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(共41张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握双曲线的标准方程及其求法．
2．利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．
活 动 方 案
活动一　了解双曲线的定义，建立并理解双曲线的标准方程
复习巩固：椭圆的定义及标准方程：
发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是双曲线的一部分．
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在画板上的F1，F2两点．把笔尖放在点P处，随着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分．
1．双曲线的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．
符号语言：|PF1－PF2|＝2a(常数)，0<2a焦点与焦距：两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
思考1
(1) 若去掉双曲线定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：PF1－PF2＝2a0)，动点的轨迹是什么？
【解析】 动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若PF2－PF1＝2a0)，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F1的一支．
【解析】 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点).
(2) 双曲线定义中将“小于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
【解析】 当距离之差大于F1F2时，动点的轨迹不存在．
(3) 椭圆定义中将“小于F1F2”改为“大于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
【解析】 以点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
2．理解双曲线的标准方程　　
思考2
能否类比椭圆标准方程的推导，得到双曲线的标准方程？
(1) 如何建立坐标系？
(2) 双曲线上的点满足的几何条件是什么？
【解析】 双曲线上的点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于这两个定点之间的距离．
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？
思考3
若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考4
双曲线的标准方程有什么结构特征？
【解析】 (1) 双曲线的标准方程中，a，b，c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，均为正数，且三个量的大小关系为c＞a，c＞b，且c2＝b2＋a2.
(2) 已知双曲线的标准方程，判断焦点位置的方法是看x2，y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
(3) 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
思考5
两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
【解析】 双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.
思考6
双曲线中a，b，c满足怎样的关系？椭圆中 a，b，c满足怎样的关系？
活动二　掌握双曲线的标准方程的求法
　　　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离之差的绝对值为8，求双曲线的标准方程．
【解析】 由题意，得c＝5，2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因为焦点在x轴上，
1
【解析】 若PF1－PF2＝8，
　　　　　　若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？
　　　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
2
【解析】 应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．
思考7
若例2(1)(2)中的焦点所在的位置没有明确，则应如何处理？
求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在的坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值．
活动三　理解双曲线的标准方程
【解析】 由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
3
(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B
(1) 方程表示双曲线；
(2) 方程表示焦点在x轴上的双曲线；
(3) 方程表示焦点在y轴上的双曲线．
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【答案】BC
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5．(2025河南月考)求适合下列条件的双曲线的标准方程．
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第3章
圆锥曲线与方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的几何性质(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．
2．再次感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
活 动 方 案
活动一　掌握双曲线的几何性质
1．(1) 范围：
【解析】 x≥a或x≤－a
2．对称性：
【解析】 双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的．
3．顶点：
【解析】 A1(－a，0)，A2(a，0).
双曲线的实轴：
【解析】 线段A1A2.
双曲线的虚轴：
【解析】 B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2.
试探究 a，b，c的几何意义．
【解析】 a的几何意义：双曲线的实半轴长，
b的几何意义：双曲线的虚半轴长，
c的几何意义：双曲线的半焦距．
(2) 渐近线：
(3) 由图形可知，双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线？
【解析】 能．直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形．
(4) 比较双曲线的标准方程与其渐近线方程，如何快捷地得到双曲线的渐近线方程？
【解析】 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x.
(5) 什么是等轴双曲线？其渐近线方程是什么？
5．离心率：
椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，离心率是否也与双曲线的形状有关？
活动二　掌握双曲线的几何性质
1
　　　　　　求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
活动三　掌握双曲线几何性质的简单应用
2
　若去掉条件中的“焦点在y轴上”，结果如何？
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【答案】AB
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5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(2) 渐近线方程是y＝±2x，虚轴长为4.
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第3章
圆锥曲线与方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的几何性质(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．加深对双曲线几何性质的理解．
2．能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活 动 方 案
活动一　理解双曲线的离心率
(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，求该双曲线的离心率．
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2
思考1
如何求双曲线的离心率？
活动二　掌握双曲线的几何性质的简单应用
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【答案】ABD
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思考2
如何利用双曲线的性质解答问题？
【解析】 (1) 把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2) 由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求解时一定要注意焦点的位置．
活动三　双曲线方程的简单实际应用
　　　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
5
【解析】 设点A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
又PB－PA＝4，AB＝6>4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
反 思 与 感 悟
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
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【答案】A
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【答案】BC
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(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；
(2) 设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1·k2＝1.
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第3章
圆锥曲线与方程
3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．
活 动 方 案
活动一　利用双曲线的定义求双曲线的方程
　　　已知定圆O1和O2的半径分别为1和2，O1O2＝4，动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
1
【解析】 以O1O2所在的直线为x轴，以线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知O1(－2，0)，O2(2，0).设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R.
因为动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切，
所以MO1＝R－1，MO2＝R＋2，
所以MO2－MO1＝3(常数)，且3<4＝O1O2.
根据双曲线的定义，可得点M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的左支，
D
2
　　　已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s.
(1) 爆炸点在什么曲线上？
(2) 求这条曲线的方程．
3
【解析】 (1) 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知爆炸点离A处比离B处距离更远，设M为爆炸点，则MA－MB＝340×2＝680<800，所以爆炸点位于以A，B为焦点，且靠近B处的双曲线的一支上．
(2) 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，
则A(－400，0)，B(400，0)，
设M(x，y)为曲线上的任意一点，
则MA－MB＝2×340＝680<800，
所以2a＝680，即a＝340.
又c＝400，
所以b2＝c2－a2＝44 400，
又因为该曲线是靠近点B的双曲线的一支，
【解析】 需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．
思考1
利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？
【解析】 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1) 列出等量关系，化简得到方程；(2) 寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1) 双曲线的焦点所在的坐标轴；(2) 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3) 求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．
思考2
如何利用双曲线的定义求轨迹？
活动二　掌握双曲线定义的应用
【解析】 由双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
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活动三　掌握双曲线中与焦点三角形有关的基本运算
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所以64＋PF1·PF2＝100，
即PF1·PF2＝36，
C
【解析】 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形．令PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ，因为F1F2＝2c，所以有：
(1) 定义：|r1－r2|＝2a；
思考3
焦点三角形的一般处理办法有哪些？
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1．(2025滨州期末)与圆(x＋4)2＋y2＝4及圆x2＋y2－8x＋15＝0都内切的圆的圆心在 (　　)
A．椭圆上　　　　 B．双曲线的左支上　　　　
C．双曲线的右支上　　　　 D．双曲线上
【解析】 圆(x＋4)2＋y2＝4的圆心为F1(－4，0)，
半径为r1＝2；圆x2＋y2－8x＋15＝0的标准方程为(x
－4)2＋y2＝1，圆心为F2(4，0)，半径为r2＝1.如图，
设所求圆的圆心为P，半径为r.由圆与圆的位置关系，
得PF1＝r－2，PF2＝r－1，所以PF2－PF1＝18，故圆心P的轨迹是以F1，F2为左、右焦点的双曲线的左支．
B
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【答案】C
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A．若曲线C表示圆，则m＝1
B．若曲线C表示椭圆，则0C．若曲线C表示双曲线，则m>2
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m<0
【答案】AD
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【答案】
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3.2.1　双曲线的标准方程(1)
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹是(　　)
　A. 椭圆 B. 线段 C. 两条射线 D. 双曲线
2 若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为(　　)
A. (0，1) B. (－∞，0)∪(1，＋∞) C. (－∞，0) D. (1，＋∞)
3 已知双曲线－＝1右支上的一点P到其右焦点的距离为9，则点P到其左焦点的距离为(　　)
A. 17 B. 19 C. 2 D. 1
4 (2025新乡期中)已知双曲线x2－y2＝m与椭圆3x2＋4y2＝72有相同的焦点，则实数m的值为(　　)
A. －6 B. －3 C. 3 D. 6
5 (2025启东中学月考)焦点为(0，－2)，(0，2)且经过点(，－2)的双曲线的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. －＝1 D. －＝1
6 (2025松溪一中、政和一中等协作体期中)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为18，则b的值为(　　)
A. 9 B. 18 C. 3 D. 6
二、 多项选择题
7 (2025赣州中学开学考试)已知曲线C：－＝1(m∈R)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则－B. 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则－2C. 若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则m>
D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m<－2
8 (2025成都期末)设O为坐标原点，P为椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2：x2－y2＝1在第一象限的公共点，F1，F2分别是椭圆C1的左、右焦点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆C1与双曲线C2的焦点相同
B. PF1－PF2＝2
C. PF1＝3
D. OP＝
三、 填空题
9 (2025衡水二中月考)已知双曲线C：－y2＝1的焦点分别为(3，0)，(－3，0)，则m＝________．
10 (2025东台中学月考)经过点A(2，)，B(3，－2)的双曲线的标准方程为________．
11 (2025常州北郊高级中学期中)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点M满足MF1⊥MF2，则点M到x轴的距离是________．
四、 解答题
12 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 焦点分别为(0，－6)，(0，6)，且经过点A(－5，6)；
(2) 经过点(3，)，(－4，－2).
13 (2025江门新会华侨中学月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.
(1) 若双曲线C与椭圆＋y2＝1有共同的焦点，且双曲线C过点Q(2，1)，求该双曲线的标准方程；
(2) 若b＝1，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
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一、 单项选择题
1 已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则PF1－PF2等于　(　　)
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
2 (2025赣州期中)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P是双曲线C上一点，且PF1＝6PF2，则PF2等于(　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3 (2025重庆八中期中)已知椭圆＋＝1(m>0)与双曲线－y2＝1(n>0)有共同的焦点，则直线mx＋ny＝1必过定点(　　)
A. B. C. (1，－1) D. (3，－3)
4 (2025柳州一中期中)设点A(－2，0)，B(2，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值，则点M的轨迹方程是(　　)
A. －＝1(y≠0) B. －＝1(y≠0)
C. －y2＝1(y≠0) D. －＝1(y≠0)
5 (2025亳州联考)设P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段PF1的中点，若OQ＝1，则PF1的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6 (2025南阳六校期中)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线PF2的斜率为，则△PF1F2内切圆的面积为(　　)
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
二、 多项选择题
7 (2025邢台期中)已知α∈∪，曲线C：＋＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线C可能表示圆
B. 曲线C可能表示焦点在y轴上的双曲线
C. 若曲线C表示双曲线，则α∈
D. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则曲线C的焦距的取值范围为(0，2)
8 在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是(　　)
A. 两个椭圆
B. 两个双曲线
C. 一个双曲线和一条直线
D. 一个椭圆和一个双曲线
三、 填空题
9 (2025连云港期中)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为________．
10 (2025上海晋元高级中学期中)已知双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线交双曲线左支于M，N两点，若MN＝4，则△MNF2的周长为________．
11 椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，点P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
四、 解答题
12 四个森林防火观察站A，B，C，D的坐标依次为(5，0)，(－5，0)，(0，5)，(0，－5)，他们都发现某一地区有火讯．若A，B观察到的距离相差为6，且离A近，C，D观察到的距离相差也为6，且离C近．试求火讯点的坐标．
13 已知定点F(3，0)，定直线l：x＝，曲线C上有一动点P，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且PF＝3PM.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若点P在y轴的右侧，Q(5，4)，求△PFQ周长的最小值．
3．2.2　双曲线的几何性质(1)
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一、 单项选择题
1 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2 (2025前黄高级中学期中)若双曲线的方程为－x2＝1，则它的两条渐近线方程是(　　)
A. y＝±3x B. y＝± C. y＝±9x D. y＝±
3 (2025石家庄二中期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2＝4，直线l：x＝截双曲线C的两条渐近线所得的线段长为，则双曲线C的标准方程为(　　)
A. －y2＝1 B. x2－＝1 C. －＝1 D. －y2＝1
4 (2025灌南期中)若双曲线C：x2－＝1(m>0)的一条渐近线平行于直线y＝－4x－2，则双曲线C的虚轴长为(　　)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5 (2025仪征精诚高级中学期中)双曲线的渐近线方程是y＝±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为(　　)
A. x2－＝1或y2－＝1 B. x2－＝1或－x2＝1
C. －＝1或－＝1 D. x2－＝1或－＝1
6 (2025泰州期中)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)的一部分，且此双曲线的一条渐近线为2x＋y＝0，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2025宿迁中学期中)已知双曲线C：－＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线C的实轴长为8
B. 双曲线C的焦距为10
C. 双曲线C的离心率为
D. 双曲线C的渐近线方程为y＝±
8 (2025渭南三贤中学期中)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的上、下焦点，点P在双曲线C上，且双曲线C的实轴长等于虚轴长的2倍，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝2
B. 顶点坐标为(±2，0)
C. 双曲线C的离心率为
D. 双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
三、 填空题
9 若双曲线C的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且点P(2，)在双曲线C上，则双曲线C的实轴长为________．
10 已知双曲线 C：－y2＝1的实轴端点分别为A1，A2, P是双曲线上异于点A1，A2的一点，则PA1与PA2的斜率之积为________．
11 若双曲线C：－＝1的一条渐近线与直线l：3x＋2y－2＝0相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为________.
四、 解答题
12 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且过点M(，2).
(1) 求双曲线C的虚轴长；
(2) 求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(－2，4)的双曲线的标准方程．
13 (2025河南师大附中期中)已知点P(1，4)，双曲线x2－＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直．
(1) 求双曲线的离心率；
(2) 设点M在双曲线上，·＝0，求点M到x轴的距离．
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 (2025沧州沧县中学期中)双曲线Γ：－＝1的实轴长为m，焦距为n，则m－n的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. －2 D. －4
2 (2025东莞联考)中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是 (　　)
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4 C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
3 (2025合肥一中期中)如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面. 若该花瓶横截面圆的最小直径为40 cm，最大直径为60 cm，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为(　　)
　　　
A. 50 cm B. 100 cm C. 110 cm D. 120 cm
4 (2025石家庄新乐七校联合体期中)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，点A在第二象限，且点A 关于x轴的对称点为A′. 若A′F⊥AB，则直线l的方程为(　　)
A. x＋y－3＝0 B. x－y－3＝0 C. x＋y－3＝0 D. x－y－3＝0
5 (2025连云港期中)已知A，B为双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于坐标原点对称的两点，F为双曲线的右焦点，且AF⊥BF，∠ABF＝30°，则双曲线的离心率为(　　)
A. ＋1 B. C. D.
6 (2025宿迁中学期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P是双曲线C上的一点，OP＝OF2，且△POF2的面积为2，则实数b的值为(　　)
A. B. 2 C. 4 D. 2
二、 多项选择题
7 在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列结论中正确的是(　　)
A. 曲线E经过坐标原点
B. 曲线E关于x轴对称
C. 曲线E关于y轴对称
D. 若点(x，y)在曲线E上，则－1≤x≤1
8 (2025淮安涟水一中月考)已知曲线C1：4x2＋3y2＝48，C2：x2－＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线C1与C2的焦点坐标相同
B. 曲线C1的长轴长为8
C. 曲线C1与C2的离心率互为倒数
D. 曲线C2的渐近线方程为y＝±x
三、 填空题
9 (2025咸阳实验中学期中)已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的离心率是，则双曲线C的实轴长为________．
10 (2025绵阳中学期中)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，椭圆C1与双曲线C2的离心率之积为，则双曲线C2两条渐近线的夹角大小为________．
11 (2025深圳期中)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为________．
四、 解答题
12 已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 已知点M(0，3)，P是双曲线C上的任意一点，求PM的最小值．
13 (2025连云港期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为E，实轴长为4，过双曲线C的左焦点F作直线l，当直线l与x轴垂直时，直线l与双曲线C的两个交点分别为M，N，此时△MNE为等腰直角三角形．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 当直线l与双曲线C的渐近线平行时，求直线l与双曲线C的交点坐标．
3．2　双　曲　线
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
1. D　根据双曲线的定义，及|MF1－MF2|＝4，且F1F2＝6＞4，可知点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.
2. B　因为方程＋＝1表示双曲线，所以(1－m)m＜0，解得m<0或m>1.
3. A　由题意，得a＝4，由双曲线第一定义，得PF1－PF2＝2a＝8(F1，F2分别为双曲线的左、右焦点).又PF2＝9，所以PF1＝8＋9＝17.
4. C　由题意，得双曲线的标准方程为－＝1，椭圆的标准方程为＋＝1，椭圆的焦点在x轴上，且a2＝24，b2＝18，所以c2＝a2－b2＝6.因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以m>0，且m＋m＝c2＝6，解得m＝3.
5. D　由题意，得焦点(0，－2)，(0，2)在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝2.由双曲线的性质得c2＝a2＋b2，即a2＋b2＝4①.又双曲线过点(，－2)，所以－＝1，化简为－＝1②.联立①②，解得a2＝2，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
6. C　如图，设双曲线C的焦距为2c，由题意，得又PF＋PF＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2，所以4c2＝4a2＋72，则4c2－4a2＝4b2＝72，解得b2＝18，即b＝3.
7. ACD　对于A，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m＋2>1－2m>0，解得－m＋2>0，解得－20，且2m－1>0，解得m>，故C正确；对于D，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＋2<0，且2m－1<0，解得m<－2，故D正确．故选ACD.
8. ABD　对于A，椭圆C1：＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，双曲线C2：x2－y2＝1的焦点坐标也为(±，0)，F1F2＝2，故A正确；对于B，双曲线C2：x2－y2＝1的实半轴长a＝1，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a＝2，故B正确；对于C，由椭圆C1：＋y2＝1，得PF1＋PF2＝2.又PF1－PF2＝2，所以PF1＝1＋，故C错误；对于D，由C得PF2＝－1，则PF＋PF＝(1＋)2＋(－1)2＝8＝(F1F2)2，即∠F1PF2为直角，则OP＝F1F2＝，故D正确．故选ABD.
9. 8　由题意，得双曲线C：－y2＝1的焦点分别为(3，0)，(－3，0)，则双曲线的焦点在x轴上，c＝3，且m>0，所以m＋1＝c2＝9，解得m＝8.
10. －＝1　设双曲线的标准方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，代入点A，B(3，－2)，得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
11. 　由题意，得半焦距c＝＝6，则F1(－6，0)，F2(6，0)，设点M(x，y)，则＝(－6－x，－y)，＝(6－x，－y).因为MF1⊥MF2，所以·＝0，即x2＋y2＝36.由解得y＝±，故点M到x轴的距离是.
12. (1) 由题意，得焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，
代入点的坐标，得解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 椭圆＋y2＝1的焦点为(，0)和(－，0)，
由题意，得解得
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2) 设PF1＝m，PF2＝n，则由双曲线的定义得m－n＝2a，
在△PF1F2中，4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn＝4a2＋mn，
则mn＝4c2－4a2＝4b2＝4，
所以△F1PF2的面积S＝mn sin ＝×4×＝.
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
1. B　因为P为双曲线－＝1右支上一点，所以PF1－PF2＝2a＝6.
2. D　由题意，得解得PF2＝2.
3. B　因为椭圆＋＝1(m>0)与双曲线－y2＝1(n>0)有共同的焦点，所以椭圆＋＝1(m>0)的焦点在x轴上，即m－2＝n＋1，m＝n＋3，所以直线mx＋ny＝1可化为(n＋3)x＋ny＝1，即n(x＋y)＋3x－1＝0.令解得所以直线mx＋ny＝1必过定点.
4. B　设点M(x，y)，x≠±2，则kAM·kBM＝·＝＝，整理，得－＝1，所以点M的轨迹方程是－＝1(y≠0).
5. C　由双曲线C：－y2＝1，得a＝2.因为O为F1F2的中点，Q为线段PF1的中点，且OQ＝1，所以PF2＝2，故PF1＝PF2＋2a＝2＋4＝6.
6. C　由题意，得F1(－4，0)，F2(4，0)，PF1－PF2＝6.如图，设圆C与线段PF1，PF2，F1F2分别相切于点D，E，G，则PD＝PE，F1D＝F1G，F2G＝F2E，所以F1G－F2G＝F1D－F2E＝PF1－PF2＝6，所以点G(3，0)，故内切圆的圆心C在直线x＝3上．因为PF2的斜率为，所以倾斜角为60°.又因为CF2是∠PF2F1的平分线，所以直线CF2的倾斜角为120°，方程为y＝－(x－4)，将x＝3代入，得点C(3，)，所以CG＝，即圆C的半径为，所以圆C的面积为3π.
7. ACD　当α＝时，sin α＝cos α＝，曲线C的方程可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆，故A正确；由α∈∪，得sin α>0，所以曲线C不可能表示焦点在y轴上的双曲线，故B错误；因为α∈∪，所以sin α>0.若曲线C表示双曲线，则cos α<0，解得α∈，故C正确；若双曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则sin α>cos α>0，所以tan α>1，解得α∈，所以α－∈，sin ∈，所以曲线C的焦距为2＝2∈(0，2)，故D正确．故选ACD.
8. BC　由题意，得圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1；圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以C1C2＝4.设动圆P的半径为r.当r1＋r2<4时，两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．①若动圆P与两圆均内切，则PC1＝r－r1，PC2＝r－r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上；②若动圆P与两圆均外切，则PC1＝r＋r1，PC2＝r＋r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同；③若动圆P与两圆一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则PC1＝r－r1，PC2＝r＋r2，PC2－PC1＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，PC1－PC2＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC.
9. (4，＋∞)　因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以可将其方程化为－＝1，则解得m>4.
10. 12　由双曲线C：x2－y2＝1，得a＝1，则MF2－MF1＝2，NF2－NF1＝2，所以MF2＋NF2－(MF1＋NF1)＝4，即MF2＋NF2＝(MF1＋NF1)＋4＝MN＋4＝4＋4＝8，所以△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝8＋4＝12.
11. 24　24　由题意知，椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5).由椭圆与双曲线的定义可得所以或又F1F2＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以所求周长为PF1＋PF2＋F1F2＝14＋10＝24，所求面积为S△F1PF2＝PF1·PF2＝24.
12. 设火讯点P的坐标为(x，y).
因为观察到的距离相差为6，且AB＝CD＝10>6，
所以点P在双曲线上，则c＝5，a＝3，
所以b＝＝4.
因为离A近，所以点P在双曲线－＝1(x≥3)上．
因为离C近，所以点P也在双曲线－＝1(y≥3)上．
联立两双曲线的方程可得
即火讯点的坐标为.
13. (1) 设点P(x，y).
因为PF＝3PM，所以＝3|x－|，
整理，得8x2－y2＝8，
即曲线C的方程为x2－＝1.
(2) 设曲线C的左焦点为F′，则F′(－3，0).
因为点P在双曲线C的右支上，
所以PF′－PF＝2a＝2，所以PF＝PF′－2.
因为FQ＝＝2，
所以△PFQ的周长为 PF＋PQ＋FQ＝PF′＋PQ＋2－2.
当Q，P，F′三点共线时，PF′＋PQ取得最小值QF′＝＝4，
所以△PFQ周长的最小值为6－2.
3．2.2　双曲线的几何性质(1)
1. C　双曲线方程化为标准方程为－＝1，所以a2＝4，解得a＝2，则2a＝4.
2. A　由－x2＝0，得双曲线的渐近线方程为y＝±3x.
3. B　设点F2(c，0)(c>0)，则F1F2＝2c＝4，故c＝2.由题意，得＝，c2＝a2＋b2，所以a＝1，b＝，故双曲线C的标准方程为x2－＝1.
4. D　由题意，得双曲线C：x2－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±mx.因为双曲线C：x2－＝1(m>0)的一条渐近线平行于直线y＝－4x－2，则－m＝－4，即m＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，所以虚轴长为2×4＝8.
5. D　由题意，设双曲线的标准方程为x2－＝λ，λ≠0.若λ>0，则－＝1.由虚轴长2＝4，得λ＝1，所以双曲线的标准方程为x2－＝1；若λ<0，则－＝1.由虚轴长2＝4，得λ＝－4，所以双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为x2－＝1或－＝1.
6. B　由题意，得该双曲线的一条渐近线方程为2x＋y＝0，即y＝－x，所以＝，则＝，故该双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝＝.
7. BC　由双曲线C：－＝1，得a＝3，b＝4，则c＝＝5，所以双曲线C的实轴长为2a＝6，双曲线C的焦距为2c＝10，双曲线C的离心率为＝.因为双曲线的焦点在纵轴上，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±.故B，C正确；A，D错误．故选BC.
8. CD　由题意，得m∈(0，5)，a2＝m，b2＝5－m.因为2a＝2×2b，即a＝2b，所以a2＝4b2，即m＝4(5－m)，所以m＝4，所以a＝2，b＝1，c＝＝，所以顶点坐标为(0，±2)，e＝＝，故A，B错误，C正确；因为a＝2，b＝1，且双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±2x，故D正确．故选CD.
9. 2　双曲线C的实轴长为2a＝|PF1－PF2|＝|－|＝2.
10. 　设点P(x0，y0)，y0≠0，则－y＝1.因为点A1(－2，0)，A2(2，0)，所以kPA1＝，kPA2＝，所以kPA1·kPA2＝·＝＝，所以PA1与PA2的斜率之积为.
11. 2　双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x.由两直线垂直，得·＝－1，即a＝3，所以c＝＝，故所求三角形的面积S＝×2×2＝2.
12. (1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.
在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.
由双曲线的定义可知MF1－MF2＝2a，
所以2a＝2，即a＝1.
因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以c＝，
所以b＝，
故双曲线C的虚轴长为2.
(2) 由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0).
将点P(－2，4)代入上述方程，得λ＝－4，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 由题意，得双曲线x2－＝1的左顶点为A(－1，0)，则kAP＝＝2.
因为双曲线的一条渐近线与直线AP垂直，
所以－＝－b＝－，则b2＝，
所以c2＝a2＋b2＝1＋＝，即c＝，
所以双曲线的离心率为e＝＝.
(2) 因为·＝0，
所以MF1⊥MF2.
设MF1＝m，MF2＝n，
则在Rt△MF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝5，
由双曲线的定义，可得|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝4a2＝4，
解得mn＝，则S△MF1F2＝mn＝.
又S△MF1F2＝F1F2·|yM|＝×|yM|＝，
解得|yM|＝，
所以点M到x轴的距离为.
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
1. C　由－＝1，得双曲线的焦点在x轴上，且a2＝4，b2＝5，所以a＝2，c＝＝3，所以m＝2a＝4，n＝2c＝6，m－n＝－2.
2. A　在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得 x＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故等轴双曲线的方程是x2－y2＝8.
3. B　由该花瓶横截面圆的最小直径为40 cm，得a＝20.由双曲线的离心率为，得c＝20，b＝20，则双曲线的标准方程为－＝1，当x＝30时，y＝±50，故该花瓶的高为100 cm.
4. A　由题意，得∠AFO＝∠AFA′＝(O为坐标原点)，F(3，0)，故直线l的斜率为tan ＝－1，所以直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
5. A　如图，设点A在双曲线的右支上，双曲线的左焦点为M，则AM－AF＝2a.由双曲线的对称性，且AF⊥BF，得四边形AMBF为矩形，所以AB＝MF＝2c.因为AF⊥BF，∠ABF＝30°，所以AF＝2c sin 30°＝c，AM＝2c cos 30°＝c.因为AM－AF＝2a，所以c－c＝2a，所以＝＝＋1.
6. B　因为△POF2的面积为2，O为F1F2的中点，所以△PF1F2的面积为4.又OP＝OF2，所以OP＝OF2＝OF1＝F1F2，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2.设PF1＝m，PF2＝n，所以|m－n|＝2a，m2＋n2＝4c2，所以2mn＝4c2－4a2＝4b2，所以mn＝2b2，所以S△PF1F2＝mn＝×2b2＝b2＝4.又b>0，所以b＝2.
7. BC　设点P(x，y)，则kPF1·kPF2＝·＝＝8，则x2－＝1(y≠0)，所以轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点．曲线E不经过原点，故A错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，故B，C正确；若点(x，y)在曲线E上，则x>1或x<－1，故D错误．故选BC.
8. BCD　对于曲线C1：4x2＋3y2＝48，可化为＋＝1，所以焦点在y轴上，其中a1＝4，b1＝＝2，所以c1＝＝2，长轴长为2a1＝8，离心率为e1＝＝；对于曲线C2：x2－＝1，焦点在x轴上，且a2＝1，b2＝，所以c2＝＝＝2，离心率e2＝＝2，渐近线方程为y＝±x＝±x，故A错误；B，C，D正确．故选BCD.
9. 　因为所以a＝，所以实轴长为2a＝.
10. 60°　因为椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝，所以e1e2＝＝＝，则＝1－＝，即＝.设双曲线渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝±＝±，即渐近线的倾斜角分别为60°和120°.又两条直线夹角α的范围为0°≤α≤90°，所以双曲线C2两条渐近线的夹角大小为120°－60°＝60°.
11. 2　设点F(c，0)，另一个焦点为F1，直线l与y＝x垂直，垂足为A，与y＝－x交于点B.因为A是线段FB的中点，直线l与y＝x垂直，所以OF＝OB，则三角形OFB是等腰三角形，所以∠AOF＝∠AOB.由双曲线和渐近线的对称性，得∠AOF＝∠AOB＝∠BOF1，所以∠AOF＝，故＝tan ，即＝3，所以e＝2.
12. (1) 双曲线－＝1的焦点为(0，±)，
所以设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以a＝2，a2＋b2＝5，解得b＝1，
所以双曲线C的标准方程为－x2＝1.
(2) 由－x2＝1，得y≤－2或y≥2.
设点P(x0，y0)，y0≤－2或y0≥2，则－x＝1，
所以PM＝＝＝＝，
所以当y0＝时，PM取得最小值.
13. (1) 由题意，得解得
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
(2) 由题意，得渐近线方程为y＝±x，
当直线l与y＝x平行时，直线l的方程为y＝(x＋4)，
联立解得
当直线l与y＝－x平行时，直线l的方程为y＝－(x＋4)，
联立解得
所以直线l与双曲线C的交点坐标为或.3．2　双 曲 线
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
1. 掌握双曲线的标准方程及其求法．
2. 利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．
活动一了解双曲线的定义，建立并理解双曲线的标准方程　　
复习巩固：椭圆的定义及标准方程：
发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是双曲线的一部分．
　
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在画板上的F1，F2两点．把笔尖放在点P处，随着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分．
1. 双曲线的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．
符号语言：|PF1－PF2|＝2a(常数)，0<2a焦点与焦距：两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
思考1
(1) 若去掉双曲线定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：PF1－PF2＝2a0)，动点的轨迹是什么？
(2) 双曲线定义中将“小于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
(3) 椭圆定义中将“小于F1F2”改为“大于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
2. 理解双曲线的标准方程　　
思考2
能否类比椭圆标准方程的推导，得到双曲线的标准方程？
(1) 如何建立坐标系？
(2) 双曲线上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？
思考3
若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考4
双曲线的标准方程有什么结构特征？
思考5
两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
思考6
双曲线中a，b，c满足怎样的关系？椭圆中 a，b，c满足怎样的关系？
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图　　形
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
活动二掌握双曲线的标准方程的求法　　
例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离之差的绝对值为8，求双曲线的标准方程．
　若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
(2) a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(3) a＝2，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
思考7
若例2(1)(2)中的焦点所在的位置没有明确，则应如何处理？
　求经过(－2，)，(，4)两点的双曲线的标准方程．
求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在的坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值．
活动三理解双曲线的标准方程
例3 (1) 若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是________________；
(2) 若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A. (5，10)　　B. (3，5)　　C. (6，＋∞)　　　D. (－∞，3)∪(5，＋∞)
例4 已知－＝－1，当k满足什么条件时：
(1) 方程表示双曲线；
(2) 方程表示焦点在x轴上的双曲线；
(3) 方程表示焦点在y轴上的双曲线．
1. (2025徐州期中)若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为(　　)
A. －32 C. m<－3 D. m>2
2. (2025天津期中)过点(2，2)，焦点坐标为(0，±)的双曲线的标准方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
3. (多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点．若△PF1F2的面积为20，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点P到x轴的距离为 B. PF1＋PF2＝
C. △PF1F2为钝角三角形 D. ∠F1PF2＝
4. (2025渭南期中)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，PQ＝10，点A(5，0)在直线PQ上，则△PQF的周长为________．
5. (2025河南月考)求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) 焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且经过点T(－，)；
(2) 焦点在y轴上，经过点P(，3)，Q(1，－).
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
1. 能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2. 掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．
活动一利用双曲线的定义求双曲线的方程　　
例1 已知定圆O1和O2的半径分别为1和2，O1O2＝4，动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
　已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支
例2 在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC斜率的乘积为，求顶点A的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
例3 已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s.
(1) 爆炸点在什么曲线上？
(2) 求这条曲线的方程．
思考1
利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？
思考2
如何利用双曲线的定义求轨迹？
活动二掌握双曲线定义的应用
例4 (1) 过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则MF2＋NF2－MN＝________；若MN＝5，则△MNF2的周长为________；
(2) 已知定点A的坐标为(1，4)，F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
活动三掌握双曲线中与焦点三角形有关的基本运算
例5 已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线上的任意一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
　设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于(　　)
A. 4　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 24　　　　　　　D. 48
思考3
焦点三角形的一般处理办法有哪些？
1. (2025滨州期末)与圆(x＋4)2＋y2＝4及圆x2＋y2－8x＋15＝0都内切的圆的圆心在(　　)
A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 双曲线上
2. (2025咸阳期中)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线左支上一点，点Q(0，－3)，则△PQF2周长的最小值为(　　)
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
3. (多选)(2025昆明期中)已知曲线C的方程为＋＝1(m≠0，m≠2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若曲线C表示圆，则m＝1
B. 若曲线C表示椭圆，则0C. 若曲线C表示双曲线，则m>2
D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m<0
4. (2025通州、启东、如东期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限相交于点P.若直线PF1的斜率为，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的标准方程为____________．
5. (2025抚州期中)已知双曲线E：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线E上一点，当PF1⊥x轴时，PF1＝3.
(1) 求双曲线E的标准方程；
(2) 若·＝1，求△PF1F2的面积．
3．2.2　双曲线的几何性质(1)
1. 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．
2. 再次感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
活动一掌握双曲线的几何性质
类比椭圆几何性质的研究，能否根据双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)得到双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？
1. (1) 范围：
(2) 根据双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？
2. 对称性：
3. 顶点：
双曲线的实轴：
双曲线的虚轴：
试探究 a，b，c的几何意义．
4. (1) 我们已经知道，双曲线的范围在以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝±x具有怎样的关系？
(2) 渐近线：
(3) 由图形可知，双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线？
(4) 比较双曲线的标准方程与其渐近线方程，如何快捷地得到双曲线的渐近线方程？
(5) 什么是等轴双曲线？其渐近线方程是什么？
5. 离心率：
椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，离心率是否也与双曲线的形状有关？
　
标准方程
图象
性 质 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c(c＝) F1F2＝2c(c＝)
范围 {x|x≤－a或x≥a}，y∈R {y|y≤－a或y≥a}，x∈R
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 (±a，0) (0，±a)
轴 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率 e＝(e>1)
渐近线 方程 y＝±x y＝±x
活动二掌握双曲线的几何性质
例1求双曲线－＝1 的实轴长、虚轴长、焦点和顶点的坐标、离心率及渐近线方程．
　求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
活动三掌握双曲线几何性质的简单应用　
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程．
　若去掉条件中的“焦点在y轴上”，结果如何？
例3 求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
1. (2025连云港期中)双曲线C：－＝1的渐近线方程为(　　)
　A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x
2. (2025南阳期中)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，若双曲线C的焦距与实轴长的和为16，且c2－a2＝16，则a的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. (多选)(2025深圳期中)已知双曲线M：－＝1过点(3，)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 双曲线M的焦距为4
B. 双曲线M的渐近线方程为y＝±x
C. 双曲线M的离心率为
D. 直线x－y－1＝0与双曲线M有两个公共点
4. (2025石家庄期中)若双曲线的实轴长为4，虚轴长为2，则该双曲线的离心率等于________．
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 顶点在x轴上，焦距为10，e＝；
(2) 渐近线方程是y＝±2x，虚轴长为4.
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
1. 加深对双曲线几何性质的理解．
2. 能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
活动一理解双曲线的离心率
例1　(1) 已知对称中心为原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点且离心率互为倒数，求该双曲线的方程；
(2) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，求该双曲线的离心率．
例2 记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与双曲线C无公共点”的e的一个值为________．
思考1
如何求双曲线的离心率？
活动二掌握双曲线的几何性质的简单应用　
例3 (1) (多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则下列结论中正确的是(　　)
A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±2x　　B. △PF1F2内切圆的半径为2
C. PF1＋PF2＝12 D. 点P到x轴的距离为
(2) 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线，交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________．
例4　如图，已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y＝x对称，设直线l过点A，斜率为k.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 当k＝1时，在双曲线C的上支上求点B，使其到直线l的距离为.
思考2
如何利用双曲线的性质解答问题？
活动三双曲线方程的简单实际应用
例5 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
反思与感悟
根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出双曲线的标准方程．
1. (2025沧州期中)陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及直线y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线C的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝± C. y＝±x D. y＝±
2. (2025南通期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，PF1＝3PF2且2OP＝F1F2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. 2 C. D.
3. (多选)(2025淄博期中)已知双曲线E：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在渐近线上，满足AF1⊥AF2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 虚轴长为 B. 离心率为2
C. 双曲线E的渐近线方程是y＝±x D. △AF1F2的面积是4
4. (2025周口期末)已知P为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，且△PF1F2的面积为2，若双曲线C的离心率为，则双曲线C的实轴长为________．
5. (2025周口期中)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D.
(1) 求椭圆和双曲线的标准方程；
(2) 设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1·k2＝1.
3．2　双 曲 线
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
【活动方案】
复习巩固：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
思考1：(1) 动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若PF2－PF1＝2a0)，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F1的一支．
(2) 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点).
(3) 当距离之差大于F1F2时，动点的轨迹不存在．
思考2：(1) 以点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(2) 双曲线上的点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于这两个定点之间的距离．
(3) 设P(x，y)为双曲线上的任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则|－|＝2a，且2a<2c.
(4) 化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
若c2－a2＝b2(b>0)，则－＝1(a>0，b>0).
思考3：－＝1(a>0，b>0)，推导略．
思考4：(1) 当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其中c2＝a2＋b2.
(2) 当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其中c2＝a2＋b2.
思考5：(1) 双曲线的标准方程中，a，b，c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，均为正数，且三个量的大小关系为c＞a，c＞b，且c2＝b2＋a2.
(2) 已知双曲线的标准方程，判断焦点位置的方法是看x2，y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
(3) 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
思考6：双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.
例1　由题意，得c＝5，2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因为焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练　若PF1－PF2＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≥4).
若PF2－PF1＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≤－4).
例2　(1) 由题意，得双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 因为双曲线的焦点在y轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
由题意知a＝2，且双曲线过点A(2，－5)，
所以
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
因为双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
所以c＝2.
又a＝2，所以b2＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
思考7：应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．
跟踪训练　设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
因为双曲线经过(－2，)，(，4)两点，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例3　(1) (－∞，－2)∪(－1，＋∞)　由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
(2) B　方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则 解得3例4　(1) 原方程可变形为－＝1.
若方程表示双曲线，则(|k|－3)(1－k)>0，
即或
解得k<－3或1(2) 若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则解得1(3) 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－3.
【检测反馈】
1. A　由方程－＝1表示双曲线，得(2－m)(3＋m)>0，解得－32. A　设双曲线的方程为－＝1，则c2＝a2＋b2＝6，－＝1，所以－＝1，解得a2＝2或a2＝12(舍去)，所以b2＝4，所以该双曲线的标准方程为－＝1.
3. BC　因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝×2c×|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误；将|yP|＝4代入－＝1，得－＝1，则|xP|＝.根据对称性，不妨取点P的坐标为(，4)，则PF2＝＝.由双曲线的定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝＋＝，故B正确；由B得，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝，且cos ∠PF2F1＝<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确；在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝≠，所以∠F1PF2≠，故D错误．故选BC.
4. 36　由题意，得a＝4，b＝3，则c＝＝5，所以A(5，0)是双曲线的右焦点，则PF－PA＝2a＝8，QF－QA＝8，所以PF＋QF－(PA＋QA)＝PF＋QF－PQ＝16，所以PF＋QF＝10＋16＝26，所以△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝26＋10＝36.
5. (1) 因为双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以焦点在x轴上，且c＝2，
其方程可设为－＝1(a>0，b>0).
又双曲线经过点T(－，)，
所以－＝1，a2＋b2＝c2＝8，
所以－＝1，解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设其方程为－＝1(a>0，b>0).
又双曲线经过点P(，3)，Q(1，－)，
则解得
所以双曲线的标准方程为－x2＝1.
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
【活动方案】
例1　以O1O2所在的直线为x轴，以线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知O1(－2，0)，O2(2，0).设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R.
因为动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切，
所以MO1＝R－1，MO2＝R＋2，
所以MO2－MO1＝3(常数)，且3<4＝O1O2.
根据双曲线的定义，可得点M的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的左支，
且2a＝3，2c＝4，即a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝，
故所求轨迹的方程为－＝1(x≤－)，
即动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的左支.
跟踪训练　D　－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2.又2例2　设点A的坐标为(x，y)(y≠0).
由题意，得kAB·kAC＝，即·＝，
化简，得－＝1(y≠0)，
所以顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，轨迹方程为－＝1(y≠0).
例3　(1) 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知爆炸点离A处比离B处距离更远，设M为爆炸点，则MA－MB＝340×2＝680<800，所以爆炸点位于以A，B为焦点，且靠近B处的双曲线的一支上．
(2) 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，
则A(－400，0)，B(400，0)，
设M(x，y)为曲线上的任意一点，
则MA－MB＝2×340＝680<800，
所以2a＝680，即a＝340.
又c＝400，
所以b2＝c2－a2＝44 400，
又因为该曲线是靠近点B的双曲线的一支，
所以这条曲线的方程为－＝1(x≥340).
思考1：需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．
思考2：求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1) 列出等量关系，化简得到方程；(2) 寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1) 双曲线的焦点所在的坐标轴；(2) 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3) 求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．
例4　(1) 8　18　由双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.
(2) 9　由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0).因为PF－PF1＝2a＝4，即PF＝PF1＋4，所以PF＋PA＝PF1＋PA＋4≥AF1＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，又 AF1＝＝5，所以PF＋PA≥AF1＋4＝9，即PF＋PA的最小值为9.
例5　由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，即PF＋PF－PF1·PF2＝100.
又|PF2－PF1|＝8，
所以PF＋PF＝64＋2PF1·PF2，
所以64＋PF1·PF2＝100，
即PF1·PF2＝36，
所以S△F1PF2＝·PF1·PF2·sin ＝×36×＝9.
跟踪训练　C　由题意，得解得又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝PF1·PF2＝24.
思考3：双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形．令PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ，因为F1F2＝2c，所以有：
(1) 定义：|r1－r2|＝2a；
(2) 余弦定理公式：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；
(3) 面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ.
【检测反馈】
1. B　圆(x＋4)2＋y2＝4的圆心为F1(－4，0)，半径为r1＝2；圆x2＋y2－8x＋15＝0的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为F2(4，0)，半径为r2＝1.如图，设所求圆的圆心为P，半径为r.由圆与圆的位置关系，得PF1＝r－2，PF2＝r－1，所以PF2－PF1＝12. C　如图，在双曲线－＝1中，a＝2，b＝2，则c＝＝4，则F1(－4，0)，F2(4，0).由双曲线的定义可得PF2－PF1＝2a＝4，所以PF2＝4＋PF1，所以△PQF2的周长为PQ＋PF2＋QF2＝PQ＋4＋PF1＋QF2≥QF1＋QF2＋4＝2QF1＋4＝2＋4＝14，当且仅当P为线段QF1与双曲线的交点时，等号成立，故△PQF2周长的最小值为14.
3. AD　对于A，若曲线表示圆，则m＝2－m>0，解得m＝1，故A正确；对于B，若曲线表示椭圆，则解得02，故C错误；对于D，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得m<0，故D正确．故选AD.
4. －＝1　因为以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限相交于点P，所以PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中，由直线PF1的斜率为，得tan ∠PF1F2＝＝，即PF1＝2PF2.由△PF1F2的面积为8，得S△PF1F2＝PF1·PF2＝8，即×2PF2·PF2＝8，解得PF2＝2，PF1＝2×2＝4.由双曲线的定义知2a＝PF1－PF2＝2，故a＝.在Rt△PF1F2中，F1F2＝＝＝2，故2c＝2，即c＝，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以双曲线C的标准方程为－＝1.
5. (1) 设点F1(－c，0)，P(x0，y0)，
由题意，得当x0＝－c时，＝3.
由点P在双曲线E上可得－＝1，即－3＝1.
又a2＋3＝c2，所以a＝1，c＝2，
所以双曲线E的标准方程为x2－＝1.
(2) 由(1)可知F1(－2，0)，F2(2，0)，
则＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由题意，得
解得x0＝±，y0＝±，
所以△PF1F2的面积S＝F1F2·＝×4×＝2.
3.2.2　双曲线的几何性质(1)
【活动方案】
1. (1) x≥a或x≤－a
(2) 由双曲线的标准方程－＝1，
得－>0，
即(＋)(－)>0，
从而或
所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内．
2. 双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的．
3. 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0).
双曲线的实轴：线段A1A2.
双曲线的虚轴：B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2.
a的几何意义：双曲线的实半轴长，
b的几何意义：双曲线的虚半轴长，
c的几何意义：双曲线的半焦距．
4. (1) 随着x的增大，双曲线在第一象限内的点在直线y＝x的下方且无限接近于这条直线；随着x的减小，在第三象限内，双曲线上的点在直线y＝x的上方且无限接近于这条直线．根据对称性，直线y＝－x也有相同的性质．
(2) 直线y＝±x叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．
(3) 能．直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形．
(4) 若双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x；
若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(5) 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x.
5. 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率．离心率越大，开口越大；离心率越小，开口越小．
例1　由题意，得a2＝4，b2＝3，则c2＝4＋3＝7，
所以a＝2，b＝，c＝，
所以双曲线的实轴长为4，虚轴长为2，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，化为标准方程－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，渐近线方程为y＝± x＝± x.
例2　由题意，得2c＝16，所以c＝8.
由e＝＝，得a＝6，
则b2＝c2－a2＝64－36＝28，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练　当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.
例3　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意可得c＝2，
又双曲线过点(3，2)，所以－＝1.
因为a2＋b2＝(2)2，所以a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
【检测反馈】
1. B　由双曲线C：－＝1，得实轴长2a＝10，虚轴长2b＝8，所以其渐近线方程为y＝±x＝±x.
2. B　由题意，得整理得解得a＝3.
3. AB　由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线M的标准方程为－y2＝1，所以a＝，b＝1，c＝＝2.双曲线M的焦距为2c＝4，故A正确；双曲线M的渐近线方程为y＝±x，故B正确；双曲线M的离心率为＝＝，故C不正确；联立消去y并整理，得－＝1，解得x＝2，此时y＝，所以直线x－y－1＝0与双曲线M只有一个公共点，故D不正确．故选AB.
4. 　 记实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，则2a＝4，2b＝2，所以a＝2，b＝，c＝＝3，所以该双曲线的离心率e＝＝.
5. (1) 由题意，得解得
则b2＝c2－a2＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 当双曲线的焦点在x轴上时，
由题意，得解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1；
当双曲线的焦点在y轴上时，
由题意，得解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为x2－＝1或 －＝1.
3．2.2　双曲线的几何性质(2)
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得椭圆的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率e＝，则双曲线的焦点坐标为(1，0)，(－1，0)，离心率为.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则c＝1，a＝，所以b2＝1－＝，
所以双曲线的方程为2x2－2y2＝1.
(2) 不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则顶点坐标为(±a，0)，焦点坐标为(±c，0)，
一条渐近线方程为y＝x，
所以解得所以e＝＝3.
例2　2(满足10，b>0)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与双曲线C无公共点”，所以e＝＝≤＝.又e>1，所以1思考1：(1) 若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2) 若已知a，b，可直接利用e＝得解．
(3) 若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
例3　(1) ABD　由双曲线C：x2－＝1，得a＝1，b＝2，c＝5，所以双曲线C的渐近线方程为 y＝±2x，故A正确；因为PF1⊥PF2，PF1－PF2＝2，F1F2＝2c＝10，所以PF＋PF＝F1F＝100，PF＋PF－2PF1·PF2＝F1F－2PF1·PF2＝4，解得PF1·PF2＝48，所以PF1＋PF2＝＝＝14，故C错误；△PF1F2内切圆的半径为＝2，故B正确；设点P到x轴的距离为d，由△PF1F2的面积为＝24，可得d＝24，解得d＝，故D正确．故选ABD.
(2) x±y＝0　由题意，得PF2＝PF1，则PF1－PF2＝PF1＝2a，即PF1＝4a，PF2＝2a.在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以F1F2＝2c＝2a，即c＝a，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
例4　(1) 由题意可知双曲线的焦点在y轴上，
所以设双曲线的方程为－＝1.
因为点A(，0)，顶点A′与点A关于直线y＝x对称，
所以A′(0，)，即a＝.
设双曲线的渐近线方程为y＝±x.
由题意，得点A(，0)到渐近线的距离为1，
即＝1，解得b＝a＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2) 设B(x，)是双曲线C上到直线l：y＝x－的距离为的点，
所以＝，
解得x＝，此时＝2，
即点B的坐标为(，2).
思考2：(1) 把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2) 由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
提醒：求解时一定要注意焦点的位置．
例5　设点A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2).
因为PB＝PC，
所以点P在线段BC的垂直平分线上．
又易知kBC＝－，线段BC的中点为D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4).①
又PB－PA＝4，AB＝6>4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以双曲线的方程为－＝1(x≥2).②
联立①②，得点P的坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，
故甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【检测反馈】
1. A　由题意，得点M，N，且点M，N都在双曲线－＝1上，所以解得则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
2. C　因为2OP＝F1F2，所以OP＝OF1＝OF2＝c，则PF1⊥PF2.不妨设PF2＝1，则PF1＝3，故F1F2＝2c＝.由双曲线的定义，得PF1－PF2＝2a＝2，所以e＝＝＝.
3. BC　在双曲线E中，a＝1，b＝，c＝＝＝2.对于A，双曲线E的虚轴长为2b＝2，故A错误；对于B，双曲线E的离心率为e＝＝2，故B正确；对于C，双曲线E的渐近线方程是y＝±x＝±x，故C正确；对于D，不妨设点A在第一象限，设点A(x，x)(x>0)，易知点F1(－2，0)，F2(2，0)，则＝(x＋2，x)，＝(x－2，x)，所以·＝(x＋2)(x－2)＋3x2＝4x2－4＝0，解得x＝±1.因为x>0，所以x＝1，即点A(1，)，故S△AF1F2＝F1F2×＝×4×＝2，故D错误．故选BC.
4. 2　设点P在双曲线C的右支上，则PF1－PF2＝2a.由△PF1F2的面积为2，得PF1·PF2＝2，即PF1·PF2＝4.又∠F1PF2＝90°，所以PF＋PF＝F1F，即(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝4c2，所以4a2＋8＝4c2.又＝，所以c2＝2a2，则4a2＋8＝8a2，解得a＝，故双曲线C的实轴长为2a＝2.
5. (1) 设椭圆的半焦距为c，
由题意知＝，2a＋2c＝4(＋1)，
解得a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
设等轴双曲线的标准方程为－＝1(m>0)，
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设点P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4，
所以k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.

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