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(共45张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.5　直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决简单的综合问题．
2．体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一　已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的值或取值范围
1
【答案】C
反 思 与 感 悟
求解椭圆或双曲线的离心率的方法：
(1) 定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
(2) 齐次式法：由已知条件得出关于a，c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
(3) 特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．
【解析】 由题意知，过点F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合A为线段BF1的中点；当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可．
【答案】B
活动二　体会直线与圆锥曲线相交问题的解决方法
【解析】 由椭圆的对称性知，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程，消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
2
3
【答案】C
反 思 与 感 悟
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
(1) 根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，与x轴不垂直的直线l与双曲线C的左支相交于P，Q两点，记直线PA1，PA2，QA2，QA1的斜率分别为k1，k2，k3，k4，已知k1＋k4＝－3(k2＋k3).
①证明直线l过定点，并求出该定点的坐标；
②求△F2PQ面积的取值范围．
整理，得t2＋2t－8＝0，解得t＝2或t＝－4，
当t＝2时，直线l过点A2(2，0)，不合题意，舍去，
当t＝－4时，直线l过点(－4，0)，满足题意，
所以直线l过定点F1(－4，0).
活动三　直线与圆锥曲线位置关系的综合应用
4
【答案】0
检 测 反 馈
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【答案】A
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2．(2025河北期中)已知直线l：y＝kx＋1和抛物线C：y2＝4x，则“k＝1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的 (　　)
A．充分且不必要条件　　　　 B．必要且不充分条件
C．既不充分又不必要条件　　 D．充要条件
【解析】 当k＝1时，将y＝x＋1代入抛物线C的方程y2＝4x，整理，得x2－2x＋1＝0，此时Δ＝(－2)2－4×1×1＝4－4＝0，即直线l：y＝x＋1与抛物线C恰有一个公共点，故充分性成立；将直线l：y＝kx＋1代入抛物线C：y2＝4x，消去y整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝4k2－16k＋16－4k2＝－16k＋16＝0，解得k＝1.
【答案】A
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【答案】ABD
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5．(2025常州期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线交抛物线C于A，B两点，且AB＝2.
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点(异于A，B两点)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在定直线上．
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谢谢观看
Thank you for watching3．5　直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是 (　　)
A. (0，1)∪(1，＋∞) B. [1，4)∪(4，＋∞)
C. (0，1)∪(1，4) D. (1，＋∞)
2 (2025马鞍山二十四中开学考试)已知双曲线C：x2－my2＝1与直线y＝3x＋2无交点，则实数m的取值范围为(　　)
A. B. C. (0，5) D. (5，＋∞)
3 直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长AB等于(　　)
A. B. C. 2 D. 3
4 已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
5 (2025渭南大荔中学期中)抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点. 已知从点P(m，6)(m>9)沿平行于x轴的方向射入一条光线，经抛物线C：y2＝4x反射后交抛物线C于另外一点Q，则点Q的纵坐标为(　　)
A. － B. －1 C. － D. －2
6 (2025重庆联考)已知点P(0，1)，椭圆C：＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，当点B横坐标的绝对值最大时，m的值为(　　)
A. －2 B. 4 C. －3 D. 5
二、 多项选择题
7 已知直线y＝(x－)与椭圆x2＋9y2＝9，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线与椭圆有交点 B. 椭圆的长轴长为6
C. 直线与椭圆相切 D. 椭圆过点(4，3)
8 (2025盐城期末)若P(m，2)是抛物线C：y2＝－4x上一点，F为抛物线C的焦点，连接PF交抛物线C于另一点Q，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝－2 B. PF＝3 C. OP⊥OQ(O为坐标原点) D. PF＝2QF
三、 填空题
9 直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系为________.
10 已知斜率为2的直线l被双曲线－＝1截得的弦长为2，则直线l的方程是________．
11 (2025苏州大学附中月考)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝4，则PF＝________．
四、 解答题
12 (2025惠州光正中学期中)已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)实轴长和离心率均为2.
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 过P(0，2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点，求AB的值．
13 (2025滨海新区外国语中学期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.
(1) 求椭圆C的标准方程和离心率；
(2) 设A为椭圆C的右顶点，若直线l与椭圆C有唯一的公共点M(点M在第一象限)，直线l与y轴的正半轴交于点N，直线NA与直线OM交于点P(O为坐标原点)，且S△POA＝S△NOA，求直线l的方程．
3．5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)
建议用时：40分钟　答案P20　评价：________
一、 单项选择题
1 双曲线x2－y2＝1与直线x－y＝1交点的个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2 直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是(　　)
A. (2，6) B. (3，2) C. (6，4) D. (4，6)
3 (2025松原中学期中)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于点A，B，若M是线段AB的中点，则的值为(　　)
A. B. C. D. 2
4 (2025南京九中期末)已知抛物线y2＝8x上两点A，B满足·＝－16，则直线AB恒过定点　(　　)
A. (2，0) B. (4，0) C. (6，0) D. (8，0)
5 (2025连云港新海中学期末)已知斜率为1的直线与双曲线C：－y2＝1(a>0)交于A，B两点，若线段AB的中点为(3，1)，则a的值为(　　)
A. B. C. D. 2
6 (2025重庆大足中学期中)已知椭圆E：x2＋＝1，若过点M(t，0)(t<－1)的两条直线l1，l2与椭圆E都只有一个交点，且l1⊥l2，则t等于(　　)
A. － B. C. 3 D. －3
二、 多项选择题
7 已知椭圆C：＋＝1的上、下焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2). 设直线l与椭圆C交于M，N两点，且P为线段MN的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. m2＝4
B. 椭圆C的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △F2MN的周长为4
8 (2025柳州一中期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于点A, B两点(点A在第一象限)，若AF＝8，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝4 B. AF＝3BF
C. ＋＝ D. S△AOB＝
三、 填空题
9 (2025渭南韩城期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点. 若线段AB中点的横坐标为3，则AB＝________．
10 已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率为________．
11 (2025连云港赣榆期中)已知椭圆C：＋y2＝1，过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMPN(O为坐标原点)，若点P在椭圆上，则直线l的斜率为________．
四、 解答题
12 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，短半轴长为.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知直线l交椭圆C于M，N两点，且MN的中点坐标为(－1，－1)，求直线l的方程．
13 (2025泰州姜堰期中)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的焦距为2，且左、右顶点分别为A1，A2，过点T(3，0)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1) 求双曲线的标准方程；
(2) 记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求证：是定值．
3．5　直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)
1. B　因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，所以只需该定点落在椭圆内或在椭圆上，则直线与椭圆总有交点，即＋≤1，解得m≥1.又m≠4，所以实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).
2. B　联立消去y并整理，得(1－9m)x2－12mx－4m－1＝0，当1－9m＝0时，m＝，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意；当1－9m≠0时，即m≠时，Δ＝144m2＋4(1－9m)(4m＋1)<0，即144m2－144m2－20m＋4<0，解得m>.
3. A　联立消去y并整理，得4x2＋6x＝0，解得x＝0或x＝－，则直线与椭圆的交点为(0，1)，，所以AB＝＝.
4. B　因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又双曲线的顶点为(±1，0)，所以当直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴时，满足题意，且只有一条；当直线l的斜率存在时，直线l平行于渐近线，且过点P，只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
5. A　由题意，得从点P射入的光线经反射后，一定经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，设反射光线与抛物线的交点为M(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中y1＝6，y2<0，直线MQ的方程为x＝ty＋1，联立消去x并整理，得y2－4ty－4＝0，所以y1y2＝－4.因为y1＝6，所以y2＝－，所以点Q的纵坐标为－.
6. D　设点A(x1，y1)，B(x2，y2), 由点P(0，1)，得＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1).因为＝2，所以整理，得因为点A，B在椭圆上，所以＋y＝m，＋y＝m，则＋(2y2－3)2＝m，即＋＝，与＋y＝m相减并整理，得y2＝，所以x＝4(m－y)＝－(m2－10m＋9)＝－(m－5)2＋4≤4，即当m＝5时，x的最大值为4，即|x2|的最大值为2，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．
7. AB　对于A，C，联立消去y并整理，得2x2－7x＋＝0，则Δ＝49－4×2×＝23>0，所以直线与椭圆相交，故A正确，C错误；对于B，将椭圆的方程化为＋y2＝1，则a＝3，所以椭圆的长轴长为2a＝6，故B正确；对于D，因为42＋9×32≠9，所以椭圆不过点(4，3)，故D错误．故选AB.
8. ABD　抛物线C：y2＝－4x的焦点为F(－1，0)，准线方程为x＝1.对于A，B，由(2)2＝－4m，得m＝－2，PF＝1－(－2)＝3，故A，B正确；对于C，D，直线PQ的方程为 y＝－2(x＋1)，联立消去y并整理，得2x2＋5x＋2＝0，则点Q，·＝－2×＋2×(－)＝－3<0，所以OP，OQ不垂直，QF＝＝PF，故C错误，D正确．故选ABD.
9. 相交　联立消去y并整理，得3x2＋2x－1＝0，则Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交．
10. y＝2x±　设直线l的方程为y＝2x＋m，与双曲线交于A，B两点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝2x＋m代入双曲线－＝1，消去y并整理，得16x2＋20mx＋5(m2＋4)＝0，则Δ＝400m2－4×16×5(m2＋4)>0，解得 m>4或m<－4，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋4)，所以AB2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝5(x1－x2)2＝＝20，解得m＝±，符合题意，所以直线l的方程为y＝2x±.
11. 8　抛物线x2＝4y的准线l的方程为y＝－1，焦点为F(0，1).设点P(t，－1)，Q(x，y)，因为＝4，所以(x－t，y＋1)＝4(x，y－1)，则 解得代入x2＝4y得＝4×，即t2＝60.由两点间距离公式，得PF＝＝＝＝8.
12. (1) 由离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，得b2＝3a2.
又实轴长2a＝2，所以a2＝1，所以b2＝3，
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2) 因为直线l的倾斜角为45°，所以其斜率为1.
又直线l过点P(0，2)，所以直线l的方程为y＝x＋2，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得2x2－4x－7＝0，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，
故AB＝·＝·＝6.
13. (1) 由题意，得即
则b＝＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝.
(2) 如图，直线l的斜率存在且为负数，设直线l的方程为y＝kx＋n(k<0，n>0)，
则点N(0，n)，A(2，0)，所以直线NA的方程为＋＝1，
联立消去y并整理，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，
因为直线l与椭圆相切于点M，
所以Δ＝64k2n2－4(4k2＋3)(4n2－12)＝48(4k2＋3－n2)＝0，即4k2＋3＝n2，
所以xM＝＝＝＝，
yM＝kxM＋n＝＋n＝＝，
即点M的坐标为，
所以直线OM的方程为y＝－x.
联立解得
即点P的坐标为.
由题意，得＝＝＝，
整理，得kn＝－1.
又4k2＋3＝n2，且k<0，n>0，解得k＝－，n＝2，即满足题意的直线l的方程为y＝－x＋2.
3．5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)
1. B　联立消去y并整理，得2x－1＝1，解得x＝1，故方程组有且只有一组解，则双曲线 x2－y2＝1与直线x－y＝1有且只有一个交点．
2. B　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0，则Δ＝(－6)2－4×1×1＝32>0，x1＋x2＝6，所以y1＋y2＝(x1－1)＋(x2－1)＝x1＋x2－2＝4，所以线段AB的中点坐标是(3，2).
3. B　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，即＝－.因为M(1，1)是AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且直线AB的斜率＝－，所以＝2，故＝.
4. B　设直线AB的方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝8x，消去x并整理，得y2－8ty－8b＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8t，y1y2＝－8b，Δ＝64t2＋32b>0，所以·＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－8bt2＋8bt2＋b2－8b＝b2－8b＝－16，解得b＝4，故直线AB过定点(4，0).
5. B　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－y＝1，－y＝1，两式相减并化简，得＝·＝×1＝，所以a2＝3，解得a＝(负值舍去).
6. A　由题意，得过点M(t，0)(t<－1)与椭圆E相切直线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x－t)，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.联立消去y并整理，得(k2＋2)x2－2k2tx＋k2t2－2＝0，则Δ＝4k4t2－4(k2＋2)(k2t2－2)＝0，整理，得(t2－1)k2－2＝0.因为t<－1，所以t2－1>0，可知k1，k2为关于k的方程(t2－1)k2－2＝0的两根．若l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，解得t＝±.又t<－1，所以t＝－.
7. BCD　对于A，因为椭圆＋＝1的上、下焦点为F1(0，2)，F2(0，－2)，所以椭圆的焦点在y轴上，所以m2－2＝22，即m2＝6，故A错误；对于B，由A可知a2＝6，得a＝，所以离心率为e＝＝＝，故B正确；对于C，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，即＝－.因为P为线段MN的中点，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，所以＝－，所以＝－3，所以直线MN的斜率为－3，所以直线l的方程为y－＝－3，即3x＋y－2＝0，经检验，符合题意，故C正确；对于D，因为直线l：3x＋y－2＝0过点F1(0，2)，所以△F2MN的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2＋MF1＋NF1＝4a＝4，故D正确．故选BCD.
8. ABC　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为F，直线的斜率为，则设直线l的方程为y＝，联立消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，解得x＝或x＝.又因为点A在第一象限，则x2<9. 8　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，得x1＋x2＝6，＝1.AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋2＝8.
10. 　设点A(x0>0)，B(－x0，－x0)，则x0·(－x0)＝－9，解得x0＝3，所以A(3，2)，代入双曲线的方程，得－＝1，所以a＝，所以c＝＝，所以双曲线的离心率为＝＝.
11. ±　由题意，得直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.因为直线l过点A(0，2)，所以直线l的方程为y＝kx＋2.联立消去y整理，得x2＋4kx＋3＝0，则Δ＝(4k)2－4×3>0，解得k>或k<－.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.又四边形OMPN为平行四边形， 所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2).又y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，所以P(x1＋x2，k(x1＋x2)＋4).将点P的坐标代入椭圆方程，得＋[k(x1＋x2)＋4]2＝1，化简，得(x1＋x2)2＋8k(x1＋x2)＋15＝0，将x1＋x2＝－代入，得(－)2＋8k(－)＋15＝0，解得k＝±，符合题意．
12. (1) 因为2c＝2，b＝，
所以a2＝b2＋c2＝8，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则两式相减，得＝－，
整理，得＝－×.
因为MN的中点为(－1，－1)，
所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－2，
所以k＝＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x＋1)，
即x＋4y＋5＝0.
13. (1) 因为双曲线C：－y2＝1(a>0)的焦距为2，
所以2c＝2，即c＝，
由题意，得a2＋1＝5，则a2＝4，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2) 如图，设直线l的方程为x＝my＋3，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2－4)y2＋6my＋5＝0，
则Δ＝36m2－20(m2－4)>0，且m≠±2，
y1＋y2＝－，y1y2＝，
可得－5(y1＋y2)＝6my1y2.
又点A1(－2，0)，A2(2，0)，所以＝＝＝＝＝＝－.(共35张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.5　直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．利用方程思想去判断直线与圆锥曲线的位置关系．
2．会求直线被圆锥曲线所截的弦长问题．
活 动 方 案
活动一　判断直线与圆锥曲线的位置关系
思考1
如何判断直线与圆的位置关系？
【解析】
探究：直线与圆锥曲线有几种位置关系？如何判断？
【解析】 联立直线l与曲线C的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，求一元二次方程的Δ：当Δ＞0时，直线与曲线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与曲线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与曲线相离，没有交点．
(1) 直线l与椭圆C有两个不同的公共点；
(2) 直线l与椭圆C有且只有一个公共点；
(3) 直线l与椭圆C没有公共点．
1
将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
则关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
　　　已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x.试问当k为何值时：
(1) 直线l与抛物线C有两个交点；
(2) 直线l与抛物线C有一个交点；
(3) 直线l与抛物线C没有交点．
2
(1) 若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ＞0，
即k2≠0，且16(1－k2)＞0，解得－1所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l和抛物线C有两个交点．
(2) 若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1，
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3) 若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ＜0，解得k＞1或k＜－1，
所以当k＞1或k＜－1时，直线l和抛物线C没有交点．
【解析】 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．
思考2
直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
活动二　会求直线与圆锥曲线相交弦的长
3
思考3
如何求弦长？弦长公式又是什么？
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
C
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
A．动直线l与双曲线最多有4个交点
B．动直线l与双曲线最少有1个交点
C．存在动直线l与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点
D．存在动直线l与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点
【答案】BD
1
2
3
4
5
【解析】 如图，过右焦点的直线与双曲线最多有两个交点，故A错误；当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与双曲线相交，且交点个数最少，只有1个，故B，D正确；过右焦点的直线l不可能与双曲线相切，故C错误．故选BD.
1
2
3
4
5
4．(2025庐江期末)过点(1，0)作倾斜角为120°的直线与y2＝4x交
于点A，B，则AB＝_____．
1
2
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谢谢观看
Thank you for watching3．5　直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)
1. 利用方程思想去判断直线与圆锥曲线的位置关系．
2. 会求直线被圆锥曲线所截的弦长问题．
活动一判断直线与圆锥曲线的位置关系　　
思考1
如何判断直线与圆的位置关系？
探究：直线与圆锥曲线有几种位置关系？如何判断？
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时：
(1) 直线l与椭圆C有两个不同的公共点；
(2) 直线l与椭圆C有且只有一个公共点；
(3) 直线l与椭圆C没有公共点．
　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且过点(，1).
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：y＝kx＋与双曲线恒有两个不同的交点A，B，求实数k的取值范围．
例2 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x.试问当k为何值时：
(1) 直线l与抛物线C有两个交点；
(2) 直线l与抛物线C有一个交点；
(3) 直线l与抛物线C没有交点．
思考2
直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
活动二会求直线与圆锥曲线相交弦的长　　
例3 已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
　(2025开封期末)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2.
(1) 求点M的轨迹方程；
(2) 若经过点F的直线l与点M的轨迹相交于C，D两点，OC⊥OD，O为坐标原点，求线段CD的长．
　
　已知直线l：y＝kx－1，双曲线C：x2－＝1.
(1) 当k＝1时，直线l与双曲线C有两个交点A，B，求AB的长；
(2) 当k取何值时，直线l与双曲线C没有公共交点．
思考3
如何求弦长？弦长公式又是什么？
1. 若直线l：y＝k(x－2)与双曲线x2－＝1仅有一个公共点，则实数k的值为(　　)
A. B. － C. ± D. ±
2. (2025扬州期中)已知椭圆＋＝1，直线x－y＋1＝0与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长为(　　)
A. B. C. 2 D.
3. (多选)(2025扬州期中)过双曲线－＝1的右焦点F的动直线为l，则下列说法中正确的是(　　)
A. 动直线l与双曲线最多有4个交点
B. 动直线l与双曲线最少有1个交点
C. 存在动直线l与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点
D. 存在动直线l与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点
4. (2025庐江期末)过点(1，0)作倾斜角为120°的直线与y2＝4x交于点A，B，则AB＝________．
5. (2025邯郸期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C经过点P(3，1)，右焦点F2到一条渐近线的距离为.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，若＝2，求直线AB的方程．
3．5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)
1. 利用直线与圆锥曲线的位置关系，解决简单的综合问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的值或取值范围
例1 设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在 x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.
反思与感悟
求解椭圆或双曲线的离心率的方法：
(1) 定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
(2) 齐次式法：由已知条件得出关于a，c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
(3) 特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．
　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. 2 C. ＋1 D. 3
活动二体会直线与圆锥曲线相交问题的解决方法
例2 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．
例3 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点的坐标为(4，1)，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
反思与感悟
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
(1) 根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2) 点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形，得＝－·＝－·，即kAB＝－.
　(2025丽水期中)已知双曲线C的渐近线方程是y＝±x，且过点(－4，6).
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，与x轴不垂直的直线l与双曲线C的左支相交于P，Q两点，记直线PA1，PA2，QA2，QA1的斜率分别为k1，k2，k3，k4，已知k1＋k4＝－3(k2＋k3).
①证明直线l过定点，并求出该定点的坐标；
②求△F2PQ面积的取值范围．
活动三直线与圆锥曲线位置关系的综合应用
例4 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴的两个端点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) M为椭圆C上除点A，B外任意一点，直线AM交直线x＝4于点N，O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
　已知椭圆＋y2＝1上存在两点M，N关于直线y＝－x＋t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值为________．
1. (2025保定期中)若双曲线C：－＝1的焦距为4，直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N(2，1)，则直线l的斜率为(　　)
A. 2 B. C. 1 D.
2. (2025河北期中)已知直线l：y＝kx＋1和抛物线C：y2＝4x，则“k＝1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
3. (多选)(2025南京期中)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点P满足PA－PB＝2，记点P的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线C的方程为－y2＝1(x≥)
B. 曲线C与直线y＝x没有公共点
C. 点P到点(3，0)距离的最小值为3－
D. 过点B且倾斜角为45°的直线与曲线C交于M，N两点，则△AMN的周长为8
4. (2025无锡期中)已知直线l：x＝m(y－3)与曲线C：x＝有两个公共点，则实数m的取值范围是________．
5. (2025常州期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线交抛物线C于A，B两点，且AB＝2.
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点(异于A，B两点)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在定直线上．
3．5　直线与圆锥曲线的位置关系
3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)
【活动方案】
思考1：
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图示
几 何 法 d与r 的大小 d>r d＝r d代 数 法 依据 方程组 解的情况 Δ<0 方程组 无解 Δ＝0 方程组 仅有一 组解 Δ>0 方程组有 两组 不同的解
探究：联立直线l与曲线C的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，求一元二次方程的Δ：当Δ＞0时，直线与曲线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与曲线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与曲线相离，没有交点．
例1　 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
则关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1) 由Δ>0，得－3所以当－3(2) 由Δ＝0，得m＝±3，
所以当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3) 由Δ<0，得m<－3或m>3，
所以当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．
跟踪训练　(1) 由e＝可得＝，
则a2＝3b2，
故双曲线方程可化为－＝1，将点(，1)代入双曲线C的方程，可得b2＝1，则a2＝3，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2) 联立
消去y并整理，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意，得
解得－1＜k＜1且k≠±，
所以实数k的取值范围为(－1，－)∪(－，)∪(，1).
例2　联立消去y并整理，得k2x2＋(2k2－4)·x＋k2＝0，
当k≠0时，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2).
(1) 若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ＞0，即k2≠0，且16(1－k2)＞0，
解得－1所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l和抛物线C有两个交点．
(2) 若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1，
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3) 若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ＜0，
解得k＞1或k＜－1，
所以当k＞1或k＜－1时，直线l和抛物线C没有交点．
思考2：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．
例3　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，
所以c＝＝，所以F(，0)，
所以直线l的方程为y＝x－，
代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以AB＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
跟踪训练1 　(1) 设点M(x，y)，则kAM＝，kBM＝，
所以－＝2(x≠±1)，
化简，得y＝－x2＋1(x≠±1).
(2) 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2＋kx－＝0，
所以
因为OC⊥OD，
所以x1x2＋y1y2＝0，①
即x1x2＋＝0，
整理，得(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋＝0，
将①代入，得16k2－5＝0，即k2＝，
所以CD＝|x1－x2|＝·＝＝1＋k2＝.
跟踪训练2　(1) 当k＝1时，将直线l：y＝x－1代入x2－＝1，消去y并整理，得3x2＋2x－5＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以AB＝|x1－x2|
＝×
＝×＝.
(2) 将y＝kx－1代入x2－＝1，消去y并整理，得(4－k2)x2＋2kx－5＝0.
若直线l与双曲线C没有公共交点，
则
解得k<－或k>，
故当k∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，直线l与双曲线C没有公共交点．
思考3：弦长公式(已知直线上的两点距离)：设直线l：y＝kx＋m，直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝|x1－x2|或AB＝|y1－y2|.
【检测反馈】
1. C　由题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x.当直线l：y＝k(x－2)与渐近线y＝±x平行时，直线l与双曲线仅有一个公共点，此时 k＝±.当k≠±时，因为直线l：y＝k(x－2)恒过定点(2，0)，且点(2，0)在双曲线的内部，所以直线l不可能与双曲线仅有一个公共点，所以满足条件的k的值为±.
2. A　将y＝x＋1代入椭圆方程＋＝1，消去y并整理，得3x2＋4x－4＝0，即(3x－2)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝.当x＝－2时，y＝－2＋1＝－1；当x＝时，y＝＋1＝，所以点A，B的坐标分别为(－2，－1)和，所以AB＝＝.
3. BD　如图，过右焦点的直线与双曲线最多有两个交点，故A错误；当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与双曲线相交，且交点个数最少，只有1个，故B，D正确；过右焦点的直线l不可能与双曲线相切，故C错误．故选BD.
4. 　易知抛物线y2＝4x的焦点为(1，0).因为倾斜角为120°的直线斜率为－，所以直线方程为y＝－(x－1)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝，由焦点弦公式，得AB＝x1＋1＋x2＋1＝.
5. (1) 设点F2(c，0)，则c2＝a2＋b2，
易知双曲线C的一条渐近线的方程为bx－ay＝0，
所以＝＝b，
将点P(3，1)代入C的方程中得－＝1，解得a2＝6，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2) 由(1)得F2(2，0)，显然直线AB的斜率存在且不为0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ty＝x－2，
因为＝2，所以(2－x1，－y1)＝2(x2－2，y2)，
所以即
联立消去x并整理，得(t2－3)y2＋4ty＋2＝0，
则Δ＝32t2－8(t2－3)＝24t2＋24>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
则－y2＝－，－2y＝，
消去y2整理得t2＝，即t＝±，
所以直线AB的方程为y＝±(x－2).
3．5.2　直线与圆锥曲线的位置关系(2)
【活动方案】
例1　C　由题意知两个交点的横坐标是－c，c.根据椭圆的对称性，可知直线方程为y＝x，所以两个交点分别为(－c，－c)，(c，c)，代入椭圆方程，得＋＝1，两边乘以2a2b2，得c2(2b2＋a2)＝2a2b2.因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，即(2a2－c2)(a2－2c2)＝0，所以＝2或＝.因为0跟踪训练　B　由题意知，过点F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合A为线段BF1的中点；当交点在x轴上方或x轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可．如图，由题意可得F1(－c，0)，F2(c，0)，两条渐近线方程为y＝±x.因为BF1⊥BF2，O为F1F2的中点，所以BO＝OF1＝OF2＝c.又A为线段BF1的中点，所以OA垂直平分BF1，则直线BF1的方程为y＝(x＋c)①，直线BF2的方程为y＝－(x－c)②，直线BO的方程为y＝x③，由②③，得交点B的坐标为(，).因为点B还在直线BF1上，所以＝(＋c)，可得b2＝3a2，则c2＝a2＋b2＝4a2，所以双曲线C的离心率e＝＝2.
例2　 由椭圆的对称性知，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程，消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
所以＝＝2，解得k＝－，
所以直线AB的方程为x＋2y－4＝0.
例3　C　方法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，－＝1，所以－＝0.又AB的中点为(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以＝.由题意知，＝1，所以＝1，即＝，则双曲线C的离心率e＝＝.
方法二：因为直线AB过点(4，1)，斜率为1，所以其方程为y－1＝x－4，即y＝x－3，代入－＝1，消去y并整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.因为线段AB的中点的坐标为(4，1)，所以－＝2×4，整理，得a2＝4b2，所以双曲线C的离心率e＝＝.
跟踪训练　(1) 设双曲线的方程为3x2－y2＝λ，
因为双曲线过点(－4，6)，
所以λ＝3×42－36＝12，
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
(2) ①设直线l的方程为x＝my＋t，点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
又点A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以k1k2＝·＝＝＝3，
同理，k3k4＝3，
所以k1＋k4＝＋＝＝－3(k2＋k3)，
所以k2k3＝－1.
联立消去x并整理，得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以k2k3＝·＝＝－1，
整理，得(m2＋1)y1y2＋m(t－2)(y1＋y2)＋(t－2)2＝0，
即－＋(t－2)2＝0，
整理，得t2＋2t－8＝0，解得t＝2或t＝－4，
当t＝2时，直线l过点A2(2，0)，不合题意，舍去，
当t＝－4时，直线l过点(－4，0)，满足题意，
所以直线l过定点F1(－4，0).
②因为＝＝，
F1F2＝8，
所以S△PF2Q＝F1F2·＝＝48.
由直线l与双曲线的左支有两个交点，且直线l与坐标轴不垂直，得0<|m|<，
令u＝m2＋1，则1S△PF2Q＝48＝48.
因为f(u)＝9u＋－24在区间上单调递减，
所以0所以S△PF2Q的取值范围是(48，＋∞).
例4　(1) 由题意，得a＝2.
因为e＝＝＝，所以c＝，
所以b＝＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设点M(x1，y1)，y1≠0，则＋y＝1，
即x＋4y＝4.
直线AM的方程为y＝(x＋2)，
令x＝4，得y＝，即N(4，)，
所以kBN＝＝.
因为BN⊥l，所以kl＝－，
所以直线l的方程是y＝－x.
直线BM的方程为y＝(x－2)，
令x＝0，得y＝－，即P(0，－).
联立又x＋4y＝4，解得即Q(－6，)，
所以＝＝＝，为定值．
跟踪训练　0　由题意，可设直线MN的方程为 y＝x＋m.联立消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，则Δ＝16m2－24(m2－1)＞0，即m2＜3.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，可得线段MN的中点的坐标为(－，).因为MN的中点在抛物线y2＝x上，所以＝－，解得m＝0或m＝－6(舍去)，所以线段MN的中点的坐标为(0，0).又线段MN的中点在直线y＝－x＋t上，则t＝0，所以实数t的值为0.
【检测反馈】
1. A　由双曲线C的焦距为4，得2＝4，解得m＝2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2).因为N(2，1)是线段AB的中点，x1＋x2＝2×2＝4，y1＋y2＝2×1＝2，所以2(x1－x2)＝(y1－y2)，所以kl＝＝2.
2. A　当k＝1时，将y＝x＋1代入抛物线C的方程y2＝4x，整理，得x2－2x＋1＝0，此时Δ＝(－2)2－4×1×1＝4－4＝0，即直线l：y＝x＋1与抛物线C恰有一个公共点，故充分性成立；将直线l：y＝kx＋1代入抛物线C：y2＝4x，消去y整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝4k2－16k＋16－4k2＝－16k＋16＝0，解得k＝1.当k＝0时，此时直线方程为l：y＝1，此时直线与抛物线恰有一个公共点.综上，当直线l与抛物线C恰有一个公共点时，k＝1或k＝0，故必要性不成立．故“k＝1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的充分且不必要条件．
3. ABD　对于A，由PA－PB＝24. 　 由题意，得直线l过点(0，3)，x＝≥0，联立消去x并整理，得(4m2＋3)y2－24m2y＋36m2－12＝0，则Δ＝(－24m2)2－4(36m2－12)(4m2＋3)>0，即m2<，故－5. (1) 如图，抛物线C：y2＝2px的焦点F，
则直线AB：x＝.
联立解得|y|＝p，
因为AB＝2p＝2，所以p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.
(2) 由抛物线对称性，不妨令点A在x轴上方，
由(1)知，A，B，F，
显然直线l不垂直于坐标轴，
设其方程为x＝ty＋(t≠0)，如图．
联立消去x并整理，得y2－2ty－1＝0，
则Δ＝(－2t)2－4×1×(－1)>0，
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，y2<0所以y1＋y2＝2t，y1y2＝－1，
直线AM的斜率为kAM＝＝＝，直线AM的方程为y＝＋1，
直线BN的斜率为kBN＝＝＝，直线BM的方程为y＝－1，
联立
消去y并整理，得＝－2，
解得x＝－＝－＝－＝－＝－＝－，
所以点G的横坐标恒为－，
所以点G在定直线x＝－上．

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