k＝－，因为直线AB与直线l：x＋2y－1＝0垂直，所以kAB＝＝2，解得m＝2.
3. B　设与直线x＋3y－2＝0垂直的直线方程为3x－y＋c＝0，将点(－2，1)代入，得3×(－2)－1＋c＝0，解得 c＝7，所以所求直线的方程为3x－y＋7＝0.
4. D　因为点P在y轴上，所以设点P(0，y).因为M(3，0)，N(1，4)，且∠MPN＝90°，所以kMP·kNP＝·＝－1，解得y＝1或y＝3，即点P的坐标为(0，1)或(0，3).
5. D　因为l1⊥l2，所以2(m＋1)＋m＝0，解得m＝－.
6. B　由题意，得 kAB＝＝＝kCD＝，kAD＝＝－3，kCB＝＝－，则kAD≠kCB，所以AB∥CD，AD与BC不平行．又kAD·kAB＝－1，所以AD⊥AB，故构成的图形为直角梯形．
7. BC　对于A，当l1，l2斜率均不存在时，l1，l2也平行，故A错误；对于B，根据两直线平行的判定定理，当两条不重合的直线斜率存在且相等时，两直线平行，故B正确；对于C，根据两直线垂直的判定定理，若两直线的斜率都存在，且乘积为－1，则两直线垂直，故C正确；对于D，当l1，l2两直线中，其中一条斜率不存在，另一条斜率为0，l1，l2也垂直，故D错误．故选BC.
8. BC　若l1∥l2，则4－a2＝0且－a≠－4，解得a＝±2，故A错误，C正确；若l1⊥l2，则2a＋2a＝0，解得a＝0，故B正确，D错误．故选BC.
9. 　因为点A(－1，)，所以kOA＝－.因为点B在第一象限，且OB⊥OA，所以kOB＝，所以直线OB的倾斜角为，所以∠BOy＝.设∠BOy的平分线为直线l，则直线l的倾斜角为，所以kl＝tan ＝，即∠BOy的平分线所在直线的斜率为.
10. －　因为点A(－2，－4)，B(6，6)，所以直线AB的斜率为k＝＝，所以边AB上的高所在直线的斜率为－.
11. 2x＋3y＋10＝0　3x－2y－11＝0　 设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程是2x＋3y＋m＝0，将点(1，－4)代入，得m＝10，故所求的直线方程为 2x＋3y＋10＝0.设与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线l的方程是 3x－2y＋n＝0，将点(1，－4)代入，得n＝－11，故所求的直线方程为 3x－2y－11＝0.
12. (1) 由题意，得直线l1的斜率为k1＝tan ＝－，直线l2的斜率为k2＝＝.
因为k1k2＝－×＝－1，所以l1⊥l2.
(2) 由题意，得直线l2的斜率为k2＝＝－，直线l1的斜率为k1＝－，
因为k1k2＝－×≠－1，所以l1与l2不垂直．
(3) 记直线l2的斜率为k2＝tan α，
因为tan 2α＝－，所以＝－，
解得k2＝3或k2＝－.
又因为α为锐角，所以k2＝3.
因为l1的斜率为k1＝－，且k1k2＝3×＝－1，所以l1⊥l2.
(4) 由题意，直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能存在或不存在．
①当直线l1的斜率k1不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，满足l1⊥l2；
②当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，得k1＝＝，k2＝＝.
若l1⊥l2，则k1k2＝－1，即·＝－1，解得a＝0.
综上，当a＝0或a＝5时，l1⊥l2；当a≠0且a≠5时，l1与l2不垂直．
13. (1) 因为A(1，0)，B(－3，3)为直线l1上的两点，
所以直线l1的斜率为＝－，
则直线l1的方程为y－0＝－(x－1)，
即3x＋4y－3＝0.
(2) 由(1)得直线l1的方程为3x＋4y－3＝0，
又直线l2：(m＋1)x＋(m－1)y＋6＝0，且l1⊥l2，
所以3(m＋1)＋4(m－1)＝0，即7m－1＝0，
解得m＝.
(3) 设直线l3的方程为＋＝1，
因为直线l3经过点B(－3，3)，
所以＋＝1.
因为直线l3与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以|a|＝|b|.
当a＝b时，＋＝1，显然不成立，舍去；
当a＝－b时，＋＝1，即－＝1，
解得a＝－6，b＝6，
所以直线l3的方程为＋＝1，即x－y＋6＝0.1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
1. 借助图形探究两条平行直线的斜率关系．
2. 掌握用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想．
　活动一探究两条直线平行的条件　
1. 知识回顾
(1) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：
(2) 直线方程：①点斜式；②斜截式；③两点式；④截距式；⑤一般式．
2. 探究两条直线平行的条件
(1) 能否用直线的斜率刻画两条直线的平行关系？
(2) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
思考1
这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？
思考2
如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？
活动二判断两直线平行
例1证明：顺次连接A(2，－3)，B(5，－)，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是梯形．
.
例2　判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.
对于两条不重合的直线，若斜率存在，则这两条直线平行的充要条件是斜率相等．
　已知点A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为__________.
活动三求直线方程　
例3 (1) 求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程；
(2) 当a为何值时，直线l1：x＋y－2a＝0与直线l2：(a2－2)x－y＋2＝0平行？
一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋λ＝0，其中λ待定．
　(1) 求过点(0，2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程；
(2) 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.若这两条直线平行，求k的值．
1. 已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是(　　)
A. －8 B. 0 C. 2 D. 10
2. (2025芜湖期中)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0，则“k＝3”是“l1∥l2”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B. 若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C. 若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
4. (2025张家口期中)过点A(4，1)与直线4x－3y－1＝0平行的直线方程为________．
5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
1. 掌握两直线垂直与斜率的关系．
2. 会用代数的方法研究两直线垂直与斜率的关系，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，提高思维的严谨性、辩证性．
3. 会运用两直线垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．
活动一探究两条直线垂直的条件　　
1. 知识回顾
如何利用斜率判断两条直线平行？
2. 探究两条直线垂直的条件
(1) 若两条直线垂直，它们的倾斜角之间有怎样的关系？
(2) 能否用斜率刻画两条直线的垂直关系？
(3) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1，k2，有l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考1
对任意的两条直线l1，l2，“l1⊥l2”的充要条件是“k1k2＝－1”吗？
思考2
对直线的斜率不存在的情况，如何判断两直线是否垂直？
例1　判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1) l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2) l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3) l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2：y－3＝0.
活动二判断两直线垂直　　
例2 (1) 已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2；
(2) 已知四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0，试判断四边形OPQR的形状．
若k1k2＝－1，则两条直线垂直，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在．若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，此时两直线也垂直．
　已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．
　活动三求直线方程　
例3 已知三角形的三个顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在的直线方程．
与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋m＝0，其中m待定．
　过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为(　　)
A. x－2y－2＝0 B. x＋2y－2＝0
C. x－2y＋2＝0 D. x＋2y＋2＝0
例4　如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在 x轴，y轴的正半轴上，O为坐标原点．
(1) 求OB所在直线的方程；
(2) 线段AB上是否存在一点P，使得 CP⊥OP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1. (2025天津河北区期末)已知直线l1经过A(3，7)，B(2，8)两点，且直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°
2. (2025烟台期中)已知直线l1：2mx＋y－1＝0，l2：4x＋(m－1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 2 C. － D.
3. (多选)(2025浙江期中)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l2表示与x轴平行或重合的直线，则A2＝0
B. 若l2表示与x轴平行或重合的直线，则B2＝0
C. 若A1B2＝A2B1，则l1∥l2
D. 若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2
4. 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为________．
5. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(n－1，3)，C(－1，3－n).
(1) 若∠BAC是直角，求实数n的值；
(2) 求过坐标原点，且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程．
1．3　两条直线的平行与垂直
1.3.1　两条直线的平行与垂直(1)
【活动方案】
1. (1) 由斜率的定义可知，当α在(0°，90°)的范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90°，180°)的范围内时，直线的斜率小于零；当α＝0°时，直线的斜率为零；当α＝90°时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系，且在[0°，90°)和(90°，180°)的范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然，因此，若需在[0°，90°)或(90°，180°)的范围内比较倾斜角的大小，则只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
(2) 点斜式：y－y1＝k(x－x1)；斜截式：y＝kx＋b；两点式：＝；截距式：＋＝1；一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0).
2. (1) 能　(2) k1＝k2
思考1：成立的前提是两条直线的斜率都存在，反之也成立．
思考2：如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以l1∥l2.
例1　因为kAB＝＝－，
kCD＝＝－，
所以kAB＝kCD，
从而AB∥CD.
又因为kBC＝＝－，
kDA＝＝－，
所以kBC≠kDA，
从而直线BC与DA不平行．
因此，四边形ABCD是梯形．
例2　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，
所以k1＝k2.
又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，
所以l1与l2不重合，
从而l1∥l2.
(2) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，
所以k1≠k2，从而l1与l2不平行．
跟踪训练　0或1　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，故MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.
例3　(1) 方法一：由题意，得直线l的斜截式方程为y＝－x＋3，
所以直线l的斜率为－.
因为直线l′与直线l平行，
所以直线l′的斜率为－.
又因为直线l′过点(－1，3)，
所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
方法二：由直线l′与直线l平行，
可设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9，
所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2) 由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2.
因为l1∥l2，所以解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
跟踪训练　(1) 由l1：y＝－3x－5，得k1＝－3，由两直线平行知k2＝k1＝－3，又因为直线l2过点(0，2)，
所以所求直线的方程为y＝－3x＋2.
(2) 根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意，所以若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
【检测反馈】
1. A　由题意，得kAB＝＝－2，解得m＝－8.
2. A　因为直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0和l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，所以－2(k－3)＝2(k－3)(4－k)，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，l1∥l2；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，l1∥l2.综上，“k＝3”是“l1∥l2”的充分且不必要条件．
3. BCD　根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等时，直线平行；当直线的倾斜角相等时，直线平行；当直线平行时，倾斜角必相等．故选BCD.
4. 4x－3y－13＝0　设过点A(4，1)与直线4x－3y－1＝0平行的直线方程为4x－3y＋t＝0，代入点A(4，1)，得4×4－3×1＋t＝0，解得t＝－13，故所求直线方程为4x－3y－13＝0.
5. 设点D(m，n)，
由题意，得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
即解得
所以顶点D的坐标为(3，4).
1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
【活动方案】
1. l1∥l2 k1＝k2(k1，k2均存在)，这里l1，l2指不重合的两条直线．
2. (1) 两条直线的倾斜角之差为.
(2) 能
(3) k1·k2＝－1.
思考1：不是．若有一条直线的斜率不存在，则“l1⊥l2 k1k2＝－1”不正确．
思考2：两条直线中，若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直．
例1　(1) k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，所以l1与l2不垂直．
(2) k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，
所以l1⊥l2.
(3) l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；而l2∥x轴，所以l1⊥l2.
例2　(1) 　由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝，从而k1k2＝×＝－1，所以l1⊥l2.
(2) 由题意，得直线OP的斜率kOP＝＝t；
直线QR的斜率kQR＝＝＝t；
直线OR的斜率kOR＝＝－；
直线PQ的斜率kPQ＝＝＝－，
显然kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
则在四边形OPQR中，有OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
所以四边形OPQR为矩形．
跟踪训练　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．
由斜率公式，得kAB＝＝；
kCD＝＝；
kAD＝＝－3；
kBC＝＝－，
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
例3　直线BC的斜率kBC＝＝－.
因为AD⊥BC，所以kAD＝.
根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－4＝(x－2)，即3x－5y＋14＝0.
跟踪训练　A　设所求直线的方程为x－2y＋m＝0，将点(0，－1)代入，得2＋m＝0，解得m＝－2，故过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为x－2y－2＝0.
例4　(1) 由题意知O(0，0)，B(2，3)，
所以OB所在直线的斜率为＝，
所以OB所在直线的方程为y－0＝(x－0)，
即3x－2y＝0.
(2) 不存在点P，使得CP⊥OP，理由如下：
假设线段AB上存在点P(2，a)(0≤a≤3)，使得CP⊥OP，
显然直线CP与直线OP的斜率都存在，分别记作kCP，kOP，
所以kCP·kOP＝－1.
又kCP＝＝，kOP＝＝，
所以·＝－1，即a2－3a＋4＝0，
Δ＝(－3)2－4×4<0，方程无解，
所以线段AB上不存在点P，使得CP⊥OP.
【检测反馈】
1. B　设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率kl1＝＝－1，由l1⊥l2，得kl1·kl2＝－1，所以kl2＝1，即tan α＝1.又0°≤α<180°，则α＝45°，所以直线l2的倾斜角为45°.
2. D　由直线l1：2mx＋y－1＝0与l2：4x＋(m－1)y＋3＝0垂直，得8m＋m－1＝0，解得m＝.
3. AD　对于A，B，当直线l2的斜率为0时，与x轴平行或重合，则A2＝0，故A正确，B错误；对于C，当A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1时，l1∥l2；当A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1或B1C2＝B2C1时，l1与l2重合，故C错误；对于D，若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2，故D正确．故选AD.
4. (0，1)　由题意，得kAB＝＝3，kCB＝＝－2.因为CD⊥AB，CB∥AD，所以直线CD与AD的斜率都存在．设点D的坐标为(x，y)，则kCD＝，kAD＝，所以解得故点D的坐标为(0，1).
5. (1) 当n＝2时，∠BAC不是直角，不符合题意；
当n≠2时，因为∠BAC是直角，
所以kAB·kAC＝－1，
即·＝－1，解得n＝.
综上，实数n的值为.
(2) 因为直线l与△ABC的高AD垂直，
所以直线l与直线BC平行或重合．
因为点B，C不重合，所以n≠0，
所以直线l的斜率k＝kBC＝＝1.
又直线l过坐标原点，
所以直线l的方程为x－y＝0.(共30张PPT)
第1章
直线与方程
1.3　两条直线的平行与垂直
1.3.2　两条直线的平行与垂直(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握两直线垂直与斜率的关系．
2．会用代数的方法研究两直线垂直与斜率的关系，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，提高思维的严谨性、辩证性．
3．会运用两直线垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．
活 动 方 案
活动一　探究两条直线垂直的条件
1．知识回顾
如何利用斜率判断两条直线平行？
【解析】 l1∥l2 k1＝k2(k1，k2均存在)，这里l1，l2指不重合的两条直线．
2．探究两条直线垂直的条件
(1) 若两条直线垂直，它们的倾斜角之间有怎样的关系？
(2) 能否用斜率刻画两条直线的垂直关系？
【解析】 能
(3) 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？
【解析】 k1·k2＝－1.
结论：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1，k2，有l1⊥l2 k1k2＝－1.
思考1
对任意的两条直线l1，l2，“l1⊥l2”的充要条件是“k1k2＝－1”吗？
【解析】 不是．若有一条直线的斜率不存在，则“l1⊥l2 k1k2＝－1”不正确．
思考2
对直线的斜率不存在的情况，如何判断两直线是否垂直？
【解析】 两条直线中，若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为0时，两直线垂直．
　　　判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1) l1经过点A(－3，－4)，B(1，3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
(2) l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3) l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2：y－3＝0.
1
活动二　判断两直线垂直
　　　(1) 已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2；
(2) 已知四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0，试判断四边形OPQR的形状．
2
显然kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
则在四边形OPQR中，有OP∥QR，OR∥PQ，
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
所以四边形OPQR为矩形．
若k1k2＝－1，则两条直线垂直，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在．若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，此时两直线也垂直．
　已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
故四边形ABCD为直角梯形．
活动三　求直线方程
　　　已知三角形的三个顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在的直线方程．
3
与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋m＝0，其中m待定．
【解析】 设所求直线的方程为x－2y＋m＝0，将点(0，－1)代入，得2＋m＝0，解得m＝－2，故过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为x－2y－2＝0.
　过点(0，－1)且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线的方程为 (　　)
A．x－2y－2＝0　　　　 B．x＋2y－2＝0
C．x－2y＋2＝0　　　　 D．x＋2y＋2＝0
A
　　　如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在 x轴，y轴的正半轴上，O为坐标原点．
(1) 求OB所在直线的方程；
(2) 线段AB上是否存在一点P，使得 CP⊥OP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4
(2) 不存在点P，使得CP⊥OP，理由如下：
假设线段AB上存在点P(2，a)(0≤a≤3)，使得CP⊥OP，
显然直线CP与直线OP的斜率都存在，分别记作kCP，kOP，
所以kCP·kOP＝－1.
检 测 反 馈
1
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1．(2025天津河北区期末)已知直线l1经过A(3，7)，B(2，8)两点，且直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为 (　　)
A．30°　　　　B．45°　　　　C．135°　　　　D．150°
B
1
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3
4
5
2．(2025烟台期中)已知直线l1：2mx＋y－1＝0，l2：4x＋(m－1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为 (　　)
D
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4
5
3．(多选)(2025浙江期中)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法中正确的是 (　　)
A．若l2表示与x轴平行或重合的直线，则A2＝0
B．若l2表示与x轴平行或重合的直线，则B2＝0
C．若A1B2＝A2B1，则l1∥l2
D．若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2
【解析】 对于A，B，当直线l2的斜率为0时，与x轴平行或重合，则A2＝0，故A正确，B错误；对于C，当A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1时，l1∥l2；当A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1或B1C2＝B2C1时，l1与l2重合，故C错误；对于D，若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2，故D正确．故选AD.
【答案】AD
1
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1
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3
4
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4．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，若有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为_________．
(0，1)
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2
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4
5
5．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(n－1，3)，C(－1，3－n).
(1) 若∠BAC是直角，求实数n的值；
(2) 求过坐标原点，且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程．
(2) 因为直线l与△ABC的高AD垂直，
所以直线l与直线BC平行或重合．
因为点B，C不重合，所以n≠0，
又直线l过坐标原点，
所以直线l的方程为x－y＝0.
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