资源简介

2026 年初中学业水平学情诊断
数学试题
时间：120 分钟 满分：120 分
一．选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下面是 4所学校 2026 年体质健康监测的增长率（单位：个百分点）情况，数据呈起伏状态，
其中增长率最大的是（ ）
A．+3.5 B．+2.0 C．﹣1.5 D．-0.5
2．设计师石昌鸿耗时两年，将 34 个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具
一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列运算错误的是（ ）
A． (2x 1) 2x 1 4x2 1 2B． 3x 3x2 9x4
3
C．8x y 2x2 4xy 1 2 3 1 6 3D． ( x y) x y
2 8
4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A. B． C． D．
5. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解太原市中学生视力情况 B．了解太原市某中学七年级学生选修课情况
C．检测一批电动自行车的使用寿命 D．对某一批次盒装牛奶的合格情况的调查
6. 如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点 C 为圆心，
CA 为半径作弧，交 CD 于点 E，连接 AE，则
∠CEA 等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7. 2026 年山西省持续深化青运会成果，某校在五一节前夕开展“青春献礼祖国，运动赋能成
长”主题运动会，需要招募志愿者进行播音，现有两名男生和三名女生符合要求，先从这五
名学生中随机选择一名，然后再从剩余的四名学生中随机选择一名，则选出的两名学生恰好
是一男一女的概率是（ ）
3 2 1 3
A. B． C． D．
5 5 2 10
8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 AB∥CD∥EF，AC＝50cm，
CE＝30cm，BD＝45cm，则 BF 的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80
9. 如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 5，一边 CD 在 x轴上，
k
点 B 在 y 轴上，反比例函数 y = (k＞0)的图象经过点 A，
x
则 k 的值为（ ）
5 3 25 3A．5 B． C．10 D．
2
10. 如图，在半径为 6 的⊙O 中，∠AOC＝135°，点 B在 上，
BD 垂直平分 OA 于点 D，则BC的长度为（ ）
5
A． B． C． D．
4 3 2
二．填空题（本大题共 5 个小题，每个小题 3 分，共 15 分）
2
11．分解因式：2a -12a＝ ．
12．如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 沿射线 BC 的方向
平移得到△DEF，其中 A，B，C的对应点分别是点 D，E，F．
若点 E 是 BC 的中点，AB＝4，AC＝8，则点 A与点 D 之间的
距离为 ．
13. 随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，需要控制油的温
度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温 y（单位：℃）随加热时
间 t（单位：s）变化的部分数值：
加热时间 t/s 0 10 20 30 40 …
油温 y/℃ 30 45 60 75 90 …
根据表格中的数据判断，加热 100s 时的油温为 ℃.
14. 李大妈加盟了宗旨是“薄利多销”的全国烧烤连锁店，经市场调查发现，当每串羊肉串的
售价为 0.7 元时，平均每天能卖出 160 串，在此基础上，当售价每加价 0.1 元，那么平均
每天就会少卖出 20 串，每串羊肉串的成本为 0.5 元，若设每串羊肉串上涨 x 元，则李大妈
每天销售这种羊肉串获得的利润是 元.（用含 x 的代数式表示）
15. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=BC=5，AC=6，点 D 为 BC 中点，
过 C 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 E，则线段 DE 的长度
为 .
三．解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分，简答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
16．(本题 10 分)计算与化简：
1 3 8 1
2
2a 2a 4 a 2
（1）计算： ( 4)； （2）化简： ．
3 a 1 a2 1 a2 2a 1
17.（本题 7 分）2026 年 5 月 1 日全国首支机器人交警中队在杭州执勤，15 台机器人会识别闯
红灯、越线，还会语音劝导、比心互动.同时，杭州新增一批服务机器人助力景区运营，甲、
乙、丙三款机器人分别在导航能力和互动能力上接受测试.导航能力测试中，甲、乙、丙得
分分别为 90 分、88 分、92 分；互动能力测试由 10 位游客打分，每位游客最高打 10 分，10
位游客打分的和作为互动能力测试成绩.
【数据收集与整理】
甲、乙两款机器人互动能力得分折线图：
（注：甲为虚线，乙为实线，10 位游客打分数据如下） 丙款机器人互动能
力得分扇形统计图：
甲、乙、丙三款机器人互动能力测试情况统计表
机器人 游客打分的中位数 游客打分的众数 游客打分的 方差
互动能力测试成绩
甲 a 9、10 92 0.56
乙 8 8 83 0.81
丙 9 b 87 0.81
任务 1：a＝ ，b＝ ；
【数据分析与运用】
任务 2：按导航能力测试成绩占 40%，互动能力测试成绩占 60%计算综合成绩，甲、乙的综
合成绩为 91.2 分、85 分，请你通过计算判断甲、乙、丙三款机器人中综合成绩最高的是
哪一款？
任务 3：如果要选择甲、乙、丙三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出
你的理由．（写出一条理由即可）
18．（本题 7 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C、点 E在⊙O 上，∠ABC=50°，射线 AE 与射线
BC 交于点 D．若点 E 为 AD 的中点，求∠EAC 的度数．
19. （本题 9 分）清徐葡萄产自太原市清徐县，是当地经典特产.此地栽种葡萄年代久远，拥有
诸多优良品种，结出的果实饱满圆润，散发着清甜诱人的果香.美特好超市第一次用 8000
元购进了一批葡萄，很快售罄.接着又用 14400 元购进了第二批葡萄，第二批购进的箱数
是第一批的 2 倍，但每箱的进价比第一批便宜了 4 元.
（1）该超市两次一共购进了多少箱葡萄？
（2）由于储存不当，第二批葡萄中有 15% 出现了轻微损坏，无法售卖.若超市将两批完好
的葡萄按同一价格全部售完后，要保证总利润不低于 4600 元，则每箱葡萄的售价至少
应为多少元？
20. （本题 8 分）在中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵式上首次亮相的
DF﹣61 陆基洲际导弹，作为中国最新公开的战略威慑武器，可覆盖全球目标，标志着我国
“三位一体”核力量体系的完善，彰显了国家强大的战略威慑能力．如图 1 是由 AI 生成的
某基地导弹发射训练模拟场景，示意图如图 2所示，导弹直径忽略不计，车身为 AB，车高
为 BC，导弹长为 OD，第一次试射角∠COD＝37°．为了打击不同位置的目标，将导弹 OD
绕点 O 逆时针旋转到导弹 OE，使得发射角度为∠COE＝53°，改变前后弹头竖直方向上移
动 4 米，求导弹的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin53°
≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
21. （本题 9 分）阅读与思考
请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务．
中等三角形
在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验可
对不同的几何图进行一定的研究．
【图形定义】在一个三角形当中，如果有两条中线相等，那么称这个三角形为中等三角形.
其中第三条边称为中等三角形的底.如果底的对角是直角，那么我们称为直角中等三角形.
【概念理解】如图1，在△ABC 中，BD是 AC边上的中线，CE 是 AB 边上的中线，并且 BD=CE，
则△ABC 是中等三角形，BC 是中等三角形 ABC 的底.
（图 1） （图 2）
【例题】如图 2，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， 点 E、 F 分别是 OA、 OD
的中点，分别连接 BE 和 CF 并延长交于点 G，求证：三角形 BGC 为中等三角形.
证明：∵点 E、 F 分别是 OA、 OD 的中点
∴ EF//AD，EF 1 AD（依据）
2
……
任务：
（1）例题中的依据是 ；
（2）补全证明过程；
（3）请作一个以 AB 为底的直角中等三角形 ABD（要求尺规作图，保留作图痕迹不写作法）.
22. （本题 12 分）综合与实践
【问题情境】
厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合.某款锅的纵截面轮
廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计.
【素材一】以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为 x 轴，锅的竖直对称轴为 y 轴建立平面
直角坐标系.锅身曲线为抛物线 C ，开口向上，锅身的最低点离锅口是 10cm，锅口水平跨
1 2
度为 24cm；锅盖曲线为抛物线 C ，可由基础抛物线 y x 上下平移得到，初始状态
36
刚好严实盖住锅口.
【素材二】锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为
y 1 x 50( 12 x 12) .
6
【任务一】如图 1，建立基础模型
（1）求抛物线 C .
（2）初始状态下 C 的函数表达式为 .
【任务二】如图 2，调整锅盖位置
在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高 5.25cm 的蒸笼（支架纵
截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼.
（3）平移后抛物线的函数表达式为 .
【任务三】安全空间评估
（4）在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图 3，点 P是锅盖上任意一点，PQ 平行于 y 轴交
进风口于点 Q，求线段 PQ 的最小值；若 PQ 大于 35cm 才能保证安全，根据计算结果，判
断该距离是否满足安全要求？
(图 1) （图 2） （图 3）
23. （本题 13 分）综合与实践
【问题情境】综合实践课上，老师让同学们探究 Rt ABC 的图形变化，如图 1，在 Rt ABC 中
BAC 90 ，小明将 Rt ABC 绕点 B顺时针旋转 90°得到 RtΔA BC ，线段CA的延长线
与线段 A C 的延长线交于点D .
【猜想证明】（1）探究四边形 A BAD的形状，并说明理由；
（图 1）
【深入探究】（2）如图 2，在（1）的基础上，小华又将 Rt ABC 沿着 AB 折叠得到 Rt ABE，
点C的对应点点 E在 AD上，直线 BE与直线 A C 相交于点G，直线 BC 与直线 AE相交
于点H ，探究线段DG与线段DH 的数量关系，并说明理由；
（图 2）
【拓展应用】（3）如图 3，在（2）的基础上，小刚又将 Rt ABE绕着点B顺时针旋转 得到
Rt A''BE 0 （ α 180 ），直线 A''E 与直线 A C 交于点O .若 AB 8， AC 6，连
接 E'A'、 A A''，当△ ΔA'A''E' 是直角三角形时，请直接写出OA 的长度.
（图 3） （备用图）2026 年6月山大附中初中学业水平模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B A A C D C
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11.2 ( 6) 12.2 5 13.180 14. 200 2 + 120 + 32 1115. 97
194
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分）
16.（本题共有 2 个小题，每小题5 分，共 10 分）
解：（1）原式=1+(-2)+9+4 .............................. 3分
=12 ............................... 5分
2 2( 2) ( 1)2
（2）原式 = ............. ..................2分 +1 ( +1)( 1) 2
2 2 2
= - ...............................4分
+1 +1
2
= ................................5分
+1
17.（本题 7 分）
解：任务1: 9 ，9； ............................... 2分
任务2: x丙 92 40% 87 60% 89, x甲 91.2，x乙 85 ..............3分
91.2 89 85
x甲 x丙 x乙 ..........................4分
∴甲的综合成绩高 ................5分
任务3: 甲的方差是0.56，乙的方差是0.81，丙的方差是0.81
0.56 0.81 0.81 .............................6分
∴甲款机器人更稳定
∴选择甲款机器人上台表演。(言之有理即可) ...................7分
1
18.（本题 7 分）
解： AB为 O的直径
∴∠ACB=90 ° ................1分
∴∠ACD=180°-∠ACB=90 °
∵在Rt ACD中，∠ACD=90 °，E为AD中点
1
∴CE= AD ...............2分
2
∵E为AD中点
1
∴AE= AD ..................3分
2
∴CE= AE
∴∠EAC=∠ECA ..................4分
∵四边形ABCE是圆内接四边形
∴∠AEC+∠B=180° ....................5分
又∵∠B=50°
∴∠AEC=130° ...............6分
∴∠DEC=180°-∠AEC=50°
∵∠DEC是 AEC的外角
∴∠DEC=∠EAC+∠ECA
又∵∠EAC=∠ECA
∴∠DEC=2∠EAC
∵∠DEC=50°
∴∠EAC=25° ..............7分
19.（本题 9 分）
解：（1）设第一批葡萄购进 x箱，则第二批葡萄购进 2x 箱 .....1 分
8000 14400
由题意得： 4 ..........................2 分
x 2x
解得：x＝200， ........................ 3分
2
经检验，x＝200 是原方程的解，且符合题意，.......................... 4 分
∴2x＝2×200＝400，
∴200+400＝600（箱）．
答：该超市两次一共购进了葡萄 600 箱 .................... . 5 分
（2）设每箱葡萄的售价为m元， ..................... 6 分
由题意得：200m+400×（1﹣15%）m﹣8000﹣14400≥4600， ............ 7 分
解得：m≥50， .......................... 8 分
答：每箱葡萄的售价至少是 50 元． ............................... 9 分
20. （本题 8 分）
解：过点 E 作 EH⊥OC 于点 H，过点 D作 DF⊥OC 于点 F，过点 D 作 DG⊥EH 于点 G
则四边形 DFHG 为矩形 , ∠EHF=90°，∠DFO=90° ...............1 分
∴HG=FD
设OE= x米，则OD= x米
∵在Rt EOH 中，∠EHO=90 °，∠EOH=53 °
∴ sin EOH EH ............2 分
OE
EH
∴ sin 53
x
EH OE sin 53 x sin 53 0.8x ...........3 分
∵在Rt DOF中，∠DFO=90 °，∠DOF=37°
∴ sin DOF DF ............4 分
OD
∴ sin 37 DF
x
DF OD sin 37 x sin 37 0.6x .............5 分
∵EH-GH=EH-DF=EG=4m
∴0.8x-0.6x=4 .............6 分
∴x=20 .............7 分
答：导弹的长度是 20 米. ............8 分
3
21.（本题 9 分）
(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 ………………1分
(2)∵四边形ABCD为矩形
1 1
∴AC=BD，AD//BC，AD=BC，AO=OC= AC,OB=OD= BD
2 2
∴OA=OB=OC=OD ....................... 2分
∵点E为AO中点，
1
∴OE= AO，
2
1
同理OF= DO
2
1 3
∴BF=OB+OF=OA+ OA= OA，
2 2
1 3
CE=OC+OE=OA+ OA= OA
2 2
∴BF=CE ......................... 3 分
1
∵EF∥AD，EF= AD
2
1
∴EF∥BC，EF= BC
2
∵EF∥BC
∴∠GEF＝∠GBC
又∵∠G＝∠G
∴△GEF∽△GBC ......................... 4 分
GE GF EF 1
∴ ......................... 5 分
GB GC BC 2
∴GB=2GE
∴点E为BG中点
∴CE为△BCG的中线
同理： BF 为△BCG 的中线 ......................... 6 分
4
∴BF=CE，BF、CE为△BCG的中线
∴△BCG 为中等三角形. ......................... 7 分
（3）
如图所示，△ABD 即为所求 ..................... 9 分
【答案不唯一 ，作出一种即可】
22.（本题 12 分）
1
解：（1）由题知：OC=10cm，AB=24cm， OB= AB
2
∵OC=10
∴C（0，-10） ..........1 分
∵AB=24
∴ OB=12
∴B（12,0） ..............2 分
设 y a(x h)2 k(a 0)
∵ y a(x h)2 k 的顶点为（0，-10）
∴ y ax2 10 ....................3 分
y ax2∵ 10过 B（12,0）
2
∴0 12 a 10
5
∴ a ....................4 分
72
y 5∴ x2 10
72
5
∴抛物线C
5 2
1的函数表达式为 y x 10 ....................5分72
1 2
（2） y x 4 ................ .....7 分
36
1 2
（3） y x 9.25 ...............9 分
36
1 2 1
（4）解：设P(m, m 9.25),Q(m, m 50)
36 6
1 1 2
则 PQ ( m 50) ( m 9.25)
6 36
1 m2 1 163 m
36 6 4
.............10分
∴PQ是m的二次函数
a 1∵ 0
36
∴开口向上
∵对称轴为直线m 3, 12 m 12
∴当m 3时， PQmin 40.5 ..........11分
∵ 40.5 35
∴该距离满足安全要求. ..........12分
23.（本题 13 分）
解：（1）四边形 A BAD是正方形 ..........1分
理由如下： ∵旋转
∴ A B AB， A BA 90 , BA C BAC 90 .........2分
∵ A BA BA C BAC 90
∴四边形 A BAD是矩形. ......... 3分
又∵ A B AB
∴四边形 A BAD是正方形. .......... 4分
6
（2） DG DH .......... 5分
理由如下：
∵旋转
∴ A C AC , A C B C ... ........6 分
∵折叠
∴ AE AC, BEA C ............7 分
∵ A C B HC D, BEA DEG, A C B C, BEA C
∴ HC D DEG
∵A C AC, AE AC
∴A C AE ...........8 分
∵四边形 A BAD是正方形
∴ A D AD
∵A D AD，AE A C
∴A D A C AD AE
即C D DE .................9 分
在 HDC 和 GDE 中
HC D GED

C D DE

C DH EDG
∴ HDC ≌ GDE ...............10 分
∴DG DH ...............11 分
3 32 8（3） 或 7 ..............13 分
3 3
7

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