资源简介

1．5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 (2025常熟中学月考)若点A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　)
A. B. C. 3 D. 2
2 点M(1，2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 (　　)
A. 2 B. 1 C. D. 5
3 已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为 (－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D.
4 (2025扬州期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(5，4)，C(2，－2)，则边AB上的中线长为(　　)
A. B. 4 C. D. 6
5 (2025新乡月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)，则△ABC的面积是(　　)
A. 5 B. 10 C. 10 D. 20
6 (2025北京师大附中期中)已知过原点且倾斜角为θ的直线与直线x＋y－4＝0交于点P，则当θ在区间上变化时，点P的轨迹长度为(　　)
A. B. 2 C. 3 D. 2
二、 多项选择题
7 对于，下列说法中正确的是(　　)
A. 可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B. 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C. 可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D. 可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
8 (2025海安期中)设a∈R，点A(1，0)，B(2，a)，若AB＝2，则直线AB的斜率可能为(　　)
A. － B. － C. D.
三、 填空题
9 已知点A(－3，2)，B(3，－6)，则A，B两点间的距离为________．
10 (2025福州黎明中学期中)已知P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)三点，且PQ＝PM，则实数a的值为________．
11 (2025镇江月考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y＋2－m＝0交于点P(x，y)，则PA＋PB的最大值为________．
四、 解答题
12 已知△ABC的三个顶点的坐标是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7).
(1) 判断△ABC的形状；
(2) 求△ABC的面积．
13 (2025盐城月考)已知P，Q是直线l：x－y＋1＝0上的两个动点，且PQ＝，点A(－3，5)，B(1，5)，求AP＋PQ＋QB的最小值．
1．5.2　点到直线的距离(1)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A. 1 B. C. 2 D.
2 设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则点P到直线l：2x－y＝1的距离为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025广州育才中学期中)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则直线l1与l2间的距离为(　　)
A. 2 B. 3 C. D.
4 (2025中山纪念中学月考)已知实数x，y满足4x－3y＋2＝0，则的最小值是(　　)
A. B. C. 1 D.
5 (2025盐城期中)已知点(a，1)(a<0)到直线l：3x＋4y＋5＝0的距离为3，则a等于(　　)
A. －2 B. －8 C. －2或－8 D. 2
6 (2025武汉二中月考)已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，6c－8d－14＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　)
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
二、 多项选择题
7 下列直线中与直线l：y＝2x－1平行，且与它的距离为2 的是 (　　)
A. 2x－y＋9＝0 B. 2x－y－11＝0
C. 2x－y－12＝0 D. 2x－y＋10＝0
8 已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A. (1，2) B. (3，－4) C. (2，－1) D. (4，－3)
三、 填空题
9 倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________．
10 (2025北京五中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(cos θ，sin θ)，θ∈R，则点P到直线y＝x－2距离的最大值为________．
11 若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知A，B为直线l1上的两点，且点A(1，0)，B(－3，3)，直线l2：6x＋my＋14＝0.
(1) 求直线l1的方程；
(2) 若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
13 (2025沧州南皮一中期中)已知△ABC的三个顶点是A(2，3)，B(4，1)，C(0，－1).
(1) 求边BC上的高所在直线l1的方程；
(2) 若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
1．5.2　点到直线的距离(2)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 已知点A(3，0)，直线l：3x－4y＋1＝0，则点A到直线l的距离为(　　)
　A. 3 B. 2 C. 1 D.
2 已知点P(－2，3)，Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则PQ的最小值为(　　)
　A. 1 B. C. D.
3 直线x＋2y＋3＝0关于y轴对称的直线的方程是(　　)
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y＋3＝0
C. x－2y－3＝0 D. 3x＋2y－1＝0
4 (2025揭阳期中)点A(2，1)关于直线x＋y＋3＝0对称的点的坐标为(　　)
A. (－2，－3) B. (－3，－4)
C. (－4，－5) D. (－5，－6)
5 (2025宁波期中)已知直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(2，0)对称，则实数b的值为(　　)
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
6 (2025苏州实验中学期中)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，4)与点B(6，0)重合，若此时y轴与直线y＝kx＋b也正好重合，则实数k的值为(　　)
A. B. － C. D.
二、 多项选择题
7 (2025成都外国语学校期中)设a为实数，直线l1：ax＋y＋2a＝0，l2：ax＋(2－a)y－2＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当a＝1时，l1在两坐标轴上的截距相等
B. 当a＝1时，l1与l2平行
C. 直线l2经过原点
D. 原点到直线l2距离的最大值为
8 (2025洛阳期中)已知直线l：mx－y＋3m＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l过定点(－3，1)
B. 点P(1，－1)到直线l的最大距离为2
C. 直线l一定经过第四象限
D. 当m＝－1时，直线l关于直线x＋2y－3＝0对称的直线的方程为x＋7y－28＝0
三、 填空题
9 (2025常州金坛区期中)已知点M(－3，4)与点N(1，0)关于直线l：ax－by＋3＝0对称，则a＋b的值为________．
10 已知直线l1过点A(3，0)，直线l2过点B(0，4)，且l1∥l2，用d表示l1与l2间的距离，则d的取值范围是________．
11 已知直线l：y＝x，P为直线l上的任意一点，则＋的最小值为________．
四、 解答题
12 (2025南京文枢高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，－2)，B(－3，4)，C(0，6).求：
(1) 边BC所在直线的方程；
(2) △ABC的面积．
13 (2025杭州期中)已知直线l1：2x＋y－5＝0，直线l2：x－2y＝0相交于点A.
(1) 若直线m经过点A，且在x轴上的截距为2，求直线m的方程；
(2) 若直线l1，l2关于直线l对称，求直线l的方程．
1．5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
1. D　由题意，得AC＝＝4，CB＝＝2，故＝2.
2. C　由对称性，得点N(－1，2)，所以点N到原点的距离 ON＝＝.
3. D　根据中点坐标公式，得＝1，且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
4. C　设AB的中点为D，根据中点坐标公式可知AB的中点坐标为D(3，3)，则边AB上的中线长即为CD的长度，根据两点间距离公式可知CD＝＝，即边AB上的中线长为.
5. B　易得kAB＝＝，kBC＝＝－3.又因为kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．因为AB＝＝，BC＝＝2，所以△ABC的面积S＝AB·BC＝××2＝10.
6. D　当θ＝时，直线的斜率k＝tan ＝，直线方程为y＝x.联立解得所以点P1的坐标为(1，)；当θ＝时，直线的斜率k＝tan ＝－，直线方程为y＝－x，联立解得所以点P2的坐标为(－2，2)，所以点P的轨迹长度P1P2＝＝2.
7. BCD　＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A错误；B，C，D正确．故选BCD.
8. AD　由题意，得AB＝2＝，解得a＝±，所以直线AB的斜率可能为＝或＝－.故选AD.
9. 10　由题意，得A，B两点间的距离为＝10.
10. －　因为点P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)，且PQ＝PM，所以＝，解得a＝－.
11. 4　由x＋my＋1＝0整理，得my＝－(x＋1)，则恒过定点A(－1，0)；由mx－y＋2－m＝0整理，得y－2＝m(x－1)，则恒过定点B(1，2).又两条直线垂直，所以 PA2＋PB2＝AB2＝(－1－1)2＋(0－2)2＝8，即(PA＋PB)2－2PA·PB＝8，整理得PA·PB＝(PA＋PB)2－4≤(PA＋PB)2，即(PA＋PB)2≤16，解得PA＋PB≤4，当且仅当PA＝PB时取得最大值．
12. (1) 因为点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，
所以AB＝＝，
AC＝＝，
BC＝＝，
所以AB＝AC，AB2＋AC2＝BC2，
所以△ABC是等腰直角三角形．
(2) 由(1)，得S△ABC＝AB·AC＝××＝26.
13. 不妨设点P(x，x＋1)在点Q的左边，
因为直线l：x－y＋1＝0的倾斜角为45°，且PQ＝，
所以点Q的坐标为(x＋1，x＋2)，
则AP＋PQ＋QB＝＋＋.
记d＝＋，
则可将d理解为直线y＝x上一动点M(x，x)到点D(－3，4)，C(0，3)的距离之和，
如图，作出点C(0，3)关于直线y＝x的对称点C′，
则点C′(3，0)，连接DC′，交直线y＝x于点N，
则CN＋DN即d的最小值，
且CN＋DN＝DN＋C′N＝DC′＝2，
故AP＋PQ＋QB的最小值为2＋.
1．5.2　点到直线的距离(1)
1. D　由题意，得所求距离为＝.
2. D　联立解得可得点P(1，2).又直线l：2x－y＝1的一般式为2x－y－1＝0，所以点P到直线l：2x－y＝1的距离d＝＝.
3. D　因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，所以1×3－a(a－2)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0，两直线重合，舍去；当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：－3x＋3y－2＝0，整理为x－y＋＝0，两直线平行，符合题意．由两平行线的距离公式可得 d＝＝＝.
4. A　当取得最小值时，即为点(1，1)到直线4x－3y＋2＝0的距离d＝＝.
5. B　由点到直线的距离公式，得3＝，即|3a＋9|＝15.又a<0，所以a＝－8.
6. B　实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，6c－8d－14＝0，即实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则点(a，b)在直线3x－4y＋3＝0上，点(c，d)在直线3x－4y－7＝0上．又直线3x－4y＋3＝0与直线3x－4y－7＝0平行，所以(a，b)，(c，d)两点间的最短距离为＝2，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为22＝4.
7. AB　设与直线l：y＝2x－1平行的直线方程为 2x－y＋a＝0，由题意，得＝2，解得a＝9或a＝－11，故所求直线的方程为2x－y＋9＝0或2x－y－11＝0.故选AB.
8. AC　设点P的坐标为(a，5－3a).由题意，得＝，解得a＝1或a＝2，所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1).故选AC.
9. x－y＋10＝0或x－y－10＝0　因为直线的斜率为tan 60°＝，所以可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式，得x－y＋b＝0.由直线与原点的距离为5，得＝5，即|b|＝10，所以b＝±10，所以直线的方程为 x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
10. 3　由题意，得点P(cos θ，sin θ)到直线x－y－2＝0的距离d＝＝2＋sin ≤3，当且仅当θ－＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时，等号成立，所以所求最大值为3.
11. 　由题意，得≤3，解得≤a≤ ，所以实数a的取值范围是.
12. (1) 因为A，B为直线l1上的两点，且点A(1，0)，B(－3，3)，
所以kAB＝－，
所以直线l1的方程为y＝－(x－1)，即3x＋4y－3＝0.
(2) 因为l1∥l2，所以＝≠，所以m＝8，
故直线l2的方程为3x＋4y＋7＝0，
所以两平行线之间的距离d＝＝2.
13. (1) 因为kBC＝＝，
所以边BC上的高所在直线l1的斜率为k＝－2.
又直线l1过点A(2，3)，
所以直线l1的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.
(2) 因为点A，B到直线l2的距离相等，
所以直线l2与AB平行或过线段AB的中点．
当直线l2与AB平行时，k＝kAB＝＝－1，且直线l2过点C(0，－1)，
所以直线l2的方程为y＋1＝－(x－0)，即x＋y＋1＝0；
当直线l2过线段AB的中点D(3，2)时，k＝＝1，
所以直线l2的方程为y＋1＝x－0，即x－y－1＝0.
综上，直线l2的方程为x＋y＋1＝0或x－y－1＝0.
1．5.2　点到直线的距离(2)
1. B　由点到直线的距离公式，得d＝＝2.
2. B　由题意，得PQ的最小值为点P到直线l的距离，所以PQmin＝＝.
3. C　设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋3＝0上，代入可得－x＋2y＋3＝0，即x－2y－3＝0.
4. C　设点A的对称点的坐标为(a，b)，则解得所以点A的对称点的坐标为(－4，－5).
5. D　因为点A(2，0)不在直线x＋2y－3＝0上，且直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(2，0)对称，所以直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0平行，即－＝－，解得a＝2.在直线x＋2y－3＝0上取一点P(1，1)，点P(1，1)关于点A(2，0)的对称点为Q(3，－1)，将点Q(3，－1)代入直线2x＋4y＋b＝0，解得b＝－2.
6. A　由折叠后点A(0，4)与点B(6，0)重合，得AB的中点为(3，2)，kAB＝－，所以点A，B的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴所在的直线方程为y－2＝(x－3)，即3x－2y－5＝0.联立解得即对称轴与y轴的交点为.又折叠后y轴与直线y＝kx＋b也正好重合，所以y轴与直线y＝kx＋b关于直线3x－2y－5＝0对称．因为点A在y轴上，所以点，B(6，0)都在直线y＝kx＋b上，则解得k＝.
7. ABD　对于A，当a＝1时，l1：x＋y＋2＝0，所以＋＝1，直线l1在两坐标轴上的截距都为－2，故A正确；对于B，当a＝1时，l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－2＝0，所以l1与l2平行，故B正确；对于C，l2：a×0＋(2－a)×0－2≠0，则l2不经过原点，故C错误；对于D，原点到直线l2的距离为d＝＝.令f(a)＝2a2－4a＋4，根据二次函数的性质可知，当a＝1时，f(a)有最小值f(1)＝2，所以原点到直线l2距离的最大值为d＝，故D正确．故选ABD.
8. ABD　对于A，m(x＋3)－y＋1＝0，令解得所以直线l过定点A(－3，1)，故A正确；对于B，直线l过定点A(－3，1)，当AP⊥l时，点P(1，－1)到直线l的距离最大，且最大距离为AP＝＝2，故B正确；对于C，直线l过定点A(－3，1)，不一定经过第四象限，故C错误；对于D，当m＝－1时，直线l：x＋y＋2＝0，设直线l关于直线x＋2y－3＝0对称的直线为l2，直线l2一定经过直线l和直线x＋2y－3＝0的交点，设为点P，由解得所以点P的坐标为(－7，5).在直线l上任取一点Q(－2，0)关于直线x＋2y－3＝0的对称点Q′(a，b)一定在直线l2上，所以解得a＝0，b＝4，所以点Q′(0，4)，P(－7，5)在直线l2上，所以＝，化简得x＋7y－28＝0，故D正确．故选ABD.
9. 2　因为kMN＝＝－1，所以＝1.又MN的中点为(－1，2)，则－a－2b＋3＝0，所以a＝b＝1，故a＋b＝2.
10. (0，5]　由题意可知AB＝＝5，又d表示l1与l2间的距离，则011. 　＋表示直线l：y＝x上的点P到点A(0，1)和点B(0，2)的距离之和，所以＋＝AP＋PB.设点 A(0，1)关于直线l的对称点为A′，则点A′(1，0)，故＋＝AP＋PB＝A′P＋BP≥A′B，当且仅当A′，P，B三点共线时，等号成立，故＋的最小值为A′B＝.
12. (1) 因为点B(－3，4)，C(0，6)，
所以边BC所在的直线方程为＝，
即2x－3y＋18＝0.
(2) 由题意，得B，C两点间的距离为BC＝＝，
点A到直线BC的距离d＝＝，
所以△ABC的面积为BC×d＝××＝15.
13. (1) 联立解得
所以点A的坐标为(2，1).
因为直线m过点A(2，1)，且在x轴上的截距为2，
所以直线m的方程为x＝2.
(2) 在直线l上任取一点(x，y)，
因为直线l1，l2关于直线l对称，
所以＝，即2x＋y－5＝±(x－2y)，
所以直线l的方程为x＋3y－5＝0或3x－y－5＝0.(共28张PPT)
第1章
直线与方程
1.5　平面上的距离
1.5.2　点到直线的距离(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式．
2．掌握点、直线关于点成中心对称(或关于直线成轴对称)的点、直线的求解方法．
3．能运用点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．
活 动 方 案
活动一　最值问题
　　　在y＝4x2的图象上求一点P，使得点P到直线y＝4x－5的距离最小，并求这个最小的距离．
1
数学中的最值问题，有两种常规解题途径：一是用代数的方法解决(转化为函数问题或利用基本不等式求最值)，二是用几何方法解决(借助几何性质解决).
C
活动二　对称问题
　　　求直线l1：x＋2y＋15＝0关于直线l：x＋y＋4＝0对称的直线l2 的方程．
【解析】 在直线l2上任取一点M(x，y).设点M关于直线x＋y＋4＝0的对称点为M′(x′，y′)，
因为点M′(x′，y′)在直线l1上，
所以－y－4＋2(－x－4)＋15＝0，即2x＋y－3＝0.
2
直线的对称问题，本质是点的对称问题．
【解析】 (1) 由直线l：x－y＋1＝0，
得直线l上的两点M(－1，0)，N(0，1).
设M，N两点关于点A(2，3)对称的点分别为 M′(5，6)，N′(4，5)，
所以直线l1的方程为y－6＝x－5，
即x－y＋1＝0.
　　　　　　已知点A(2，3)，直线l：x－y＋1＝0，求：
(1) 直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(2) 直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
活动三　平面几何中的证明问题
　　　建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
【解析】 设△ABC是等腰三角形，以底边AC所在直线为x轴，过顶点B且垂直于AC的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则C(－a，0).
3
用解析法解决平面几何中的问题，首先建立适当的直角坐标系，然后写出点的坐标和直线的方程，接着用直线中的有关知识解决，最后回到几何问题中去．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．已知直线l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为直线l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为 (　　)
C
1
2
3
4
5
2．(2025北京期中)如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 (　　)
【答案】A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3．(多选)(2025湖北月考)已知点P(2，3)与直线l：x－y＋2＝0，则下列说法中正确的是 (　　)
A．过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0
B．过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C．点P关于直线l的对称点的坐标为(1，4)
D．直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0
1
2
3
4
5
【答案】ACD
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4．(2025成都期中)直线3x－4y＋5＝0关于直线3x－4y－1＝0对称的直线的一般式方程为_______________．
3x－4y－7＝0
1
2
3
4
5
5．(2025安徽期中)
(1) 若经过点(2，1)的直线l在x轴上的截距为4，求直线l关于x轴对称的直线方程；
(2) 已知直线l1：(m＋4)x＋y－16＝0与直线l2：6x＋(m－1)y－16＝0平行，求l1与l2的距离．
【解析】 (1) 因为经过点(2，1)的直线l在x轴上的截距为4，
所以其斜率存在，且不为0，
即直线l在x轴上和在y轴上的截距均存在，且不为零，
所以直线l关于x轴对称的直线在x轴上和在y轴上的截距均存在，且不为零．
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching(共29张PPT)
第1章
直线与方程
1.5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．
2．掌握平面上连接两点的线段的中点坐标公式．
3．运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题．
活 动 方 案
活动一　探究平面上两点间的距离公式
复习巩固：回忆数轴上两点间的距离公式：
【解析】 在数轴上，对于坐标分别为x1和x2的两点P1和P2之间的距离是P1P2＝|x2－x1|.
问题1：在平面直角坐标系中，已知点P1(－1，3)，P2(3，－2)，则它们之间的距离是多少？能否转化为坐标轴上(或平行于坐标轴)的距离问题？
问题2：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离是多少？
思考1
当x1＝x2时，P1P2的值是多少？当y1＝y2时，P1P2的值是多少？原点O(0，0)与任意一点P(x，y)之间的距离OP的值是多少？
1
活动二　探究线段的中点坐标公式
问题3：在平面直角坐标系中，若两点P1(－5，－2)，P2(3，4)，则线段P1P2的中点坐标是什么？如何求得？
【解析】 (－1，1)
问题4：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点
是M(x0，y0)，则点M的坐标是________________．
思考2
思考3
已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)和
C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为_____________________．
　　　已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和中线AM所在直线的方程．
2
活动三　两点间的距离公式和中点坐标公式的应用
【解析】 如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).
因为M是BC的中点，
3
求解这类问题的一般步骤：
(1) 建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
(2) 根据距离公式进行有关代数运算；
(3) 把代数结果“翻译”成几何关系．
4
【解析】 (1) 设M(a，b)为所求直线上的任意一点，
其关于点(2，3)的对称点N的坐标为(4－a，6－b).
因为点N在直线l上，
故所求直线的方程为x－2y＋10＝0.
　　　　　　已知点M(－1，3)，N(6，2)，点P在x轴上，且使PM＋PN取最小值，求点P的坐标．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．已知三角形的三个顶点为A(3，－2)，B(3，4)，C(－5，4)，D为AC的中点，则BD的长为 (　　)
A．3　　　　B．5　　　　C．9　　　　D．25
B
1
2
3
4
5
2．(2025北京房山期中)已知△ABC，点A(0，4)，C(3，3)，AC＝BC，C＝90°，则点B的坐标是 (　　)
A．(2，0)　　　 B．(4，6)　　　
C．(2，0)或(4，6)　　　　 D．(2，0)或(6，4)
C
1
2
3
4
5
【答案】AC
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4．已知点A(－3，8)，B(2，2)，若P是x轴上的点，则PA＋PB的最小值为______．
1
2
3
4
5
5．在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
【解析】 设BC边所在直线为x轴，以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
设点A(b，c)，C(a，0)，则点B(－a，0).
因为AB2＝(a＋b)2＋c2，AC2＝(a－b)2＋c2，AD2＝b2＋c2，DC2＝a2，
所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)，
AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2，
所以AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
谢谢观看
Thank you for watching(共31张PPT)
第1章
直线与方程
1.5　平面上的距离
1.5.2　点到直线的距离(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．了解点到直线的距离公式的推导方法．
2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．
3．初步掌握用解析法研究几何问题．
活 动 方 案
活动一　探究点到直线距离的求法
问题1：如何求点P(－1，2)到直线x＝2的距离？点P(－1，2)到直线y＝1的距离？
【解析】 点P(－1，2)到直线x＝2的距离为3，到直线y＝1的距离为1.
问题2：已知点P(2，4)和直线l：5x＋4y－7＝0，你有几种方法求点P到直线l的距离？
思考1
从问题2中能得到求点到直线的距离的什么启示？
【解析】 运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决．
问题3：已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，求点P到直线l的距离．
【解析】 如图，过点P作PQ⊥l，垂足为Q.过点P分别作y轴、x轴的垂线，交l于点M(x1，y0)，N(x0，y2).　
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0，
活动二　通过简单运用加深对点到直线的距离公式的理解
　　　求点P(－1，2)到下列直线的距离：
(1) 2x＋y－10＝0；(2) y＝3x＋2；(3) 3x＝2；(4) y＝－1.
1
1．直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
2．当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
3．在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
　　　　　　　求点P(3，－2)到下列直线的距离：
方法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3) 因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1.
活动三　探究两条平行直线间的距离
　　　求两条平行直线x＋3y－4＝0和2x＋6y－9＝0之间的距离．
【解析】 在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，
2
思考2
如何求两条平行直线之间的距离？
【解析】 只要在其中一条直线上任意取一个点，求出该点到另一条直线的距离即可，从而将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离．
探究：任意两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离如何表示？
【解析】 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
解得m＝－5或m＝－35,
所以所求的直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
　　　　　　若直线l1与直线l2：3x－4y－20＝0平行且距离为3，求直线l1的方程．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于 (　　)
A．7　　　　B．5　　　　C．3　　　　D．2
【解析】 直线x＋2＝0，即x＝－2，为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到直线x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
A
1
2
3
4
5
2．(2025太原期中)直线x＋y＝0与直线x＋y＋2＝0之间的距离是 (　　)
C
1
2
3
4
5
3．(多选)(2025重庆期中)已知直线l：kx－2y－4k＋1＝0，则下列说法中正确的是 (　　)
A．当k＝2时，直线的倾斜角为135°
1
2
3
4
5
【答案】BC
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching1．5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式．
2. 掌握平面上连接两点的线段的中点坐标公式．
3. 运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题．
　活动一探究平面上两点间的距离公式　
复习巩固：回忆数轴上两点间的距离公式：
问题1：在平面直角坐标系中，已知点P1(－1，3)，P2(3，－2)，则它们之间的距离是多少？能否转化为坐标轴上(或平行于坐标轴)的距离问题？
问题2：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离是多少？
思考1
当x1＝x2时，P1P2的值是多少？当y1＝y2时，P1P2的值是多少？原点O(0，0)与任意一点P(x，y)之间的距离OP的值是多少？
例1已知点A(－1，2)，B(2，)，在 x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值．
活动二探究线段的中点坐标公式　　
问题3：在平面直角坐标系中，若两点P1(－5，－2)，P2(3，4)，则线段P1P2的中点坐标是什么？如何求得？
问题4：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则点M的坐标是____________．
思考2
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，其中求证：M为P1P2的中点．
思考3
已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)和C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为______________．
例2 已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和中线AM所在直线的方程.
活动三两点间的距离公式和中点坐标公式的应用　
例3 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，试建立适当的平面直角坐标系，求证：AM＝BC.
求解这类问题的一般步骤：
(1) 建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
(2) 根据距离公式进行有关代数运算；
(3) 把代数结果“翻译”成几何关系．
　已知点A(3，－1)，B(，)，C(3，4)，试判断△ABC的形状．
例4已知直线l：y＝x－1.
(1) 求直线l关于点(2，3)对称的直线方程；
(2) 求点P(3，4)关于直线l对称的点Q.
　已知点M(－1，3)，N(6，2)，点P在x轴上，且使PM＋PN取最小值，求点P的坐标．
1. 已知三角形的三个顶点为A(3，－2)，B(3，4)，C(－5，4)，D为AC的中点，则BD的长为(　　)
A. 3 B. 5 C. 9 D. 25
2. (2025北京房山期中)已知△ABC，点A(0，4)，C(3，3)，AC＝BC，C＝90°，则点B的坐标是(　　)
A. (2，0) B. (4，6) C. (2，0)或(4，6) D. (2，0)或(6，4)
3. (多选)(2025河南开学考试)在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上的一个动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的取值可以是(　　)
A. －1 B. 3 C. D. －2
4. 已知点A(－3，8)，B(2，2)，若P是x轴上的点，则PA＋PB的最小值为________．
5. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
1．5.2　点到直线的距离(1)
1. 了解点到直线的距离公式的推导方法．
2. 掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．
3. 初步掌握用解析法研究几何问题．
　活动一　探究点到直线距离的求法
问题1：如何求点P(－1，2)到直线x＝2的距离？点P(－1，2)到直线y＝1的距离？
问题2：已知点P(2，4)和直线l：5x＋4y－7＝0，你有几种方法求点P到直线l的距离？
思考1
从问题2中能得到求点到直线的距离的什么启示？
问题3：已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，求点P到直线l的距离．
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
活动二　通过简单运用加深对点到直线的距离公式的理解　
例1求点P(－1，2)到下列直线的距离：
(1) 2x＋y－10＝0；　　(2) y＝3x＋2；
(3) 3x＝2; (4) y＝－1.
1. 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
2. 当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
3. 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
　求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1) y＝x＋；
(2) y＝6；
(3) x＝4.
活动三　探究两条平行直线间的距离
例2 求两条平行直线x＋3y－4＝0和2x＋6y－9＝0之间的距离．
思考2
如何求两条平行直线之间的距离？
探究：任意两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离如何表示？
结论：对于任意两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d＝．(两条平行直线之间的距离公式的使用注意点：只有两条直线方程中x，y前面的系数相同时才能使用上面的公式)
　　　若直线l1与直线l2：3x－4y－20＝0平行且距离为3，求直线l1的方程．
1. 点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
2. (2025太原期中)直线x＋y＝0与直线x＋y＋2＝0之间的距离是(　　)
A. B. 1 C. D. 2
3. (多选)(2025重庆期中)已知直线l：kx－2y－4k＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当k＝2时，直线的倾斜角为135°
B. 当实数k变化时，直线l恒过点
C. 原点到直线l的距离最大值为
D. 当直线l与直线x＋2y－4＝0平行时，则两条直线的距离为1
4. (2025广州期中)已知实数x，y满足3x＋4y＝5，则的最小值为________．
5. (2025合肥期中)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1) 求实数a的值；
(2) 若点P，求点P到l1的距离与点P到l3的距离之比．
1．5.2　点到直线的距离(2)
1. 巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式．
2. 掌握点、直线关于点成中心对称(或关于直线成轴对称)的点、直线的求解方法．
3. 能运用点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．
　活动一　最值问题
例1在y＝4x2的图象上求一点P，使得点P到直线y＝4x－5的距离最小，并求这个最小的距离．
　　
数学中的最值问题，有两种常规解题途径：一是用代数的方法解决(转化为函数问题或利用基本不等式求最值)，二是用几何方法解决(借助几何性质解决).
　已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为 (　　)
A. 　　B. 　　C. 1　　D.
活动二对称问题　　
例2求直线l1：x＋2y＋15＝0关于直线l：x＋y＋4＝0对称的直线l2 的方程．
　
直线的对称问题，本质是点的对称问题．
　　　已知点A(2，3)，直线l：x－y＋1＝0，求：
(1) 直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(2) 直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
活动三平面几何中的证明问题　　
例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
用解析法解决平面几何中的问题，首先建立适当的直角坐标系，然后写出点的坐标和直线的方程，接着用直线中的有关知识解决，最后回到几何问题中去．
1. 已知直线l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为直线l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2. (2025北京期中)如图，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　)
A. 2
B. 6
C. 3
D. 2
3. (多选)(2025湖北月考)已知点P(2，3)与直线l：x－y＋2＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0
B. 过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C. 点P关于直线l的对称点的坐标为(1，4)
D. 直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0
4. (2025成都期中)直线3x－4y＋5＝0关于直线3x－4y－1＝0对称的直线的一般式方程为________．
5. (2025安徽期中)
(1) 若经过点(2，1)的直线l在x轴上的截距为4，求直线l关于x轴对称的直线方程；
(2) 已知直线l1：(m＋4)x＋y－16＝0与直线l2：6x＋(m－1)y－16＝0平行，求l1与l2的距离．
1．5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
【活动方案】
复习巩固：在数轴上，对于坐标分别为x1和x2的两点P1和P2之间的距离是P1P2＝|x2－x1|.
问题1：过点P1向x轴作垂线，过点P2向y轴作垂线，两条垂线交于点Q，则点Q的坐标为(－1，－2)，且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4.在Rt△P1QP2中，P1P＝QP＋QP＝52＋42＝41，故P1，P2两点之间的距离为.
问题2：P1P2＝
思考1：|y2－y1|　|x2－x1|　
例1　设P(x，0)，则PA＝，PB＝，因为PA＝PB，所以＝，解得x＝1，所以P(1，0)，所以PA＝＝2.
问题3：(－1，1)
问题4：(，)
思考2：因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，
所以＝(x0－x1，y0－y1)，
＝(x2－x0，y2－y0).
又因为所以＝(－x1，－y1)＝(，)，＝(x2－，y2－)＝(，)，
所以＝，即M为P1P2的中点．
思考3：(，)
例2　因为M是线段BC的中点，所以点M的坐标为(1，3).由两点间的距离公式，得AM＝2.
由两点式方程，得中线AM所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0.
例3　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).
因为M是BC的中点，
所以点M的坐标为(，).
由两点间的距离公式，得
AM＝＝，
BC＝，所以AM＝BC.
跟踪训练　由两点间的距离公式，得
AB＝＝，
AC＝＝5，
BC＝＝.
因为AB＝BC，且AC2＝AB2＋BC2＝25，
所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
例4　(1) 设M(a，b)为所求直线上的任意一点，
其关于点(2，3)的对称点N的坐标为(4－a，6－b).
因为点N在直线l上，
所以6－b＝(4－a)－1，即a－2b＋10＝0，
故所求直线的方程为x－2y＋10＝0.
(2) 设点Q的坐标为(x0，y0).
由题意，得PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上，
所以解得
所以点Q的坐标为(，－).
跟踪训练　点M(－1，3)关于x轴的对称点为M′(－1，－3)，连接M′N，则直线M′N与x轴的交点即为所求的点P.
直线M′N的方程为＝.
令y＝0，解得x＝，
所以点P的坐标为(，0).
【检测反馈】
1. B　由题意，得点D的坐标为(－1，1)，则BD＝＝5.
2. C　设点B的坐标为(x，y)，由题意，得解得或 所以点B的坐标为(2，0)或(4，6).
3. AC　设点P且x>0，则PA2＝(x－a)2＋＝x2＋－2a＋2a2＝－2a＋2a2－2，令t＝x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时，等号成立)，则PA2＝t2－2at＋2(a2－1)＝(t－a)2＋a2－2，且t≥2.由点P，A之间的最短距离为2，当a<2时，(PA2)min＝2－4a＋2a2＝8，则a2－2a－3＝0，可得a＝－1；当a≥2时，(PA2)min＝a2－2＝8，可得a＝.综上，a＝－1或a＝.故选AC.
4. 5　如图，作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B交x轴于点P，此时PA＋PB有最小值A1B.又点A1的坐标为(－3，－8)，所以A1B＝＝5.
5. 设BC边所在直线为x轴，以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
设点A(b，c)，C(a，0)，则点B(－a，0).
因为AB2＝(a＋b)2＋c2，AC2＝(a－b)2＋c2，AD2＝b2＋c2，DC2＝a2，
所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)，
AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2，
所以AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
1．5.2　点到直线的距离(1)
【活动方案】
问题1：点P(－1，2)到直线x＝2的距离为3，到直线y＝1的距离为1.
问题2: 如图，过点P作PE⊥l，垂足为E，则点P到直线l的距离就是线段PE的长．
方法一：通过求点E的坐标，用两点间距离公式求PE.
由PE⊥l，可知PE所在直线的斜率为，
所以PE所在直线的方程为y－4＝(x－2)，即4x－5y＋12＝0.
联立方程组解得垂足E的坐标为(－，).
由两点间距离公式，得点P到直线l的距离
PE＝＝.
方法二：通过构造三角形，利用面积关系求点P到直线l的距离．
如图，过点P分别作y轴、x轴的垂线，交直线l于点M，N，则点M(－，4)，N(2，－)，
则PM＝|－－2|＝，PN＝|－－4|＝.
由勾股定理，得MN＝＝＝.
由三角形面积公式可知
PE＝＝＝.
思考1：运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决．
问题3：如图，过点P作PQ⊥l，垂足为Q.过点P分别作y轴、x轴的垂线，交l于点M(x1，y0)，N(x0，y2).　
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0，
得x1＝，y2＝，
所以PM＝|x1－x0|＝，
PN＝|y2－y0|＝.
因为PQ是Rt△PMN斜边上的高，所以由三角形面积公式可知PQ＝＝＝，即点P到直线l的距离为.
例1　(1) d＝＝＝2.
(2) y＝3x＋2化为一般式为3x－y＋2＝0，
则d＝＝.
(3) 因为直线3x＝2平行于y轴，
所以d＝＝.
(4) d＝＝3.
跟踪训练　(1) 把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2) 方法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
方法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3) 因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1.
例2　在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，
所以d＝＝＝.　
思考2：只要在其中一条直线上任意取一个点，求出该点到另一条直线的距离即可，从而将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离．
探究：d＝
跟踪训练　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由题意，得＝3，
解得m＝－5或m＝－35,
所以所求的直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
【检测反馈】
1. A　直线x＋2＝0，即x＝－2，为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到直线x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2. C　由平行线间的距离公式，得d＝＝.
3. BC　 对于A，当k＝2时，直线方程为2x－2y－7＝0，则直线斜率为1，所以倾斜角为45°，故A错误；对于B，直线l的方程可化为k(x－4)＋1－2y＝0，则直线过定点，故B正确；对于C，因为直线l恒过点P，所以原点O到直线l的距离d≤OP＝＝，当且仅当l⊥OP时，等号成立，故C正确；对于D，因为直线l与直线x＋2y－4＝0平行，所以解得k＝－1，则直线l的方程为－x－2y＋5＝0，即x＋2y－5＝0，所以直线l与直线x＋2y－4＝0之间的距离为＝，故D错误．故选BC.
4. 1　 ＝即为(x，y)和(0，0)两点间的距离，所以的最小值为即为点(0，0)到直线3x＋4y＝5的距离，即d＝＝1，所以的最小值为1.
5. (1) 由直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0，得l2：2x－y－＝0.
因为l1与l2间的距离为，
所以＝＝，即＝，
又a>0，则a＋＝，解得a＝2.
(2) 由点P，且l1：2x－y＋2＝0，l3：x＋y－1＝0，
得点P到l1的距离为d1＝＝；
点P到l3的距离为d2＝＝，
所以点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
1．5.2　点到直线的距离(2)
【活动方案】
例1　设点P(a，4a2)，则点P到直线的距离为 d＝＝.当a＝，即点P的坐标为(，1)时，点P到直线y＝4x－5的距离最小，最小为.
跟踪训练　C　(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离d＝＝1.
例2　在直线l2上任取一点M(x，y).设点M关于直线x＋y＋4＝0的对称点为M′(x′，y′)，
则解得
因为点M′(x′，y′)在直线l1上，
所以－y－4＋2(－x－4)＋15＝0，即2x＋y－3＝0.
跟踪训练　(1) 由直线l：x－y＋1＝0，
得直线l上的两点M(－1，0)，N(0，1).
设M，N两点关于点A(2，3)对称的点分别为 M′(5，6)，N′(4，5)，
则M′，N′两点在直线l1上，所以直线l1的斜率为 ＝1，
所以直线l1的方程为y－6＝x－5，
即x－y＋1＝0.
(2) 联立解得
所以直线l与直线2x－y－3＝0的交点坐标为(4，5)，
在直线2x－y－3＝0上取点P(0，－3)，
设点P(0，－3)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为P′(m，n)，
则解得
所以P′(－4，1).
又直线l2过点(4，5)和点P′(－4，1)，
所以直线l2的斜率为＝，
所以直线l2的方程为y－5＝(x－4)，即x－2y＋6＝0.
例3　设△ABC是等腰三角形，以底边AC所在直线为x轴，过顶点B且垂直于AC的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则C(－a，0).
直线AB的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
直线BC的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
设底边AC上任意一点为P(x，0)(－a≤x≤a)，
则点P到直线AB的距离PE＝＝，
点P到直线BC的距离PF＝＝，
点A到直线BC的距离h＝＝，
所以PE＋PF＝＋＝＝h，故原命题得证．
【检测反馈】
1. C　因为(m＋1)2＋n2＝()2，所以(m＋1)2＋n2的最小值即为点P(m，n)与点(－1，0)的距离的平方的最小值．又点(－1，0)到直线l上动点P(m，n)的最小值，即为点(－1，0)到直线l的距离d＝＝，所以(m＋1)2＋n2的最小值为＝.
2. A　点P(2，0)关于y轴的对称点的坐标为(－2，0)，直线AB的方程为x＋y－4＝0，其斜率为－1.设点P(2，0)关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(m，n)，则解得m＝4，n＝2，即点P(2，0)关于直线x＋y－4＝0对称点的坐标为(4，2).因为点(－2，0)与(4，2)的距离为＝2，所以光线所经过的路程是2.
3. ACD　 对于A，设所求直线方程为x－y＋n＝0，则2－3＋n＝0，解得n＝1，所以过点P且直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0，故A正确；对于B，若截距都为0，则过点P(2，3)且经过坐原点的直线为y＝x，此时直线的斜率k＝，而kl＝1，k·kl＝≠－1，所以直线y＝x与直线l不垂直，故B错误；对于C，设点P关于直线l的对称点的坐标为(a，b)，则解得所以点P关于直线l的对称点的坐标为(1，4)，故C正确；对于D，因为点(－2，0)，(0，2)在直线l上，点(－2，0)关于点P(2，3)对称的点的坐标为(6，6)，点(0，2)关于点P(2，3)对称的点的坐标为(4，4)，则过点(6，6)和(4，4)的直线方程为y－4＝(x－4)，即x－y＝0，所以直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0，故D正确．故选ACD.
4. 3x－4y－7＝0　因为3x－4y＋5＝0，3x－4y－1＝0，显然两条直线平行，且它们的距离d＝＝，所以可设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，则＝＝，解得m＝－7或m＝5(舍去)，故所求直线的一般式方程为3x－4y－7＝0.
5. (1) 因为经过点(2，1)的直线l在x轴上的截距为4，
所以其斜率存在，且不为0，
即直线l在x轴上和在y轴上的截距均存在，且不为零，
所以直线l关于x轴对称的直线在x轴上和在y轴上的截距均存在，且不为零．
因为点(2，1)关于x轴对称的点的坐标为(2，－1)，
所以设直线l关于x轴对称的直线方程为＋＝1，
将点(2，－1)代入，得b＝－2，
所以直线l关于x轴对称的直线方程为＋＝1，即x－2y－4＝0.
(2) 由直线l1与l2平行，
得解得m＝－5，
所以直线l1：x－y＋16＝0，l2：x－y－＝0，所以l1与l2的距离d＝＝.

展开更多......

收起↑