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第2章
圆与方程
2.2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系．
2．依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标．
3．会求直线与圆相切的切线方程和切线长．
活 动 方 案
活动一　直线与圆位置关系的判断
思考1
直线与圆有几种位置关系？如何判断？
【解析】 直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交．
方法一：几何法
圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d方法二：方程法
将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系．若方程组无解，即直线与圆没有公共点，则直线与圆相离；若方程组只有一组解，即直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切；若方程组有两组不同的解，即直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交．
　　　求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．
1
　　　求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1) 相交；
(2) 相切；
(3) 相离．
2
活动二　求直线和圆相切的切线方程与切线长
　　　自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
【解析】 当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件；
当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.
因为直线与圆相切，
3
【解析】 当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝3，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
因为直线l与圆相切，
所以所求的直线方程为3x＋4y－13＝0.
综上，直线l的方程为x＝3或3x＋4y－13＝0.
在例3中，当点A的坐标为(3，1)时，求切线l的方程．
1
　　　　　　　在例3的条件下，求切线长．
2
思考2
过平面内一点P作圆的切线，有几条？
【解析】 当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．
思考3
设切线方程要注意什么？
【解析】 设切线方程时要注意斜率是否存在，切记切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
直线和圆相切的几何性质：
(1) d＝r；
(2) 圆心、切点、切线上一点构成直角三角形；
(3) 切线垂直于过切点的半径．
检 测 反 馈
1
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1．(2025赣州期中)直线l：x＋y＋4＝0与圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝7的位置关系是 (　　)
A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．无法确定
C
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A
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3．(多选)(2025深圳期中)已知圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4a的半径为2，则下列说法中正确的是 (　　　)
A．a＝1
B．点(1，4)在圆C的外部
C．直线y＝3与圆C相切
D．当直线mx＋y－2＝0平分圆C的周长时，m＝－1
【解析】 由半径为2，得4a＝4，解得a＝1，故A正确；圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，因为(1－1)2＋(4－1)2＝9>4，所以点(1，4)在圆C的外部，故B正确；因为圆心C(1，1)到直线y＝3的距离d＝2，所以直线y＝3与圆C相切，故C正确；当直线平分圆C的周长时，直线过圆心C，则m－1＝0，解得m＝1，故D错误．故选ABC.
ABC
1
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4．(2025南通期中)过点P(2，3)作圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的切线，则切线长为______．
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5．(2025福州期中)已知直线l：x－y＋1＝0和圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.
(1) 判断直线l与圆C的位置关系；
(2) 求过点(4，－1)且与圆C相切的直线方程．
(2) 若过点(4，－1)的直线斜率不存在，则其方程为x＝4，
此时圆心C(1，－2)到直线x＝4的距离为4－1＝3＝r，满足题意；
若过点(4，－1)且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
综上，过点(4，－1)且与圆C相切的直线方程为x＝4或 4x＋3y－13＝0．
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谢谢观看
Thank you for watching2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系．
2. 依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标．
3. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长．
　活动一直线与圆位置关系的判断　
思考1
直线与圆有几种位置关系？如何判断？
例1 求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．
例2 求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1) 相交；
(2) 相切；
(3) 相离．
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图示
几何法 d与r的大小 d>r d＝r d代数法 依据方程组 解的情况 Δ<0 方程组 无解 Δ＝0 方程组 仅有一组解 Δ>0 方程组有 两组不同的解
活动二求直线和圆相切的切线方程与切线长　　
例3自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
　在例3中，当点A的坐标为(3，1)时，求切线l的方程．
　在例3的条件下，求切线长．
思考2
过平面内一点P作圆的切线，有几条？
思考3
设切线方程要注意什么？
直线和圆相切的几何性质：
(1) d＝r；
(2) 圆心、切点、切线上一点构成直角三角形；
(3) 切线垂直于过切点的半径．
1. (2025赣州期中)直线l：x＋y＋4＝0与圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝7的位置关系是(　　)
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
2. (2025深圳期中)圆C：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)
A. x－y＋2＝0 B. x＋y－2＝0
C. x＋y－4＝0 D. x－y－4＝0
3. (多选)(2025深圳期中)已知圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4a的半径为2，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝1
B. 点(1，4)在圆C的外部
C. 直线y＝3与圆C相切
D. 当直线mx＋y－2＝0平分圆C的周长时，m＝－1
4. (2025南通期中)过点P(2，3)作圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的切线，则切线长为________．
5. (2025福州期中)已知直线l：x－y＋1＝0和圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.
(1) 判断直线l与圆C的位置关系；
(2) 求过点(4，－1)且与圆C相切的直线方程．
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
1. 解决直线与圆相切的综合问题．
2. 理解直线与圆相交的弦长问题．
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活动一直线与圆相切的综合问题　　
例1 已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
探究：已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置．
　　
1. 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2. 过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
例2　(2025龙岩期中)已知圆C：x2＋(y－3)2＝r2(r>0)和直线l：3x＋4y＋8＝0相切．
(1) 求r的值；
(2) 已知动点M在直线y＋5＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.记四边形MACB的面积为S，求S的最小值．
活动二直线与圆相交的综合问题　
例3求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
思考
如何求直线被圆截得的弦长？
　已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
　
　
直线和圆相交的几何性质：d例4 已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．
(1) 当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2) 当弦AB的长为4时，求直线l的方程．
1. (2025菏泽期中)以点(2，1)为圆心的圆截直线y＝x＋3所得弦长为2，则该圆的半径为(　　)
A. 2 B. C. 4 D. 2
2. 已知圆C：x2＋y2＝1，过圆C外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若∠APB＝120°，则AB的长为(　　)
A. B. 1 C. D.
3. (多选)(2025深圳期中)设直线l：x＋(a－2)y＋a＝0，圆C：x2＋y2＝9，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点(－2，－1)
B. 直线l被圆C截得的弦长最小值为4
C. 直线l的倾斜角不可能为
D. 当a>2时，直线l不经过第一象限
4. (2025大连期中)已知一个圆与y轴相切，其圆心在射线x－3y＝0(x≥0)上，且被直线y＝x截得的弦长为2，则此圆的标准方程为______________．
5. (2025张家界期中)已知圆C经过点A(2，－1)，B(0，5)，且圆心在直线x－y＋1＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 当直线l：y＝kx＋4截得圆C的弦长最短时，求实数k的值．
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
1. 综合运用直线与圆的位置关系解决复杂的问题．
2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用．
　活动一求圆的方程　
例1已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 求直线l：x－2y＋2＝0与圆C相交的弦长．
例2 已知圆C关于直线y＝x＋1对称，且(1，－1)，(4，2)两点在圆C上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 直线l经过点(3，1)，且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为，求直线l的方程．
活动二直线与圆位置关系的综合应用　
例3 已知圆C：x2＋y2－2y－2＝0，直线l：mx－y＋1＋m＝0，点P(－1，1).
(1) 判断直线l与圆C的位置关系，并证明；
(2) 设直线l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3) 在(2)的条件下，若＝2，求直线l的方程．
例4 (2025北京顺义期中)已知以A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的直线l与圆A相交于M，N两点，且MN＝2.
(1) 求圆A的标准方程；
(2) 求直线l的方程；
(3) P(x，y)为圆A上任意一点，求(x－2)2＋(y＋2)2的最小值．
1. (2025浙江期中)若直线ax＋by－10＝0与圆x2－4x＋y2－2y＝0相切于点(4，2)，则ab的值为(　　)
A. －4 B. －2 C. 2 D. 4
2. (2025重庆大足期中)已知圆x2＋y2＝2，直线l：y＝x＋1，则圆上到直线l的距离等于的点的个数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多选)已知实数x，y满足y＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 2x＋1的最小值为－5 B. x2＋y2的最大值为9
C. 的最大值为 D. 的最小值为－
4. (2025铜陵月考)若直线l：kx－y＋2k＝0与曲线C：＝y－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．
5. (2025常州期中)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l过点P(2，4).
(1) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2) 若直线l与圆C交于A，B两点，∠ACB＝90°，求直线l的方程．
2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
【活动方案】
思考1：直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交．
方法一：几何法
圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d方法二：方程法
将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系．若方程组无解，即直线与圆没有公共点，则直线与圆相离；若方程组只有一组解，即直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切；若方程组有两组不同的解，即直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交．
例1　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(10，0)，(，).
因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交．
例2　圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
(1) 若直线与圆相交，则d＜r，即＜2，
解得m＜－2或m＞2.
(2) 若直线与圆相切，则d＝r，即＝2，
解得m＝2或m＝－2.
(3) 若直线与圆相离，则d＞r，即＞2，
解得－2＜m＜2.
例3　当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件；
当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.
因为直线与圆相切，
所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径，
故＝1，
解得k＝0或k＝－，
故所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.
跟踪训练1　当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝3，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
因为直线l与圆相切，
所以＝1，解得k＝－，
所以所求的直线方程为3x＋4y－13＝0.
综上，直线l的方程为x＝3或3x＋4y－13＝0.
跟踪训练2　因为圆心C为(2，3)，
所以AC＝＝，
则切线长为＝＝3.
思考2：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．
思考3：设切线方程时要注意斜率是否存在，避免漏解
【检测反馈】
1. C　由圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝7，得圆心为M(1，－1)，半径r＝，则圆心M(1，－1)到直线l的距离d＝＝2>，即d>r，所以直线l与圆M的位置关系是相离．
2. A　圆C：x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以圆心为C(2，0).设过点P(1，)的切线为l，则l⊥PC，因为kPC＝＝－，所以 kl＝，所以直线l的方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0，所以切线方程为x－y＋2＝0.
3. ABC　 由半径为2，得4a＝4，解得a＝1，故A正确；圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，因为(1－1)2＋(4－1)2＝9>4，所以点(1，4)在圆C的外部，故B正确；因为圆心C(1，1)到直线y＝3的距离d＝2，所以直线y＝3与圆C相切，故C正确；当直线平分圆C的周长时，直线过圆心C，则m－1＝0，解得m＝1，故D错误．故选ABC.
4. 2　方程x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心为M(－1，－1)，半径r＝1，所以切线长为＝＝2.
5. (1) 由圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，
得圆心为C(1，－2)，半径r＝3，
则圆心C(1，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为d＝＝2所以直线l与圆C相交．
(2) 若过点(4，－1)的直线斜率不存在，则其方程为x＝4，
此时圆心C(1，－2)到直线x＝4的距离为4－1＝3＝r，满足题意；
若过点(4，－1)且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
此时圆心C(1，－2)到直线kx－y－4k－1＝0的距离为＝＝3，
解得k＝－，所以切线方程为4x＋3y－13＝0.
综上，过点(4，－1)且与圆C相切的直线方程为x＝4或 4x＋3y－13＝0.
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
【活动方案】
例1　当点M不在坐标轴上时，由x2＋y2＝r2，可知圆心为原点(0，0)，
所以直线OM的斜率k＝.
因为所求切线与直线OM垂直，
所以切线的斜率为－，
所以经过点M的切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝r2；
当点M在坐标轴上时，验证可知上面的方程同样适用．
综上，所求的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
探究：①当点M(x0，y0)在圆上时，即x＋y＝r2，
所以圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，故此时直线l与圆O相切．
②当点M(x0，y0)在圆外时，即x＋y>r2，
所以圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝例2　(1) 由题意，圆心C(0，3)到直线3x＋4y＋8＝0的距离d＝＝4，所以半径r＝4.
(2) 方法一：由(1) 知，圆C的方程为x2＋(y－3)2＝16，圆心为C(0，3)，r＝4.
由MA，MB是圆C的两条切线，得CA⊥MA，CB⊥MB.
设点M(t，－5)，
则MA＝MB＝＝＝，
所以S＝2S△ACM＝2×MA·AC＝4MA＝4≥16，
当且仅当t＝0时，等号成立，
所以S的最小值为16.
方法二：由题意，得S＝2S△ACM，
所以要求S的最小值，只需求S△ACM的最小值．
又S△AMC＝AC·AM，AM＝，
所以当MC最小时，S△ACM取得最小值．
当MC垂直于直线y＋5＝0时，MC最小，
此时MC＝8，所以AM＝＝4，
故Smin＝2S△ACM＝2××4×4＝16.
例3　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，
则OM⊥AB(O为坐标原点)，
所以OM＝＝，
所以AB＝2AM＝2＝2＝2.
思考：设直线l的方程为y＝kx＋b，圆C的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，弦长的求法有几何法和代数法．
①几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有()2＋d2＝r2，即AB＝2.
②代数法：如图2，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝＝|x1－x2|＝|y1－y2| (直线l的斜率k存在).
图1 图2
跟踪训练　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，将x＝－3代入圆方程，得y＝2或 y＝－6，所以截得的弦长为2－(－6)＝8，不符合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.
圆x2＋y2＋4y－21＝0化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝25，
所以圆心为(0，－2)，半径为5，
所以圆心到直线l的距离为＝.
因为直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，所以(2)2＋()2＝52，
解得k＝2或k＝－，
所以直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
综上，直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
例4　(1) 圆心坐标为(1，0)，k＝＝2，即y－0＝2(x－1)，整理得2x－y－2＝0.
(2) 圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，
即kx－y＋(2－2k)＝0，
则圆心到直线l的距离d＝＝1＝，
解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋2＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题意．
综上，直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.
【检测反馈】
1. B　由题意，得圆心(2，1)到直线y＝x＋3的距离d＝＝2，则圆的半径为r＝＝.
2. B　易知圆C的圆心坐标为C(0，0)，半径为1，连接AC，BC，PC，如图．由∠APB＝120°，得∠APC＝60°.又PA⊥AC，所以∠ACP＝∠BCP＝30°，即∠ACB＝60°.又AC＝BC＝1，所以△ABC为正三角形，所以AB＝1.
3. ABD　对于A，直线l：(x－2y)＋a(y＋1)＝0过定点A(－2，－1)，故A正确；对于B，点A在圆C：x2＋y2＝9内，而C(0，0)，圆C半径r＝3，CA＝，当CA⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最短为2＝4，故B正确；对于C，当a＝2时，直线l：x＝－2的倾斜角为，故C错误；对于D，当a>2时，直线l的横、纵截距分别为－a，－，都小于0，所以l不经过第一象限，故D正确．故选ABD.
4. (x－3)2＋(y－1)2＝9　 因为圆心在射线x－3y＝0(x≥0)上，所以可设圆心为(3b，b)，b≥0.又圆与y轴相切，所以圆的半径为r＝3b，b>0，所以圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝(3b)2.因为圆被直线y＝x截得弦长为2，所以＋7＝(3b)2，解得b2＝1.又b>0，所以b＝1，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
5. (1) 设圆心为C(a，a＋1)，
则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2(r为半径).
由题意，得
解得
即圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10.
(2) 已知直线l：y＝kx＋4过定点M(0，4)，圆心为C(1，2)，
又(0－1)2＋(4－2)2＝5<10，所以点M在圆内．
当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
又kCM＝＝－2，所以kCM·k＝－1，即k＝.
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
【活动方案】
例1　(1) 由题意设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4(a>0).
因为圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，
所以圆心C(a，0)到直线的距离d＝＝2，
解得a＝2或a＝－(舍去)，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2) 圆心C(2，0)到直线l：x－2y＋2＝0的距离
d1＝＝，
所以弦长为2＝.
例2　(1) 因为＝1，点(1，－1)和点(4，2)的中点为，
所以以两点(1，－1)，(4，2)为端点的线段的中垂线方程为y－＝－，
整理，得y＝－x＋3，
联立解得
所以圆心为C(1，2)，
所以半径r＝＝3，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.
(2) 因为△ABC的面积S＝AC·BC·sin ∠ACB＝sin ∠ACB＝，
所以sin ∠ACB＝1.
因为0<∠ACB<π，所以∠ACB＝，
所以圆心C到直线l的距离为.
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，
此时圆心C到直线l的距离为2，不符合题意，舍去；
若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
则圆心C到直线l的距离d＝＝，解得k＝1或k＝7，
所以直线l的方程为x－y－2＝0或7x－y－20＝0.
例3　(1) 因为直线l：mx－y＋1＋m＝0过定点(－1，1)，且(－1)2＋12－2×1－2＝－2<0，
所以点(－1，1)在圆C内，
所以直线l与圆C相交．
(2) 设点M(x，y)，当点M与点P不重合，即x≠－1时，连接CM，CP，则CM⊥MP，根据勾股定理得CM2＋MP2＝CP2，则x2＋(y－1)2＋(x＋1)2＋(y－1)2＝1，化简，得x2＋y2＋x－2y＋1＝0(x≠－1)；
当点M与点P重合时，x＝－1，y＝1也满足上式，
故弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＋x－2y＋1＝0.
(3) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝2，
所以－1－x1＝2(x2＋1)，
化简，得x1＝－3－2x2.①
又消去y并整理，得(1＋m2)x2＋2m2x＋m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，②
x1x2＝，③
由①②③，解得m＝±，
所以直线l的方程为x－y＋1＋＝0或x＋y＋－1＝0.
例4　(1) 因为以A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以圆A的半径r＝＝2，
故圆A的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2) 由题意可知，圆心A到直线l的距离d＝＝＝1.
①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝－2，此时圆心A(－1，2)到直线l的距离为1，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
则d＝＝＝1，解得k＝，
此时直线l的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(3) 记点E(2，－2)，则PE2＝(x－2)2＋(y＋2)2.
因为AE＝＝5>2，
所以点E在圆A外，如图，
所以当P为线段AE与圆A的交点时，PE取最小值，且PEmin＝AE－r＝5－2，
所以(x－2)2＋(y＋2)2的最小值为(5－2)2＝45－20.
【检测反馈】
1. C　因为切点(4，2)在直线上，所以4a＋2b－10＝0，即2a＋b－5＝0.因为圆心(2，1)与切点连线的斜率为k1＝＝，所以切线的斜率为－2，所以－＝－2，所以 a＝2b，所以4b＋b－5＝0，解得b＝1，a＝2，所以ab＝2.
2. B　 易知圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为，圆心(0，0)到直线l：y＝x＋1的距离d＝＝<，所以直线l与圆x2＋y2＝2相交，结合圆x2＋y2＝2的半径为，到直线l的距离为的直线有两条，可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于.
3. ABD　设点P(x，y)，由y＝，得点P在半圆C：(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)上．对于A，因为x∈[－3，－1]，所以当x＝－3时，2x＋1取得最小值－5，故A正确；对于B，设x2＋y2＝OP2，因为OPmax＝OC＋r＝3，所以x2＋y2的最大值为9，故B正确；对于C，D，设＝kOP，当OP过圆心C(－2，0)时，(kOP)max＝0，当OP与半圆相切时，(kOP)min＝－，故C错误，D正确．故选ABD.
4. 　 直线kx－y＋2k＝0可化为y＝k(x＋2)，所以直线过定点A(－2，0).曲线C：＝y－1可变形整理为x2＋(y－1)2＝1(y≥1)，设点B(－1，1).如图，设直线与半圆相切时的斜率为k2(k2>0)，直线过点B(－1，1)时的斜率为k1，由图可知，当直线kx－y＋2k＝0与曲线有两个不同交点时，斜率k满足k1≤k5. (1) 因为22＋42＝4＋16>4，所以点P(2，4)在圆C外．
当切线斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋4＝0.
因为直线与圆相切，
所以点C(0，0)到直线的距离为2，
即d＝＝2，解得k＝，
此时直线方程为3x－4y＋10＝0；
当直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时满足直线与圆相切．
综上，直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2.
(2) 因为∠ACB＝90°，且AC＝BC＝2，所以AB＝2，
则圆心C到直线l的距离为＝.
由题意易得直线l的斜率一定存在，
所以可设直线l的方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0.
由＝，解得k＝1或k＝7，
故直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y－10＝0.(共29张PPT)
第2章
圆与方程
2.2　直线与圆的位置关系
2.2.3　直线与圆的位置关系(3)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．综合运用直线与圆的位置关系解决复杂的问题．
2．体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用．
活 动 方 案
活动一　求圆的方程
　　　已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 求直线l：x－2y＋2＝0与圆C相交的弦长．
【解析】 (1) 由题意设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4(a>0).
因为圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，
1
　　　已知圆C关于直线y＝x＋1对称，且(1，－1)，(4，2)两点在圆C上．
(1) 求圆C的标准方程；
2
活动二　直线与圆位置关系的综合应用
　　　已知圆C：x2＋y2－2y－2＝0，直线l：mx－y＋1＋m＝0，点P(－1，1).
(1) 判断直线l与圆C的位置关系，并证明；
(2) 设直线l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
3
【解析】 (1) 因为直线l：mx－y＋1＋m＝0过定点(－1，1)，且(－1)2＋12－2×1－2＝－2<0，
所以点(－1，1)在圆C内，
所以直线l与圆C相交．
(2) 设点M(x，y)，当点M与点P不重合，即x≠－1时，连接CM，CP，则CM⊥MP，根据勾股定理得CM2＋MP2＝CP2，则x2＋(y－1)2＋(x＋1)2＋(y－1)2＝1，化简，得x2＋y2＋x－2y＋1＝0(x≠－1)；
当点M与点P重合时，x＝－1，y＝1也满足上式，
故弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＋x－2y＋1＝0.
(1) 求圆A的标准方程；
(2) 求直线l的方程；
(3) P(x，y)为圆A上任意一点，求(x－2)2＋(y＋2)2的最小值．
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检 测 反 馈
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1．(2025浙江期中)若直线ax＋by－10＝0与圆x2－4x＋y2－2y＝0相切于点(4，2)，则ab的值为 (　　)
A．－4　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．4
C
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B
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【答案】ABD
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5．(2025常州期中)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l过点P(2，4).
(1) 若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2) 若直线l与圆C交于A，B两点，∠ACB＝90°，求直线l的方程．
【解析】 (1) 因为22＋42＝4＋16>4，所以点P(2，4)在圆C外．
当切线斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋4＝0.
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第2章
圆与方程
2.2　直线与圆的位置关系
2.2.2　直线与圆的位置关系(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．解决直线与圆相切的综合问题．
2．理解直线与圆相交的弦长问题．
3．体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活 动 方 案
活动一　直线与圆相切的综合问题
　　　已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
1
探究：已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置．
1．过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
　　　(2025龙岩期中)已知圆C：x2＋(y－3)2＝r2(r>0)和直线l：3x＋4y＋8＝0相切．
(1) 求r的值；
(2) 已知动点M在直线y＋5＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.记四边形MACB的面积为S，求S的最小值．
2
(2) 方法一：由(1) 知，圆C的方程为x2＋(y－3)2＝16，圆心为C(0，3)，r＝4.
由MA，MB是圆C的两条切线，得CA⊥MA，CB⊥MB.
设点M(t，－5)，
方法二：由题意，得S＝2S△ACM，
所以要求S的最小值，只需求S△ACM的最小值．
活动二　直线与圆相交的综合问题
3
思考
如何求直线被圆截得的弦长？
【解析】 设直线l的方程为y＝kx＋b，圆C的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，弦长的求法有几何法和代数法．
图1
图2
【解析】 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，将x＝－3代入圆方程，得y＝2或 y＝－6，所以截得的弦长为2－(－6)＝8，不符合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.
圆x2＋y2＋4y－21＝0化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝25，
所以圆心为(0，－2)，半径为5，
直线和圆相交的几何性质：d　　　已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．
(1) 当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；
4
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题意．
综上，直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.
检 测 反 馈
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B
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2．已知圆C：x2＋y2＝1，过圆C外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若∠APB＝120°，则AB的长为 (　　)
B
【解析】 易知圆C的圆心坐标为C(0，0)，半径为1，连接AC，BC，PC，如图．由∠APB＝120°，得∠APC＝60°.又PA⊥AC，所以∠ACP＝∠BCP＝30°，即∠ACB＝60°.又AC＝BC＝1，所以△ABC为正三角形，所以AB＝1.
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3．(多选)(2025深圳期中)设直线l：x＋(a－2)y＋a＝0，圆C：x2＋y2＝9，则下列说法中正确的是 (　　)
A．直线l恒过定点(－2，－1)
B．直线l被圆C截得的弦长最小值为4
【答案】ABD
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(x－3)2＋(y－1)2＝9
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5．(2025张家界期中)已知圆C经过点A(2，－1)，B(0，5)，且圆心在直线x－y＋1＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 当直线l：y＝kx＋4截得圆C的弦长最短时，求实数k的值．
即圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10.
(2) 已知直线l：y＝kx＋4过定点M(0，4)，圆心为C(1，2)，
又(0－1)2＋(4－2)2＝5<10，所以点M在圆内．
当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
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谢谢观看
Thank you for watching2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 已知圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)与直线x－y＋2＝0相切，则r的值为(　　)
A. 2 B. C. 2 D. 3
2 (2025大兴期中)直线l：y＝x＋3与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A. 相切 B. 相交且l过圆心C
C. 相离 D. 相交且l不过圆心C
3 (2025淮安高中校协作体期中)过圆x2＋2x＋y2－4＝0上一点M(0，2)作圆的切线l，则切线l的方程为(　　)
A. x＋3y－6＝0 B. 2x＋y－2＝0
C. x＋2y－4＝0 D. x－2y＋4＝0
4 已知直线l：y＝kx＋b，圆O：x2＋y2＝2，则“|b|<”是“直线l与圆O相交”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5 (2025温州十校联合体期中)过圆x2＋y2＝4外一点P(0，4)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆半径是(　　)
A. 1 B. C. 2 D.
6 (2025渝北中学期中)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－2，－a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB的长为(　　)
A. B. C. 5 D.
二、 多项选择题
7 (2025通州中学月考)已知直线l：x＋y－＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C相离
B. 直线l与圆C相交
C. 圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D. 圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
8 (2025德州期中)已知直线l：ax＋by－r2＝0，圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若直线l与圆C相离，则点A在圆C内
B. 若直线l经过点A，则点A在圆C上
C. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相交
D. 若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为ax＋by－r2＝0
三、 填空题
9 与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10相切于点A(4，－1)的直线方程为______
__________．
10 (2025晋城期末)已知a，b，c为锐角三角形的三条边，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
11 直线ax＋y－a＝0(a∈R)与圆(x－2)2＋y2＝4的位置关系是________．
四、 解答题
12 已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1) 当m为何值时，曲线C表示圆？
(2) 若直线l：y＝x－m与圆C相切，求实数m的值．
13 已知点P(＋2，3－)，直线ax－y＋2＝0，圆C：x2＋y2－4x－6y＋7＝0.
(1) 过点P作圆C的切线l，求切线l的方程；
(2) 若在圆C上至少存在三个点到直线ax－y＋2＝0的距离为，求实数a的取值范围．
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
建议用时：40分钟　答案P18　评价：________
一、 单项选择题
1 已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＝0，若直线l过点(1，－1)且与圆C相切，则满足条件的直线l有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
2 (2025合肥一中期中)若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则a＋b的值为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3 (2025天津期中)已知直线l：x＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－4x－4y＋a＝0交于A，B两点，且AB＝4，则实数a的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. －2 D. －4
4 (2025连云港海头高级中学月考)已知直线y＝x－m与曲线y＝恰有两个公共点，则实数m的取值范围为(　　)
A. [0，－1) B. (1－，0] C. (1－，1) D. (－1，0]
5 过点A(3，1)的圆C与直线x－y＝0相切于点B(1，1)，则圆C的方程为(　　)
A. (x－2)2＋y2＝2 B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－3)2＋(y－4)2＝9 D. (x－3)2＋(y＋1)2＝8
6 (2025南通三模)已知直线l：mx＋y＋2m＝0与圆C：x2＋y2＋6x－2y＝0交于A，B两点，则S△ABC的最大值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
二、 多项选择题
7 (2025江北知易外国语学校月考)已知直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－4x－6y＝0截得的弦为AB，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆C的半径为5
B. 圆C的圆心为C(2，3)
C. 圆心C到直线l的距离为
D. AB＝
8 (2025永春一中期中)已知P，Q是圆O：x2＋y2＝5上的两个动点，A是直线l：x＋y－4＝0上的一定点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　　)
A. (1，3) B. (2，2) C. (3，1) D. (4，0)
三、 填空题
9 若P(1，1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．
10 若实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，x≠0，则的取值范围是________．
11 (2025东直门中学期中)过圆O：x2＋y2＝3外一点P(2，)作圆O的切线，切点分别为M，N，则MN＝________．
四、 解答题
12 (2025淄博实验中学、齐盛高中期中)已知圆C过点A(3，1)，B(0，－2)，且圆心在直线x－y－5＝0上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 若经过点P(2，0)的直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程．
13 (2025北京五中期中)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1.
(1) 若直线l：y＝kx＋2截圆C所得弦长为，求实数k的值；
(2) 若直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆C的周长四等分，求|a－b|的值．
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
建议用时：40分钟　答案P19　评价：________
一、 单项选择题
1 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－3，－1] B. [－1，3]
C. [－3，1] D. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)
2 以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3 B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3
C. (x＋2)2＋(y－1)2＝9 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝9
3 过点A(1，1)的直线l与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长MN的最小值为(　　)
A. B. 2 C. 1 D. 2
4 直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2(r>0)所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025东直门中学期中)直线l：(m＋1)x＋(2m＋1)y＝7m＋4与圆M：x2＋y2－6x－8y＝0的位置关系为(　　)
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
6 (2025广州十六中期中)过点(2，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为(　　)
A. － B. ± C. － D. －
二、 多项选择题
7 已知直线l：(m－1)x＋(2m－1)y－4m＋4＝0 和圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l恒过点(4，0)
B. 圆C被x轴截得的弦长为2
C. 当m＝时，直线l与圆C相切
D. 当8 (2025会泽实验高级中学期中)设圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，过点P(1，2)的直线l与圆C交于A，B两点，则下列结论中正确的是(　　)
A. P可能为AB的中点 B. AB的最小值为3
C. △ABC面积的最小值为 D. △ABC面积的最大值为
三、 填空题
9 (2025温州十校联合体期中)已知直线l：y＝kx－1与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，若弦AB的长度为4，则实数k的值为________．
10 已知P是圆C：(x＋3)2＋(y－2)2＝1上的一点，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为________．
11 已知直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
四、 解答题
12 (2025沈阳五校协作体期中)在平面直角坐标系xOy中，过点(－2，0)的直线l与圆M：(x－a)2＋y2＝9a2(a>0)交于A，B两点，AB＝4a.
(1) 若a＝2，求直线l的斜率；
(2) 若直线l的斜率为，求△OAB的面积．
13 (2025广州艺术学校期中)已知点E到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离的比为1∶2.
(1) 记点E的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2) 斜率为－1的直线l与曲线C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为直角，求直线l在y轴上的截距．
2．2　直线与圆的位置关系2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
1. D　圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2的圆心为(1，－3)，半径为r，则圆心到直线的距离d＝r＝＝3.
2. C　圆心C到直线l的距离d＝＝2>r＝2，所以直线l与圆C相离．
3. C　由题意，得圆心为C(－1，0)，所以kCM＝＝2.又kCM·kl＝－1，解得kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x－0)，化简得x＋2y－4＝0.
4. A　由题意，得圆O的圆心为(0，0)，半径为，直线l到圆心的距离d＝.若|b|<，则d＝≤|b|<，直线与圆相交，故充分性成立；当直线与圆相交时，d＝<，可得|b|<，不一定能推得|b|<，故必要性不成立．综上，“|b|<”是“直线l与圆O相交”的充分且不必要条件．
5. C　由题意，得圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2.因为PA，PB是圆的切线，所以PA⊥OA，PB⊥OB，所以以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆．又点P(0，4)，所以△ABP的外接圆的半径为OP＝×4＝2.
6. B　由题意，得圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9，则圆心C的坐标为(3，1)，半径r＝3.因为直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，所以直线l经过圆心(3，1)，则3＋a－1＝0，解得a＝－2，则点A(－2，2).又过点A(－2，2)作圆C的一条切线，切点为B，所以AB＝＝＝.
7. BD　由圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，得其圆心坐标为(1，－1)，半径为2，圆心(1，－1)到直线l：x＋y－＝0的距离d＝＝1<2，故B，D正确；A，C错误．故选BD.
8. ABD　对于A，若直线l与圆C相离，则>r，所以a2＋b2＝r，所以直线l与圆C相离，故C错误；对于D，若点A在圆C上，则a2＋b2＝r2，当a≠0且b≠0时，则kCA＝＝，则过点A的圆的切线斜率为－，切线方程为y－b＝－(x－a)，化简得ax＋by－r2＝0.当a＝0时，b＝±r，则过点A的圆的切线斜率为0，切线方程为y＝b，满足ax＋by－r2＝0.当b＝0时，a＝±r，则过点A的圆的切线斜率不存在，切线方程为x＝a，满足ax＋by－r2＝0.综上，若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为ax＋by－r2＝0，故D正确．故选ABD.
9. 3x＋y－11＝0　由圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，得C(1，－2)，则kAC＝＝，所以与圆C相切于点A的直线斜率k＝－3，所以切线方程为 y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
10. 相交　由题意，得a2＋b2－c2>0，则c<，圆x2＋y2＝1的圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝<1，所以直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交．
11. 相交　由ax＋y－a＝0，得y＝－a(x－1)，所以直线ax＋y－a＝0恒过定点(1，0).因为(1－2)2＋02<4，所以点(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，所以直线ax＋y－a＝0与圆(x－2)2＋y2＝4相交．
12. (1) 由曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m.
由5－m>0，得m<5，
所以当m<5时，曲线C表示圆．
(2) 圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
因为直线l：y＝x－m与圆C相切，
所以＝，
解得m＝±3，满足m<5，
所以m＝±3.
13. (1) 由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝6，则圆心为C(2，3)，半径r＝，
所以点P(＋2，3－)在圆C上．
又kPC＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(3－)＝x－(＋2)，
即x－y＋1－2＝0.
(2) 由题意，得圆心到直线的距离d＝≤，
所以5a2－8a－1≤0，
解得a∈.
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
1. B　由题意，得圆C的圆心为C(－1，1)，半径r＝，所以点(1，－1)到点(－1，1)的距离为＝2>r，所以点(1，－1)在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条．
2. D　由题意，得圆心(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，所以2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1.
3. A　由题意，得圆M的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8－a，则8－a>0，即a<8.又圆心为M(2，2)，半径r＝，则圆心M到直线l的距离d＝＝，所以r2＝d2＋＝2＋22＝8－a，解得 a＝2.
4. B　因为曲线y＝可化为(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，所以曲线y＝是以(1，0)为圆心，1为半径的圆在x轴上方的部分．当直线y＝x－m与曲线y＝相切时，＝1，解得m＝1±.结合图象可知0≤－m<－1＋，所以1－5. A　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以圆心为C(a，b)，半径为r.因为过点A(3，1)的圆C与直线x－y＝0相切于点B(1，1)，所以kBC＝＝－1，且(3－a)2＋(1－b)2＝r2，BC＝＝r，解得a＝2，b＝0，r2＝2，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝2.
6. B　由题意，得直线l：mx＋y＋2m＝0过定点P(－2，0)，圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝10，则圆心为C(－3，1)，CP＝.设点C到直线l的距离为d，则0≤d≤，所以S△ABC＝×2·d＝，当d＝时，(S△ABC)max＝＝4.
7. BC　由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，则圆心为C(2，3)，半径为，故A错误，B正确；圆心C(2，3)到直线l：3x－y－6＝0的距离为d＝＝，故C正确；由C知AB＝2＝，故D错误．故选BC.
8. AC　由圆心O(0，0)与直线l：x＋y－4＝0的距离d＝＝2>，得直线与圆相离，所以当直线上任意一定点A与圆上两动点P，Q所成角∠PAQ最大时，AP，AQ与圆相切．若∠PAQ的最大值为90°，则APOQ为正方形，此时OA＝，设点A(x，4－x)，所以x2＋(4－x)2＝10，整理得x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0，解得x＝1或x＝3，所以点A的坐标为(1，3)或(3，1).故选AC.
9. 2x－y－1＝0　由题意，得点C(3，0)，且PC⊥MN.又kPC＝＝－，所以kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，整理，得2x－y－1＝0.
10. (－∞，－]∪[，＋∞)　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1，所以点(x，y)表示以(0，2)为圆心，半径为1的圆上的点(不包含圆与y轴的交点)，表示点(x，y)与点(0，0)的斜率．如图，设直线y＝kx，则点(0，2)到直线kx－y＝0的距离d＝＝1，解得k＝±，所以的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).
11. 　如图，连接MN，OP，OM，ON.由题意，得圆O：x2＋y2＝3的圆心为O(0，0)，半径r＝OM＝，OM⊥PM.又OP＝＝，则PM＝＝2.由圆的对称性可知OP⊥MN，则OP·MN＝OM·PM，解得MN＝.
12. (1) 由题意，得kAB＝1，AB的中点为，
所以AB的垂直平分线的方程为y＋＝－，
即y＝－x＋1.
联立 解得
即圆心为C(3，－2)，半径r＝BC＝3，
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝9.
(2) 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，
所以圆心到直线的距离为d＝1，
所以直线l被圆C所截得的弦长为2＝4，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
当弦长为4时，圆心到直线的距离d＝＝1.
由点到直线的距离公式，
得d＝＝1，解得k＝－，
所以直线方程为3x＋4y－6＝0.
综上，直线l的方程为x＝2或3x＋4y－6＝0.
13. (1) 由题意，得圆心为C(1，0)，半径为1，
当弦长为时，弦心距为＝，
所以＝，解得k＝－1或k＝－7.
(2) 设直线y＝x＋a和圆C交于点E，F，直线y＝x＋b与圆C交于点M，N.
因为直线y＝x＋a和直线y＝x＋b将圆(x－1)2＋y2＝1的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，
如图，连接CE，CF，CM，CN，则∠ECF＝∠MCN＝，
所以△ECF为等腰直角三角形，
所以圆心C到直线y＝x＋a的距离为，
同理可得圆心C到直线y＝x＋b的距离为，
故直线y＝x＋a和直线y＝x＋b间的距离为，
所以＝，即|a－b|＝2.
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
1. C　(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a，0)，半径为.由题意，得≤，解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围为[－3，1].
2. D　圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
3. D　由圆的方程x2＋y2＝3，得圆心为O(0，0)，半径r＝，当OA垂直l时，MN最小，此时点O到直线l的距离d＝OA＝，所以MNmin＝2＝2＝2.
4. C　设劣弧的两个端点为A，B，圆心为O.由题意，得△OAB为正三角形，则圆心O到直线AB：x＋y－3＝0的距离为r，所以r＝，解得 r＝.
5. C　圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝25的圆心M的坐标为(3，4)，半径r＝5，直线l：m(x＋2y－7)＋(x＋y－4)＝0.联立解得即直线l过定点P0(1，3).因为P0M＝＝<5＝r，所以点P0(1，3)位于圆M的内部，故直线l与圆M相交．
6. A　由y＝，得y≥0，化简得x2＋y2＝4(y≥0)，所以曲线y＝是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分．如图，OA＝OB＝2，则S△AOB＝OA·OB sin ∠AOB＝2sin ∠AOB≤2，当且仅当∠AOB＝90°，即OA⊥OB时，等号成立，即△AOB的面积取得最大值，此时AB＝2，圆心O(0，0)到直线l的距离d＝＝.设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，所以d＝＝，解得k＝－.
7. ABC　对于A，由(m－1)x＋(2m－1)y－4m＋4＝0，得m(x＋2y－4)－x－y＋4＝0.联立解得所以直线l恒过点(4，0)，故A正确；对于B，在(x－2)2＋(y－1)2＝4中，令y＝0，解得x＝2±，所以圆C 被x轴截得的弦长为2，故B正确；对于C，当m＝时，直线l的方程为 x＝4，此时圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心(2，1)到直线x＝4的距离为2，与圆C的半径相等，所以直线l与圆C相切，故C正确；对于D，当圆心(2，1)到直线l的距离d＝＝<2时，直线l与圆C相交，解得m<或m>，故D错误．故选ABC.
8. AD　由(1－3)2＋(2－4)2＝8<9，得点P(1，2)在圆C内，则P可能为AB的中点，故A正确；由圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，得圆心为C(3，4)，半径r＝3，所以CP＝＝2，要使AB最小，只需CP⊥AB，此时ABmin＝2＝2，故B错误；在△ABC中，cos ∠ACB＝＝1－，又2≤AB<6，所以cos ∠ACB∈，且∠ACB∈(0，π).显然∠ACB可以取到，S△ABC＝AC·BC sin ∠ACB＝r2sin ∠ACB＝sin ∠ACB≤，故C错误，D正确．故选AD.
9. 1　由题意，得圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆 C的圆心为C(2，1)，半径为 2.由弦长公式，得AB＝2，其中d为圆心C到直线l的距离．将AB＝4，r＝2代入，得4＝2，解得d＝0，所以直线l：y＝kx－1通过圆心C (2，1)，即1＝k×2－1，解得k＝1.
10. 3＋1　由题意知，直线过定点(0，－1)，所以圆心(－3，2)到定点的距离为＝3，所以点P到直线y＝kx－1距离的最大值为3＋1.
11. 4±　圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±.
12. (1) 当直线l的斜率为0时，AB＝6a>4a，不符合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my－2，
则点M到直线l的距离d＝＝a.
又d＝＝a，a＝2，即＝2，解得m＝±，
所以直线l的斜率k＝±.
(2) 由题意，得m＝2，则l：x－2y＋2＝0，
此时点M到直线l的距离d＝＝(a＋2)＝a，解得a＝1.
又点O到直线l的距离h＝＝，AB＝4，
所以△OAB的面积S＝AB·h＝×4×＝.
13. (1) 设点E的坐标为(x，y)，则＝，
即＝，整理，得3x2＋3y2－12＝0，
所以曲线C的方程是x2＋y2＝4.
(2) 设直线l的方程为y＝－x＋m，
由题意，得△POQ为等腰直角三角形，PQ＝2，
则圆心到直线l的距离d＝＝PQ＝，
解得m＝±2，
所以直线l在y轴上的截距为±2.

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