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(共31张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程．
2．会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．
3．会用坐标法解决问题．
活 动 方 案
活动一　情境引入
问题1：在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，你能举例吗？
【解析】 用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆.
问题2：椭圆给人的印象是“压扁的圆”， 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，那么椭圆上的任意一点的特征是什么？
【解析】 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于两个定点间的距离)的点的集合．
活动二　理解椭圆的概念，推导椭圆的标准方程
取一条定长的细绳，将它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板中的两点F1，F2，且细绳的长度大于F1F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
【解析】 画出的轨迹是椭圆，在这一过程中，移动的笔尖(动点)到两个定点的距离的和为定值．
1．椭圆的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的轨迹叫作椭圆，_________________叫作椭圆的焦点，___________________叫作椭圆的焦距．
符号语言：PF1＋PF2＝2a(常数)，F1F2<2a.
常数(大于F1F2)
两个定点F1，F2
两个焦点间的距离
思考1
(1) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
【解析】 动点的轨迹是线段F1F2.
(2) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“小于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
【解析】 当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
【解析】 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
2．椭圆的标准方程
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，F1F2＝2c，椭圆上任意一点P到点F1，F2的距离之和为2a(2a>2c).思考下列问题：
(1) 观察椭圆的形状，你认为如何建立平面直角坐标系可使得到的椭圆方程形式简单？
【解析】 PF1＋PF2＝2a(2a>2c).
(2) 椭圆上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？
(5) 令a2－c2＝b2(b>0)，椭圆的方程可化为什么形式？
思考2
若椭圆的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
【解析】 设点P(x，y)，焦点为F1(0，c)，F2(0，－c)，
则根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，
思考3
椭圆的标准方程有什么结构特征？
思考4
两种形式椭圆的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
【解析】 (1) 在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0和c2＝a2－b2.
(2) 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c，0)，(－c，0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c).
(3) 在两种标准方程中，因为a2>b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
活动三　掌握椭圆的标准方程的求法
　　　已知椭圆的两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．
1
又因为椭圆的两个焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，
所以c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，
反 思 与 感 悟
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1) 定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(3) 找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
活动四　理解椭圆的标准方程
　　　求下列椭圆的焦点坐标：
2
反 思 与 感 悟
首先将椭圆方程化为标准方程，然后确定其焦点所在的位置，根据方程求出c的值，从而得到焦点坐标．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．(2025重庆沙坪坝期中)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点P(x，y)满足PA＋PB＝6，则动点P的轨迹方程是 (　　)
A
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3
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D
1
2
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5
BD
1
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－21
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5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1
2
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谢谢观看
Thank you for watching(共31张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.2　椭圆的几何性质(3)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．巩固椭圆的方程及简单的几何性质．
2．感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
3．能运用椭圆的方程和几何性质解决一些综合问题．
活 动 方 案
活动一　理解椭圆的定义及标准方程
1
思考1
(1) 如何根据椭圆方程去判断椭圆的位置？
(2) 同离心率、同焦点的椭圆方程之间有怎样的关系？
2
【解析】 如图，连接OO1，PF1，
其中O1为线段PF2的中点．
活动二　理解椭圆的几何性质
　　　 (2025徐州期中)已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为 (　　)
3
C
思考2
椭圆的离心率的求法：
4
活动三　利用椭圆方程及几何性质求解最值问题
5
C
思考3
椭圆上的点与椭圆两焦点的距离的最值问题，如何求解？
【解析】 椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式的灵活运用，或记住定理：两正数，和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小，也可快速求解．
6
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
A．(－2，1)　　　　 B．(1，4)　　　　
C．(－2，4)　　　　 D．(－∞，－2)
A
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2
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4
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A
1
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1
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5
【答案】BC
1
2
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1
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1
2
3
4
5
又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2，0).
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
1
2
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5
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3.1.1　椭圆的标准方程(1)
建议用时：40分钟　答案P19　评价：________
一、 单项选择题
1 椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)
A. (±5，0) B. (0，±5) C. (0，±12) D. (±12，0)
2 已知方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. B. (2，3)
C. ∪(2，3) D. (1，2)∪(2，3)
3 (2025张家口期中)平面直角坐标系内，动点P的坐标(x，y)满足方程＋＝6，则动点P的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4 (2025南昌二中期中)经过点A(－2，)和B(1，2)的椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 (2025重庆八中期中)已知P为曲线C：＋＝1上的动点，点A(0，－1)，B(0，1)，且PA＋PB＝6，则b2的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
6 (2025长沙雅礼中学期中)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点．若∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　)
A. 4 B. 5 C. 4 D. 5
二、 多项选择题
7 (2025葫芦岛协作校月考)两个焦点分别为(0，3)，(0，－3)的椭圆的标准方程可能为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋x2＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
8 (2025南昌二中期中)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线C可能是圆
B. 当m＝2时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为
C. 若1D. 若曲线C为椭圆，且焦点在x轴上，则1三、 填空题
9 (2025新乡一中期中)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上的点P满足PF1＝2PF2，则PF1＝________．
10 (2025大庆四中期中)已知椭圆＋＝1(a>0)的一个焦点是(－，0)，则a的值为________．
11 (2025长沙周南中学月考)过点A(－，3)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．
四、 解答题
12 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，已知椭圆C上的一点(，)到两焦点F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的标准方程和焦点坐标．
13 (2025苏大附中期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点坐标分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，并且经过点；
(2) 经过两点P1(，1)，P2(－，－).
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
建议用时：40分钟　答案P19　评价：________
一、 单项选择题
1 (2025宿迁期中)已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1 C. ＋x2＝1 D. ＋＝1
2 (2025宜城一中等六校期中)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A. [2，4] B. (2，3) C. (3，4) D. (2，＋∞)
3 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若AB＝5，则AF1＋BF1等于(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4 (2025朝阳建平高级中学期中)已知O为坐标原点，长为3的线段AB，端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，若动点P满足＝＋，则动点P的轨迹方程为(　　)
A. x2＋＝1 B. ＋y2＝1 C. x2＋y2＝4 D. x2＋y2＝9
5 (2025江门二模)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，且△PF1F2的周长为16，则实数a的取值范围为(　　)
A. (8，12) B. (8，16) C. (4，6) D. (4，8)
6 (2025重庆一中月考)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且△PF1F2的内切圆半径为.若点P在第一象限，则·等于(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值可以为(　　)
A. 4 B. C. 6 D.
8 (2025抚州金溪一中月考)设F1，F2为椭圆C：x2＋2y2＝4的左、右焦点，P为椭圆C上的一点且在第一象限. 若△PF1F2的面积为，则下列说法中正确的是(　　)
A. △PF1F2的周长为4＋2
B. 点P的坐标为(，1)
C. 以F1F2为直径的圆经过点P
D. 直线PF1的斜率为
三、 填空题
9 (2025萍乡期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在椭圆C上，若·＝0，则PF1·PF2＝________．
10 椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为________．
11 (2025海安中学月考)在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1：x2＋y2＋2x－＝0内切，且与圆C2：x2＋y2－2x＋＝0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E，则轨迹E的方程为________．
四、 解答题
12 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 过点(－3，2)且与＋＝1有相同的焦点；
(2) 经过点P，Q.
13 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且过点M(－3，).
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 若P是椭圆E上不同于左、右顶点的一点，点G是△PF1F2的重心，求点G的轨迹方程．
3．1.2　椭圆的几何性质(1)
建议用时：40分钟　答案P19　评价：________
一、 单项选择题
1 椭圆3x2＋y2＝27的短轴长为(　　)
A. 6 B. 3 C. 6 D. 3
2 (2025唐山开滦一中期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短半轴长为1，则a的值为(　　)
A. B. C. 1 D.
3 (2025淮安涟水一中月考)已知点A(－1，0)，B(1，0)，对曲线C上的任意一点P恒有PA＋PB＝4，则曲线C的离心率e为(　　)
A. B. C. D. 2
4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，且一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，则该椭圆的左顶点为(　　)
A. (－2，0) B. (－3，0) C. (－4，0) D. (－5，0)
5 (2025淮安期中)已知曲线C的方程为＋＝10，P，Q是曲线C上的两个动点，则PQ的最大值为(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
6 (2025安阳一中段测)已知直线l：y＝kx与椭圆E：＋y2＝1交于P，Q两点，若F1F2＝PQ(F1，F2是椭圆的两个焦点)，则四边形F1PF2Q的面积为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
二、 多项选择题
7 已知椭圆C：＋＝1，则下列说法中正确的是 (　　)
A. 椭圆C的长轴长为2
B. 椭圆C的焦距为6
C. 椭圆C的短半轴长为2
D. 椭圆C的离心率为
8 (2025安徽县中联盟月考)已知椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 两椭圆有相同的焦点
B. 两椭圆的离心率相等
C. 两椭圆有相同的顶点
D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心
三、 填空题
9 以椭圆＋y2＝1的右焦点F为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为________．
10 (2025姜堰期中)椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝________．
11 (2025淮阴中学期中)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>2)的左、右焦点，点M在椭圆C上，若MF1·MF2的最大值为9，则椭圆C的长轴长为________．
四、 解答题
12 已知椭圆＋＝1.
(1) 求椭圆的长轴长、短轴长及离心率；
(2) 求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且过点(，)的椭圆的标准方程．
13 (2025无锡湖滨中学期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1，0)，且离心率为.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
建议用时：40分钟　答案P19　评价：________
一、 单项选择题
1 下列四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
2 已知椭圆C上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则椭圆C的长轴长为(　　)
A. ＋1 B. 2 C. 4 D. 4
3 (2025重庆巴蜀中学期中)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥x轴，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4 已知A为椭圆＋y2＝1的上顶点，P为椭圆上一点，则PA的最大值为(　　)
A. 2 B. C. 3 D.
5 (2025郑州部分名校期中)山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20 m，短轴长为16 m，现计划在椭圆中心建立原点O，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点P(即点P在椭圆上)，搭建一个临时观测台，则点P到椭圆左焦点F1的距离PF1的最大值为(　　)
A. 12 m B. 16 m C. 18 m D. 20 m
6 (2025兴化期中)已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成30°的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
8 (2025青岛二中期中)已知P是椭圆C：＋＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　)
A. △PF1F2的周长为16
B. 当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为3
C. OP的最小值为3
D. PF1·PF2的最小值为9
三、 填空题
9 直线y＝kx＋1－k与椭圆＋＝1的公共点个数为________．
10 若直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．
11 (2025皖江期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆C上，且＝2，·＝0，则椭圆C的离心率为________．
四、 解答题
12 已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过点F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程．
13 (2025合肥八中期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为8.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上一点，且在x轴上方，若直线PF1的倾斜角为θ，cos θ＝，求△PF1F2的面积．
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
建议用时：40分钟　答案P19　评价：________
一、 单项选择题
1 (2025邯郸五校期中)“曲线＋＝1表示椭圆”是“0A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2 (2025启东中学月考)在矩形ABCD中，AB＝2BC，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025成都实验外国语学校期中)已知P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，△PF1F2的面积为2，则点P的横坐标的绝对值为(　　)
A. B. 1 C. D.
4 过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆的标准方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 (2025南昌二中期中)已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，Q为椭圆C上任意一点，若点H(1，1)，则QH＋QF的最大值为(　　)
A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
6 (2025绵阳中学期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为(　　)
A. B. C. 3－6 D.
8 (2025广东实验中学期中)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos ∠F1PF2＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. △F1PF2的周长为6＋2
B. △F1PF2的面积为2
C. 点P到x轴的距离为
D. ·＝2
三、 填空题
9 (2025衢州期末)若椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，则∠F1PF2＝________．
10 (2025上海期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，则椭圆的标准方程为________．
11 (2025陕西师大附中期中)已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，长轴的左、右两个顶点分别为A1，A2，过椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若＝，则该椭圆的离心率为________．
四、 解答题
12 (2025湘潭一中期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) b＝1，c＝，焦点在y轴上；
(2) 椭圆上一点P到其两焦点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为10.
13 (2025天津蓟州二中月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，且过点P.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 已知A为椭圆的上顶点，若过点P的直线l交椭圆于点B(B异于点A)，且△ABP的面积为9，求直线l的方程．
3．1　椭　　圆3.1.1　椭圆的标准方程(1)
1. C　因为椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝a2－b2＝144，所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
2. C　因为方程＋＝1表示椭圆，所以解得m∈∪(2，3).
3. C　方程＋＝6，其表示的几何意义为点P到点F1(－，0)与F2(，0)的距离之和为6，即PF1＋PF2＝6.因为PF1＋PF2＝6>F1F2＝2，所以根据椭圆的定义可知，点P在以(－，0)和(，0)为焦点的椭圆上，其中2a＝6，2c＝2，可得a＝3，c＝，则b2＝a2－c2＝7，所以所求轨迹的方程为＋＝1.
4. C　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1，由点A(－2，)，B(1，2)在椭圆上，得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
5. D　因为PA＋PB＝6>AB＝2，所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆．由题意，得该椭圆即为曲线 C，焦点在y轴上，所以b>a，且2b＝6，即b＝3，b2＝9.
6. C　由椭圆＋＝1，可得a＝2，b＝2，则c＝＝2.因为点P在椭圆＋＝1上，所以PF1＋PF2＝4.又∠F1PF2＝90°，所以PF＋PF＝F1F＝42＝16.联立可得PF1·PF2＝8，所以△PF1F2的面积为S＝PF1·PF2＝4.
7. BD　对于A，＋＝1的焦点在x轴上，故A错误；对于B，＋x2＝1的两个焦点分别为(0，3)，(0，－3)，故B正确；对于C，＋＝1的两个焦点分别为(0，－)，(0，－), 故C错误；对于D，＋＝1的两个焦点分别为(0，3)，(0，－3)，故D正确．故选BD.
8. AD　对于A，当5－m＝m－1，即m＝3时，方程为x2＋y2＝2，表示圆，故A正确；对于B，当m＝2时，方程为＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，且a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3－1＝2，解得c＝，焦距为2，故B错误；对于C，由A知，当m＝3时，表示圆，故C错误；对于D，若曲线C为椭圆，且焦点在x轴上，则
解得19. 4　因为椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，所以PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1＝2PF2，所以PF1＝4.
10. 3　因为椭圆＋＝1(a>0)的一个焦点是(－，0)，所以a2－4＝5，解得a＝3.
11. ＋＝1　因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝8，b＝4，c＝a－b＝4.因为椭圆的焦点在y轴上，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由两椭圆焦点相同，得c2＝c＝4，所以解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
12. 因为椭圆上的一点到两焦点的距离之和为4，
所以2a＝4，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为点在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0).
13. (1) 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则c＝＝2，①
将点代入椭圆方程，得＋＝1，②
联立①②，解得a2＝10，b2＝6，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
1. D　根据椭圆的定义知动点M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，则2a＝6，a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，即动点M的轨迹方程为＋＝1.
2. C　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k－2>4－k>0，解得33. C　根据椭圆的定义，得AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝16，所以AF1＋BF1＝16－AB＝11.
4. A　设点P(x，y)，A(a，0)，B(0，b).由＝＋，得(x，y)＝(a，0)＋(0，b)＝，则a＝3x，b＝y.又线段AB的长为3，所以a2＋b2＝9，则(3x)2＋＝9，所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
5. D　因为△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝16，F1F2＝2c，所以2a＋2c＝16，则a＋c＝8，即c＝8－a.又a>c>0，所以解得46. A　由题意，得点F1(－2，0)，F2(2，0)，PF1＋PF2＝2a＝6.因为△PF1F2的内切圆半径为，所以S△PF1F2＝PF1×＋PF2×＋F1F2×＝(PF1＋PF2)＋＝.设点P(xP，yP)，所以S△PF1F2＝F1F2×yP＝2yP，所以2yP＝，解得yP＝.因为点P(xP，yP)在椭圆上，且在第一象限，所以＋＝1，解得xP＝2，所以点P的坐标为，所以＝，＝，所以·＝0＋×＝.
7. AB　由题意，得2c＝6，则c＝3.当焦点在x轴上时，有a2＝25，b2＝m2，则25－m2＝9.又m>0，解得m＝4；当焦点在y轴上时，有a2＝m2，b2＝25，则m2－25＝9.又m>0，解得m＝.综上，实数m的值为4或.故选AB.
8. AB　由题意，得椭圆方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，所以F1F2＝2c＝2.对于A，因为P为椭圆C上的一点，由椭圆的定义可知PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋2，故A正确；对于B，设点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则S△PF1F2＝F1F2·y0＝，解得y0＝1，将y0＝1代入＋＝1，解得x0＝，所以点P的坐标为(，1)，故B正确；对于C，因为F1F2的中点为原点O，F1F2＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，将点P(，1)代入圆的方程，得()2＋12＝3≠2，所以以F1F2为直径的圆不经过点P，故C错误；对于D，因为点P(，1)，F1(－，0)，所以直线PF1的斜率k＝＝，故D错误．故选AB.
9. 18　因为·＝0，所以PF1⊥PF2.设PF1＝m，则PF2＝2a－m＝10－m.因为PF＋PF＝F1F，所以m2＋(10－m)2＝64，所以m(m－10)＝－18，即PF1·PF2＝m(10－m)＝18.
10. 3　由题意，得PF1＋PF2＝2a，则PF2＝2a－4.又c2＝a2－2，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理，得＝－，解得a＝3.
11. ＋＝1　设动圆的半径为R，圆C1的标准方程为(x＋1)2＋y2＝，则圆心为C1(－1，0)，半径r1＝；圆C2的标准方程为(x－1)2＋y2＝，则圆心为C2(1，0)，半径r2＝，且圆心距C1C2＝2.由题意，得两式相加，得PC1＋PC2＝4>C1C2＝2，所以点P的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，所以轨迹E的方程为＋＝1.
12. (1) 由方程＋＝1可知，
其焦点的坐标为(±，0)，即c＝.
则b2＝a2－5,
故所求椭圆的标准方程为＋＝1(a2>5).
因为椭圆过点(－3，2)，代入方程，得＋＝1(a>b>0)，
解得a2＝15，b2＝10，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得解得
因为a>b>0，所以方程组无解；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
由题意，得解得
故所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
即＋＝1.
13. (1) 由题意，得2a＝＋＝6，
所以a＝3，则b＝＝3，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2) 设点G(x0，y0)，P(xP，yP)(yP≠0).
因为点G是△PF1F2的重心，
所以所以xP＝3x0，yP＝3y0.
又P是椭圆E上的一点，所以＋＝1，
所以＋＝1，即＋y＝1(y0≠0)，
故点G的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0).
3．1.2　椭圆的几何性质(1)
1. C　由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，则a2＝27，b2＝9，所以a＝3，b＝3，故此椭圆的短轴长2b＝6.
2. A　由题意，得短半轴长b＝1，则解得
3. A　因为PA＋PB＝4>AB，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．由题意，得2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1，则离心率为e＝＝.
4. D　圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心是(3，0)，所以椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是(3，0)，即c＝3.又椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，所以b＝4，所以a＝＝5，故椭圆的左顶点为(－5，0).
5. C　由＋＝10，得点(x，y)到(0，3)与(0，－3)的距离之和为10.又3－(－3)＝6<10，所以由椭圆定义可知，曲线C为以(0，3)，(0，－3)为焦点，10为长轴长的椭圆．由椭圆中长轴为最长弦，得PQ的最大值为10.
6. C　由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝4，c＝＝＝，则(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝16.又直线l：y＝kx过原点，所以点P，Q关于坐标原点对称．又PQ＝F1F2，F1，F2关于坐标原点对称，所以四边形F1PF2Q为矩形，则PF＋PF＝F1F＝(2)2＝12，所以PF1·PF2＝＝2，故四边形F1PF2Q的面积S＝PF1·PF2＝2.
7. BD　因为椭圆C：＋＝1，所以a＝，b＝，c＝3，且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为2，焦距为6，短半轴长为，离心率e＝＝.故选BD.
8. BD　由椭圆方程，得椭圆C1的焦点在x轴上，椭圆C2的焦点在y轴上，且a＝，b＝，c＝＝1，则两椭圆的焦点、顶点均不相同，故A，C错误；两个椭圆的离心率均为e＝＝，即离心率相等，故B正确；两个椭圆有相同的对称轴(为坐标轴)和对称中心(为坐标原点)，故D正确．故选BD.
9. (x－)2＋y2＝4　在椭圆＋y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝＝，右焦点为F(，0)，圆的半径为a＝2，所以圆的方程为(x－)2＋y2＝4.
10. 　因为a>1，所以椭圆的焦点在x轴上，其离心率为e＝＝＝，解得a＝.
11. 6　由椭圆的定义及基本不等式得MF1·MF2≤＝a2＝9，当且仅当MF1＝MF2＝a时，等号成立．又a>2，所以a＝3，故椭圆C的长轴长为2a＝6.
12. (1) 由题意可知a＝，b＝2，c＝1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为4，离心率为.
(2) 因为椭圆＋＝1的焦点坐标为(±1，0)，
所以与其有相同焦点的椭圆的标准方程可设为＋＝1(A>1)，
将点代入，得＋＝1，
解得A2＝9或A2＝(舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
13. (1) 由题意，得
则a＝，b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 设点P(x0，y0)，
由题意，得F1F2＝2，
则S△PF1F2＝F1F2·|y0|＝|y0|＝1，即y0＝±1.
又因为＋＝1，即＋＝1，解得x0＝±，
所以点P的坐标为或或或.
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
1. B　椭圆＋＝1的离心率e1＝＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝＝，椭圆＋＝1的离心率e3＝＝，椭圆＋＝1的离心率e4＝＝，显然02. A　如图，由多边形ABCDEF是边长为1的正六边形，得AF＝1，在△ACF中，由正六边形的性质，得AC⊥AF，∠ACF＝30°.又AF＝1，得AC＝.由椭圆定义，得AF＋AC＝1＋＝2a，即椭圆的长轴长为＋1.
3. B　因为PF2⊥x轴，所以不妨设点P(c，y0)(y0>0)，则＋＝1，整理得y＝，所以y0＝.又∠PF1F2＝30°，所以＝＝tan 30°，整理得3c2＋2ac－3a2＝0，所以3e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－(舍去).
4. B　由题意知点A(0，1)，设点P(x，y)，由＋y2＝1，得x2＝7－7y2，－1≤y≤1，则PA＝＝＝.因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，PA取得最大值为＝.
5. B　设椭圆方程为＋＝1，则2a＝20，2b＝16，a2＝b2＋c2，所以a＝10，b＝8，c＝＝6.又点P在椭圆上，所以点P到椭圆左焦点F1的距离PF1的最大值为a＋c＝16.
6. A　如图，因为圆柱的底面半径为4，所以椭圆的短轴2b＝8，得b＝4.又椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，所以cos 30°＝，解得a＝，所以c＝＝＝＝，故椭圆的离心率e＝＝＝.
7. AD　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由题意可知且a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2，c＝1，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 故选AD.
8. BCD　在椭圆C：＋＝1中，a＝5，b＝3，则c＝＝4，设点P(x，y)，则PF1＋PF2＝2a＝10，且－5≤x≤5.对于A，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝18，故A错误；对于B，64＝82＝F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2＝PF＋PF－PF1·PF2＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝100－3PF1·PF2，所以PF1·PF2＝12，故S△PF1F2＝PF1·PF2sin 60°＝×12×＝3，故B正确；对于C，PO＝＝＝≥3，当且仅当x＝0时，等号成立，故C正确；对于D，PF1＝＝＝＝5＋x∈[1，9]，PF1·PF2＝PF1(10－PF1)＝－PF＋10PF1＝－(PF1－5)2＋25≥－(9－5)2＋25＝9，故PF1·PF2的最小值为9，故D正确．故选BCD.
9. 2　因为直线y＝kx＋1－k恒过点(1，1)，且＋<1，所以(1，1)是椭圆内部的一点，所以直线与椭圆恒有2个交点．
10. ＋y2＝1　在直线x＋2y－2＝0中，令x＝0，解得y＝1；令y＝0，解得x＝2，故椭圆的右焦点坐标为(2，0)，上顶点的坐标为(0，1)，则 c＝2，b＝1，则a＝＝，故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
11. 　设F2B＝x，则F1B＝2a－x.因为＝2，所以AF2＝2x，AF1＝2a－2x，又·＝0，则AF1⊥AB，则在Rt△F1AB中，(2a－x)2＝(3x)2＋(2a－2x)2，解得x＝，所以AF2＝，AF1＝2a－＝.在Rt△F1AF2中，＋＝(2c)2，化简得5a2＝9c2，所以e＝＝＝.
12. 由题意，得△AF1B的周长为AB＋AF1＋BF1＝AF2＋AF1＋BF2＋BF1＝4a＝16，
所以a＝4.
因为椭圆的离心率为，
所以＝，则c＝2，
所以b2＝16－12＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
13. (1) 设椭圆C的焦距为2c，
则椭圆C的离心率为e＝＝.
又长轴长为8，即2a＝8，所以a＝4，c＝3，b＝＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 由题意，得F1F2＝2c＝6，设PF1＝m，PF2＝n，
因为cos ∠PF1F2＝cos θ＝，
所以θ为锐角，且sin θ＝.
在△PF1F2中，PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2cos θ，
即n2＝m2＋62－2m×6×，即n2＝m2－4m＋36.①
又PF1＋PF2＝2a，所以m＋n＝8.②
联立①②，解得m＝，n＝，
所以△PF1F2的面积为S＝PF1·F1F2sin θ＝m·2c·＝.
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
1. A　若曲线＋＝1表示椭圆，则解得02. A　由题意，得2c＝，即ac＝a2－c2，所以e2＋e－1＝0，e∈(0，1)，解得e＝.
3. C　由椭圆C：＋＝1，得a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，即c＝2，所以F1F2＝2c＝4.设点P(m，n)，因为△PF1F2的面积为2，所以×4×|n|＝2，解得|n|＝.又点P(m，n)在椭圆C：＋＝1上，所以＋＝1，即＋＝1，解得|m|＝.
4. A　因为椭圆4x2＋9y2＝36，即＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，所以c＝＝，椭圆的焦点为(±，0).设所求椭圆的方程是＋＝1(m>n>0)，则解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.
5. D　因为椭圆C：＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝1，F(－1，0)，则椭圆的右焦点为F′(1，0).由椭圆的定义，得QH＋QF＝QH＋2a－QF′≤HF′＋2a＝5，当点Q在点P′处时，等号成立，所以QH＋QF的最大值为5.
6. A　设点M(xM，yM)(yM≠0)，则△MF1F2的面积为F1F2·|yM|.因为△MF1F2的内切圆半径为，MF1＋MF2＝2a，所以△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)·，所以×2c·|yM|＝(2a＋2c)·，则|yM|＝.又因为|yM|≤b，所以≤b，两边平方得≤b2.又b2＝a2－c2，所以≤a2－c2，整理得13c2＋8ac－5a2≤0，两边同时除以a2，得13e2＋8e－5≤0，解得－1≤e≤.又07. BCD　设椭圆的焦距为2c(c>0).由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a.因为PF1＝3PF2，所以PF1＝，PF2＝.由题意，得解得≥.又0<<1，所以≤<1，所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选BCD.
8. ABD　因为PF1＋PF2＝2a＝6，c＝＝，所以△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝6＋2，故A正确；由余弦定理可得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，变形为F1F＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，即20＝36－2PF1·PF2－PF1·PF2，所以PF1·PF2＝6，所以S△F1PF2＝PF1·PF2sin ∠F1PF2＝×6×＝2，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△F1PF2＝F1F2·d＝2，所以d＝＝，故C错误；·＝||·||cos ∠F1PF2＝6×＝2，故D正确．故选ABD.
9. 　由题意，得a＝2，b＝1.在Rt△OPF2中，cos ∠OPF2＝＝＝.又∠OPF2∈，所以∠OPF2＝，故∠F1PF2＝2∠OPF2＝.
10. ＋＝1　方法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且点(2，－2)在椭圆上，所以由椭圆的定义，得2a＝＋＝8，所以a＝4.又因为c＝2，所以b＝＝2，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，所以c＝2，所以a2－b2＝c2＝8①.又因为点(2，－2)在椭圆上，所以＋＝1②，由①②，解得或(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11. 　如图，设点P(x0，y0)，则点Q(x0，0)，＋＝1，即a2－x＝，则PQ＝|y0|，A1Q＝x0＋a，A2Q＝a－x0，所以＝＝＝＝＝，则e＝＝＝＝＝＝.
12. (1) 设焦点在y轴上椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由b＝1，c＝，b2＝a2－c2，
得a2＝12＋()2＝1＋15＝16，
所以椭圆的标准方程为＋＝1，即＋x2＝1.
(2) 由焦点F1(－4，0)，F2(4，0)，得焦点在x轴上，c＝4.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由点P到两焦点的距离之和为10，得2a＝10，即a＝5.
由b2＝a2－c2，得b2＝25－16＝9，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
13. (1) 因为椭圆的长轴长为4，所以2a＝4，
即a＝2，则椭圆的标准方程为＋＝1.
代入点P，可得＋＝1，解得b2＝9，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 因为点A(0，3)，P，
所以AP＝＝，
直线AP：＝，即x＋2y－6＝0.
设点B(2cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，
则点B到直线AP的距离d＝＝，
因为S△ABP＝d·AP＝9，
所以××＝9，
解得sin ＝－或sin ＝(舍去)，
又因为θ∈[0，2π)，所以θ＋∈，
则θ＋＝或θ＋＝，解得θ＝或θ＝.
若θ＝，即点B，则直线l：x－2y＝0；
若θ＝，即B(0，－3)，则直线l：＝，
即3x－2y－6＝0.
综上，直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y－6＝0.(共35张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.2　椭圆的几何性质(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．巩固椭圆简单的几何性质．
2．能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活 动 方 案
活动一　利用椭圆的性质求椭圆方程
1
思考1
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路是什么？
【解析】 (1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(2) 在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
　　　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2
(3) 在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
活动二　理解椭圆的离心率
　　　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
3
4
思考2
求椭圆离心率及范围的方法有哪些？
(2) 方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
【答案】A
【答案】
活动三　掌握椭圆的几何性质在实际问题中的应用
　　　如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面439 km, 远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6371 km.求卫星运行的轨道方程．(精确到1 km)
5
解决实际问题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，然后利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1) 建系；
(2) 确定焦点位置；
(3) 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(4) 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
【答案】A
1
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【答案】CD
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谢谢观看
Thank you for watching3．1　椭　　圆
3.1.1　椭圆的标准方程(1)
1. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程．
2. 会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．
3. 会用坐标法解决问题．
活动一情境引入
问题1：在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，你能举例吗？
问题2：椭圆给人的印象是“压扁的圆”， 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，那么椭圆上的任意一点的特征是什么？
活动二理解椭圆的概念，推导椭圆的标准方程
取一条定长的细绳，将它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板中的两点F1，F2，且细绳的长度大于F1F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
1. 椭圆的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________的点的轨迹叫作椭圆，____________叫作椭圆的焦点，________________叫作椭圆的焦距．
符号语言：PF1＋PF2＝2a(常数)，F1F2<2a.
　思考1
(1) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
(2) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“小于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
2. 椭圆的标准方程
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，F1F2＝2c，椭圆上任意一点P到点F1，F2的距离之和为2a(2a>2c).思考下列问题：
(1) 观察椭圆的形状，你认为如何建立平面直角坐标系可使得到的椭圆方程形式简单？
(2) 椭圆上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？
(5) 令a2－c2＝b2(b>0)，椭圆的方程可化为什么形式？
思考2
若椭圆的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考3
椭圆的标准方程有什么结构特征？
思考4
两种形式椭圆的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
活动三掌握椭圆的标准方程的求法　
例1已知椭圆的两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．
反思与感悟
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1) 定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(2) 设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；
(3) 找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
活动四理解椭圆的标准方程　　
例2 求下列椭圆的焦点坐标：
(1) ＋y2＝1；
(2) 16x2＋9y2＝144.
反思与感悟
首先将椭圆方程化为标准方程，然后确定其焦点所在的位置，根据方程求出c的值，从而得到焦点坐标．
　(1) 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2) 若椭圆2kx2＋ky2＝1(k>0)的一个焦点为(0，－4)，求实数k的值．
1. (2025重庆沙坪坝期中)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点P(x，y)满足PA＋PB＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
2. (2025苏州期中)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　)
A. 10 B. 20 C. 2 D. 4
3. (多选)(2025百色期末)已知椭圆4x2＋3y2＝12，则下列结论中正确的是(　　)
A. 焦点在x轴 B. 焦点在y轴 C. 焦距是2 D. 焦距是2
4. (2025广东期中)如果方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数a的取值范围是______________．
5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点(1，)；
(2) 经过A(2，－)，B(－，－)两点．
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
1. 能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．
2. 能根据椭圆的标准方程求解有关问题．
活动一掌握求椭圆标准方程的常见方法　　
回顾椭圆的定义及其标准方程：
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)；
(3) 经过点P(，)，Q(0，－).
　(1) 焦距为4，且过点(，0)的椭圆的标准方程为________；
(2) 经过两点(，)，(，1)的椭圆的标准方程为____________________．
例2 已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
反思与感悟
1. 定义法求轨迹方程
若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
2. 代入法(相关点法)求轨迹方程
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
　如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
活动二掌握椭圆定义的简单应用
例3 已知P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点．
(1) 若∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积；
(2) 若∠PF1F2＝90°，求△PF1F2的面积．
思考1
设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△F1PF2的面积．
思考2
已知椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上的一点．若S△F1PF2＝，求∠F1PF2的大小．
活动三直线与椭圆的公共点坐标的求法
例4 求直线 x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标．
1. (2025山西期中)已知M是圆C：x2＋y2－2y－31＝0上的动点，点A(0，－1)，线段AM的垂直平分线与线段CM交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是(　　)
A. x2＋y2＝2 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
2. (2025长春期中)椭圆3x2－ny2＝1的一个焦点坐标为(0，－)，则实数n的值为(　　)
A. B. C. － D. －
3. (多选)如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＋＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当－25B. 当m＝－25或m＝25时，直线l与椭圆C只有一个公共点
C. 当m<－25或m>25时，直线l与椭圆C没有公共点
D. 当－25≤m≤25时，直线l与椭圆C没有公共点
4. 设P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2) 焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3).
3．1.2　椭圆的几何性质 (1)
1. 掌握椭圆的几何性质(范围，对称性，顶点，离心率).
2. 理解离心率的大小对椭圆形状的影响.
3. 通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想．
活动一掌握椭圆的几何性质　　
复习巩固：椭圆的定义及其标准方程：
探究：结合椭圆的标准方程＋＝1(a>b>0)来探究椭圆的几何性质．
1. 范围
思考1
将椭圆的标准方程进行变形，移项得＝1－，你能探索出x的取值范围吗？类比能求出y的取值范围吗？
2. 对称性
思考2
在椭圆的标准方程中，将x换成－x，或将y换成－y，或同时把x，y分别换成－x，－y时，方程是否发生变化？这说明什么样的问题？
3. 顶点
思考3
根据方程写出椭圆与坐标轴的交点坐标．
结论：椭圆的顶点：
椭圆的长轴长：　
椭圆的短轴长：　
结合图形，思考a，b，c的几何意义分别为什么？
4. 离心率
完成下列两个实验：
(1) 将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度(分别加长、缩短)，观察椭圆“扁”的程度的变化规律；
(2) 细绳的长度固定不变，将焦距分别增大或缩小，观察椭圆“扁”的程度的变化规律．
思考4
圆的形状都是相同的，而有些椭圆却比较“扁”，有些椭圆比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度？
定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率．
探究：椭圆的离心率的取值范围是什么？
焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0)
离心率 e＝(0例1已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1) 求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2) 写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
活动二掌握椭圆的几何性质的简单应用
例2 已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
1. (2025广州期中)下列关于椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9且k≠0)的说法中正确的是(　　)
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
2. (2025东莞期末)已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋y2＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
3. (多选)(2025苏州期中)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，短轴长等于2，焦距为2，过焦点F1作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆C的方程为＋y2＝1 B. 椭圆C的离心率为
C. PQ＝1 D. PF2＝3
4. 已知P为椭圆C：＋y2＝1上一点，点A(1，0)，则PA的最小值为________．
5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 长轴长为6，离心率为；
(2) 经过点P(3，0)，离心率为，焦点在x轴上．
3．1.2　椭圆的几何性质 (2)
1. 巩固椭圆简单的几何性质．
2. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
　活动一利用椭圆的性质求椭圆方程 　
例1 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，焦点在y轴上，且a－c＝，求椭圆的方程．
思考1
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路是什么？
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2) 经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率；
(3) 在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
活动二理解椭圆的离心率
例3 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
例4 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，则椭圆C离心率的取值范围是________．
思考2
求椭圆离心率及范围的方法有哪些？
　(1) 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A，B，C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2) 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为________．
活动三掌握椭圆的几何性质在实际问题中的应用
例5 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面439 km, 远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球的半径约为6371 km.求卫星运行的轨道方程．(精确到1 km)
解决实际问题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，然后利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1) 建系；
(2) 确定焦点位置；
(3) 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(4) 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．
1. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为B，C，若A为椭圆上的一点(不在x轴上)，则△ABC面积的最大值是(　　)
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
2. (2025温州期中)已知点P在椭圆C：＋＝1上运动，圆C′的圆心为椭圆的右焦点F，半径 r＝，点Q在圆C′上，则PQ的取值范围是(　　)
A. [2－，6＋] B. [0，8]
C. [2－，8] D. [1，7]
3. (多选)(2025安庆期中)已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面Nkm，远地点距地面Mkm，地球半径为Rkm，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆的短轴长为 km B. 椭圆的短轴长为(M＋R)(N＋R)km
C. 椭圆的焦距为(M－N)km D. 椭圆的长轴长为(M＋N＋2R)km
4. (2025荆州中学月考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，直线l过F(c，0)，B(0，b)两点，坐标原点到直线l的距离等于FB，则椭圆的离心率为________．
5. (2025连云港期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，短轴长为2，点P(m，n)在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 请结合距离公式证明：PF1＋PF2＝2.
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
1. 巩固椭圆的方程及简单的几何性质．
2. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
3. 能运用椭圆的方程和几何性质解决一些综合问题．
　活动一理解椭圆的定义及标准方程　
例1 求离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26的椭圆的标准方程．
思考1
(1) 如何根据椭圆方程去判断椭圆的位置？
(2) 同离心率、同焦点的椭圆方程之间有怎样的关系？
例2 P为椭圆 ＋＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2为左、右焦点，判断以PF2为直径的圆与以O为圆心，a为半径的圆的位置关系，并说明理由．
　活动二理解椭圆的几何性质　
例3 (2025徐州期中)已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
思考2
椭圆的离心率的求法：
例4 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，直线y＝x－经过椭圆的一个焦点，△PF1F2的周长为4＋2.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求|＋|的最小值和最大值．
活动三利用椭圆方程及几何性质求解最值问题　
例5已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则MF1·MF2的最大值为(　　)
A. 13 B. 12
C. 9 D. 6
思考3
椭圆上的点与椭圆两焦点的距离的最值问题，如何求解？
例6 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知点E(3，0)，设P，Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求·的最小值．
1. (2025南京期中)已知方程＋＝1(m∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－2，1) B. (1，4) C. (－2，4) D. (－∞，－2)
2. (2025重庆月考)设F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线3x＋4y＋25＝0上的动点，则PA－PF的最小值为(　　)
A. B. C. D. 3
3. (多选)(2025武汉期中)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，直线y＝m(0A. 椭圆C的焦距为1
B. PF＋QF为定值
C. 直线AP和AQ斜率的乘积为
D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为
4. (2025苏州期中)设O为坐标原点，已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．过点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，若△PF1F2为等腰直角三角形，则离心率e为________．
5. 已知A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为.设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
3.1　椭　　圆
3.1.1　椭圆的标准方程(1)
【活动方案】
活动一：问题1：用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆.
问题2：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于两个定点间的距离)的点的集合．
活动二：画出的轨迹是椭圆，在这一过程中，移动的笔尖(动点)到两个定点的距离的和为定值．
1. 常数(大于F1F2)　两个定点F1，F2　两个焦点间的距离
思考1：(1) 动点的轨迹是线段F1F2.
(2) 当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
2. (1) 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
(2) PF1＋PF2＝2a(2a>2c).
(3) 由(1)中的平面直角坐标系得点F1(－c，0)，F2(c，0).
设P(x，y)为椭圆上任意一点，由PF1＋PF2＝2a，得＋＝2a.
(4) 将代数式移项，两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a·＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a.
两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2).
(5) ＋＝1(a>b>0).
思考2：设点P(x，y)，焦点为F1(0，c)，F2(0，－c)，
则根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，
即＋＝2a，
化简，得＋＝1(a>b>0).
思考3：(1) 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中c2＝a2－b2.
(2) 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中c2＝a2－b2.
思考4：(1) 在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0和c2＝a2－b2.
(2) 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c，0)，(－c，0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c).
(3) 在两种标准方程中，因为a2>b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
例1　因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知，得2a＝10，即a＝5.
又因为椭圆的两个焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，
所以c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例2　(1) 因为a2＝9，b2＝1，
所以c2＝8，即c＝2，
所以椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0).
(2) 将椭圆方程化为标准方程＋＝1，
所以a2＝16，b2＝9，c＝，
所以椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，－).
跟踪训练　(1) 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以解得8故实数m的取值范围是(8，25).
(2) 将椭圆方程化成标准方程＋＝1，
因为椭圆的一个焦点坐标为(0，－4)，
所以－＝16，解得k＝，
故实数k的值为.
【检测反馈】
1. A　由题意可知PA＋PB＝6>AB，所以动点P的轨迹是椭圆，且a＝3，c＝2，则b＝，所以椭圆的标准方程为 ＋＝1.
2. D　因为F1F2＝8，所以2c＝8，解得c＝4.由椭圆方程知a2＝m2，b2＝25，所以m2＝25＋16＝41，解得m＝，即a＝，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4.
3. BD　方程4x2＋3y2＝12可化为＋＝1，表示焦点在y轴的椭圆，故A错误，B正确；由椭圆方程可得a＝2，b＝，c＝＝1，则焦距2c＝2，故C错误，D正确．故选BD.
4. －25. (1) 由已知椭圆的方程可得焦点坐标为(±1，0)，
则可设所求椭圆的方程为＋＝1(m>1)，
将点(1，)代入，解得m＝4或m＝(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
代入已知两点的坐标可得
解得m＝8，n＝1，
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
【活动方案】
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
例1　(1) 因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝.
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3) 方法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得
解得由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得满足要求，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
由题意，得解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练　(1) ＋y2＝1或＋＝1　当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得c＝2，a＝，则b2＝a2－c2＝5－4＝1，故椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得c＝2，b＝，则a2＝b2＋c2＝5＋4＝9，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) x2＋＝1　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m，n为正数，且m≠n)，由题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
例2　设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8>AB，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
其轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练　由垂直平分线性质可知MQ＝MA，
所以CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，
所以CM＋MA＝4.
又因为AC＝2，所以点M的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义，知a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以所求轨迹方程为＋＝1.
例3　(1) 由＋＝1可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2cos ∠PF1F2，
即PF＝PF＋4＋2PF1.①
由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a＝4.②
联立①②可得PF1＝，
所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin ∠PF1F2＝××2×＝.
(2) 因为∠PF1F2＝90°，
所以PF＝PF＋F1F，
所以(4－PF1)2＝PF＋4，解得PF1＝，
所以S△PF1F2＝F1F2·PF1＝×2×＝.
思考1：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为PF1＋PF2＝2a＝6，且PF1∶PF2＝2∶1，
所以PF1＝4，PF2＝2，
所以PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
所以△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×4×2＝4.
思考2：由题意，得a＝2，b＝，c＝1.
设PF1＝m，PF2＝n，∠F1PF2＝α，0°<α<180°，
则
①2－②，得mn(1＋cos α)＝6，④
，得＝，即＝2，
所以tan ＝，所以＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
例4　直线x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以所求公共点的坐标为(0，－1)，(，).
【检测反馈】
1. B　圆C：x2＋(y－1)2＝32的圆心为C(0，1)，半径r＝4，由题意可知QM＝QA，又M是圆C上的点，则CM＝4，且CM＝CQ＋QM，则QC＋QA＝4>2.由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，b＝，则点Q的轨迹方程C：＋＝1.
2. D　 由3x2－ny2＝1，得＋＝1，又椭圆的一个焦点坐标为(0，－)，所以c＝且a2＝－，b2＝.又a2＝b2＋c2，所以－＝＋2，解得n＝－.
3. ABC　联立消去y并整理，得25x2＋8mx＋m2－225＝0①，Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).对于A，由Δ>0，得－2525，此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点，故C正确，D错误．故选ABC.
4. 　设PF1＝m，PF2＝n，根据椭圆的定义，得m＋n＝2a，在△PF1F2中，设F1F2＝2c，由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，所以3mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，所以mn＝，所以S△PF1F2＝mn sin ∠F1PF2＝.
5. (1) 由题意，得c＝2，
且焦点坐标分别为F1(0，－2)，F2(0，2).
由MF1＋MF2＝2a，
得2a＝＋＝8，
解得a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
因为所求椭圆过点(4，3)，
所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，
可得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3．1.2　椭圆的几何性质(1)
【活动方案】
复习巩固：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
思考1：|x|≤a，|y|≤b.
思考2：方程不发生变化，说明椭圆关于y轴，x轴和原点都是对称的．
思考3：椭圆与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)，与y轴的交点为(0，－b)，(0，b).
结论：椭圆的顶点为(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b).
椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
a，b，c的几何意义分别是椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长．
思考4：根据两个实验的探索过程可以发现，当越接近于0时，椭圆越接近于圆；当越接近于1时，椭圆越扁，也就是说随着的增大，椭圆越来越扁．
探究：e∈(0，1)
例1　(1) 由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2) 由题意，得椭圆C2的方程为＋＝1.
几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点；
③顶点：长轴端点分别为(0，10)，(0，－10)，短轴端点分别为(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝，焦距为12.
例2　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得b＝c，a－c＝－.
因为a2＝b2＋c2，
所以a＝，b＝c＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
【检测反馈】
1. D　易知椭圆＋＝1的长轴长为2＝10，短轴长为2＝6，离心率为＝，焦距为2＝8；椭圆＋＝1(k<9且k≠0)的长轴长为2，短轴长为2，离心率为＝，焦距为2＝8，所以只有焦距相等．
2. D　由题意，得b＝c＝，且焦点在x轴上，则a＝＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3. AC　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得2b＝2，2c＝2，所以a2＝b2＋c2＝4，则a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，故A正确；e＝＝，故B错误；由得y＝±，则PQ＝1，故C正确；点F2(，0)，则PF2＝＝，故D错误．故选AC.
4. 　方法一：设点P(x，y)，则y2＝1－，且－2≤x≤2，所以PA＝＝＝＝，因为－2≤x≤2，所以当x＝时，PA取得最小值.
方法二：设点P(2cos θ，sin θ)，θ∈R，则PA＝＝＝＝.因为－1≤cos θ≤1，所以当cos θ＝时，PA取得最小值.
5. (1) 由题意，得2a＝6，则a＝3.
因为e＝＝，所以c＝2，
所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3.又因为e＝＝，所以c＝，
所以b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3．1.2　椭圆的几何性质(2)
【活动方案】
例1　由题意，得a＝2c.又a－c＝，
所以c＝，a＝2，所以b2＝9.
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的方程为＋＝1.
思考1：(1) 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2, e＝等．
(2) 在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
例2　(1) 若焦点在x轴上，则a＝3.因为e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，则b＝3，因为e＝＝＝＝，解得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2) 方法一：由题意知，e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
所以设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程，
得＋＝1或＋＝1，
解得b2＝或b2＝3，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M(1，2)代入椭圆方程，
得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，
故椭圆的方程为＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3) 依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
如图，由题意可知△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且OF＝c，A1A2＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例3　由题意，得F1F2＝PF2＝2c，
所以PF1＝2c，所以PF1＋PF2＝2c＋2c.
又因为PF1＋PF2＝2a，
所以2c＋2c＝2a，所以＝－1，
故椭圆的离心率为－1.
例4　(，1)　由题意知，c>b，所以c2>b2.又 b2＝a2－c2，所以c2>a2－c2，即2c2>a2，所以e2＝>.又0思考2：(1) 直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2) 方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
跟踪训练　(1) A　设C(x0，y0)，A(0，b)，B(0，－b)，则＋＝1，故x＝(b2－y)，又kAC·kBC＝＝－，故a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2，故 e＝.
(2) 　方法一：由题意可设PF2＝m，PF1＝2m，F1F2＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二：设点P的坐标为(x，y).由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可得y＝±，所以PF2＝.又由∠PF1F2＝30°，可得F1F2＝PF2，故2c＝·，变形得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得 e＝或e＝－(舍去)，故椭圆C的离心率为.
例5　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，则a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，
所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，
所以b＝＝≈7 722，
所以卫星运行的轨道方程是＋＝1.
【检测反馈】
1. B　由椭圆＋＝1，得c＝＝3.又椭圆的左、右焦点分别为B，C，所以BC＝2c＝6.因为A为椭圆上的一点，设点A(x0，y0)，则－4≤y0≤4且y0≠0，所以S△ABC＝BC·|y0|≤×6×4＝12，故△ABC面积的最大值是12.
2. A　在椭圆C中，a＝4，b＝2，则c＝＝2，即F(2，0)，设点P(x，y)，则－4≤x≤4，且＋＝1，可得y2＝12－，所以PF＝＝＝＝4－∈[2，6]，所以PQ≤PF＋FQ＝PF＋≤6＋，当且仅当P为椭圆的左端点，且Q为射线PF与圆C′的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立，PQ≥＝PF－≥2－，当且仅当P为椭圆的右端点，且Q为线段PF与圆C′的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立，综上，PQ的取值范围是.
3. CD　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则解得所以b2＝a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝(N＋R)(M＋R)，则椭圆的短轴长为2 km，故A错误，B错误；2a＝M＋N＋2R，2c＝M－N，故C正确，D正确．故选CD.
4. 　由题意易知直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.又原点到直线l的距离为，FB＝，所以＝，即b2＋c2＝2bc，解得b＝c，所以b2＋c2＝a2＝2c2，故＝.
5. (1) 因为F1(－，0)，F2(，0)，短轴长为2，
所以c＝，2b＝2，即b＝，
所以a2＝b2＋c2＝3＋3＝6，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 因为点P(m，n)在椭圆C上，
所以＋＝1，即n2＝3－m2，
则PF1＋PF2＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋.
又因为－≤m≤，
所以PF1＋PF2＝m＋－m＋＝2.
3．1.2　椭圆的几何性质(3)
【活动方案】
例1　由题意知，2a＝26，即a＝13.
又e＝＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
思考1：(1) 　＋＝1(a>b>0) 焦点在x轴上；
＋＝1(a>b>0) 焦点在y轴上．
(2) 与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(m>－b2)；
与椭圆＋＝1(a>b>0)共离心率的椭圆方程可设为＋＝λ(λ>0)或＋＝λ(λ>0).
例2　如图，连接OO1，PF1，
其中O1为线段PF2的中点．
又O为F1F2的中点，所以OO1＝PF1.
又PF1＝2a－PF2，
所以OO1＝(2a－PF2)＝a－PF2，
即圆O与圆O1的圆心距等于两圆半径的差，
所以圆O与圆O1内切．
例3　C　由椭圆的两个焦点与短轴的两个端点构成一个正方形，得该椭圆的短轴长2b等于焦距2c，即b＝c，则a＝＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝.
思考2：(1) 直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e，或利用e＝＝，求e.
(2) 将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e.(Aa2＋Bac＋Cc2＝0 A＋Be＋Ce2＝0).
(3) 求离心率的取值范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0，1)取交集．
例4　(1) 由题意可知椭圆C的焦点在x轴上，
又直线y＝x－交x轴于点(，0)，
所以椭圆C的右焦点为F2(，0)，
可得半焦距c＝.
由△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c，
得2a＋2＝4＋2，解得a＝2，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设点P(x0，y0)，则＋y＝1，
即y＝1－，－2≤x0≤2.
令坐标原点为O，则O是线段F1F2的中点，
可得|＋|＝|2|＝2＝2＝，
故当x0＝0时，|＋|min＝2；
当x0＝－2或x0＝2时，|＋|max＝4.
故|＋|的最小值为2，最大值为4.
例5　C　由题意知，a2＝9，即a＝3，则MF1＋MF2＝2a＝6，所以MF1·MF2≤()2＝9，当且仅当MF1＝MF2＝3时，等号成立，所以MF1·MF2的最大值为9.
思考3：椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式的灵活运用，或记住定理：两正数，和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小，也可快速求解．
例6　(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 因为EP⊥EQ，
所以·＝·(－)＝||2.
设点P(x0，y0)，则x＋4y＝36，
所以·＝(x0－3)2＋y＝(x0－4)2＋6.
又因为－6≤x0≤6，
所以当x0＝4时，·取得最小值6.
【检测反馈】
1. A　根据题意，得解得－22. A　由＋＝1，得a＝3，b＝，则c＝＝2.设F′为该椭圆的右焦点，则F′(2，0)，所以PF＋PF′＝2a＝6，所以PA－PF＝PA＋PF′－6，显然当F′，P，A三点共线，且PA与直线3x＋4y＋25＝0垂直时，PA－PF有最小值，最小值为－6＝.
3. BC　对于A，由＋＝1，得a＝3，b＝2，则c＝＝＝1，所以椭圆C的焦距为2，故A错误；对于B，如图，设椭圆的左焦点为F1，连接PF，QF，QF1.由椭圆的对称性有PF＋QF＝QF1＋QF＝2a＝6，故B正确；对于D，由题意，得BF＝a－c＝2，且PQ∥BF.又因为四边形PQBF为平行四边形，所以PQ＝BF＝2，可得点P的坐标为(－1，m)，代入椭圆中，得＋＝1，解得m＝，即点P的坐标为，则平行四边形的面积为2×＝，故D错误；对于C，设点P，Q的坐标分别为(x0，m)，(－x0，m)，则＋＝1，所以kAP·kAQ＝×＝＝＝，故C正确．故选BC.
4. －1　椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设点P，因为△PF1F2为等腰直角三角形，所以＝2c，即a2－2ac－c2＝0，可化为 1－2e－e2＝0，解得e＝－1或e＝－－1(舍去).
5. 由题意，得直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则点M到直线AP的距离是，
所以＝|m－6|.
又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2，0).
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
则d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15.
因为－6≤x≤6，所以当x＝时，d取得最小值，
所以椭圆上的点到点M的距离d的最小值为.(共29张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.2　椭圆的几何性质(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握椭圆的几何性质(范围，对称性，顶点，离心率)．
2．理解离心率的大小对椭圆形状的影响．
3．通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想．
活 动 方 案
活动一　掌握椭圆的几何性质
复习巩固：椭圆的定义及其标准方程：
【解析】 |x|≤a，|y|≤b.
2．对称性
思考2
在椭圆的标准方程中，将x换成－x，或将y换成－y，或同时把x，y分别换成－x，－y时，方程是否发生变化？这说明什么样的问题？
【解析】 方程不发生变化，说明椭圆关于y轴，x轴和原点都是对称的．
【解析】 椭圆与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)，与y轴的交点为(0，－b)，(0，b).
3．顶点
思考3
根据方程写出椭圆与坐标轴的交点坐标．
结论：椭圆的顶点：
【解析】 椭圆的顶点为(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b).
【解析】 椭圆的长轴长为2a，
椭圆的长轴长：　
【解析】 短轴长为2b.
椭圆的短轴长：　
【解析】 a，b，c的几何意义分别是椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长．
结合图形，思考a，b，c的几何意义分别为什么？
4．离心率
完成下列两个实验：
(1) 将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度(分别加长、缩短)，观察椭圆“扁”的程度的变化规律；
(2) 细绳的长度固定不变，将焦距分别增大或缩小，观察椭圆“扁”的程度的变化规律．
思考4
圆的形状都是相同的，而有些椭圆却比较“扁”，有些椭圆比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度？
【解析】 e∈(0，1)
探究：椭圆的离心率的取值范围是什么？
1
几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点；
③顶点：长轴端点分别为(0，10)，(0，－10)，短轴端点分别为(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
活动二　掌握椭圆的几何性质的简单应用
2
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
【答案】D
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2．(2025东莞期末)已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为 (　　)
D
1
2
3
4
5
【答案】AC
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
【答案】
1
2
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5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
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第3章
圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．
2．能根据椭圆的标准方程求解有关问题．
活 动 方 案
活动一　掌握求椭圆标准方程的常见方法
回顾椭圆的定义及其标准方程：
　　　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
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　　　已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
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【解析】 设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8>AB，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
反 思 与 感 悟
1．定义法求轨迹方程
若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
2．代入法(相关点法)求轨迹方程
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
【解析】 由垂直平分线性质可知MQ＝MA，
所以CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，
所以CM＋MA＝4.
又因为AC＝2，所以点M的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义，知a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
　　　　　　如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
活动二　掌握椭圆定义的简单应用
(1) 若∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积；
(2) 若∠PF1F2＝90°，求△PF1F2的面积．
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思考1
思考2
活动三　直线与椭圆的公共点坐标的求法
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检 测 反 馈
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1．(2025山西期中)已知M是圆C：x2＋y2－2y－31＝0上的动点，点A(0，－1)，线段AM的垂直平分线与线段CM交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是 (　　)
【答案】B
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D
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A．当－25公共点
B．当m＝－25或m＝25时，直线l与椭圆C
只有一个公共点
C．当m<－25或m>25时，直线l与椭圆C没有公共点
D．当－25≤m≤25时，直线l与椭圆C没有公共点
【答案】ABC
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5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
【解析】 (1) 由题意，得c＝2，
且焦点坐标分别为F1(0，－2)，F2(0，2).
由MF1＋MF2＝2a，
解得a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，
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