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(共34张PPT)
第2章
圆与方程
2.4　圆的综合应用
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．理解圆的方程，掌握圆的几何性质的应用．
2．理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用．
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
活 动 方 案
活动一　与圆有关的最值问题
　　　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求：
1
(2) y－x的最大值和最小值；
(3) x2＋y2的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
　　　　　　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上的任意一点．求：
　　　若P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为____．
2
8
求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题．
活动二　直线与圆的方程的实际应用
　　　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知
圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2).
(1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两
点，MN＝AB，求直线l的方程；
(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
3
【解析】 (1) 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心C(2，0)，半径为2.
因为l∥AB，点A(－1，0)，B(1，2)，
故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.
(2) 假设圆C上存在点P，
设点P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，
PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简，得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，
所以存在点P，点P的个数为2.
隐形圆
1．利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆．
【答案】A
活动三　过交点的圆系方程
　　　求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程．
【解析】 设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
所以圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
所以圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.
由题意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2，
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
4
圆系方程
(1) 以点(a，b)为圆心的同心圆圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；
(2) 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0；
(3) 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(4) 过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)，特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程；两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
　　　　　　经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是_________________．
检 测 反 馈
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B
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2．(2025咸阳期中)已知圆C：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＋b＝0的距离等于1的点恰有两个，则实数b的取值范围是 (　　)
D
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【答案】ABD
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5．(2025深圳期中)已知圆C1：x2＋2x＋y2＝0与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋16＝0，动点P向两个圆所引的切线长相等，求PC2－PC1的最大值．
【解析】 圆C1：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，
圆心为C1(－1，0)，半径r1＝1.
圆C2：x2＋y2－6x－8y＋16＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝9，
圆心为C2(3，4)，半径r2＝3.
如图，设动点P的坐标为(x，y)，过点P与圆C1，C2相切的切点分别为A，B.
因为动点P向两个圆所引的切线长相等，
所以PA＝PB，则PA2＝PB2.
在Rt△PAC1和Rt△PBC2中，
即(x＋1)2＋y2－1＝(x－3)2＋(y－4)2－9，
整理，得x＋y－2＝0，
即动点P的轨迹为直线l：x＋y－2＝0.
1
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5
设点C1关于直线l的对称点为C′，则PC1＝PC′.
又kC1C2＝1，所以l⊥C1C2，所以点C′在直线C1C2上，
所以当P，C′，C2三点共线时，PC2－PC1＝PC2－PC′取得最大值C′C2.
1
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谢谢观看
Thank you for watching2．4　圆的综合应用
一、 单项选择题
1 (2025镇江月考)若直线l：ax－by＋9＝0与圆O：x2＋y2＝9相交，则点P(a，b)与圆O的位置关系是(　　)
A. 与圆O的位置关系不确定 B. 在圆O内
C. 在圆O上 D. 在圆O外
2 已知圆O1和圆O2都和 x轴正半轴相切，且圆心都在直线y＝x上，半径之差为4，则O1O2的值为(　　)
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
3 (2025连云港新海高级中学学情调研)已知直线l：(m－2)x＋y－2m＋1＝0，圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长MN的最小值为(　　)
A. 2 B. C. D. 2
4 方程|x|－2＝所表示的图形是(　　)
A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 两个圆 D. 两个半圆
5 在平面直角坐标系中，与点A(1，－2)距离为1，且与点B(－2，2)距离为2的直线共有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6 (2025佛山月考)已知直线l1：mx＋(m＋1)y－1＝0过定点A，l2：(m＋1)x－my＋3m－2＝0过定点B，l1与l2交于点P(异于A，B两点)，则△ABP的面积的最大值是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2025番禺中学期中)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 两个圆的公切线有2条
B. 直线C1C2的方程为4x＋3y＝0
C. 线段C1C2的长为5
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
8 已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆C的半径为2
B. 的最大值为2＋
C. x＋y＋2x0＋3的最小值为16－
D. x0＋y0的最大值为6
三、 填空题
9 过圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________________________________________________．
10 (2025唐山期中)已知圆C：x2＋y2－2x－4y－11＝0和点A(3，0)，直线l过点A与圆交于P，Q两点. 若以PQ为直径的圆的面积最大，则直线l的方程为____________．
11 (2025宿迁中学期中)已知M为直线x－y－2＝0上的动点，过点M作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则点P(0，1)到直线AB的距离的最大值为________．
四、 解答题
12 已知△ABC的顶点分别为A(－2，3)，B(4，－5)，C(1，4).
(1) 求△ABC外接圆的方程；
(2) 直线l：3x－4y＋28＝0上有一动点P，过点P作△ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ的最小值，并求此时点P的坐标．
13 已知直线l：x＋y＋4＝0，圆C1：(x－1)2＋y2＝2，圆C2：(x－4)2＋(y－a)2＝8.
(1) 圆C1与y轴交于A，B两点，求弦AB的长；
(2) 若圆C1与C2外切，求实数a的值；
(3) 若直线l与两坐标轴交于P，Q两点，点E在圆C1上，求△EPQ面积的取值范围．
2．4　圆的综合应用
1. D　由圆O：x2＋y2＝9，得圆心为(0，0)，半径r＝3.因为直线l：ax－by＋9＝0与圆O：x2＋y2＝9相交，所以<3，即>3，所以点P(a，b)在圆O外．
2. A　设圆O1和圆O2的半径分别为r1，r2(r1＜r2)，则 r2－r1＝4.因为圆O1和圆O2都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线y＝x上，所以O1O2＝(r2－r1)＝4.
3. D　由题意，得直线l：(m－2)x＋y－2m＋1＝0的方程可化为(x－2)m＋y－2x＋1＝0，令得所以直线l过定点(2，3).又圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，圆心为(3，2)，半径为3，所以(2－3)2＋(3－2)2＝2<9，即定点(2，3)在圆C内．要使MN最小，则定点与圆心的连线与l垂直．又定点(2，3)与圆心(3，2)的距离d＝，所以此时MN＝2×＝2.
4. D　当x≥0时，方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，表示以(2，1)为圆心，半径为1的圆的右半圆，同理可得，当x＜0时，方程表示以(－2，1)为圆心，半径为1的圆的左半圆，故方程|x|－2＝所表示的图形是两个半圆．
5. D　与点A(1，－2)距离为1的直线可看作以A(1，－2)为圆心，1为半径的圆的切线， 同理与点B(－2，2)距离为2的直线可看作以B(－2，2)为圆心，2为半径的圆的切线，所以所求直线为两圆的公切线．又AB＝＝5>1＋2，所以两圆的位置关系为外离，所以公切线有4条．
6. D　直线l1变形为m(x＋y)＋y－1＝0，所以直线l1过定点A(－1，1).直线l2变形为m(x－y＋3)＋x－2＝0，所以直线l2过定点B(2，5).当m＝0时，l1：y－1＝0，l2：x－2＝0，此时l1⊥l2；当m＝－1时，l1：x＋1＝0，l2：y－5＝0，此时l1⊥l2；当m≠0且m≠－1时，两直线的斜率乘积－·＝－1，此时l1⊥l2.由直径所对的圆周角为90°知，点P在以线段AB为直径的圆上(不含A，B两点)，所以点P到线段AB的距离即为△ABP的高，设为h，易知h≤.因为AB＝＝5，所以h≤，所以S△ABP＝AB·h≤×5×＝，即△ABP的面积的最大值是.
7. BC　由题意，得圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝＝1.对于B，直线C1C2的方程为4x＋3y＝0，故B正确；对于C，C1C2＝＝5，故C正确；对于A，C1C2>r1＋r2＝2，所以两圆相离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误；对于D，两圆相离，不存在公共弦，故D错误．故选BC.
8. BD　对于A，由x2＋y2－4x－4y＋6＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝2，所以该圆的半径为，故A错误；对于B，因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，所以x＋y－4x0－4y0＋6＝0.设＝k，则y0＝kx0，代入x＋y－4x0－4y0＋6＝0中，化简，得(1＋k2)x－4(1＋k)x0＋6＝0.因为该方程有实根，所以Δ＝[4(1＋k)]2－24×(1＋k2)≥0，即k2－4k＋1≤0，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，故B正确；对于C，由B可知x＋y－4x0－4y0＋6＝0，则x＋y＋2x0＋3＝4x0＋4y0－6＋2x0＋3＝6x0＋4y0－3.由A可知(x－2)2＋(y－2)2＝2，则因为点P(x0，y0)在圆上，所以所以x＋y＋2x0＋3＝6(2＋cos θ)＋4(2＋sin θ)－3＝6cos θ＋4sin θ＋17＝2sin (θ＋φ)＋17，其中tan φ＝，显然x＋y＋2x0＋3的最小值为17－2，故C错误；对于D，由B可知x＋y－4x0－4y0＋6＝0，令x0＋y0＝t，则y0＝t－x0，代入x＋y－4x0－4y0＋6＝0中，化简，得2x－2tx0＋t2－4t＋6＝0.因为该方程有实根，所以Δ＝4t2－8(t2－4t＋6)≥0，解得2≤t≤6，所以x0＋y0的最大值为6，故D正确．故选BD.
9. x2＋y2－x＋y＋2＝0　设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0.将点(3，1)代入，得λ＝－，所以所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
10. x＋y－3＝0　因为以PQ为直径的圆的面积最大，所以直线l过圆心C(1，2)，则kl＝＝－1，所以直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
11. 　设点M(t，t－2).又△OAM和△OBM均为直角三角形，所以O，A，M，B四点在一个圆上，圆心为OM的中点，直径为OM＝，所以方程为＋＝[t2＋(t－2)2]，即x2＋y2－tx－(t－2)y＝0，与x2＋y2＝1相减，得直线AB的方程为1－tx－(t－2)y＝0，即1＋2y－t(x＋y)＝0.联立得所以直线AB恒过定点N.根据平面几何知识可知，当PN⊥AB时，点P(0，1)到直线AB的距离最大，最大距离为PN＝＝.
12. (1) 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由△ABC的顶点分别为A(－2，3)，B(4，－5)，C(1，4)，
得解得
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
(2) △ABC外接圆(x－1)2＋(y＋1)2＝25的圆心为M(1，－1)，半径R＝5.
因为PQ＝＝，
所以要使PQ最小，则只需PM最小．
当PM⊥l时，PM最小，
所以PMmin＝＝7，
所以PQmin＝＝2.
设点P(x，y)，则
解得即点P.
13. (1) 在圆C1中，令x＝0，得y＝±1，
不妨设点A(0，1)，B(0，－1)，
所以AB＝2.
(2) 由题意，得点C1(1，0)，C2(4，a)，r1＝，r2＝2，
所以C1C2＝r1＋r2＝3，即32＋a2＝18，
解得a＝±3.
(3) 在直线l中，令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝－4，
不妨设点P(－4，0)，Q(0，－4)，所以PQ＝4.
设点E到直线l的距离为d，
因为点C1到直线l的距离为＝，
所以－≤d≤＋，
所以S△EPQ＝PQ·d∈[6，14].2．4　圆的综合应用
1. 理解圆的方程，掌握圆的几何性质的应用．
2. 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其综合应用．
3. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
活动一与圆有关的最值问题　　
例1 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求：
(1) 的最大值和最小值；
(2) y－x的最大值和最小值；
(3) x2＋y2的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1) 形如u＝的最值问题，可转化为过点(x，y)和点(a，b)的动直线斜率的最值问题；
(2) 形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
(3) 形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上的任意一点．求：
(1) 的最大值与最小值；
(2) x－2y的最大值与最小值．
例2 若P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题．
活动二直线与圆的方程的实际应用　　
例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2).
(1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；
(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
隐形圆
1. 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆．
2. 两定点A，B，动点P满足＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆).
3. 两定点A，B，动点P满足·＝0确定隐形圆．
4. 两定点A，B，动点P满足PA2＋PB2是定值确定隐形圆．
　阿波罗尼斯(约公元前262年～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将该圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是(　　)
A. 2　　　　B. C. D.
活动三过交点的圆系方程　
例4 求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程．
圆系方程
(1) 以点(a，b)为圆心的同心圆圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；
(2) 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0；
(3) 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(4) 过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)，特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程；两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
　经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是________．
1. (2025安徽期中)过定点D的直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1相交于A，B两点，且CD＝，则AB的最小值为(　　)　
A. 1 B. C. D. 2
2. (2025咸阳期中)已知圆C：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＋b＝0的距离等于1的点恰有两个，则实数b的取值范围是(　　)
A. (－，) B. (－∞，－)∪(，＋∞)
C. (－3，3) D. (－3，－)∪(，3)
3. (多选)(2025长春期中)已知圆Q1：x2＋y2－2x＝0和圆Q2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论中正确的是(　　)
A. 公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B. 线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0
C. 公共弦AB的长为
D. 若P为圆Q1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1
4. 已知实数x，y满足y＝＋1，则的取值范围为________．
5. (2025深圳期中)已知圆C1：x2＋2x＋y2＝0与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋16＝0，动点P向两个圆所引的切线长相等，求PC2－PC1的最大值．
2．4　圆的综合应用
【活动方案】
例1　原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1) 设＝k，即y＝kx，则当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±，故的最大值为，最小值为－.
(2) 设y－x＝b，即y＝x＋b，则当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，解得b＝－2±，
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3) x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
跟踪训练　(1) 显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率．
令k＝，如图，k的最大值与最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率．将上式整理，得kx－y－k＋2＝0，所以＝1，解得k＝，故的最大值是，最小值是.
(2) 令u＝x－2y，当直线与圆C相切时，u取得最大值和最小值．
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
例2　8　如图，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2××OA×PA＝OA×＝2.当且仅当OP取得最小值时，四边形PAOB的面积最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，故OPmin＝＝2，故所求最小值为2×＝8.
例3　(1) 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心C(2，0)，半径为2.
因为l∥AB，点A(－1，0)，B(1，2)，
所以直线l的斜率为＝1.
设直线l的方程为x－y＋m＝0，
则圆心C到直线l的距离为d＝＝.
因为MN＝AB＝＝2，CM2＝d2＋()2，
所以4＝＋2，解得m＝0或m＝－4，
故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.
(2) 假设圆C上存在点P，
设点P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，
PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简，得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.
因为|2－2|<<2＋2，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，
所以存在点P，点P的个数为2.
跟踪训练　A　如图，以经过点A，B的直线为 x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0).设点P(x，y).因为＝，所以＝，平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，所以△PAB面积的最大值是×2×2＝2.
例4　设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
所以圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
所以圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.
由题意，得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2，
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
跟踪训练　(x＋)2＋(y－)2＝　方法一：因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(－1，2)，半径为r＝2，所以圆心到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝.设直线2x－y＋3＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点为A，B，则AB＝2＝2＝，所以过点A，B的最小圆半径为.联立消去y并整理，得5x2＋6x－2＝0，故x1＋x2＝－，则圆心的横坐标为(x1＋x2)＝－，纵坐标为2×(－)＋3＝，所以最小圆的圆心为(－，)，所以最小圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
方法二：依题意，可设过A，B两点圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，整理，得(x＋λ＋1)2＋(y－)2＝λ2＋λ＋4.若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即λ2＋λ＋4取到最小值，而λ2＋λ＋4＝(λ＋)2＋≥，当λ＝－时取到最小值，此时圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
【检测反馈】
1. B　 由题意，得圆心为C(1，－1)，设圆心C到直线l的距离为d，当直线l与CD垂直时，AB取得最小值，则ABmin＝2＝.
2. D　圆C：x2＋y2＝4的圆心为C(0，0)，半径r＝2.因为圆C：x2＋y2＝4上恰有两个点到直线l：x＋y＋b＝0的距离等于1，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d满足13. ABD　对于A，因为圆Q1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为Q1(1，0)，半径r1＝1.因为圆Q2：x2＋y2＋2x－4y＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心为Q2(－1，2)，半径r2＝.又Q1Q2＝＝2，则r2－r14. 　因为y＝＋1，所以x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，其表示为圆x2＋(y－1)2＝4的上半部分．设半圆上一动点为P(x，y)，则表示的几何意义为点P与点A(－4，－1)连接的直线的斜率，当直线AP和半圆相切时，直线AP的斜率取最大值，设直线AP的方程为y＋1＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－1＝0，所以＝2，解得k＝或k＝0(舍去)，则直线AP的斜率的最大值为；当点P的坐标为(2，1)时，直线AP的斜率取最小值，为＝.综上，的取值范围为.
5. 圆C1：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，
圆心为C1(－1，0)，半径r1＝1.
圆C2：x2＋y2－6x－8y＋16＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝9，
圆心为C2(3，4)，半径r2＝3.
如图，设动点P的坐标为(x，y)，过点P与圆C1，C2相切的切点分别为A，B.
因为动点P向两个圆所引的切线长相等，
所以PA＝PB，则PA2＝PB2.
在Rt△PAC1和Rt△PBC2中，
PA2＝PC－r，PB2＝PC－r，
则PC－1＝PC－9，
即(x＋1)2＋y2－1＝(x－3)2＋(y－4)2－9，
整理，得x＋y－2＝0，
即动点P的轨迹为直线l：x＋y－2＝0.
设点C1关于直线l的对称点为C′，则PC1＝PC′.
又kC1C2＝1，所以l⊥C1C2，所以点C′在直线C1C2上，
所以当P，C′，C2三点共线时，PC2－PC1＝PC2－PC′取得最大值C′C2.
又点C2(3，4)到直线l的距离为d2＝，点C1(－1，0)到直线l的距离为d1＝，
所以点C′到直线l的距离为，所以C′C2＝，
即PC2－PC1的最大值为.

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