资源简介

3．6　圆锥曲线的综合应用
3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)
建议用时：40分钟　答案P21　评价：________
一、 单项选择题
1 (2025景德镇乐平一中期中)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则抛物线的准线方程为(　　)
A. x＝－5 B. x＝－4 C. x＝－ D. x＝－2
2 (2025长春实验中学期中)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(1，)，则该双曲线的离心率为(　　)
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2
3 (2025厦门松柏中学期中)椭圆E：＋＝1内有一点P(2，1)，则经过点P并且以P为中点的弦所在直线方程为(　　)
A. x＋4y－6＝0 B. x－4y＋2＝0 C. x＋y－3＝0 D. x－y－1＝0
4 (2025朝阳期中)若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，此双曲线的离心率e＝2，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为(　　)
A. y2－＝1 B. 3y2－x2＝1
C. －x2＝1或3y2－x2＝1 D. y2－＝1或y2－3x2＝1
5 (2025珠海联考)已知P是椭圆＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x＋y－2＝0的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2025上海晋元中学期中)已知等轴双曲线的实轴长为2a(a>0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于A，B两点，且F1A＝AB，则BF2等于(　　)
A. B. C. a D. a
二、 多项选择题
7 (2025台州联考)已知椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 双曲线经过点(2，4)
B. 椭圆的离心率e＝
C. 椭圆和双曲线共焦点
D. 椭圆和双曲线的图象有4个公共点
8 (2025昆山中学月考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. x1x2＝2 B. y1y2＝－4
C. 若θ＝，则AB＝ D. ＋＝1
三、 填空题
9 (2025绵阳中学期中)若双曲线经过点P(3，)，其渐近线方程y＝±，则双曲线的标准方程为________．
10 (2025衡阳四中期中)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小值为________．
11 (2025泉州南安成功中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(0四、 解答题
12 (2025安徽期中)已知A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM，BM的斜率之积是－，记点M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 过点P的直线l与曲线C相交于D，E两点，且点P平分线段DE，求直线l的方程．
13 (2025扬州大学附中期中)已知双曲线E：x2－＝1(b>0)的左、右顶点分别为A1，A2.
(1) 若离心率e＝，求b的值；
(2) 若b＝2，过点N(0，2)且斜率为t的直线与双曲线E只有一个交点，求t的值．
3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
建议用时：40分钟　答案P21　评价：________
一、 单项选择题
1 在平面直角坐标系xOy中，已知定点Q(3，0)，点P在抛物线C：y2＝4x上运动，则PQ的最小值为(　　)
　A. 2 B. 3 C. 2 D. 2
2 (2025辽宁一模)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P(m，n)在双曲线C上，且·≤0，则m的取值范围是(　　)
A. B. ∪
C. [－2，2] D. [－2，－1]∪[1，2]
3 (2025常熟期中)已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为2m，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星中心到太阳中心的最大距离是(　　)
A. m(1－e) B. m(1＋e) C. 2m(1－e) D. 2m(1＋e)
4 (2025河南联考)已知P是抛物线C：y2＝12x上的一点，设点P到直线x＝－3和x－y＋4＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值为(　　)
A. B. C. 3＋2 D. 4
5 设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于，则的取值范围是(　　)
A. (1，4) B. (4，＋∞) C. (1，2) D. (2，＋∞)
6 (2025河南联考)已知椭圆C：＋＝1及其上点P，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N(均异于点P). 若直线PM，PN的斜率互为相反数，则直线l的方程是(　　)
A. x＋2y－1＝0 B. x＋2y＋1＝0 C. x－2y＋1＝0 D. x－2y－1＝0
二、 多项选择题
7 (2025临沂兰山期中)若F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆C上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆C的长轴长为 B. PF1的最大值为1＋
C. 椭圆C的焦距为1 D. 不存在点P，使得PF1⊥PF2
8 (2025新疆农业大学附中期中)设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，O为坐标原点，A，B是抛物线E上两个动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线E的准线方程为x＝－2
B. AF的最小值为2
C. 当直线AB过点F时，直线OA和OB的斜率之积为定值－8
D. 当直线OA与OB垂直时，直线AB过定点(8，0)
三、 填空题
9 (2025山西联考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P1，P2，P3是抛物线C上不同的三点，且向量，，的横坐标之和为4，则直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为________．
10 (2025河北联考)已知椭圆Γ：＋＝1的右焦点为F，M为椭圆Γ上的动点，点N在以MF为直径的圆上，若ON的最大值为3(O为坐标原点)，则椭圆Γ的短轴长为________．
11 (2025新乡联考)已知A，B是双曲线E：x2－y2＝1上不同的两点，其中点B在双曲线E的右支上. 直线l是双曲线E的斜率为正的渐近线，P是直线l上一点. 已知AB＝2，若AB⊥x轴，则PA＋PB的最小值为________．
四、 解答题
12 (2025连云港期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且经过点.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若A，B是椭圆上的两个点，且∠AOB＝90°，求证：＋为定值．
13 (2025江西联考)已知点M到点F(3，0)的距离比点M到直线x＋6＝0的距离小3，记点M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的标准方程；
(2) 若P为曲线C上的一个动点，Q(1，4)，点P到y轴的距离为d，求PQ＋d的最小值；
(3) 若过点(－1，0)的直线l与曲线C交于A，B两点，求AF＋BF的取值范围．
3．6　圆锥曲线的综合应用
3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)
1. D　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为，双曲线－y2＝1的右焦点为(2，0)，则＝2，即p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x，则其准线方程为x＝－2.
2. C　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且经过点(1，)，所以＝，即b＝a.又c＝＝＝2a，所以该双曲线的离心率为 ＝2.
3. C　设过点P(2，1)的直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则且两式相减，得＋＝0，所以＝－1，即直线l的斜率为－1，故所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.
4. B　因为双曲线的离心率e＝＝＝2，所以＝.又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.设下焦点为(0，－c)，则＝1，解得c＝，所以a＝c＝，则b＝a＝1，所以双曲线的方程为－x2＝1，即3y2－x2＝1.
5. B　设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为x＋y＋m＝0，m≠－2.联立消去x并整理，得5y2＋2my＋m2－4＝0，所以Δ＝4m2－20(m2－4)＝0，得m2＝5，即m＝±，则所求直线方程为x＋y±＝0.直线x＋y－＝0与直线l的距离为＝；直线x＋y＋＝0与直线l的距离为＝，所以点P到直线l的最小距离为.
6. C　因为等轴双曲线的实轴长为2a(a>0)，所以双曲线的半焦距c＝＝＝a，所以双曲线方程为－＝1(a>0)，则其渐近线方程为y＝±x，则∠BOF2＝∠AOF1＝，所以∠AOB＝.由F1A＝AB，得A为BF1的中点．又O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，则∠BF2O＝∠AOF1＝，∠OBF2＝∠AOB＝，所以△OBF2为等腰直角三角形，所以BF2＝OF2sin ＝c＝a.
7. AD　对于A，将点(2，4)代入双曲线的方程，得－＝1，故A正确；对于B，由椭圆＋＝1，得其离心率e＝＝，故B错误；对于C，椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，故C错误；对于D，联立解得故椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确．故选AD.
8. BCD　由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，联立消去x并整理，得y2－4ty－4＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，所以x1x2＝＝1，故A错误，B正确；若θ＝，则t＝，所以AB＝|y1－y2|＝·＝×＝，故C正确；由抛物线的定义知，AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，又x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝4t2＋2，所以＋＝＋＝＝＝1，故D正确．故选BCD.
9. －＝1　设双曲线方程为y2－＝λ(λ≠0)，将点P(3，)代入，得3－＝λ，解得λ＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
10. 13　由题意，得F(2，0)，记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d1，如图，过点P作PP′⊥l，垂足为P′.PQ＋PF＋QF＝PQ＋d＋≥d1＋5＝8＋5＝13，当且仅当P，Q，P′三点共线时，△PQF的周长取得最小值13.
11. 　因为a2＝8，e＝＝，所以c2＝4，b2＝4.因为OP⊥AB，当AB⊥x轴时，ABmin＝＝2，OPmax＝a＝2，所以max＝2；当AB为长轴时，ABmax＝2a＝4，OPmin＝b＝2，所以min＝，所以的取值范围为.
12. (1) 设点M(x，y)，因为A(－3，0)，B(3，0)
所以kAM＝＝(x≠－3)，kBM＝＝(x≠3).
因为kAM·kBM＝－，所以·＝－，
化简，得＋＝1(x≠±3).
(2) 设点D(x1，y1)，E(x2，y2)，因为点P平分线段DE，所以＝，＝－.
因为点D，E在轨迹C上，所以
由①－②，得＋＝0，
将x1＋x2＝3，y1＋y2＝－代入得＝2，
所以kl＝2.
因为直线l过点P，斜率为2，
所以直线l：y＋＝2，整理，得6x－3y－13＝0，
经检验点P在椭圆C内，符合题意，
综上所述，直线l的方程为6x－3y－13＝0.
13. (1) 由题意，得e＝＝c＝，
故b＝＝＝1.
(2) 当b＝2时，双曲线的方程为x2－＝1，直线的方程为y＝tx＋2，
联立消去y并整理，得(4－t2)x2－4tx－8＝0(*)，
当4－t2＝0，即t＝±2时，方程(*)即为tx＋2＝0，该方程只有一个解，符合题意；
当4－t2≠0，即t≠±2时，则Δ＝16t2－4×(4－t2)×(－8)＝16(8－t2)＝0，解得t＝±2.
综上，t＝±2或±2.
3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
1. A　设点P(x，y)，则PQ＝＝＝，当x＝1时，PQ取最小值2.
2. B　因为点P(m，n)在双曲线C上，所以m2－＝1，且m≤－1或m≥1. 因为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以＝(－2－m，－n)，＝(2－m，－n)，则·＝(－2－m)(2－m)＋n2＝m2＋n2－4＝4m2－7≤0，解得－≤m≤，故－≤m≤－1或1≤m≤.
3. B　由椭圆的定义，得2a＝2m，即a＝m，离心率e＝，即c＝ae＝me.因为太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以该行星到太阳的最大距离是a＋c＝m＋me＝m(1＋e).
4. A　由题意，得抛物线C：y2＝12x的焦点为F(3，0)，准线方程为x＝－3.因为点P在抛物线C：y2＝12x上，所以d1＝PF，所以d1＋d2＝PF＋d2.联立消去y并整理，得x2－4x＋16＝0，则Δ＝(－4)2－4×16＝－48<0，所以直线x－y＋4＝0与抛物线C：y2＝12x无公共点．如图，PF＋d2的最小值即为点F(3，0)到直线x－y＋4＝0的距离，所以d1＋d2的最小值为PF＋d2≥＝，即d1＋d2的最小值为.
5. C　由题意，得c1＝，c2＝，所以e1＝＝＝＝，e2＝＝＝＝.又双曲线的渐近线的斜率小于，所以00，所以＝＝－1＋∈(1，4)，所以∈(1，2).
6. D　由题意，得F(1，0)，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1).联立消去y并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，直线PM，PN的斜率分别为kPM＝，kPN＝.由kPM＋kPN＝0，得＋＝0，所以(x2－1)(kx1－k－)＋(x1－1)(kx2－k－)＝0，整理，得2kx1x2－(x1＋x2)＋2k＋3＝0，则2k·－·＋2k＋3＝0，解得k＝，所以直线l的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
7. BD　由椭圆C：＋＝1，得a＝，b＝2，所以c＝＝1，所以椭圆C的长轴长为2，焦距为2，故A，C错误；设点P(x，y)，F1(－1，0)，则PF1＝＝＝＝(x＋5)，所以当x＝时，PF1取到最大值1＋，故B正确；当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2最大，此时cos ∠F1PF2＝＝＝>0，即∠F1PF2为锐角，故不存在点P，使得PF1⊥PF2，故D正确．故选BD.
8. ABD　对于A，抛物线E：y2＝8x的准线方程为x＝－2，故A正确；对于B，设点A(x1，y1)，x1≥0，由抛物线的定义可得AF＝x1＋2≥2，当且仅当x1＝0时，等号成立，故AF的最小值为2，故B正确；对于C，设点B(x2，y2)，若直线AB与x轴平行时，则直线AB与抛物线只有一个交点，不符合题意，易知点F(2，0)，设直线AB的方程为x＝my＋2，联立消去x并整理，得y2－8my－16＝0，则Δ＝64m2＋64>0，y1y2＝－16，故kOAkOB＝＝＝＝＝－4，故C错误；对于D，设直线AB的方程为x＝ny＋t，联立消去x并整理，得y2－8ny－8t＝0，Δ′＝64n2＋32t>0，所以y1y2＝－8t.若OA⊥OB，则kOA·kOB＝＝＝－＝－1，解得t＝8，此时直线AB的方程为x＝ny＋8，故直线AB过定点(8，0)，故D正确．故选ABD.
9. 2　由题意，得F(0，1).设点Pi(xi，yi)(i＝1，2，3)，则＋＋＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3－3)，所以x1＋x2＋x3＝4，直线P1P2的斜率kP1P2＝＝＝，同理可得直线P2P3的斜率kP2P3＝，直线P3P1的斜率kP3P1＝，所以直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为＝＝2.
10. 4　设MF的中点为H，MF＝2r，椭圆Γ的左焦点为F1，如图，连接MF1，则ON的最大值为OH＋r.又O，H分别为F1F和MF的中点，所以MF1＝2OH，所以OH＋r＝MF1＋MF＝(MF1＋MF)＝＝3，解得m＝8，故椭圆Γ的短轴长为4.
11. 　因为P是直线l上一点，若AB⊥x轴，注意到当右焦点F2，A，B三点共线时AB恰为2，不妨设点A在第一象限，则点A(，1)，B(，－1)，直线l：x－y＝0，取点B关于直线l的对称点B′(－1，)，则PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′＝，即PA＋PB的最小值为.
12. (1) 由题意，得解得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 当直线OA或OB其中一条斜率不存在时，＋＝＋＝；
当直线OA，OB斜率存在且均不为0时，设直线OA：y＝kx，A(x1，y1)，
联立解得x＝，
所以＝＝＝.
同理可得＝，所以＋＝＝.
综上，＋＝.
13. (1) 由题意，得点M到F(3，0)的距离等于点M到直线x＝－3的距离，
所以曲线C是以F(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线，
故曲线C的标准方程为y2＝12x.
(2) 设点P到曲线C的准线的距离为d1，得d1＝PF.
PQ＋d＝PQ＋d1－3＝PQ＋PF－3≥QF－3＝2－3.
当P，Q，F三点共线时，PQ＋d取得最小值，且最小值为2－3.
(3) 易得l的斜率不为0，设l：x＝my－1，点A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立消去x并整理，得y2－12my＋12＝0，
则Δ＝144m2－4×12>0，解得m2>，
所以y1＋y2＝12m，
则AF＋BF＝x1＋x2＋6＝m(y1＋y2)＋4＝12m2＋4>12×＋4＝8，
所以AF＋BF的取值范围为(8，＋∞).(共34张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.6　圆锥曲线的综合应用
3.6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握圆锥曲线中的最值(范围)、定点、定值问题．
2．体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一　圆锥曲线中的最值问题
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设AB是过椭圆C中心的任意一条弦，直线l是线段AB的垂直平分线，若M是直线l与椭圆C的一个交点，求△ABM面积的最小值．
1
(2) 当AB不在坐标轴上时，设直线AB的方程为y＝kx，点A(x1，y1)，M(x2，y2)，
反 思 与 感 悟
圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法：
(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法确定参数的取值范围．
活动二　圆锥曲线中的定值问题
2
(2) 由题意，得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
反 思 与 感 悟
定值问题的求解方法：
求解此类问题的方法一般有两种：①从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；②直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．
活动三　圆锥曲线中的定点问题
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设O为坐标原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若OM·ON＝2，求证：直线l经过定点．
3
动直线l过定点问题的解题步骤：
第一步：设A，B为直线l与曲线的两个交点，直线l的方程为y＝kx＋m，与曲线方程联立得根与系数的关系，利用根的判别式求出参数范围；
第二步：由所给条件(如kAP·kBP＝－1)，得一次函数k＝f(m)或者m＝f(k)；
第三步：将k＝f(m)或者m＝f(k)代入y＝kx＋m，得y＝k(x－x定)＋y定．
检 测 反 馈
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A
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B
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【答案】AD
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【答案】
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(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 探究以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
1
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谢谢观看
Thank you for watching3．6　圆锥曲线的综合应用
3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)
1. 掌握圆锥曲线的方程和几何性质的应用．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
　活动一圆锥曲线方程的应用　
例1 已知椭圆C1与椭圆C2：＋＝1具有共同的焦点F1，F2，点P在椭圆C1上，PF1⊥PF2，________．在下面三个条件：①椭圆C1过点(5，0)；②椭圆C1的短轴长为10；③椭圆C1的离心率为中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
(1) 求椭圆C1的标准方程；
(2) 求△PF1F2的面积．
例2　(2025厦门期中)已知点M在曲线C上运动，动点M到定点F(－4，0)的距离与动点M到定直线x＝－1的距离之比为2.
(1) 求曲线C的标准方程；
(2) 过点F的直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O)，求的最小值．
活动二圆锥曲线几何性质的应用　
例3 (2025泰州期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－16.
(1) 求证：直线l过定点；
(2) 求AF＋4BF的最小值．
例4 (2025安徽期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长与焦距的比为5∶3，且点D在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
1. 与椭圆＋＝1共焦点，且与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
2. (2025淮安期中)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2025西安期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为抛物线C上不同的两点，O为坐标原点．若＝－3，则下列结论中正确的是(　　)
A. 焦点F的坐标为(1，0)或(－1，0)
B. AB＝
C. 直线AO交直线l：x＝－1于点N，则BN⊥l
D. ·＝－3
4. (2025宁波期中)已知等轴双曲线C1与椭圆C2：＋y2＝1有共同的焦点F1，F2，双曲线C1与椭圆C2在第一象限的交点为P，则△PF1F2的面积为________．
5. (2025无锡期中)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若直线l：y＝x＋m与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．
3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
1. 掌握圆锥曲线中的最值(范围)、定点、定值问题．
2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活动一圆锥曲线中的最值问题
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，以椭圆C的顶点为顶点的四边形的面积为4，且该四边形内切圆的半径为.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设AB是过椭圆C中心的任意一条弦，直线l是线段AB的垂直平分线，若M是直线l与椭圆C的一个交点，求△ABM面积的最小值．
反思与感悟
圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法：
(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法确定参数的取值范围．
活动二圆锥曲线中的定值问题
例2 已知离心率为的椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆E上，且△MF1F2的周长为4＋2.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点(1，0)的直线l与椭圆E交于C，D两点(不同于左，右顶点)，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，求证：为定值．
反思与感悟
定值问题的求解方法：
求解此类问题的方法一般有两种：①从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；②直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．
活动三圆锥曲线中的定点问题
例3 已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1).
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设O为坐标原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若OM·ON＝2，求证：直线l经过定点．
动直线l过定点问题的解题步骤：
第一步：设A，B为直线l与曲线的两个交点，直线l的方程为y＝kx＋m，与曲线方程联立得根与系数的关系，利用根的判别式求出参数范围；
第二步：由所给条件(如kAP·kBP＝－1)，得一次函数k＝f(m)或者m＝f(k)；
第三步：将k＝f(m)或者m＝f(k)代入y＝kx＋m，得y＝k(x－x定)＋y定．
1. 椭圆＋＝1上任意一点P到点Q(0，1)的距离的最小值为(　　)
A. B. C. 2 D. 1
2. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2.若直线AB过原点，则k1·k2的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. D.
3. (多选)(2025云南期末)设抛物线E：y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线E上不同的两点，且AF＋BF＝8，则下列结论中正确的是(　　)
A. 线段AB的中点到抛物线E准线的距离为4
B. 当直线AB过原点时，AB＝6
C. 直线AB的倾斜角的最大值为
D. 线段AB的垂直平分线过定点(5，0)
4. (2025泰州期中)已知曲线E：＋＝1，P(x0，y0)是曲线E上任意一点，则|x0＋y0|的最大值为________．
5. (2025安徽期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且过点(，1).设A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上异于A，B的动点，连接PA并延长交直线x＝4于点M，连接PB并延长交直线x＝4于点N.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 探究以MN为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
3．6　圆锥曲线的综合应用
3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)
【活动方案】
例1　(1) 由题意可设椭圆C1的方程为＋＝1(a＞b＞0)，c2＝a2－b2.
因为椭圆C1与椭圆C2：＋＝1具有共同的焦点，
所以c2＝25.
若选①：由题意，得a＝5，则b2＝25，
所以椭圆C1的方程为＋＝1.
若选②：由题意，得b＝5，则a2＝50，
所以椭圆C1的方程为＋＝1.
若选③：由题意，得＝，则a2＝50，
则b2＝25，所以椭圆C1的方程为＋＝1.
(2) 由椭圆的定义知，
PF1＋PF2＝2a＝10.①
又PF1⊥PF2，
所以PF＋PF＝4c2＝100.②
由①②可得PF＋PF＋2PF1·PF2＝100＋2PF1·PF2＝200，
解得PF1·PF2＝50，
所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝25.
例2　(1) 设点M(x，y)，由动点M到定点F(－4，0)的距离与它到定直线x＝－1的距离之比为2，
得＝2，化简，得3x2－y2＝12，
即－＝1，
故曲线C的标准方程为－＝1.
(2) 由(1)得曲线C的标准方程为－＝1，点F(－4，0).
易知直线AB的斜率存在，设其为k，则k≠±，直线AB的方程为y＝k(x＋4).
联立消去y并整理，得(3－k2)x2－8k2x－16k2－12＝0.
则Δ＝64k4＋4(3－k2)(16k2＋12)＝144k2＋144>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以AB＝＝＝.
又因为y1＋y2＝k(x1＋4)＋k(x2＋4)＝k(x1＋x2)＋8k＝k×＋8k＝，
所以线段AB的中点的坐标为，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－.
令x＝0，得y＝，
所以点D的坐标为，所以OD＝，
所以＝＝＝≥，
当且仅当＝1，即k＝±1时等号成立，所以的最小值为.
例3　(1) 因为直线l与抛物线C：y2＝4x有两个交点，
所以直线l的斜率不为0，
所以设直线l的方程为x＝my＋n(n≥0)，
联立消去x并整理，得y2－4my－4n＝0，
所以y1y2＝－4n，y1＋y2＝4m.
又因为y1y2＝－16，所以－4n＝－16，则n＝4，
则直线l的方程为x＝my＋4，
所以直线l过定点(4，0).
(2) 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
所以由抛物线的定义可知，AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，
所以AF＋4BF＝x1＋1＋4(x2＋1)＝x1＋4x2＋5.
因为直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
所以y＝4x1，y＝4x2，所以x1＝，x2＝，
所以x1x2＝＝16，且x1>0，x2>0，
所以AF＋4BF＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝16＋5＝21，
当且仅当x1＝4x2时，等号成立，
所以AF＋4BF的最小值为21.
例4　(1) 设半焦距为c，
因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长与焦距的比为5∶3，且点D在椭圆C上，
所以解得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减可得＝－，即＝－.
由为线段AB的中点，
得x1＋x2＝，y1＋y2＝，
则直线l的斜率k＝＝－×＝－×＝－4，
所以直线l的方程为y－＝－4，即4x＋y－＝0，
所以直线l的方程为20x＋5y－26＝0.
【检测反馈】
1. B　设所求双曲线的方程为－＝λ(λ<0)，即－＝1，则c2＝－10λ－8λ＝12－3＝9，解得λ＝－，故所求双曲线的方程为－＝1.
2. D　如图，设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，则OF＝OF′＝1.因为点C，F是线段AB的三等分点，所以C为AF的中点．又O为FF′的中点，所以CO∥AF′.因为CO⊥FF′，所以AF′⊥FF′，将x＝1代入＋＝1，可得yA＝±，根据椭圆的对称性，如图，不妨取点A，过点B作BD⊥x轴于点D，易得△BDF∽△AF′F，所以＝＝.因为AF′＝，所以BD＝，即B，代入＋＝1，得＋＝1.又b2＝a2－1，所以a＝，故该椭圆的离心率为e＝＝.
3. CD　抛物线C：y2＝4x，其中2p＝4，即p＝2，所以焦点F的坐标为(1，0)，不存在(－1，0)的情况，故A错误；设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝－3，F(1，0)，得＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以x1－1＝－3(x2－1)，y1＝－3y2.因为点A，B在抛物线C上，所以y＝4x1，y＝4x2，由y1＝－3y2，得9y＝4x1.又y＝4x2，所以9×4x2＝4x1，即x1＝9x2.又x1－1＝－3(x2－1)，所以9x2－1＝－3x2＋3，解得x2＝，则x1＝9×＝3.根据抛物线的焦点弦长公式可得AB＝3＋＋2＝，故B错误；由点A(3，y1)，O(0，0)，得斜率kAO＝，则直线AO的方程为y＝x，当x＝－1时，y＝－，即点N的坐标为.又y1＝－3y2，得点N(－1，y2).因为点B，所以点B，N的横坐标分别为－1和，纵坐标相等，所以BN平行于x轴．又直线l垂直于x轴，所以BN⊥l，故C正确； ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2.由x1＝3，x2＝，得x1x2＝3×＝1.由y1＝－3y2，y＝4x2＝，得y1y2＝－3y＝－3×＝－4，所以·＝1＋(－4)＝－3，故D正确．故选CD.
4. 　由题意，得椭圆C2的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0).设等轴双曲线C1的方程为x2－y2＝λ(λ>0)，则2λ＝4，解得λ＝2，所以双曲线C1的方程为x2－y2＝2.因为双曲线C1与椭圆C2在第一象限的交点为P，所以联立解得即点P，所以S△PF1F2＝F1F2×＝.
5. (1) 设圆M的半径为r，
因为圆M与圆C1内切，与圆C2外切，
又圆心C1(－1，0)，半径为5，圆心C2(1，0)，半径为1，
所以两式相加，得MC1＋MC2＝6>C1C2＝2，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且a＝3，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝8，
所以曲线C的方程为＋＝1.
(2) 联立
消去y并整理，得17x2＋18mx＋9m2－72＝0.
因为直线y＝x＋m与曲线C有且只有一个公共点，
所以Δ＝0，即(18m)2－4×17×(9m2－72)＝0，
整理，得m2＝17，解得m＝或m＝－.
3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2)
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得
解得
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 当AB不在坐标轴上时，设直线AB的方程为y＝kx，点A(x1，y1)，M(x2，y2)，
联立可得x＝，
则AB＝·2|x1|＝4，
同理，x＝，OM＝2，
所以S△ABM＝·AB·OM＝×4××2＝.　
因为≤＝(k2＋1)(当且仅当8k2＋1＝k2＋8，即k＝±1时，等号成立)，
所以S△ABM≥＝；
当直线l与坐标轴重合时，易得S△ABM＝2.
因为2>，所以当且仅当k＝±1时，△ABM面积的最小值为.
例2　(1) 设椭圆E的方程＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2) 由题意，得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋1，点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－3＝0，
则
①÷②，得＝，
所以my1y2＝，
＝＝＝＝
＝＝＝，
所以为定值.
例3　(1) 由题意，得b＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2) 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝x＋1.令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，所以OM＝|xM|＝||.
同理，ON＝||.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以OM·ON＝||·||
＝||
＝||
＝2||.
又OM·ON＝2，所以2||＝2，解得t＝0，
所以直线l经过定点(0，0).
【检测反馈】
1. A　设点P(m，n)，则＋＝1，所以m2＝4，其中n∈[－3，3]，所以PQ＝＝＝，当n＝时，PQ取得最小值.
2. B　由题意，得e＝＝＝2，所以b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2.设点A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则点B(－m，－n)，所以k1·k2＝·＝＝3.
3. AD　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线E：y2＝4x，得 p＝2，AF＋BF＝x1＋x2＋p＝8，所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点到E的准线距离为＋＝4，故A正确；若直线AB过原点，设x1＝0，则x2＝6，所以点A(0，0)，B(6，±2)，所以AB＝＝2，故B错误；当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝3，符合题意，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立消去y并整理，得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，则x1＋x2＝＝6，所以b＝－3k.又Δ＝(2kb－4)2－4k2b2>0，所以1－3k2<0，故k>或k<－，则倾斜角无最大值，故C错误；当直线AB斜率存在时，线段AB中点的坐标为(3，3k＋b)，所以线段AB的垂直平分线方程为y－(3k＋b)＝－(x－3).又b＝－3k，故线段AB的垂直平分线方程可化为ky＋x－5＝0，过定点(5，0)；当直线AB的斜率不存在时，其垂直平分线即为x轴所在直线，也成立，故D正确．故选AD.
4. 2　当x≤0，y>0时，－＋＝1，表示焦点在y轴上的双曲线在y轴及左侧，x轴上方的部分；当x>0，y≥0时，＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆在y轴右侧，x轴及上方的部分；当x>0，y<0时，－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线在第四象限的部分；当x<0，y<0时，－－＝1，方程无解，不表示任何图象，则曲线E：＋＝1的图象如图中实线所示，虚线是双曲线－＋＝±1的一条渐近线x＋y＝0，|x0＋y0|可视为点P(x0，y0)到直线x＋y＝0的距离的倍．由图知，当点P(x0，y0)在椭圆上时，点P(x0，y0)到直线x＋y＝0的距离最大，设点P(cos θ，2sin θ)，0≤θ≤，则x0＋y0＝2cos θ＋2sin θ＝2sin ，当θ＝时，|x0＋y0|取得最大值2.
5. (1) 由题意，得解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 设点P(x0，y0)，因为点A(－2，0)，B(2，0)，
所以直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为 k2＝，
所以k1·k2＝·＝.
因为＋＝1，所以k1·k2＝＝－.
设直线PA的方程为x＝my－2，则直线PB的方程为x＝－y＋2，
所以点M，N(4，－m)，
则以MN为直径圆的方程为(x－4)2＋y2＋y－6＝0.
令y＝0，可得x＝4±，
所以该圆恒过定点(4＋，0)与(4－，0).(共36张PPT)
第3章
圆锥曲线与方程
3.6　圆锥曲线的综合应用
3.6.1　圆锥曲线的综合应用(1)
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1．掌握圆锥曲线的方程和几何性质的应用．
2．体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．
活 动 方 案
活动一　圆锥曲线方程的应用
1
　　　(2025厦门期中)已知点M在曲线C上运动，动点M到定点F(－4，0)的距离与动点M到定直线x＝－1的距离之比为2.
(1) 求曲线C的标准方程；
2
【解析】 (1) 设点M(x，y)，由动点M到定点F(－4，0)的距离与它到定直线x＝－1的距离之比为2，
活动二　圆锥曲线几何性质的应用
　　　(2025泰州期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－16.
(1) 求证：直线l过定点；
(2) 求AF＋4BF的最小值．
【解析】 (1) 因为直线l与抛物线C：y2＝4x有两个交点，
所以直线l的斜率不为0，
所以设直线l的方程为x＝my＋n(n≥0)，
3
所以y1y2＝－4n，y1＋y2＝4m.
又因为y1y2＝－16，所以－4n＝－16，则n＝4，
则直线l的方程为x＝my＋4，
所以直线l过定点(4，0).
(2) 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
所以由抛物线的定义可知，AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，
所以AF＋4BF＝x1＋1＋4(x2＋1)＝x1＋4x2＋5.
4
检 测 反 馈
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
【答案】D
1
2
3
4
5
1
2
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2
3
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1
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3
4
5
【答案】CD
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
【解析】 由题意，得椭圆C2的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0).设等轴双曲线C1的方程为x2－y2＝λ(λ>0)，则2λ＝4，解得λ＝2，所以双曲线C1的方程为x2－y2＝2.
【答案】
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5．(2025无锡期中)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 若直线l：y＝x＋m与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．
【解析】 (1) 设圆M的半径为r，
因为圆M与圆C1内切，与圆C2外切，
又圆心C1(－1，0)，半径为5，圆心C2(1，0)，半径为1，
1
2
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1
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3
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