资源简介

(共26张PPT)
第2章
圆与方程
2.1　圆的方程
2.1.3　圆的方程(3)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征．
2．能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题．
3．能灵活运用圆的几何性质简化运算．
活 动 方 案
活动一　求圆的方程
　　　求以点A(1，2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程．
1
【解析】 因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
　若将本题中的条件“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？
【解析】 若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
思考1
求圆的方程有哪些常用的方法？
【解析】 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
(1) 由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(2) 由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
　　　已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和点B(1，3)，求圆C的标准方程．
2
【解析】 根据题意，设圆心坐标为C(a，0)，半径为r，
则其标准方程为(x－a)2＋y2＝r2.
由于点A(－1，1)和点B(1，3)在圆C上，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
活动二　圆的定义的应用
　　　已知M(x，y)是线段AB的中点，点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，点B的坐标是(4，3)，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
【解析】 设点A的坐标是(x0，y0).
因为点B的坐标是(4，3)，且M是AB的中点，
所以x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
3
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
　　　　　　　本题能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？
思考2
求与圆有关的轨迹方程的常用方法有哪些？
【解析】 (1) 直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：
(2) 定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．
(3) 相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
活动三　圆的方程在实际问题中的应用
　　　苏州有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥)，如图是某圆拱索桥的示意图，经测得这个圆拱索桥的跨度AB＝100 m，拱高OP＝10 m，在建造圆拱桥时每隔5 m需用一根支柱支撑，求与OP相距30 m的支柱MN的高度．
4
【解析】 以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
根据题意可知，OA＝50，OP＝10，
所以A(－50，0)，P(0，10)，
设圆心为(0，a)，圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，
因为A(－50，0)，P(0，10)在圆拱所在圆上，
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．(2025深圳期中)已知圆C的方程x2＋y2＋2by＝0(b≠0)，则圆C的圆心坐标和半径分别为 (　　)
A．(0，b)，b　　　　 B．(0，－b)，b2　　　　
C．(0，－b)，|b|　　　　 D．(0，b)，|b|
【解析】 由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋b)2＝b2，故圆心为(0，－b)，半径为|b|.
C
1
2
3
4
5
2．(2025天津静海期中)已知M为圆O：x2＋y2＝4上的动点，点N(0，4)，P是线段MN的中点，则点P的轨迹方程为 (　　)
A．(x－2)2＋y2＝1　　　　 B．(x＋2)2＋y2＝1　　　　
C．x2＋(y－2)2＝1　　　　 D．x2＋(y＋2)2＝1
C
1
2
3
4
5
3．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的任一点，P为线段AB的中点．若点M满足MA2＋MO2＝58，则线段PM的长度可能为 (　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8
【解析】 设点P(x，y).因为P为线段AB的中点，所以点B(2x＋4，2y).将点B代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，得(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理，得点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝1.设点M(a，b)，则(a＋4)2＋b2＋a2＋b2＝58，所以(a＋2)2＋b2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值，所以3≤PM≤7.故选BC.
BC
1
2
3
4
5
4．如图1为某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度AB＝30m，拱高OP＝5m，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱A1P1的高度等于______m(精确到0.01m).若建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则圆拱所在圆的标准方程是___________________．
图1
图2
【答案】3.32　x2＋(y＋20)2＝625
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching(共26张PPT)
第2章
圆与方程
2.1　圆的方程
2.1.1　圆的方程(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．
2．能根据所给条件求圆的标准方程．
3．掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．
活 动 方 案
活动一　圆的标准方程的推导
问题1：圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么？各要素对圆有怎样的影响？
【解析】 定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点O为圆心，r为半径的圆的方程．
问题3：当圆心为C(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：
【解析】 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
思考1
圆上的点是否都适合这个方程？适合这个方程的坐标的点是否都在圆上？
【解析】 点M(x，y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r，即点M在圆心为A(a，b)，半径为r的圆上．
活动二　认识圆的标准方程
　　　分别说出下列圆的标准方程所表示的圆的圆心与半径：
(1) (x－2)2＋(y－3)2＝7；
1
(2) (x＋5)2＋(y＋4)2＝18；
(3) x2＋(y＋1)2＝3；
(4) x2＋y2＝144；
【解析】 圆心为点(0，0)，半径为12.
(5) (x－4)2＋y2＝4.
【解析】 圆心为点(4，0)，半径为2.
活动三　求圆的标准方程
【解析】 (1) x2＋y2＝36
(2) (x－3)2＋(y＋4)2＝5
(3) (x－2)2＋(y＋2)2＝41
(4) (x－1)2＋(y－2)2＝5
2
思考2
根据圆的标准方程，确定一个圆需要哪些独立的条件？
【解析】 确定一个圆需要圆的半径与圆心两个独立条件．
思考3
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有哪些？如何判断？
【解析】 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系及判断方法：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点M在圆外；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点M在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2活动四　圆的标准方程的实际应用
　　　已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
【解析】 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径 AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).
3
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，所以货车不能驶入这个隧道．
思考4
假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
【解析】 将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．(2025德阳期中)以M(4，1)为圆心，直径为4的圆的标准方程为 (　　)
A．(x－4)2＋(y－1)2＝16 B．(x＋4)2＋(y＋1)2＝16
C．(x－4)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋4)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 因为圆心为M(4，1)，直径为4，即半径为2，所以该圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝4.
C
1
2
3
4
5
2．(2025盐城期中)点P(m，2)与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8的位置关系为 (　　)
A．点在圆内　　　　 B．点在圆上
C．点在圆外　　　　 D．与m的值有关
【解析】 因为(m－1)2＋(2＋1)2＝(m－1)2＋9>8，所以点P(m，2)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8外．
C
1
2
3
4
5
3．(多选)(2025河南月考)已知圆M过点A(1，3)，B(－2，4)，且圆心M在x轴上，则下列说法中正确的是 (　　)
【答案】ABD
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4．(2025重庆期中)某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度AB＝24m，拱高OP＝8m.为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱A1B1，A2B2(将支柱A1B1，A2B2视为两条线段)，且OA1＝OA2＝5m，则支柱A1B1的高度为____m.
【答案】7
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5．求下列圆的标准方程．
(1) 已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，求以线段AB为直径的圆的方程；
(2) 求圆心在直线y＝－x上，且过两点A(2，0)，B(0，－4)的圆的方程．
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
1. 会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．
2. 能根据所给条件求圆的标准方程．
3. 掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．
活动一　圆的标准方程的推导　
问题1：圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么？各要素对圆有怎样的影响？
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点O为圆心，r为半径的圆的方程.
问题3：当圆心为C(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：
思考1
圆上的点是否都适合这个方程？适合这个方程的坐标的点是否都在圆上？
　活动二　认识圆的标准方程
例1分别说出下列圆的标准方程所表示的圆的圆心与半径：
(1) (x－2)2＋(y－3)2＝7；
(2) (x＋5)2＋(y＋4)2＝18；
(3) x2＋(y＋1)2＝3；
(4) x2＋y2＝144；
(5) (x－4)2＋y2＝4.
　活动三求圆的标准方程　
例2分别根据下列条件，求出圆的标准方程：
(1) 圆心在原点，半径为6；
(2) 圆心为点(3，－4)，半径为；
(3) 过点P(6，3)，圆心为C(2，－2)；
(4) 过原点，圆心为点(1，2).
思考2
根据圆的标准方程，确定一个圆需要哪些独立的条件？
思考3
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有哪些？如何判断？
　活动四圆的标准方程的实际应用
例3 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
思考4
假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
1. (2025德阳期中)以M(4，1)为圆心，直径为4的圆的标准方程为(　　)
A. (x－4)2＋(y－1)2＝16 B. (x＋4)2＋(y＋1)2＝16
C. (x－4)2＋(y－1)2＝4 D. (x＋4)2＋(y＋1)2＝4
2. (2025盐城期中)点P(m，2)与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8的位置关系为(　　)
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 与m的值有关
3. (多选)(2025河南月考)已知圆M过点A(1，3)，B(－2，4)，且圆心M在x轴上，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆心M的坐标为(－，0)
B. 圆M的标准方程为(x＋)2＋y2＝
C. 圆M与y轴的交点坐标为(0，±)
D. 圆M上一点到点(，0)距离的最大值为5＋
4. (2025重庆期中)某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度AB＝24m，拱高OP＝8m.为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱A1B1，A2B2(将支柱A1B1，A2B2视为两条线段)，且OA1＝OA2＝5m，则支柱A1B1的高度为________m.
5. 求下列圆的标准方程．
(1) 已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，求以线段AB为直径的圆的方程；
(2) 求圆心在直线y＝－x上，且过两点A(2，0)，B(0，－4)的圆的方程．
2．1.2　圆的方程(2)
1. 掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．
2. 利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式求解圆的方程．
活动一探究圆的一般方程　　
1. 圆的标准方程是什么？
思考1
将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？
(1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
2. 圆的一般方程：
思考3
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
活动二巩固圆的一般方程，并能由圆的一般方程确定圆心和半径　
例1 下列方程是否表示圆？若表示圆，写出圆心的坐标和半径．
(1) x2＋y2－4x＝0；
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
　活动三能根据已知条件求圆的方程　
例2　已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，求△ABC外接圆的方程．
思考4
(1) 根据圆的一般方程，确定一个圆需要几个独立条件？
(2) 用待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？
思考5
若圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？
活动四简单的轨迹方程的求法　
例3 已知点M(x，y)到两个定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
思考6
已知平面上两个定点A，B，动点M满足＝λ(λ>0)，则点M的轨迹是什么？建立适当的直角坐标系，写出其轨迹方程．
1. (2025广州期中)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)
A. (－1，3)，10 B. (－1，3)， C. (1，－3)， D. (1，－3)，10
2. (2025青岛期中)若点P(2，1)在圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0外，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－4，＋∞) B. (－∞，4)
C. (－4，0)∪(0，＋∞) D. (－∞，－4)
3. (多选)(2025郑州期中)已知方程x2＋y2－kx－3ky－1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该方程一定是圆的方程
B. 该方程一定能表示过坐标原点的圆
C. 若该方程表示圆，则圆心在定直线上
D. 若该方程表示圆，则圆上总存在两点到坐标原点的距离为1
4. 已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹方程是____________.
5. (2025张家口期中)已知△ABC的三个顶点为A(1，3)，B(－2，－3)，C(3，2).求：
(1) 边AB的中垂线所在直线l的一般式方程；
(2) △ABC的外接圆的标准方程．
2．1.3　圆的方程(3)
1. 掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征．
2. 能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题．
3. 能灵活运用圆的几何性质简化运算．
　活动一求圆的方程　
例1求以点A(1，2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程．
　若将本题中的条件“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？
思考1
求圆的方程有哪些常用的方法？
例2 已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和点B(1，3)，求圆C的标准方程．
活动二圆的定义的应用　
例3 已知M(x，y)是线段AB的中点，点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，点B的坐标是(4，3)，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
　本题能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？
思考2
求与圆有关的轨迹方程的常用方法有哪些？
　活动三圆的方程在实际问题中的应用
例4 苏州有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥)，如图是某圆拱索桥的示意图，经测得这个圆拱索桥的跨度AB＝100 m，拱高OP＝10 m，在建造圆拱桥时每隔5 m需用一根支柱支撑，求与OP相距30 m的支柱MN的高度．
1. (2025深圳期中)已知圆C的方程x2＋y2＋2by＝0(b≠0)，则圆C的圆心坐标和半径分别为(　　)
A. (0，b)，b B. (0，－b)，b2 C. (0，－b)，|b| D. (0，b)，|b|
2. (2025天津静海期中)已知M为圆O：x2＋y2＝4上的动点，点N(0，4)，P是线段MN的中点，则点P的轨迹方程为(　　)
A. (x－2)2＋y2＝1 B. (x＋2)2＋y2＝1 C. x2＋(y－2)2＝1 D. x2＋(y＋2)2＝1
3. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的任一点，P为线段AB的中点．若点M满足MA2＋MO2＝58，则线段PM的长度可能为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 如图1为某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度AB＝30m，拱高OP＝5m，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱A1P1的高度等于________m(精确到0.01m).若建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则圆拱所在圆的标准方程是______________．(参考数据：≈24.82，≈24.49，≈24.47，≈23.32，≈22.91)
图1 图2
5. (2025东莞月考)已知圆C经过点A(0，－1)，B(2，1)，且圆心在直线y＝x＋1上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 设点T(4，0)，P为圆C上的动点，点M满足＝2，求点M的轨迹方程．
2.1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
【活动方案】
问题1：定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2：以定点O为原点建立平面直角坐标系，设P(x，y)是圆上的任意一点．依题意，得OP＝r，将点P的坐标(x，y)代入，得＝r，化简，得x2＋y2＝r2.反过来，设(x0，y0)是方程x2＋y2＝r2的一组解，即x＋y＝r2，从而＝r，所以点P0(x0，y0)满足OP0＝r，即点P0在圆O上，故所求圆的方程为x2＋y2＝r2.
问题3：一般地，设P(x，y)是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r.
由两点间的距离公式，得
＝r，
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①
反过来，若点P1的坐标(x1，y1)是方程①的解，
则(x1－a)2＋(y1－b)2＝r2，
即＝r，
这说明点P1(x1，y1)在以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上．
结论：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
思考1：点M(x，y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r，即点M在圆心为A(a，b)，半径为r的圆上．
例1　(1) 圆心为点(2，3)，半径为.
(2) 圆心为点(－5，－4)，半径为3.
(3) 圆心为点(0，－1)，半径为.
(4) 圆心为点(0，0)，半径为12.
(5) 圆心为点(4，0)，半径为2.
例2　(1) x2＋y2＝36
(2) (x－3)2＋(y＋4)2＝5
(3) (x－2)2＋(y＋2)2＝41
(4) (x－1)2＋(y－2)2＝5
思考2：确定一个圆需要圆的半径与圆心两个独立条件．
思考3：点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系及判断方法：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点M在圆外；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点M在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2例3　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径 AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).
将x＝2.7代入，得y＝＝<3，
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，所以货车不能驶入这个隧道．
思考4：将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，
得a2＋y2＝16，解得y＝，
所以当货车的最大宽度为a m，且0【检测反馈】
1. C　因为圆心为M(4，1)，直径为4，即半径为2，所以该圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝4.
2. C　因为(m－1)2＋(2＋1)2＝(m－1)2＋9>8，所以点P(m，2)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8外．
3. ABD　设圆心M的坐标为M(m，0)，由AM2＝BM2，得(m－1)2＋9＝(m＋2)2＋16，解得m＝－，则圆心M的坐标为，故A正确； r2＝(m－1)2＋9＝，所以圆M的标准方程为＋y2＝，故B正确；令x＝0，得y＝±，所以圆M与y轴的交点坐标为，故C错误；圆心M到点的距离为＝5，则圆M上一点到点距离的最大值为5＋，故D正确．故选ABD.
4. 7　以O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设该圆弧所在圆的方程为圆M：x2＋(y＋b)2＝r2，将点P(0，8)和B(12，0)代入，得解得所以圆M：x2＋(y＋5)2＝169，当x＝－5时，y＝7或y＝－17，结合平面图知，支柱A1B1的高度为7 m.
5. (1) 由题意，得AB的中点坐标为(1，－3)，且AB＝＝，
所以以线段AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(2) 设圆心坐标为(m，－m)，圆的方程为(x－m)2＋(y＋m)2＝r2.
因为点A(2，0)，B(0，－4)在圆上，
所以解得
所以圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝10.
2．1.2　圆的方程(2)
【活动方案】
1. (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
思考1：将圆的标准方程展开，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，由此可见，圆的方程具有如下形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
思考2：由x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，得(x＋)2＋(y＋)2＝(D2＋E2－4F)，方程表示的不一定是圆．
(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个解，表示一个点(－，－).
(3) 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．
2. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
思考3：圆的标准方程的特点：可以直接看出圆的圆心和半径；
圆的一般方程的特点：若知道圆上三点坐标，则可直接得到圆的一般方程，即解出D，E，F，其中D2＋E2－4F>0，适用于方程参数的解答．
例1　(1) 因为(－4)2＋0－0＝16>0，所以方程x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2，0)，半径为2.
(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示一个圆．
(3) 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示一个圆．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0.因为(－2)2＋0－4×3＝－8<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示一个圆．
例2　方法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
由题意，得解得满足D2＋E2－4F>0，
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－5x－3y＋6＝0.
方法二：由题意，得直线AC的斜率kAC＝＝－，直线BC的斜率kBC＝＝2，
则kAC·kBC＝－1，即AC⊥BC，
所以△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，
所以半径r＝AB＝.
又线段AB的中点为，
所以△ABC外接圆的方程是＋＝，即x2＋y2－5x－3y＋6＝0.
思考4：(1) 确定一个圆需要3个不在一条直线上的点．
(2) 略
思考5：①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．
例3　依题意，得点M满足＝2.
由MA＝，MB＝，
得＝2，
化简整理，得x2＋y2－10x＋9＝0.　(*)
反过来，可以验证，当x，y满足(*)式时，
点M到点A，B的距离之比为2.
因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0.
由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，
所以满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆．
思考6：设定线段AB的长为2a，以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)，设M(x，y)，由＝λ，得＝λ，化简，得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋a2(1－λ2)＝0.当λ＝1时，点M的轨迹方程为x＝0，为A，B两点的垂直平分线；当λ>0时，且λ≠1时，配方得点M的轨迹方程为(x－a)2＋y2＝(·2a)2，所以点M的轨迹为圆，圆心为(·a，0)，半径为.
【检测反馈】
1. C　圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝10，故该圆的圆心为(1，－3)，半径为.
2. C　 因为方程x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0表示圆，所以a2＋4－4>0，解得a≠0.又点P(2，1)在圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0外，所以22＋1＋2a＋2＋1>0，解得a>－4.综上，实数a的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞).
3. ACD　对于A，由x2＋y2－kx－3ky－1＝0，得＋＝1＋，显然该方程表示圆心为，半径为的圆，故A正确；对于B，将点(0，0)代入圆的方程，得－1＝0，显然不成立，所以该圆不过坐标原点，故B错误；对于C，圆心始终在直线y＝3x上，故C正确；对于D，由x2＋y2－kx－3ky－1＝0，得x2＋y2－1－k(x＋3y)＝0，联立解得或所以该方程表示的圆恒过，两点．因为这两点到坐标原点的距离都为1，所以圆上总存在两点到坐标原点的距离为1，故D正确．故选ACD.
4. x2＋y2－x＋4＝0　设点M(x，y).由MA＝2MB，点A(－2，0)，B(2，0)，得＝2，整理，得3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0.
5. (1) 因为点A(1，3)，B(－2，－3)，
所以AB的中点坐标为，kAB＝＝2，
所以边AB的中垂线所在直线的斜率为－，
所以边AB的中垂线所在直线l的方程为y－0＝－，即直线l：2x＋4y＋1＝0.
(2) 因为点A(1，3)，C(3，2)，
所以kAC＝＝－.
又kACkAB＝－1，所以AC⊥AB，
所以△ABC为直角三角形，
故△ABC的外接圆的圆心O为BC的中点.
又半径r＝OA＝＝，
所以圆O的标准方程为＋＝.
2．1.3　圆的方程(3)
【活动方案】
例1　因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
跟踪训练　若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
思考1：求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
(1) 由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(2) 由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
例2　根据题意，设圆心坐标为C(a，0)，半径为r，
则其标准方程为(x－a)2＋y2＝r2.
由于点A(－1，1)和点B(1，3)在圆C上，
则有解得
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
例3　设点A的坐标是(x0，y0).
因为点B的坐标是(4，3)，且M是AB的中点，
所以x＝，y＝，
所以x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4.②
将①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得＋＝1，
所以x，y满足的关系式为＋＝1，
故满足条件的点M所构成的曲线是以点为圆心，1为半径的圆．
跟踪训练　由题意，可知圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心为P(－1，0)，半径为2.
取PB的中点N，其坐标为N(，).
因为M，N分别为AB，PB的中点，
所以MN∥PA，且MN＝PA＝1，
所以动点M的轨迹为以点N为圆心，1为半径的圆，故所求轨迹方程为(x－)2＋(y－)2＝1.
思考2：(1) 直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：
(2) 定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．
(3) 相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
例4　以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
根据题意可知，OA＝50，OP＝10，
所以A(－50，0)，P(0，10)，
设圆心为(0，a)，圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，
因为A(－50，0)，P(0，10)在圆拱所在圆上，
所以解得
即圆拱所在圆的方程为x2＋(y＋120)2＝16 900，
将x＝－30代入圆的方程，得(－30)2＋(y＋120)2＝16 900，解得y＝±40－120.
因为y>0，所以y＝40－120，
所以与OP相距30 m的支柱MN的高度为 (40－120)m.
【检测反馈】
1. C　由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋b)2＝b2，故圆心为(0，－b)，半径为.
2. C　设点P(x，y)，M(x0，y0).因为P为线段MN的中点，所以则即点M(2x，2y－4).又动点M在圆上，所以(2x)2＋(2y－4)2＝4，即x2＋(y－2)2＝1，故点P的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝1.
3. BC　设点P(x，y).因为P为线段AB的中点，所以点B(2x＋4，2y).将点B代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，得(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理，得点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝1.设点M(a，b)，则(a＋4)2＋b2＋a2＋b2＝58，所以(a＋2)2＋b2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值，所以3≤PM≤7.故选BC.
4. 3.32　x2＋(y＋20)2＝625　设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意，得圆心H在y轴上，如图，则HA2＝HO2＋AO2，即r2＝(r－5)2＋152，解得r＝25，HO＝20，则圆的标准方程为x2＋(y＋20)2＝252(y≥0).由题意设点P1(－9，y)，y>0，代入圆的方程得(－9)2＋(y＋20)2＝252，解得y＝－20≈23.32－20＝3.32，即P1(－9，3.32)，则A1P1≈3.32.
5. (1) 因为点A(0，－1)，B(2，1)，
所以kAB＝＝1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为－1.
又弦AB的中点坐标为(1，0)，
所以弦AB的垂直平分线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋1，
与直线y＝x＋1联立，解得x＝0，y＝1，
所以圆心C的坐标为(0，1)，所以圆的半径r＝AC＝2，
则圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝4.
(2) 设点M(x，y)，P(m，n)，
则＝(x－m，y－n)，＝(4－x，－y).
由＝2，
得解得
由点P在圆C上，得m2＋(n－1)2＝4，
所以(3x－8)2＋(3y－1)2＝4，
即＋＝，
故点M的轨迹方程为＋＝.2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝3的圆心和半径分别为(　　)
A. (－1，－1)，3 B. (－1，－1)，
C. (1，1)，3 D. (1，1)，
2 若点(a，0)在圆x2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，1) B. (－∞，1) C. [0，1) D. (1，＋∞)
3 (2025杭州一模)若圆C经过点A(1，1)，B(2，－2)，圆心在直线x－y＋1＝0上，则圆C的面积为　(　　)
A. 16π B. 25π C. 36π D. 49π
4 点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　　)
A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 无法判断
5 (2025天津静文高级中学月考)圆心坐标为C(－1，2)，且与x轴相切的圆的标准方程为(　　)
A. (x－1)2＋(y＋2)2＝1 B. (x－1)2＋(y＋2)2＝4
C. (x＋1)2＋(y－2)2＝1 D. (x＋1)2＋(y－2)2＝4
6 (2025合肥一中期中)在平面直角坐标系xOy中，点M(4，－2)到圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上点的最短距离是(　　)
A. 2－1 B. 4 C. 8 D. 2－1
二、 多项选择题
7 若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　)
A. x2＋y2＝5 B. (x－1)2＋y2＝5
C. x2＋(y＋1)2＝5 D. (x－1)2＋(y＋1)2＝5
8 (2025重庆育才中学月考)若有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题中正确的是(　　)
A. 所有圆Ck的半径均为2
B. 所有的圆Ck的圆心都在直线y＝x上
C. 当k＝2时，点(3，0)在圆Ck上
D. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
三、 填空题
9 已知点A(0，2)，B(4，4)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______________．
10 过点(－2，2)，(－4，0)，(－4，2)的圆的半径为________．
11 已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的标准方程为______________．
四、 解答题
12 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1) 经过点A(3，2)，B(2，)，圆心在x轴上；
(2) 经过直线2x＋y＋1＝0与x－2y＋3＝0的交点，圆心为C(－2，1).
13 (2025沧州期中)如图，已知某隧道的截面是一圆拱形，隧道内的路面宽为4 m，隧道的高为4 m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由. (参考数据：≈3.74)
2．1.2　圆的方程(2)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)
A. (－1，2)，3 B. (1，－2)，3
C. (－1，2)，9 D. (1，－2)，9
2 (2025唐山开滦一中期中)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A. a<－2或a> B. －23 过三点(0，0)，(4，0)，(4，－2)的圆的方程为(　　)
A. x2＋y2－2x－y＝0 B. x2＋y2＋4x－2y＝0
C. x2＋y2－2x＋y＝0 D. x2＋y2－4x＋2y＝0
4 已知圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，若圆O的半径小于8，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－7，13)
B. (－∞，－3)∪(9，＋∞)
C. (3－2，－3)∪(9，3＋2)
D. (－7，－3)∪(9，13)
5 (2025合肥六中期中)已知点A(－1，1)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－3，＋∞) B.
C. D.
6 关于圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0有四个命题：①点A(1，－3)在圆内；②点B(2，3)在圆上；③圆心为(－1，0)；④圆的半径为3. 若只有一个假命题，则该命题是(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二、 多项选择题
7 关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列说法中正确的是(　　)
A. 圆关于点(2，0)对称
B. 圆关于直线y＝0对称
C. 圆关于直线x＋3y－2＝0对称
D. 圆关于直线x－y＋2＝0对称
8 (2025淮南二中月考)关于x，y的方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0，下列说法中正确的是(　　)
A. 若方程表示圆，则实数m的取值范围为m<
B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线y＝1上
C. 若方程不表示任何图形，则－D. 若方程表示圆，且该圆与x轴的两个交点位于原点的两侧，则m<0
三、 填空题
9 (2025华东师大附中期中)已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则实数m＝__________．
10 已知点A(－3，0)，B(1，0)，平面内的动点P满足PA＝3PB，则点P的轨迹形成的图形面积是________．
11 若圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线x－by＋6＝0对称，则b＝________．
四、 解答题
12 已知平面内的动点M与两个定点A(－1，1)，B(－1，4)的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线Γ，求曲线Γ的方程，并说明其形状．
13 (2025中山桂山中学段考)设梯形ABCD的外接圆为圆M，已知AB∥CD，且点A(2，0)，B(0，2)，D(3，).求：
(1) 圆M的一般方程；
(2) 梯形ABCD的面积．
2．1.3　圆的方程(3)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 已知圆C的圆心在y轴上，且过A(3，1)，B(－3，5)两点，则圆C的方程为(　　)
A. x2＋(y－1)2＝17 B. x2＋(y－3)2＝17
C. x2＋(y＋1)2＝13 D. x2＋(y－3)2＝13
2 (2025青岛期中)圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(　　)
A. (x＋2)2＋(y－3)2＝5 B. (x＋2)2＋(y－3)2＝25
C. (x－2)2＋(y＋3)2＝5 D. (x－2)2＋(y＋3)2＝25
3 已知实数x，y满足x2＋y2－2x－8＝0，则x2＋y2的取值范围是(　　)
A. [4，10] B. [8，10] C. [4，16] D. [8，16]
4 (2025淮安涟水一中月考)若方程x2＋y2－4ax＋y＋a2＋a＋＝0表示圆，且圆心位于第四象限，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5 已知直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆(x－1)2＋(y－1)2＝2 026的圆心，则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
6 若P为圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0上任意一点，点Q(1，2)，则PQ的取值范围为(　　)
A. [2＋，＋∞) B. (0，2－]
C. [2－，2＋] D. (0，2＋]
二、 多项选择题
7 设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该圆的圆心为(a，b)
B. 该圆过原点
C. 该圆与x轴相交于两个不同的点
D. 该圆的半径为a2＋b2
8 (2025射阳陈洋中学期中)下列方程中，表示圆的是(　　)
A. x2＋y2－2x＋4y＋5＝0
B. x2＋y2＋6x－8y＋25＝0
C. x2＋y2－4x＋2y－4＝0
D. x2＋y2＋2y＝0
三、 填空题
9 过点M(－1，1)，且圆心与圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程是______________．
10 已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，且P是圆C上的任意一点，则AP的最小值是________．
11 如图，DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且＝，当点P在圆x2＋y2＝4上运动时，点M的轨迹方程为______________．
四、 解答题
12 (2025宿迁沭阳如东中学期中)已知圆心为C的圆经过点A(1，0)和B(－1，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1) 求圆心为C的圆的标准方程；
(2) 若线段PQ的端点Q的坐标是(4，3)，端点P在圆C上运动，求PQ的中点M的轨迹方程．
13 赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1 400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1) 求这座圆拱桥所在圆的方程；
(2) 若该景区游船的宽为10 m，水面以上的高为3 m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. (参考数据：≈1.732)
2．1　圆 的 方 程2.1.1　圆的方程(1)
1. B　(x＋1)2＋(y＋1)2＝3，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝()2，所以其圆心和半径分别为(－1，－1)，.
2. A　因为点(a，0)在圆x2＋y2＝1的内部，所以＜1，解得－1＜a＜1.
3. B　设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则解得所以圆C的面积为πr2＝25π.
4. A　因为(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>2，所以点P(m，3)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝2外．
5. D　由题意，得圆C的半径为2，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4.
6. A　由题意，得圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－2，2)，半径r＝1，所以所求的最短距离为CM－r＝－1＝2－1.
7. AD　因为圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，所以圆心在直线x＋y＝0上．设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5.故选AD.
8. AB　对于A，(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则r＝2，故A正确；对于B，由(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，得圆心为(k，k)，则圆心恒在直线y＝x上，故B正确；对于C，当k＝2时，(x－2)2＋(y－2)2＝4，将点(3，0)代入，不满足方程，故C错误；对于D，将点(2，2)代入，得(2－k)2＋(2－k)2＝4，即(2－k)2＝2，解得k＝2±，有两个解，故D错误．故选AB.
9. (x－2)2＋(y－3)2＝5　因为AB为直径，且点A(0，2)，B(4，4)，所以AB的中点为O(2，3)，所以圆心为O(2，3)，半径r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝5.
10. 　易知以A(－4，0)，B(－4，2)为端点构成的线段的中垂线方程为y＝1，以C(－2，2)，B(－4，2)为端点构成的线段的中垂线方程为x＝－3.如图，设圆心坐标为E(m，n)，显然E(m，n)为直线x＝－3与直线y＝1的交点，所以圆心的坐标为E(－3，1)，故圆的半径r＝EC＝＝.
11. (x－3)2＋(y－2)2＝13　直线AB的斜率k＝＝－1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1.又AB的中点为，所以直线m的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0.联立解得所以圆心坐标为C(3，2).又半径r＝CA＝，故所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.
12. (1) 设所求圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(r>0)，
因为圆经过点A(3，2)，B(2，)，
所以解得
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2) 联立解得
即交点的坐标为(－1，1)，
则圆的半径为＝1，
故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
13. 如图，以水平直线为x轴，隧道的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设截面圆拱形所在圆的圆心为M(0，m)，
由题意，得点A(2，0)，B(0，4)，
由MA＝MB，
得＝，解得m＝－，
所以半径r＝＝，
所以圆的标准方程为x2＋＝.
因为车辆只能在道路中心线一侧行驶，
所以当x＝2.5时，y＝±－.
因为－<3.5，
所以一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道．
2．1.2　圆的方程(2)
1. A　由方程x2＋y2＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，故圆心的坐标为(－1，2)，半径为3.
2. B　若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简，得3a2＋4a－4<0，解得－23. D　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0.
4. D　因为圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，所以圆O的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝m2－6m－27，则05. D　由圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0，可得(x＋1)2＋＝－m，所以－m>0，解得m<.又点A(－1，1)在圆外，所以(－1＋1)2＋>－m，解得m>－3.综上，实数m的取值范围是.
6. D　若②③正确，则解得F＝－17，所以圆的方程为(x＋1)2＋y2＝18.将点A(1，－3)代入方程，得(1＋1)2＋(－3)2＝13＜18，所以点A(1，－3)在圆内，故①正确，圆的半径为3，故④错误，符合题意；若③④正确，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝9，将点B(2，3)代入方程，得(2＋1)2＋32＝18≠9，所以点B(2，3)不在圆上，故②错误，将点A(1，－3)代入方程，得(1＋1)2＋(－3)2＝13＞9，所以点A(1，－3)在圆外，故①错误，不符合题意；其他四种命题组合①②，①④，②④，①③无法确定圆的方程，无法对剩余命题判断真伪．综上，④为假命题．
7. ABC　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标为(2，0).对于A，圆是关于圆心对称的，故A正确；对于B，圆关于直径所在直线对称，直线y＝0经过圆心，故B正确；对于C，直线x＋3y－2＝0经过圆心，故C正确；对于D，直线x－y＋2＝0不经过圆心，故D错误．故选ABC.
8. BD　关于x，y的方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1.对于A，若方程表示圆，则4m2－5m＋1>0，解得m<或m>1，故A错误；对于B，若方程表示圆，则所表示的圆的圆心(－2m，1)一定在直线y＝1上，故B正确；对于C，若方程不表示任何图形，则4m2－5m＋1<0，解得0且原点(0，0)在圆的内部，所以m<或m>1，且m<0，故m<0，故D正确．故选BD.
9. －3　因为圆的面积为πr2＝π，所以r2＝1.由x2＋y2－4x－m＝0，得(x－2)2＋y2＝4＋m，所以r2＝4＋m＝1，解得m＝－3.
10. 　设点P的坐标为(x0，y0).因为PA＝3PB，所以＝3，整理，得x＋y－3x0＝0，即＋y＝，所以点P的轨迹方程为＋y2＝，其轨迹为以点为圆心，为半径的圆，所以轨迹形成的图形面积为.
11. 　圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线x－by＋6＝0对称，则圆心在直线上．由x2＋y2＋4x－12y＋1＝0，得圆心为(－2，6)，所以－2－6b＋6＝0，解得b＝.
12. 设点M的坐标为(x，y).
由＝，得＝，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，
故曲线Γ是以(－1，0)为圆心，半径为2的圆．
13. (1) 设圆M的一般方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
由题意，得
解得D1＝－2，E1＝－2，F1＝0，
所以圆M的一般方程为x2＋y2－2x－2y＝0.
(2) 由(1)知圆M的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.
因为AB∥CD，所以kCD＝kAB＝＝－，
则直线CD的方程为y－＝－(x－3)，即x＋y－4＝0，
所以圆心M(1，)到直线CD的距离为d＝＝，
所以CD＝2＝2＝2.
易知AB＝＝4，且圆心M在直线AB上，
所以梯形ABCD的高h＝d＝，
故S梯形ABCD＝(AB＋CD)·h＝(4＋2)×＝3.
2．1.3　圆的方程(3)
1. D　圆C的圆心在y轴上，则可设圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为圆C过A(3，1)，B(－3，5)两点，所以解得故圆C的方程为x2＋(y－3)2＝13.
2. A　由题意，得圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝5的圆心坐标为C(2，－1)，半径为.设点C(2，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C′(m，n)，则解得由轴对称的性质得新圆的半径为，所以对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
3. C　将x2＋y2－2x－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，得圆的圆心为(1，0)，半径为3，实数x，y满足x2＋y2－2x－8＝0，可知x2＋y2的几何意义是圆上点到原点距离的平方，而圆心(1，0)到原点的距离为1，圆的半径为3，可知点(0，0)在圆内，可得圆上点到原点距离的取值范围为[2，4]，所以 x2＋y2的取值范围是[4，16].
4. A　由x2＋y2－4ax＋y＋a2＋a＋＝0，得(x－2a)2＋＝3a2－a－，所以圆心的坐标为，所以解得a>.
5. A　由题意，得圆心为(1，1)，因为直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆心，所以a＋b＝1，即 a＝1－b，所以a2＋b2＝(1－b)2＋b2＝2b2－2b＋1＝2＋，所以当b＝时，a2＋b2取得最小值.
6. C　将圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4，故圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.因为(1－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点Q(1，2)在圆的内部，且CQ＝＝，所以PQ的取值范围为[|r－CQ|，r＋CQ]，即PQ∈[2－，2＋].
7. BC　由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为，故A，D错误；因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，故B正确；在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中，令y＝0，得(x－a)2＋b2＝a2＋b2，即(x－a)2＝a2，得x＝2a或x＝0.因为a>0，所以该圆与x轴相交于两个不同的点，故C正确．故选BC.
8. CD　对于A，D＝－2，E＝4，F＝5，则D2＋E2－4F＝4＋16－20＝0，表示一个点，故A错误；对于B，D＝6，E＝－8，F＝25，则D2＋E2－4F＝36＋64－100＝0，表示一个点，故B错误；对于C，D＝－4，E＝2，F＝－4，则D2＋E2－4F＝16＋4＋16＝36，表示一个圆，其圆心为(2，－1)，半径为3，故C正确；对于D，D＝0，E＝2，F＝0，则D2＋E2－4F＝4，表示一个圆，其圆心为(0，－1)，半径为1，故D正确．故选CD.
9. (x－2)2＋(y＋3)2＝25　由圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝16，所以圆C的圆心坐标为C(2，－3).又CM＝＝5，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
10. 5　点A(8，－6)与圆C的圆心(0，0)的距离等于 ＝10，故AP的最小值是10－5＝5.
11. ＋＝1(y≠0)　设点M的坐标为(x，y)，点P(x0，y0)，且y0≠0，则由题意，得即因为点P在圆x2＋y2＝4上运动，所以x2＋＝4(y≠0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
12. (1) 设圆心的坐标为(t，t＋1)，
则(t－1)2＋(t＋1)2＝(t＋1)2＋(t＋3)2，解得t＝－1，
则圆心为(－1，0)，r2＝(t－1)2＋(t＋1)2＝4，
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2) 设线段PQ的中点M(x，y)，P(x1，y1)，
由题意知x1＝2x－4，y1＝2y－3.
因为点P在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
13. (1) 设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
因为该拱圆过点A(－8，0)，B(8，0)，C(0，4)，
所以解得
所以拱圆的一般方程为x2＋y2＋12y－64＝0，
即x2＋(y＋6)2＝100.
(2) 当x＝5时，52＋(y＋6)2＝100，
解得y＝5－6≈2.66<3，
所以该景区的游船不能从桥下通过．(共31张PPT)
第2章
圆与方程
2.1　圆的方程
2.1.2　圆的方程(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．
2．利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式求解圆的方程．
活 动 方 案
活动一　探究圆的一般方程
1．圆的标准方程是什么？
【解析】 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
思考1
将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？
【解析】 将圆的标准方程展开，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，由此可见，圆的方程具有如下形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？
(1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
【解析】 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．
2．圆的一般方程：
【解析】 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
思考3
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
【解析】 圆的标准方程的特点：可以直接看出圆的圆心和半径；
圆的一般方程的特点：若知道圆上三点坐标，则可直接得到圆的一般方程，即解出D，E，F，其中D2＋E2－4F>0，适用于方程参数的解答．
活动二　巩固圆的一般方程，并能由圆的一般方程确定圆心和半径
　　　下列方程是否表示圆？若表示圆，写出圆心的坐标和半径．
(1) x2＋y2－4x＝0；
【解析】 因为(－4)2＋0－0＝16>0，所以方程x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2，0)，半径为2.
1
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
【解析】 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示一个圆．
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
【解析】 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示一个圆．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
【解析】 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0.因为(－2)2＋0－4×3＝－8<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示一个圆．
活动三　能根据已知条件求圆的方程
　　　已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，求△ABC外接圆的方程．
【解析】 方法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
2
思考4
(1) 根据圆的一般方程，确定一个圆需要几个独立条件？
(2) 用待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？
【解析】 (1) 确定一个圆需要3个不在一条直线上的点．
(2) 略
【解析】 ①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．
思考5
若圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？
活动四　简单的轨迹方程的求法
　　　已知点M(x，y)到两个定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
3
反过来，可以验证，当x，y满足(*)式时，
点M到点A，B的距离之比为2.
因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0.
由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，
所以满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆．
思考6
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．(2025广州期中)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别为
(　　)
C
1
2
3
4
5
2．(2025青岛期中)若点P(2，1)在圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0外，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－4，＋∞)　　　　 B．(－∞，4)
C．(－4，0)∪(0，＋∞)　　　 D．(－∞，－4)
【解析】 因为方程x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0表示圆，所以a2＋4－4>0，解得a≠0.又点P(2，1)在圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0外，所以22＋1＋2a＋2＋1>0，解得a>－4.综上，实数a的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞).
C
1
2
3
4
5
3．(多选)(2025郑州期中)已知方程x2＋y2－kx－3ky－1＝0，则下列说法中正确的是 (　　)
A．该方程一定是圆的方程
B．该方程一定能表示过坐标原点的圆
C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上
D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到坐标原点的距离为1
1
2
3
4
5
【答案】ACD
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4．已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足MA＝2MB，则点M的
轨迹方程是____________________．
1
2
3
4
5
5．(2025张家口期中)已知△ABC的三个顶点为A(1，3)，B(－2，－3)，C(3，2).求：
(1) 边AB的中垂线所在直线l的一般式方程；
(2) △ABC的外接圆的标准方程．
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching

展开更多......

收起↑