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第3章
圆锥曲线与方程
3.4　圆锥曲线的统一定义
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法．
2．能运用圆锥曲线的统一定义解决相关的简单问题．
活 动 方 案
活动一　掌握圆锥曲线的统一定义
1．复习回顾
(1) 抛物线的定义：
【解析】 平面内到一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
(2) 椭圆、双曲线、抛物线的离心率：
【解析】 椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e＝1.
2．问题1：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么？
【解析】 椭圆或双曲线．
【解析】 平面上一点(x，y)到点(c，0)的距离．
综上所述，这个方程有什么几何意义？
【解析】 椭圆上的点到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在l上)的距离之比是一个常数，即离心率．
问题3：类比抛物线的定义，你能猜想出满足什么条件的点的轨迹是椭圆？满足什么条件的点的轨迹是双曲线？
3．试给出圆锥曲线的统一定义：
【解析】 平面内到一个定点F和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线．
这个常数e是该圆锥曲线的_________，定点F是该圆锥曲线的_______，定直线l是该圆锥曲线的_______．
说明：(1) 焦点与准线的对应性；
(2) 圆锥曲线的类型随离心率e的变化而改变；
(3) 根据对称性，椭圆与双曲线的准线有两条，而抛物线的准线只有一条．
离心率
焦点
准线
填写下表(作图时，要求作出准线)：
【解析】 填表略
标准方程 图　　形 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
活动二　掌握圆锥曲线统一定义的简单应用
　　　求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
(1) 4x2＋y2＝16；(2) x2－y2＝－16；
1
2
3
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活动三　掌握圆锥曲线统一定义的综合应用
5
所以AM＋2MF＝AM＋d.
易知点A在椭圆内，过点A作AK⊥l于点K，交椭圆于点M0，
则当A，M，K三点共线，即点M与点M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10，
圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对应．
检 测 反 馈
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C
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【答案】B
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【答案】ABC
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谢谢观看
Thank you for watching3．4　圆锥曲线的统一定义
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 双曲线－＝1的两条准线之间的距离为 (　　)
A. B. C. D.
2 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025济南历城二中月考)若动点P(x，y)满足4＝，则动点P的轨迹为(　　)
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 直线 D. 抛物线
4 (2025天一中学月考)已知椭圆C1：＋＝1的左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2的准线也为l，焦点是F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P，则PF2的值为(　　)
A. B. C. 4 D. 8
5 (2025临泉田家炳中学月考)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明. 他指出：到定点的距离与到定直线的距离(定点不在直线上)的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线. 当01时，轨迹为双曲线. 现有方程m(x2＋y2－2x＋2y＋2)＝(x－y＋3)2表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围为(　　)
A. (0，2) B. (0，2) C. (0，8) D. (0，4)
6 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1＝4PF2，则此椭圆的离心率e的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 已知定点A(－2，)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆的右准线方程为x＝6
B. 定点A(－2，)在椭圆内
C. AM＋2MF的最大值为10
D. 当AM＋2MF取最小值时，点M的坐标为(2，)
8 (2025重庆三模)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，P是双曲线C右支上的动点，点P到直线3x＋4y＝0，3x－4y＝0和x＝的距离分别为d1，d2，d3，则下列结论中正确的是(　　)
A. PF＝d3 B. 5(d1＋d2)－6d3＝
C. d1＋d2＋d3≥ D. 4d1＋5d3≥12
三、 填空题
9 中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为________．
10已知一条圆锥曲线的一个焦点是F(1，0)，对应准线l：x＝－1，且曲线过点M(3，2)，则该圆锥曲线的方程是________．
11 在平面直角坐标系中，点P的坐标(x，y)满足其中θ∈[0，2π)，则z＝＋＋的最小值为________．
四、 解答题
12 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1) 求证：PF⊥l；
(2) 若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
13 已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线x＝4是椭圆的一条准线．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设点P在椭圆上，且PF－PF＝4，求cos ∠F1PF2的值；
(3) 设P是椭圆内一点，在椭圆上求一点Q，使得PQ＋2QF2的值最小．
3．4　圆锥曲线的统一定义
1. C　由双曲线－＝1，得a＝2，b＝3，c＝＝，则两条准线之间的距离为＝.
2. A　由题意，得＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，所以e2－3e＋1＝0，解得e＝或e＝.又03. B　由4＝|3x＋4y＋2|，得＝>1，即动点P到定点(1，2)与定直线3x＋4y＋2＝0的距离之比为且大于1.又动点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线．
4. B　在椭圆C1：＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1，所以左准线l的方程为x＝－＝－4，F2(1，0).设点P到准线l的距离为d.由P是抛物线上的点，得d＝PF2.由P是椭圆上的点，得＝＝，且PF1＋PF2＝4，解得PF2＝.
5. B　由m(x2＋y2－2x＋2y＋2)＝(x－y＋3)2，得 m[(x－1)2＋(y＋1)2]＝(x－y＋3)2，所以m>0，则·＝|x－y＋3|，即＝，可得动点(x，y)到定点(1，－1)和定直线x－y＋3＝0的距离的比值为常数.由双曲线的定义，可得>1，解得06. A　设点P(x0，y0)，则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.因为PF1＝4PF2，所以a＋ex0＝4a－4ex0，则x0＝≤a，所以e≥，所以此椭圆的离心率e的最小值为.
7. BD　由题意，得a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以离心率e＝.易知椭圆的右准线l的方程为x＝＝8，点A在椭圆内，故A错误，B正确；设点M到右准线的距离为d，则 ＝e，所以MF＝ed＝d，所以AM＋2MF＝AM＋d.过点A作AK⊥l于点K，交椭圆于点M0，则当A，M，K三点共线，即点M与点M0重合时，AM＋d最小，为AK，其值为8－(－2)＝10，故AM＋2MF的最小值为10，此时点M的坐标为(2，)，故C错误，D正确．故选BD.
8. BCD　设点P(x0，y0)(x0≥4)，则3x0＋4y0>0，3x0－4y0>0，所以d1＝，d2＝，d3＝x0－.对于A，由双曲线的性质，得＝e＝，所以PF≠d3，故A错误；对于B，5(d1＋d2)－6d3＝6x0－6＝，故B正确；对于C，d1＋d2＋d3＝＋x0－＝－≥－＝，故C正确；对于D，4d1＋5d3＝4d1＋4PF＝4(d1＋PF)，所以当PF垂直于3x＋4y＝0时，取得最小值为4×＝12，故D正确．故选BCD.
9. ＋＝1　由题意，得e＝＝，＝8，解得a＝4，c＝2，则b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为＋＝1.
10. y2＝4x　因为MF＝＝4，点M到准线l的距离为d＝|3－(－1)|＝4，所以MF＝d，且点F不在准线l上，所以该圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1，0).由＝1，得p＝2，故此圆锥曲线的方程是y2＝4x.
11. 　因为点P的坐标(x，y)满足所以＋＝1，所以a＝5，b＝4，c＝＝3，则该椭圆的右焦点坐标为F(3，0)，右准线方程为x＝＝.由椭圆第二定义，得＝，所以z＝＋＋＝＋，即椭圆上一点P(x，y)到点(1，1)的距离与到直线x＝的距离之和，则距离之和最小值为过点(1，1)的垂直于右准线的垂线段长度为－1＝.
12. (1) 由题意，得右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l的方程为y＝x，则点P.
又点F(c，0)，所以kPF＝＝－.
又kl＝，所以kPF·kl＝－·＝－1，
所以PF⊥l.
(2) 由题意，得PF的长即点F(c，0)到直线l：bx－ay＝0的距离，
则PF＝＝3，即b＝3.
又e＝＝，
所以＝，所以a＝4，
故双曲线的方程为－＝1.
13. (1) 由题意，得椭圆的焦点在x 轴上，且c＝1，＝4，
则a2＝4，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
(2) 因为PF－PF＝(PF1＋PF2)(PF1－PF2)＝4(PF1－PF2)＝4，
所以PF1－PF2＝1.
又PF1＋PF2＝4，
所以PF1＝，PF2＝.
因为＋22＝，
所以PF＋F1F＝PF，
所以∠PF2F1＝90°，
故cos ∠F1PF2＝＝.
(3) 如图，过点Q 作直线x＝4的垂线段，垂足为H.
则由椭圆的第二定义知e＝＝，
所以QH＝2QF2，PQ＋2QF2＝PQ＋QH，
易知，当且仅当P，Q，H 三点共线时，PQ＋QH的值最小，
此时PQ＋2QF2＝4－＝，点Q的坐标为.
综上，在椭圆上存在点Q，使得PQ＋2QF2取得最小值，最小值为.3．4　圆锥曲线的统一定义
1. 了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法．
2. 能运用圆锥曲线的统一定义解决相关的简单问题．
　活动一掌握圆锥曲线的统一定义　
1. 复习回顾
(1) 抛物线的定义：
(2) 椭圆、双曲线、抛物线的离心率：
2. 问题1：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么？
问题2：我们在推导椭圆的标准方程时得到这样一个方程a2－cx＝a，将其变形为＝.在这个方程中，有什么几何意义？
－x有什么几何意义？有什么几何意义？
综上所述，这个方程有什么几何意义？
问题3：类比抛物线的定义，你能猜想出满足什么条件的点的轨迹是椭圆？满足什么条件的点的轨迹是双曲线？
3. 试给出圆锥曲线的统一定义：
这个常数e是该圆锥曲线的__________，定点F是该圆锥曲线的________，定直线l是该圆锥曲线的________．
说明：(1) 焦点与准线的对应性；
(2) 圆锥曲线的类型随离心率e的变化而改变；
(3) 根据对称性，椭圆与双曲线的准线有两条，而抛物线的准线只有一条．
填写下表(作图时，要求作出准线)：
标准方程 图　　形 焦点坐标 准线方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
活动二掌握圆锥曲线统一定义的简单应用
例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
(1) 4x2＋y2＝16；
(2) x2－y2＝－16；
(3) y2＝－x.
例2 (1) 中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为________；
(2) 如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．
例3 已知椭圆＋＝1上有一点P，到其左、右两焦点的距离之比为1∶3，求点P到两准线的距离及点P的坐标．
例4 已知双曲线C的渐近线方程是4x±3y＝0，一条准线的方程为y＝，求此双曲线的方程．
活动三掌握圆锥曲线统一定义的综合应用
例5 已知定点A(－2，)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．
圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对应．
　已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9，2)，M为双曲线上的动点，则 MA＋MF的最小值为________．
1. 若双曲线－y2＝1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.
2. (2025南昌外国语学校期中)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线：当01时，轨迹为双曲线，则方程＝|3x＋4y－12|表示的圆锥曲线为(　　)
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
3. (多选)已知P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则下列结论中正确的是(　　)
A. PF1＋PF2＝8 B. PF1＝ex0＋a∈[1，7]
C. 准线方程为x＝± D. △PF1F2的周长为16
4. 设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点的距离为1，则点P到右准线的距离为________．
5. (2025石家庄期中)已知A，B为椭圆＋＝1上两个不同的点，F为右焦点，AF＋BF＝6，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，求FT的长．
3．4　圆锥曲线的统一定义
【活动方案】
1. (1) 平面内到一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
(2) 椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e＝1.
2. 问题1：椭圆或双曲线．
问题2：平面上一点(x，y)到点(c，0)的距离．
椭圆上一点(x，y)到直线x＝的距离；椭圆的离心率．
椭圆上的点到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在l上)的距离之比是一个常数，即离心率．
问题3：当0<<1时，轨迹为椭圆；
当>1时，轨迹为双曲线．
3. 平面内到一个定点F和到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线．
离心率　焦点　准线
填表略
例1　(1) 由4x2＋y2＝16，得＋＝1，
所以焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，准线方程为y＝±.
(2) 由x2－y2＝－16，得－＝1，
所以焦点坐标为(0，4)，(0，－4)，准线方程为y＝±2.
(3) 焦点坐标为(－，0)，准线方程为x＝.
例2　(1) ＋＝1　由题意，得e＝＝，＝8，所以a＝4，c＝2，b2＝a2－c2＝12，所以椭圆方程为＋＝1.
(2) 　由题意可知a＝2，b＝，c＝，右准线的方程为x＝＝，e＝＝.设点P到y轴的距离为d，则＝，解得d＝.
例3　设点P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2.
由已知的椭圆方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，
则准线方程为x＝±.
因为PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，
所以PF1＝5，PF2＝15.
设点P到两准线的距离分别为d1，d2，
则由＝＝e＝，得d1＝，d2＝，
所以x＋＝x＋＝，所以x＝－.
代入椭圆方程，得y＝±，
所以点P的坐标为(－，)或(－，－).
例4　由题意，得双曲线C的焦点在y轴上，
所以＝.
又＝，c2＝a2＋b2，
所以a2＝16，b2＝9，
所以双曲线C的方程是－＝1.
例5　由题意可得a＝4，b＝2，
所以c＝＝2，
所以离心率e＝.
设点M到右准线的距离为d，则＝e，即MF＝ed＝d，右准线l的方程为x＝8，
所以AM＋2MF＝AM＋d.
易知点A在椭圆内，过点A作AK⊥l于点K，交椭圆于点M0，则当A，M，K三点共线，即点M与点M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10，
故AM＋2MF的最小值为10，此时点M的坐标为(2，).
跟踪训练　　由题意可得双曲线的离心率e＝，右准线l的方程为x＝.由圆锥曲线的统一定义知＝e(d为点M到右准线l的距离)，即MF＝ed＝d，所以MA＋MF＝MA＋d.显然当MA⊥l时，MA＋d最小，即MA＋MF的最小值为点A到右准线l的距离，为9－＝.
【检测反馈】
1. C　由题意，得双曲线的离心率e＝3，则3＝，解得m＝.
2. B　方程＝|3x＋4y－12|变形为＝5>1，表示动点P(x，y)到定点O(0，0)的距离与到定直线3x＋4y－12＝0的距离的比为5且大于1，所以其轨迹为双曲线．
3. ABC　PF1＋PF2＝2a＝8，故A正确；因为a＝4，c＝＝3，所以e＝，所以PF1＝＝＝x0＋4＝ex0＋a.因为x0∈[－4，4]，所以PF1＝x0＋4＝ex0＋a∈[1，7]，故B正确；椭圆的准线方程为x＝±＝±，故C正确；△PF1F2的周长为 PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝8＋6＝14，故D错误．故选ABC.
4. 2　由题意，得3＋1＝2m，即m＝2，所以椭圆的方程为＋＝1，则c2＝1，e＝.设点P到右准线的距离为d，则＝，即d＝2.
5. 在椭圆＋＝1中，a＝4，c＝2，e＝，F(2，0).
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由焦半径公式，得AF＋BF＝＋＝6，所以x1＋x2＝4，
所以线段AB的中点为E.
设点T(m，0).由题意知，直线AB与坐标轴不平行，且直线AB的斜率kAB＝，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为－，
则线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－2)＋，
将点T(m，0)代入，得m－2＝＝＝＝－(x1＋x2)＝－，
解得m＝，所以FT＝2－＝.

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