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3．3　抛　物　线
3.3.1　抛物线的标准方程
1. 了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2. 掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3. 明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
活动一了解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程
探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．
如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
1. 抛物线的定义：
2. 推导抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立合适的直角坐标系，可能使抛物线的方程形式简单？
结论：
抛物线的标准方程为：______________；
焦点坐标为F____________；
准线方程为l：____________．
思考2
抛物线的标准方程还有哪些形式？
　
完成下表
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
焦点坐标
准线方程
开口方向
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
思考4
确定抛物线的标准方程的关键是什么？
活动二掌握抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程　
例1 求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
(3) 注意p与的几何意义．
　
　　求焦点在直线x－2y＋2＝0上的抛物线的标准方程．
活动三抛物线方程的实际应用　　
例2　如图，已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，－1)，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的点Q.试确定点 Q的坐标．
反思与感悟
求解抛物线实际应用题的步骤：
　　一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
1. (2025渭南月考)抛物线x2＝6y的焦点坐标为(　　)
　A. (3，0) B. (0，3) C. D.
2. (2025河北期中)已知点在抛物线y＝ax2上，则该抛物线的准线方程为(　　)
A. y＝－ B. x＝－ C. y＝－2 D. x＝－2
3. (多选)以直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A. x2＝－y B. x2＝－2y C. y2＝2x D. y2＝4x
4. (2025上海浦东新区期中)如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成．已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距________cm.
5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
1. 了解抛物线的简单几何性质及通径的概念．
2. 能根据抛物线的方程解决简单的应用问题．
3. 归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同．
活动一掌握抛物线的几何性质及通径的概念
1. 探究：类比研究椭圆、双曲线几何性质的方法，填写下表：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
范　　围
对称性
顶　　点
开口方向
焦点坐标
准线方程
2. 通径的概念
通过抛物线的焦点垂直于对称轴的直线与抛物线相交的线段，称为抛物线的通径．特别地，通径长是过焦点的弦长的最小值．
活动二掌握抛物线几何性质的简单应用
例1求适合下列条件的抛物线的方程．
(1) 顶点在原点，准线方程为x＝3；
(2) 对称轴为x轴，顶点在原点，且过点(－3，4).
例2 (1) 抛物线x2＝2y的焦点坐标是(　　)
A. B. C. (0，1) D. (0，－1)
(2) 抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
活动三掌握抛物线几何性质的综合应用
例3 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，P是抛物线上的一个动点，点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求此时点P的坐标．
　若将例3中的点A(3，2)改为点A(0，2)，求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
例4 已知P为抛物线y2＝2x上的任意一点，设A(a，0)(a>0)，且PA＝d，试求d的最小值．
1. (2025镇江期中)已知抛物线y2＝2x的焦点为F，抛物线上一点P在其对称轴的上方，若PF＝，则点P的坐标是(　　)
A. B. C. (2，2) D. (1，)
2. (2025定州中学期初)顶点在原点，关于x轴对称，且经过点M(－1，2)的抛物线的方程为(　　)
A. y2＝4x B. y2＝－4x C. x2＝y D. x2＝－y
3. (多选)(2025江西期中)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(|m|，2)到抛物线C的焦点F的距离为5，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝3
B. 焦点F的坐标为(0，3)
C. m＝±2
D. 在抛物线C上存在点Q，使得△PQF为正三角形
4. (2025青海月考)设抛物线C：y＝－x2的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q(0，7)，若PF＝QF，则PQ＝________．
5. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．若点P到直线x＝－1的距离为d，点A(－1，1)，求PA＋d的最小值．
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
1. 能熟练地运用抛物线的几何性质解决有关问题．
2. 掌握处理与抛物线有关的综合问题的方法．
活动一掌握与抛物线的焦点弦有关的性质
例1 已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分，设点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2) AB＝x1＋x2＋p；
(3) ＋＝；
(4) 以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
思考
抛物线的焦点弦有哪些性质？
例2 已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，AB＝16.
(1) 求抛物线的方程；
(2) 若AB＝24，O为坐标原点，求△OAB的面积．
例3 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点．
活动二与抛物线有关的实际问题
例4 某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡(精确到1mm)
　　(2025衡阳期中)某市举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图(单位：m).
(1) 以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程；
(2) 若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由．
　　
1. 已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若AF＝3BF，则AB的长为(　　)
A. B. 3 C. D.
2. (2025合肥期中)一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为1m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为(　　)
图1 图2
A. 1m B. 2.88m C. 5.76m D. 1.44m
3. (多选)(2025河北期中)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线上不同的两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 抛物线C的焦点到准线的距离为2
B. 若MN的中点横坐标为2，则直线MN的斜率为
C. 直线MN的方程为(x1＋x2)x－4y－x1x2＝0
D. 若M，F，N三点共线，则以MN为直径的圆一定与抛物线C的准线相切
4. (2025江西师大附中期末)若抛物线x2＝2y上一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
5. (2025长春月考)如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线准线上的投影分别是点M，N，若AM＝2BN，求实数k的值．
3．3　抛　物　线3.3.1　抛物线的标准方程
【活动方案】
1. 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
思考1：过点F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
结论：y2＝2px(p>0)　(，0)　x＝－
思考2：y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
小结：略
思考3：共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4：考虑其开口方向、焦点位置．
例1　如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形：y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0).
分别将点P的坐标代入方程，
解得p1＝4，p2＝，
故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.
跟踪训练　因为直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，1)，
所以当抛物线的焦点为(－2，0)时，
抛物线的方程为y2＝－8x；
当抛物线的焦点为(0，1)时，
抛物线的方程为x2＝4y.
故所求抛物线的标准方程为x2＝4y或y2＝－8x.
例2　因为抛物线y2＝x的焦点为F，
所以直线PF的方程y＝－.
由于Q(x，y)是抛物线与直线PF的公共点，
联立
解得或(舍去).
故点Q的坐标为.
跟踪训练　以拱顶O为坐标原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
因为AB＝4OD，
所以点B的坐标为(，－).
由点B在抛物线上，得()2＝－2p·(－)，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，
代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
所以y0＝－，
所以点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－.
令h＞3，则－＞3，
解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，
所以a的最小整数值为13.
【检测反馈】
1. D　抛物线x2＝6y的焦点坐标为，
2. C　因为点在抛物线y＝ax2上，所以＝4a，则a＝，故抛物线的标准方程为x2＝8y，所以该抛物线的准线方程为y＝－2.
3. BD　直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为(1，0)，(0，－)，所以以(1，0)和(0，－)为焦点的抛物线的标准方程分别为y2＝4x和x2＝－2y.故选BD.
4. 　以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度，则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0).灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)，代入抛物线方程得302＝2p×40，解得p＝，则焦点坐标为，故光源应安置在与顶点相距 cm处．
5. (1) 双曲线的方程可化为－＝1，则左顶点为(－3，0).
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
则＝－3，所以p＝6，
故所求抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3).
由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，解得n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
【活动方案】
探究：略
例1　(1) 设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0).
由题意，得＝3，则p＝6，
所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 由题意，得抛物线的焦点在x轴负半轴上，
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
将点(－3，4)代入，得16＝6p，解得p＝，
所以抛物线的方程为y2＝－x.
例2　(1) A　对于抛物线x2＝2y，2p＝2，则＝，所以抛物线x2＝2y的焦点坐标为.
(2) C　因为抛物线y2＝2px焦点到准线的距离为p，所以抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是2.
例3　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
得y＝±.
因为>2，所以点A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知PA＋PF＝PA＋d.
当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，
即PA＋PF的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，
得x＝2，
所以点P的坐标为(2，2).
故当点P的坐标为(2，2)时，PA＋PF取最小值.
跟踪训练　 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以当P，A，F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝.
例4　设点P(x0，y0)(x0≥0)，则y＝2x0，
所以d＝PA＝＝＝.
当00，
所以当x0＝0时，dmin＝a；
当a≥1时，1－a≤0，
所以当x0＝a－1时，dmin＝.
综上所述，当0【检测反馈】
1. D　因为抛物线的方程为y2＝2x，所以p＝1，设点P的坐标为(x，y)(y>0)，因为PF＝，所以x＋＝x＋＝，解得x＝1，代入抛物线方程，得y2＝2，因为y>0，所以y＝，则点P的坐标是(1，).
2. B　设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0).将点(－1，2)代入，得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.
3. BC　 抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l：y＝－.对于A，B，抛物线上的点P(，2)到焦点F的距离等于其到准线的距离，所以PF＝2＋＝5，解得p＝6，所以焦点F(0，3)，故A错误，B正确；对于C，因为p＝6，所以抛物线C：x2＝12y.因为点P(|m|，2)在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2，故C正确；对于D，由C知，不妨令点P(2，2)，假设在抛物线C上存在点Q，使得△PQF为正三角形，则QF＝PF＝5.设点Q(x0，y0)，则y0＋＝y0＋3＝5，所以y0＝2，所以x0＝±2.因为点Q异于点P，所以点Q(－2，2)，此时，PQ＝4≠PF，所以△PQF不是正三角形，所以在抛物线C上不存在点Q，使得△PQF为正三角形，故D错误．故选BC.
4. 14　由题意，得抛物线C：x2＝－28y，则点F(0，－7)，所以PF＝QF＝14.又因为抛物线C的通径长为2p＝28，所以PF⊥y轴，所以PQ＝＝14.
5. 由题意，得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，得PF＝d.
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线，且点P在A，F两点之间时，PA＋PF取得最小值，最小值为AF＝，
即PA＋d的最小值为.
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
【活动方案】
例1　(1) 若直线AB的斜率不存在，则y1y2＝－p2，x1x2＝，显然成立；
若直线AB的斜率存在，则设直线AB的斜率为k，且直线AB过焦点F(，0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－).
联立消去x并整理，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2.
消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.
综上所述，y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2) 由题意，得抛物线的准线l的方程为x＝－.
过点A作AM⊥l，垂足为M，过点B作BN⊥l，垂足为N，则AB＝AF＋BF＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3) 若直线AB的斜率不存在，则＋＝＝＝＝；
若直线AB的斜率存在，则由(1)(2)，得m＋n＝x1＋x2＋p＝＋p＝，
mn＝(x1＋)(x2＋)＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝，
所以＋＝＝.
综上所述，＋＝.
(4) 若直线AB的斜率不存在，则抛物线的焦点F(，0)为圆心，半径为p，
所以以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切；
若直线AB的斜率存在，则圆心坐标为(，).
由(1)，得＝，
半径为＝.
又圆心到准线的距离为＋＝，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
综上所述，以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
思考：如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过点A，B，M分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，
根据抛物线的定义有AF＝AA1，BF＝BB1，
故AB＝AF＋BF＝AA1＋BB1.
又MM1是梯形AA1B1B的中位线，
所以AB＝AA1＋BB1＝2MM1，
从而有下列结论：
(1) 以AB为直径的圆必与准线l相切．
(2) AB＝2(x0＋)(焦点弦长与中点关系).
(3) AB＝x1＋x2＋p.
(4) 若直线AB的倾斜角为α，则AB＝.
(5) A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2.
(6) ＋为定值.
例2　(1) 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，
令x＝，解得y＝±p，
所以AB＝2p＝16，解得p＝8，
所以抛物线的方程为y2＝16x.
(2) 设直线l的方程为y＝k(x－4)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理，得k2x2－(8k2＋16)x＋16k2＝0，k≠0，Δ＝(8k2＋16)2－4×k2×16k2＝256(k2＋1)>0恒成立，
所以x1＋x2＝，AB＝x1＋x2＋p＝＋8＝＋16＝24，解得k＝±，
则直线l的方程为y＝±(x－4)，点O到直线l的距离为d＝＝，
所以△OAB的面积S＝·d·AB＝××24＝16.
例3　由题意，得点F(，0)，设直线AB的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点C(－，y2).
联立消去x并整理，得y2－2mpy－p2＝0，则y1y2＝－p2，
所以kC O＝＝＝＝＝＝kAO，
所以直线AC经过原点．
例4　如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy.设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．
在x轴上取一点C，使OC＝69.过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即AB＝197，所以点A的坐标为.
将点A的坐标代入方程y2＝2px，解得p≈70.3，
所以抛物线的焦点坐标约为(35，0)，
故灯泡应该安装在距顶点约35 mm处．
跟踪训练　(1) 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
由图知抛物线经过点A1(－3，－3)，
代入方程可得6p＝9，解得p＝，
故抛物线A1OA所在抛物线的方程为x2＝－3y.
(2) 在抛物线上取点，代入x2＝－3y，
解得y＝－＝－，
要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使4<5＋y，
即y>－1.
因为y＝－>－1，所以此车能安全通过隧道．
【检测反馈】
1. C　抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.由AF＝3BF，得|y1|＝3|y2|，则x1＝9x2.由AF＝3BF，得x1＋1＝3(x2＋1)，即x1＝3x2＋2，联立解得x1＝3，x2＝，所以AB＝x1＋1＋x2＋1＝.
2. D　 由题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，因为接收天线的口径(直径)为AB＝4.8 m，深度为OC＝1，所以AC＝AB＝2.4，故点A(1，2.4)，将点A的坐标代入抛物线的方程可得2.42＝2p×1，解得p＝2.88，所以抛物线的方程为y2＝5.76x.因为焦点的坐标为，即(1.44，0)，所以抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m.
3. ACD　抛物线C：x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，故抛物线C的焦点到准线的距离为2，故A正确；直线MN的斜率kMN＝＝＝，当MN的中点横坐标为2，则x1＋x2＝4，所以直线MN的斜率为＝1，故B错误；由kMN＝得直线MN的方程为y－y1＝(x－x1)，即y－＝(x－x1)，化简得(x1＋x2)x－4y－x1x2＝0，故C正确；如图，分别过M，N两点作MM′⊥l，NN′⊥l，垂足分别为M′，N′，设弦MN的中点为H，作HH′⊥l，垂足为H′，则HH′＝＝＝MN，故以MN为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故D正确．故选ACD.
4. 　设点M的坐标为，焦点为F，所以＝，解得x＝±，即点M(，1)或M(－，1)，所以MF＝yM＋＝1＋＝.
5. 由题意，得直线l：y＝k(x＋1)恒过(－1，0)，抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设直线l：y＝k(x＋1)与准线x＝－1交于点P(－1，0)，
因为＝＝2，所以B为AP的中点．
设点A(x0，y0)(y0>0)，则点B，
所以解得即点A(2，2)，
所以k＝＝.(共34张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.3　抛物线
3.3.2　抛物线的几何性质(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．能熟练地运用抛物线的几何性质解决有关问题．
2．掌握处理与抛物线有关的综合问题的方法．
活 动 方 案
活动一　掌握与抛物线的焦点弦有关的性质
　　　已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分，设点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：
1
思考
抛物线的焦点弦有哪些性质？
【解析】 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点
F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，
y0)，过点A，B，M分别向抛物线的准线l作垂线，垂
足分别为A1，B1，M1，
根据抛物线的定义有AF＝AA1，BF＝BB1，故AB＝AF＋BF＝AA1＋BB1.
又MM1是梯形AA1B1B的中位线，所以AB＝AA1＋BB1＝2MM1，
从而有下列结论：
(1) 以AB为直径的圆必与准线l相切．
　　　已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，AB＝16.
(1) 求抛物线的方程；
(2) 若AB＝24，O为坐标原点，求△OAB的面积．
2
　　　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点．
3
活动二　与抛物线有关的实际问题
　　　某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡(精确到1mm)
4
【解析】 如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy.
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．
在x轴上取一点C，使OC＝69.过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，
将点A的坐标代入方程y2＝2px，解得p≈70.3，
所以抛物线的焦点坐标约为(35，0)，
故灯泡应该安装在距顶点约35 mm处．
　　　　　　(2025衡阳期中)某市举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图(单位：m).
(1) 以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程；
(2) 若车队空车时能通过此
隧道，现装载一集装箱，箱宽
3m，车与集装箱总高4m，此车
能否安全通过隧道？请说明理由．
检 测 反 馈
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1．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若AF＝3BF，则AB的长为 (　　)
C
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2．(2025合肥期中)一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为1m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 (　　)
A．1m　　　　B．2.88m　　　　C．5.76m　　　　D．1.44m
图1
图2
【答案】D
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【答案】ACD
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5．(2025长春月考)如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线准线上的投影分别是点M，N，若AM＝2BN，求实数k的值．
【解析】 由题意，得直线l：y＝k(x＋1)恒过(－1，0)，抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设直线l：y＝k(x＋1)与准线x＝－1交于点P(－1，0)，
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第3章
圆锥曲线与方程
3.3　抛物线
3.3.2　抛物线的几何性质(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．了解抛物线的简单几何性质及通径的概念．
2．能根据抛物线的方程解决简单的应用问题．
3．归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同．
活 动 方 案
活动一　掌握抛物线的几何性质及通径的概念
1．探究：类比研究椭圆、双曲线几何性质的方法，填写下表：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
范　　围
对称性
顶　　点
开口方向
焦点坐标
准线方程
2．通径的概念
通过抛物线的焦点垂直于对称轴的直线与抛物线相交的线段，称为抛物线的通径．特别地，通径长是过焦点的弦长的最小值．
【解析】 略
活动二　掌握抛物线几何性质的简单应用
　　　求适合下列条件的抛物线的方程．
(1) 顶点在原点，准线方程为x＝3；
(2) 对称轴为x轴，顶点在原点，且过点(－3，4).
1
(2) 由题意，得抛物线的焦点在x轴负半轴上，
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
　　　(1) 抛物线x2＝2y的焦点坐标是 (　　)
2
A
(2) 抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是 (　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
【解析】 因为抛物线y2＝2px焦点到准线的距离为p，所以抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是2.
C
活动三　掌握抛物线几何性质的综合应用
　　　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，P是抛物线上的一个动点，点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求此时点P的坐标．
3
【解析】 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以当P，A，F三点共线时距离之和最小，
　　　　　　若将例3中的点A(3，2)改为点A(0，2)，求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
　　　已知P为抛物线y2＝2x上的任意一点，设A(a，0)(a>0)，且PA＝d，试求d的最小值．
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检 测 反 馈
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D
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2． (2025定州中学期初)顶点在原点，关于x轴对称，且经过点M(－1，2)的抛物线的方程为 (　　)
【解析】 设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0).将点(－1，2)代入，得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x．
B
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3．(多选)(2025江西期中)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(|m|，2)到抛物线C的焦点F的距离为5，则下列结论中正确的是
(　　)
A．p＝3
B．焦点F的坐标为(0，3)
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【答案】BC
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5．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．若点P到直线x＝－1的距离为d，点A(－1，1)，求PA＋d的最小值．
【解析】 由题意，得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝
－1.
由抛物线的定义，得PF＝d.
谢谢观看
Thank you for watching3．3　抛 物 线
3.3.1　抛物线的标准方程
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 到直线l：x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 直线
2 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A. (1，0) B. C. D. (0，1)
3 抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A. y＝－1 B. y＝－2 C. x＝－1 D. x＝－2
4 (2025常州一中月考)已知P是抛物线y2＝8x上一点，若点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5 (2025启东联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上．若点M到直线x＝－2的距离为4，则MF的长为(　　)
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6 (2025咸阳中学期中)如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，大桥主跨OA长约500 m，主塔AB高约100 m，缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分，若F为抛物线C的焦点，则主塔端点B到焦点F的距离约为(　　)
　
A. 1 350 m B. 758 m C. 725 m D. 558 m
二、 多项选择题
7 (2025揭阳惠来一中月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(x，4)在抛物线C上，AF＝5，则p的值可能是(　　)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
8 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. x0＝3 B. y0＝±2 C. OM＝ D. 点F的坐标为(0，1)
三、 填空题
9 若动点M(x，y)到点F(2，0)的距离和动点M到直线x＝－2的距离相等，则点M的轨迹方程是________．
10 (2025大连八中月考)已知点(3，4)到抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线的距离为，则p＝________．
11 (2025菏泽鄄城一中月考)已知圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，且两曲线在第一象限的交点为A，则点A的坐标为________．
四、 解答题
12 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1) 焦点为(－2，0)；
(2) 准线方程为y＝－1；
(3) 过点A(2，3)；
(4) 焦点到准线的距离为.
13 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的标准方程．
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 抛物线x2＝4y的对称轴是直线(　　)
A. x＝－2 B. y＝2 C. y＝0 D. x＝0
2 已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在抛物线C上，且MF＝6，则点M到y轴的距离为(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 4
3 在下列抛物线中，开口最小的是(　　)
A. y2＝x B. y2＝x C. y2＝2x D. y2＝4x
4 (2025连云港新海中学期中)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为(　　)
A. 4＋2 B. 8＋4
C. 4－2或4＋2 D. 8－4或8＋4
5 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，则＋的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 (2025楚雄彝族民族中学模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A(x1，3)，B(x2，－)两点，过A，B两点分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，则MF2＋NF2等于(　　)
A. 32 B. 28 C. 20 D. 16
二、 多项选择题
7 关于抛物线y2＝－2x，下列说法中正确的是 (　　)
A. 开口向左 B. 焦点坐标为(－1，0)
C. 准线方程为x＝1 D. 对称轴为x轴
8 已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列结论中正确的是 (　　)
A. 抛物线C的准线方程为x＝－4
B. 点F的坐标为(0，4)
C. FN＝12
D. △ONF的面积为16(O为坐标原点)
三、 填空题
9 设F为抛物线y2＝ax(a>0)的焦点，点P在抛物线上，且点P到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则PF＝________．
10 已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，N为抛物线上一点，若点N到x轴的距离为5，且NF＝6，则该抛物线的标准方程为________．
11 P是抛物线y2＝4x上任意一点，Q(3，0)是x轴上的定点，则PQ的最小值为________．
四、 解答题
12 已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程．
13 (2025昭通芒部中学期中)已知动点M到点(6，0)的距离比它到直线x＋8＝0的距离小2，记动点M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 直线l与曲线C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(4，－2)，求直线l的方程．
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A. (6，＋∞) B. [6，＋∞) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
2 (2025安徽期中)某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线y2＝8x.为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源A，B，C，使得信号接收焦点F恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点F的距离之和为(　　)
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
3 已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若使AB＝2的直线l恰有2条，则p的取值范围为(　　)
A. (0，1) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (2，＋∞)
4 已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则PA的最小值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025安徽联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足MF＝4，∠OFM＝120°，则p的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 (2025重庆巴蜀中学期中)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上异于原点O的两点，且OA⊥OB，则4FA＋FB的最小值为(　　)
A. 21 B. 13 C. 10 D. 9
二、 多项选择题
7 (2025西定临洮期中)若方程2x2＋2y2＝m(x＋y－4)2表示的曲线是抛物线C，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝1
B. 抛物线C的顶点坐标为(1，1)
C. 抛物线C的焦点坐标为(2，2)
D. 直线x＋y－4＝0为抛物线C的准线
8 (2025曲靖宣威一中模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线的准线的距离为，则下列结论中正确的是(　　)
p＝ B. 点M的坐标为(0，2)
C. S△MOF＝ D. 直线FM的方程为2x±y－2＝0
三、 填空题
9 (2025盐城期中)若曲线y＝x2上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为________．
10 (2025上海复旦大学附中期中)已知抛物线C：y2＝4x，PQ是过其焦点F的一条弦，若PQ＝6，则直线PQ的斜率为________．
11 (2025焦作期中)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，若AF＝3，则BF＝________．
四、 解答题
12 (2025滨海新区太平村中学期中)倾斜角为60°的直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点．求：
(1) 抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2) 直线l的方程；
(3) AB的长．
13 (2025上海市西中学开学考试)有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到点F或河边运走. 于是菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到点F较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到点F的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图所示．
(1) 直接写出菜地内的分界线C的方程；
(2) 设M，N，P是分界线C上纵坐标分别为，1，的点，求六边形OMNPGF面积占正方形EFGH面积的百分比(结果精确到1%).
3．3　抛　物　线
3.3.1　抛物线的标准方程
1. C　因为动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线．
2. C　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.
3. A　因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.
4. C　由题意，得点P的横坐标为4，点P到准线的距离为4＋2＝6，所以点P到该抛物线焦点的距离是6.
5. D　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在抛物线C上，所以点M到准线x＝－2的距离为MF.又点M到直线x＝－2的距离为4，所以MF＝4.
6. C　如图，以O为原点，直线OA为x轴，过点O且与主塔AB平行的直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接AF，BF，则点A(500，0)，B(500，100)，设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则5002＝2p×100，解得p＝1 250，所以抛物线C的焦点为F(0，625)，准线方程为y＝－625.由抛物线的定义，得BF＝100＋625＝725.
7. AC　由点A(x，4)在抛物线y2＝2px上，得点A的横坐标x＝.因为AF＝5，所以由抛物线定义，得＋＝5，解得p＝2或p＝8.故选AC.
8. ABC　由抛物线C：y2＝4x，得F(1，0).因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以MF＝x0＋1＝4，解得x0＝3.又y＝4x0＝12，所以y0＝±2，即M(3，±2)，则OM＝＝＝.故选ABC.
9. y2＝8x　由抛物线定义知，点M的轨迹是以F(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以点M的轨迹方程为y2＝8x.
10. 5　由题意，得抛物线C的准线为直线y＝－，所以点(3，4)到抛物线C的准线的距离为4＋＝，解得p＝5.
11. (4，4)　由题意，得圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，则＝1，即p＝2.联立消去y并整理，得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，此时y＝4，故点A的坐标为(4，4).
12. (1) 因为焦点在x轴的负半轴上，且＝2，
所以p＝4，
所以抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2) 因为焦点在y轴正半轴上，且＝1，
所以p＝2，
故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3) 设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
所以m＝或n＝，
故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4) 由焦点到准线的距离为，得p＝，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
13. 不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn.
因为AB⊥y轴，且OA⊥OB，
所以△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n.
由△AOB的面积为16，
得·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，p＝2，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
1. D　因为抛物线x2＝4y的焦点在y轴的非负半轴上，所以该抛物线的对称轴为直线x＝0.
2. C　由题意及抛物线定义，得点M到抛物线C的准线x＝－2的距离为6，所以点M到y轴的距离为6－2＝4.
3. A　在抛物线的标准方程中，一次项的系数的绝对值越小，对应抛物线的开口越小．故选A.
4. C　由题意，得p＝1，焦点F，准线方程为x＝－.设等边三角形的边长为a，如图，所以AF＝xA＋，即xA＋＝a，则a cos 30°＋1＝a或1－a cos 30°＝a，所以a＝4±2.
5. A　由题意，得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－3x＋1＝0，则x1＋x2＝3，x1x2＝1.过点A作准线的垂线AA′，过点B作准线的垂线BB′，则由抛物线可知AF＝AA′＝x1＋1，BF＝BB′＝x2＋1，所以＋＝＋＝＝1.
6. A　如图，设抛物线C的准线与x轴的交点为P，由抛物线的定义可知AF＝AM，BF＝BN，所以∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝∠BFN.又因为∠AMF＝∠PFM，∠BNF＝∠PFN，所以∠AFM＝∠PFM，∠BFN＝∠PFN，所以∠PFM＋∠PFN＝90°，即△MFN是直角三角形，且∠MFN＝90°，所以MN＝MP＋PN＝3＋＝4，故MF2＋NF2＝MN2＝(4)2＝32.
7. AD　抛物线y2＝－2x的开口向左，焦点为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故A，D正确；B，C错误．故选AD.
8. ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的方程可得，准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则AN＝4，FF′＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线BM＝＝6.由抛物线的定义知，MF＝MB＝6，结合题意知，MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，所以ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD.
9. 　由题意，得点F，＝，解得PF＝.
10. x2＝4y　由抛物线x2＝2py(p>0)，得准线方程为y＝－.因为NF＝6，所以根据抛物线定义可知点N到准线的距离为6.又点N到x轴的距离为5，所以＝6－5，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
11. 2　设点P(x0，y0)，则y＝4x0，易知PQ＝＝＝＝≥2，当且仅当x0＝1时取得最小值2.
12. 当焦点在y轴正半轴时，
设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，
由题意，得解得p＝3±，
所以抛物线的方程为x2＝2(3±)y；
当焦点在y轴负半轴时，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意，得解得p＝3±，
所以抛物线的方程为x2＝－2(3±)y.
综上，抛物线的方程为x2＝2(3±)y或x2＝－2(3±)y.
13. (1) 由题意，得动点M到点(6，0)的距离等于到直线x＝－6的距离，则动点M的轨迹是以(6，0)为焦点，x＝－6 为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为y2＝24x.
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得y－y＝24(x1－x2)，
整理，得＝.
因为线段AB的中点坐标为(4，－2)，所以y1＋y2＝－4，
所以直线l的斜率k＝＝＝－6，
故直线l的方程为y＋2＝－6(x－4)，即6x＋y－22＝0，经检验满足题意．
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
1. D　由题意，得＝3.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，故抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).
2. C　由题意，得抛物线y2＝8x，焦点F(2，0)，因为点A，B，C在抛物线上，且F是△ABC的重心，所以xF＝＝2，即xA＋xB＋xC＝6，所以AF＋BF＋CF＝xA＋2＋xB＋2＋xC＋2＝12.
3. A　由题意，得抛物线的焦点为，通径长为2p，当AB垂直于x轴时，A，B两点的坐标为，此时ABmin＝2p<2，且p>0，即抛物线的焦点弦中，通径最短，所以04. D　设点P的坐标为(x，y)，则x2＝－5y，且PA2＝x2＋(y＋3)2＝y2＋y＋9＝＋.因为y≤0，所以当y＝－时，PA2有最小值，所以PA的最小值为.
5. B　如图，过点M向准线作垂线，垂足为N，作FQ⊥MN，垂足为Q.由题意，得四边形NQFT是矩形，故NQ＝TF＝p，NQ∥TF.因为∠OFM＝120°，所以∠QMF＝60°，则MQ＝MF.由抛物线的定义，得MF＝MN＝4，所以p＋MF＝p＋2＝4，解得p＝2.
6. A　由题意，设点A，B，因为OA⊥OB，所以·＝0，所以＋y1y2＝0.因为A，B是抛物线上异于原点O的两点，所以y1y2＝－16.又因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以4FA＋FB＝4＋－(－1)＝y＋＋5≥2＋5＝2×8＋5＝21，当且仅当y＝时，等号成立，此时 4FA＋FB取得最小值为21.
7. ABD　由题意，得m>0，方程2x2＋2y2＝m(x＋y－4)2可化为＝|x＋y－4|，几何意义为点(x，y)到(0，0)的距离是点(x，y)到直线x＋y－4＝0的距离的倍．又方程表示的曲线为抛物线，所以＝1，解得m＝1，故A正确；由抛物线的定义可知，抛物线C的焦点F坐标为(0，0)，故C错误；由抛物线的定义可知，抛物线C的准线方程为x＋y－4＝0，故D正确；经过焦点(0，0)且与直线x＋y－4＝0垂直的直线方程为y＝x，即曲线C的对称轴为y＝x，设直线y＝x与直线x＋y－4＝0的交点为P，联立解得所以点P的坐标为(2，2).又抛物线C的顶点为线段FP的中点，所以抛物线C的顶点坐标为(1，1)，故B正确．故选ABD.
8. AD　如图，由题意，得抛物线的焦点为F，准线为x＝－，设点B的坐标为(m，n)，因为B为线段FM的中点，所以m＝＝，n＝，即yM＝2n.由点B到抛物线准线的距离为，得－＝，解得p＝，故A正确；由A得抛物线方程为y2＝2x，m＝，则n2＝2×，故n＝±1，yM＝±2，所以点M的坐标为(0，2)或(0，－2)，故B错误；△MOF的面积为|yM|·OF＝×2×＝，故C错误；由点F，M(0，2)或M(0，－2)，得直线MF的方程为y－0＝±2，即2x±y－2＝0，故D正确．故选AD.
9. 2　由题意，得抛物线y＝x2，即x2＝4y的准线方程为y＝－1. 设点P(x0，y0)，由抛物线的定义可知PF＝y0＋1＝4，即y0＝3. 由抛物线方程可得x＝4y0＝12，即|x0|＝2，所以点P到y轴的距离为2.
10. ±　设直线PQ的倾斜角为α，2p＝4，所以PQ＝＝＝6，所以sinα＝，cos α＝±，所以tan α＝±，所以直线PQ的斜率为±.
11. 6　如图，设直线与抛物线准线交于点P，抛物线准线与y轴交于点E，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C.由抛物线的定义可得AF＝AD＝3，EF＝4.设BF＝BC＝t，由△PAD∽△PFE，得＝，即＝，解得PA＝9.又△PEF∽△PCB，所以＝，即＝，解得t＝6，即BF＝6.
12. (1) 由抛物线C：y2＝4x，得p＝2，
则焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
(2) 直线l的方程为y＝(x－1)，即x－y－＝0.
(3) 联立消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
故AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
13. (1) 易知EH：x＝－1，利用抛物线的定义可知曲线C为抛物线，F(1，0)为其焦点，
所以抛物线C：y2＝4x.
(2) 如图，作PA⊥GF，NB⊥GF，MD⊥GF，
易知M，N，P，
MD＝1－＝，NB＝1－＝，PA＝1－＝，
GA＝2－＝，AB＝2－1－＝，BD＝1－＝，DF＝，
所以S六边形OMNPGF＝S△GPA＋S梯形APNB＋S梯形NBDM＋S梯形MDFO＝××＋××＋××＋××＝.
又正方形EFGH的面积为4，所以面积比为≈33%.(共31张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.3　抛物线
3.3.1　抛物线的标准方程
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
活 动 方 案
活动一　了解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程
探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．
如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．
1．抛物线的定义：
【解析】 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
2．推导抛物线的标准方程
思考1
设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立合适的直角坐标系，可能使抛物线的方程形式简单？
【解析】 过点F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
结论：
抛物线的标准方程为：_____________；
焦点坐标为F_______；
准线方程为l：_______．
y2＝2px(p>0)
思考2
抛物线的标准方程还有哪些形式？
【解析】 y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0) 　x2＝－2py(p>0)
完成下表
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
焦点坐标
准线方程
开口方向
【解析】 略
思考3
抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？
【解析】 共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．
区别：开口方向、焦点所在位置不同．
思考4
确定抛物线的标准方程的关键是什么？
【解析】 考虑其开口方向、焦点位置．
活动二　掌握抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程
　　　求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．
【解析】 如图，因为点P在第三象限，所以满足条件
的抛物线的标准方程有两种情形：y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝
－2p2y(p2>0).
分别将点P的坐标代入方程，
故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.
1
求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：
(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；
(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；
【解析】 因为直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，与y轴的交点为(0，1)，
所以当抛物线的焦点为(－2，0)时，
抛物线的方程为y2＝－8x；
当抛物线的焦点为(0，1)时，
抛物线的方程为x2＝4y.
故所求抛物线的标准方程为x2＝4y或y2＝－8x.
求焦点在直线x－2y＋2＝0上的抛物线的标准方程．
活动三　抛物线方程的实际应用
　　　如图，已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，－1)，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的点Q.试确定点 Q的坐标．
2
反 思 与 感 悟
求解抛物线实际应用题的步骤：
【解析】 以拱顶O为坐标原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
因为AB＝4OD，
　　　　　　一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
1．(2025渭南月考)抛物线x2＝6y的焦点坐标为 (　　)
D
1
2
3
4
5
C
1
2
3
4
5
3．(多选)以直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 (　　)
A．x2＝－y　　B．x2＝－2y　　C．y2＝2x　　D．y2＝4x
BD
1
2
3
4
5
4．(2025上海浦东新区期中)如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成．已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距_____cm.
【答案】
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5．根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
1
2
3
4
5
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