资源简介

1．4　两条直线的交点
1. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2. 会根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．
3. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系．
活动一　探究两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系　
问题1：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标．
问题2：如果两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交于一点A，若点A的坐标为(m，n)，则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系？
思考1
如何求两相交直线的交点坐标？
思考2
如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？
问题3：如果方程组只有一组公共解，那么对应的两条直线的位置关系如何？如果方程组无解、有无数组解，那么两直线的位置关系又如何？
1. 利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．
2. 两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置关系之间是对应的．
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行
活动二判断两直线的位置关系　　
例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们交点的坐标.
(1) l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
(2) l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
(3) l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
例2设a为实数，直线l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0.若l1∥l2，求a的值．
两条直线的位置关系
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交 特例↓ 垂直
活动三求直线的方程　
例3 已知直线l过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点.
(1) 若直线l的斜率为1，求直线l的方程；
(2) 若直线l与直线x－2y－1＝0垂直，求直线l的方程．
思考3
求直线方程需要哪些条件？
思考4
经过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点的直线有多少条？它们的方程有什么共同特征？
　　 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么过两条直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2).
　求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
1. (2025浙江期中)直线3x＋2y－18＝0和2x－5y＋7＝0的交点坐标为(　　)
A. (－4，－3) B. (4，3) C. (－4，3) D. (3，4)
2. (2025上海月考)已知直线l的方程是(3a－1)x－(a－2)y－1＝0，则对任意的实数a，直线l一定经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. (多选)(2025连云港月考)若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a的值可以是(　　)
A. B. 1 C. D. 3
4. (2025北京期中)经过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点，且垂直于直线x－2y－1＝0的直线方程为________．
5. 在△ABC中，边BC上的高所在的直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2).求：
(1) 点A的坐标；
(2) 直线BC的方程；
(3) 点C的坐标．
1．4　两条直线的交点
【活动方案】
问题1：不平行，联立方程组解得所以其交点坐标为(1，1).
问题2：公共点同时在两条直线上，同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解．
思考1：先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标．
思考2：不是，当且仅当这两个二元一次方程只有一组公共解时，以这组解为坐标的点是直线l1和l2的交点．
问题3：如果方程组只有一组解，那么对应的两条直线相交；如果方程组无解，那么对应的两条直线平行；如果方程组有无数组解，那么对应的两条直线重合．
例1　(1) 因为方程组的解为
所以直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2) 因为方程组有无数组解，
所以直线l1和l2重合．
(3) 因为方程组无解，
所以直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
例2　方法一：因为l1∥l2，
所以方程组
无解．
由②×2－①，得(2a－5)y＝－5.③
从而③无解，即2a－5＝0.
解得a＝.
方法二：由直线l1的方程可知，它的斜率k1＝－.
因为l1∥l2，所以直线l2的斜率存在，设为k2，则k2＝－.
又由直线l2的方程可知，它的斜率k2＝－，
所以－＝－，解得a＝.
小结：略
例3　(1) 解方程组得交点坐标为(－2，2).
因为直线l的斜率为1且过交点(－2，2)，
所以直线l的方程为x－y＋4＝0.
(2) 由题意可设直线l的方程为2x＋y＋m＝0，将点(－2，2)代入，解得m＝2，所以直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
思考3：两个独立条件：两个点坐标或一点一方向．
思考4：无数条，它们的方程可表示为3x＋4y－2＋λ(x－y＋4)＝0(λ为任意实数).
跟踪训练　由方程组
解得
因为所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率为－3.
根据直线的点斜式方程可得所求直线方程为
y－(－)＝－3[x－(－)]，
即15x＋5y＋16＝0.
【检测反馈】
1. B　联立解得所以直线3x＋2y－18＝0和2x－5y＋7＝0的交点坐标为(4，3).
2. A　由(3a－1)x－(a－2)y－1＝0，得a(3x－y)－x＋2y－1＝0，则解得定点在第一象限，则直线一定经过第一象限．
3. BC　设直线l1：x＋y＋1＝0，l2：2x－y＋8＝0，l3：ax＋3y－5＝0.联立解得所以直线l1，l2的交点为(－3，2)，所以l3：ax＋3y－5＝0不过点(－3，2)，且l3与l1，l2都不平行．又直线l1：x＋y＋1＝0的斜率为－1，直线l2：2x－y＋8＝0的斜率为2，所以所以即实数a满足的条件为a≠且a≠3且a≠－6.故选BC.
4. 2x＋y＋2＝0　联立解得因为所求直线与直线x－2y－1＝0垂直，则所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程为y－2＝(－2)(x＋2)，即2x＋y＋2＝0.
5. (1) 直线x－2y＋1＝0和直线y＝0的交点是(－1，0)，即点A的坐标为(－1，0).
(2) 因为直线x－2y＋1＝0为边BC上的高，则由垂直关系，得kBC＝－2，
所以直线BC的方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－4＝0.
(3) 因为角A的平分线所在直线的方程为y＝0，点A(－1，0)，B(1，2)，
所以kAC＝－kAB＝－1.
设点C的坐标为(a，b)，
则＝－1，＝－2，
解得a＝5，b＝－6，
即点C的坐标为(5，－6).(共29张PPT)
第1章
直线与方程
1.4　两条直线的交点
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2．会根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．
3．通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系．
活 动 方 案
活动一　探究两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系
问题1：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标．
问题2：如果两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交于一点A，若点A的坐标为(m，n)，则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系？
【解析】 公共点同时在两条直线上，同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解．
思考1
如何求两相交直线的交点坐标？
【解析】 先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标．
思考2
如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？
【解析】 不是，当且仅当这两个二元一次方程只有一组公共解时，以这组解为坐标的点是直线l1和l2的交点．
【解析】 如果方程组只有一组解，那么对应的两条直线相交；如果方程组无解，那么对应的两条直线平行；如果方程组有无数组解，那么对应的两条直线重合．
1．利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．
2．两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置关系之间是对应的．
活动二　判断两直线的位置关系
　　　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们交点的坐标．
(1) l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
(2) l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
(3) l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
1
　　　设a为实数，直线l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0.若l1∥l2，求a的值．
2
两条直线的位置关系
【解析】 略
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交 垂直

活动三　求直线的方程
　　　已知直线l过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点.
(1) 若直线l的斜率为1，求直线l的方程；
(2) 若直线l与直线x－2y－1＝0垂直，求直线l的方程．
因为直线l的斜率为1且过交点(－2，2)，
所以直线l的方程为x－y＋4＝0.
(2) 由题意可设直线l的方程为2x＋y＋m＝0，将点(－2，2)代入，解得m＝2，所以直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
3
思考3
求直线方程需要哪些条件？
【解析】 两个独立条件：两个点坐标或一点一方向．
思考4
经过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点的直线有多少条？它们的方程有什么共同特征？
【解析】 无数条，它们的方程可表示为3x＋4y－2＋λ(x－y＋4)＝0(λ为任意实数).
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么过两条直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2).
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
因为所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率为－3.
根据直线的点斜式方程可得所求直线方程为
检 测 反 馈
1
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3
4
5
1．(2025浙江期中)直线3x＋2y－18＝0和2x－5y＋7＝0的交点坐标为 (　　)
A．(－4，－3)　　　　 B．(4，3)　　　　
C．(－4，3)　　　　 D．(3，4)
B
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3
4
5
2．(2025上海月考)已知直线l的方程是(3a－1)x－(a－2)y－1＝0，则对任意的实数a，直线l一定经过 (　　)
A．第一象限　　　　 B．第二象限　　　　
C．第三象限　　　　 D．第四象限
A
1
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3．(多选)(2025连云港月考)若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a的值可以是 (　　)
【答案】BC
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1
2
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4．(2025北京期中)经过直线3x＋4y－2＝0与直线x－y＋4＝0的交点，且垂直于直线x－2y－1＝0的直线方程为______________．
2x＋y＋2＝0
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2
3
4
5
5．在△ABC中，边BC上的高所在的直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2).求：
(1) 点A的坐标；
(2) 直线BC的方程；
(3) 点C的坐标．
【解析】 (1) 直线x－2y＋1＝0和直线y＝0的交点是(－1，0)，即点A的坐标为(－1，0).
(2) 因为直线x－2y＋1＝0为边BC上的高，则由垂直关系，得kBC＝－2，
所以直线BC的方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－4＝0.
(3) 因为角A的平分线所在直线的方程为y＝0，点A(－1，0)，B(1，2)，
所以kAC＝－kAB＝－1.
设点C的坐标为(a，b)，
解得a＝5，b＝－6，
即点C的坐标为(5，－6).
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谢谢观看
Thank you for watching1．4　两条直线的交点
一、 单项选择题
1 (2025邯郸期中)已知P为直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：2x＋y－4＝0的交点，O为坐标原点，则直线OP的方程为(　　)
A. y＝ B. y＝2x C. y＝－ D. y＝－2x
2 若直线x＋ay＋15＝0经过两直线5x－3y－17＝0和x－y－5＝0的交点，则实数a的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3 已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0垂直，则它们的交点坐标为 (　　)
A. (－1，－3) B. (－2，－1) C. D. (－1，－2)
4 (2025回民中学月考)过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　)
A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y＋1＝0
C. 3x＋2y－7＝0 D. x－2y＋5＝0
5 (2025六安期中)已知两条直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(1，2)，则过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直线方程为(　　)
A. x－2y－1＝0 B. x＋2y－1＝0 C. 2x－y－1＝0 D. 2x＋y－1＝0
6 (2025广州天河中学月考)已知直线l1过点A(0，1)，直线l1与直线l2：y＝x的交点B在第一象限，O为坐标原点. 若△OAB为钝角三角形，则直线l1的斜率的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1] B. (0，1)
C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
二、 多项选择题
7 (2025启东一中月考)已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是(　　)
A. (1，－3) B. (3，－4) C. (－3，1) D. (－4，3)
8 (2025南京师大附中开学考试)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法中错误的是(　　)
A. 直线l1或l2可以表示平面直角坐标系xOy内任意一条直线
B. l1与l2至多有无穷多个交点
C. l1∥l2的充要条件是p＝k
D. 记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线
三、 填空题
9 (2025镇江月考)已知直线kx－y＋k＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为________．
10 已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a－b的值为________．
11 (2025扬州一中期中)在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形ABC，C＝，顶点A的坐标为(2，1)，边BC所在直线的方程为2x＋y＋1＝0，则顶点C的坐标为________．
四、 解答题
12 (2025洛阳部分高中质检)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0.
(1) 当m为何值时，l1与l2相交？
(2) l1与l2是两条不同的直线，l2经过定点A，当l1也经过点A时，求实数m的值．
13 (2025南京金陵中学月考)
(1) 已知两直线l1：x－y－1＝0，l2：x＋y－5＝0，求过两直线的交点，且垂直于直线3x＋4y－5＝0的直线方程；
(2) 已知直线l过点P(3，1)，且交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长．
1．4　两条直线的交点
1. B　联立解得所以点P的坐标为(1，2)，所以直线OP的方程为y＝2x.
2. B　联立解得即交点坐标为(1，－4).又直线x＋ay＋15＝0经过交点(1，－4)，所以1－4a＋15＝0，解得a＝4.
3. B　因为直线2x＋y＋5＝0与kx＋2y＝0垂直，所以 2k＋2＝0，解得k＝－1.联立解得所以交点坐标为(－2，－1).
4. A　联立解得所以交点坐标为(1，3).设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0，代入点(1，3)，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5，所以所求直线方程为2x＋y－5＝0.
5. B　因为两条直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(1，2)，所以a1＋2b1－1＝0，a2＋2b2－1＝0，则Q1，Q2两点均在直线x＋2y－1＝0上，所以过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直线方程为x＋2y－1＝0.
6. C　因为直线l1过点A(0，1)，直线l1与直线l2：y＝x的交点B在第一象限，所以直线l1的斜率存在．设l1：y＝kx＋1，联立解得即点B.又点B在第一象限，所以>0，解得k<1.当∠OAB为钝角时，＝(0，－1)，＝，则·＝－<0，解得07. AB　联立解得因为三条直线相交于一点，所以m×1＋n×2＋5＝0，即m＋2n＋5＝0.结合选项可知A，B正确；C，D错误．故选AB.
8. ACD　对于A，当直线的斜率不存在时，直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C错误；对于D，点M的坐标满足y＝px＋q且y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误．故选ACD.
9. (－2，0)　由题意，得两条直线不平行，则它们的斜率不相等，即k≠－2.联立解得所以解得－210. －3　因为直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，所以解得所以a－b＝－3.
11. 　因为C＝，所以AC⊥BC.又边BC所在直线的方程为2x＋y＋1＝0，所以可设边AC所在直线的方程为x－2y＋c＝0，代入点A(2，1)，得2－2＋c＝0，解得c＝0，即边AC所在直线的方程为x－2y＝0.联立解得所以顶点C的坐标为.
12. (1) 由题意，得m2(m－2)－3m≠0，
即m(m－3)(m＋1)≠0，
解得m≠0，且m≠3，且m≠－1.
(2) 由题意，得l2：m(x＋3y＋2)－2x＝0，
则解得
所以直线l2过定点A，
所以0－m2＋6＝0，解得m＝±3.
当m＝3时，l1与l2重合，舍去；
当m＝－3时，直线l1与l2的方程分别为l1：x＋9y＋6＝0，l2：5x＋9y＋6＝0，符合题意．
综上，m＝－3.
13. (1) 由题意，得与直线3x＋4y－5＝0垂直的直线斜率为.
联立解得
所以经过直线l1与l2的交点(3，2)且与3x＋4y－5＝0垂直的直线方程为y－2＝(x－3)，
即4x－3y－6＝0.
(2) 设点A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，则AB：＋＝1.
因为直线AB过点P(3，1)，所以＋＝1≥2，则ab≥12，当且仅当a＝6，b＝2时，等号成立，
所以S△AOB＝ab≥6，
此时△AOB的周长为a＋b＋＝8＋2.

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