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浙江余姚中学2025-2026学年高一下学期4月质量检测数学试题
1．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，解题核心是通过乘以分母的共轭复数将分母实数化。
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于（　　）
A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10)
【答案】C
【知识点】向量加减混合运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：平面向量 =（1，2）， =（-2，m）且 ∥ ，
所以1×m=2×（-2），即m=-4
则2 +3 =2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）
故答案为：C．
【分析】根据平行向量的坐标表示，先求出m，再利用向量加法的坐标表示计算即可．
3．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
4．在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据题意，在中，，，，
由余弦定理，可得，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查余弦定理的应用，解题核心是利用余弦定理直接计算边c的长度。
5．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查斜二测画法中直观图与原平面图形的面积关系，解题核心是还原原图形的关键边长，再利用梯形面积公式计算。
6．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，在中，，，
则，
所以；
在中，，，
则，
在中，，
则
所以，塔尖之间的距离为.
故答案为：B.
【分析】先在中得出的长，在中得出的长，再在中结合余弦定理得出MN的长.
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：
根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥的外接球的半径为，内切球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为，，，
，，解得，
，
，，
三棱锥的表面积为
，
又，，
故答案为：C.
【分析】先将鳖臑放入长方体中，利用外接球表面积求出长方体的棱长（即AB的长度），再计算三棱锥体积和表面积，最后用等体积法求内切球半径。
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：取的中点，的中点为，
因为为等腰三角形，所以，
同理可得， ，所以平面，
又因为平面，所以，平面平面，
在四棱锥中，过点作的垂线，垂足为，
过作的垂线，垂足为，连接，
因为，平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以平面，
又因为平面，所以，
则为二面角的平面角，
设，则，，
又因为，
所以，其中，
令，则，
令且，
当时，；当时，，
所以，
则．
故答案为：B.
【分析】取的中点，的中点为，利用二面角的定义先确定出为二面角的平面角，再结合三角函数的定义，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出当二面角A—BC—D的平面角最大时的正切值．
9．已知复数满足，则下列命题是真命题的是（　　）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内对应的点位于第一象限
D．若与复数相等，则
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由 ，可解得 ：
A：，其共轭复数 ，所以 的虚部为 ，故A正确；
B：计算 ：；计算 ：。显然 ，故B错误；
C：复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限，故C正确；
D：若 与复数 相等，则实部与虚部分别相等：
解得 或 （第一个方程），代入第二个方程验证，只有 满足 ，无公共解，故D错误。
故答案为：AC
【分析】A：先求出，再求其共轭复数，判断虚部；B：分别计算和，比较是否相等；C：根据的实部和虚部，判断对应点在复平面的象限；D：利用复数相等的条件，列出方程组求解，验证解是否同时满足实部和虚部的等式。
10．已知的内角所对边分别为，下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等腰直角三角形
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A：由及正弦定理，可得，根据“大边对大角”，则，故A正确；
B：由余弦定理，若，则，只能说明为锐角，但无法确定、的大小，因此不能判定是锐角三角形，故B错误；
C：由，结合正弦定理得：
即，故（或，但三角形内角和为，舍去后者），
因此，是等腰三角形，故C正确；
D：由及正弦定理，
可得：
又，故，则，因此是等腰直角三角形，故D正确。
故答案为：ACD
【分析】A：利用正弦定理和“大边对大角”的性质，由正弦值大小直接判断角的大小；B：通过余弦定理判断角的锐角性质，但无法确定三角形整体形状；C：结合正弦定理和两角和的正弦公式，推出，从而判定为等腰三角形；D：联立已知条件与正弦定理，推导出，确定三角形为等腰直角三角形。
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（　　）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，如图，连接，
，，，且平面，
平面，平面，
，
同理可得，，
，且平面，
直线平面，故A正确；
对于B，，且，
四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面，
点P在线段上运动，到平面的距离，
则点到平面的距离，其为定值，
又因为的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，
不妨设正方体的棱长为1，
则，
所以，三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
点P在线段上运动，可设，
则，
对于C，因为，．
所以，
又因为，且，
所以，，
则，
因为异面直线与所成角为锐角或直角，
所以与所成角的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，．
由选项A可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：
，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】 利用线面垂直的判定定理证出直线平面，则判断出选项A；利用线线平行得出四边形是平行四边形，从而得出 得出平面 ，再根据点到平面的距离为定值和三棱锥的体积公式以及等体积法，则判断出选项B；先建立空间直角坐标系，再根据点P在线段上运动，则可设，利用数量积求向量夹角公式和a的取值范围求得出异面直线与所成角的取值范围，则判断出选项C；由选项A可知是平面的一个法向量， 再利用数量积求向量夹角公式和函数求值域的方法，则得出直线与平面所成角的正弦值的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：　 　.
【答案】0
【知识点】复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：0.
【分析】本题考查欧拉公式的直接应用，解题核心是代入x=计算。
13．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为　 　．
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，可得两个圆台的高分别为，
，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件和勾股定理，从而分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，从而得出圆台甲与圆台乙的体积之比.
14．如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的判定；解三角形
【解析】【解答】解：在中，设，，，
由余弦定理可得：，
即，即，
由，则（当且仅当时等号成立），
所以，
所以即（当且仅当时等号成立），
即当时，取得最大值4.此时三棱柱是正三棱柱，
过点作，则，连接，
过、、三点的截面即为平面.，
由三棱柱为直三棱柱，则平面，
所以，由，则，
所以四边形为矩形，则，
当最小时，最小.
当平面时，即，最小. 此时，
所以最小值为，
故答案为：3.
【分析】本题分为两步：先利用余弦定理和均值不等式求出 最大时的情况，再分析截面面积的最小值。
15．已知复数，（，是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值.
【答案】（1）解：，
∵是纯虚数，∴，且，
解得，；
（2）解：由题意得，，，
即且，
即或.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【分析】(1) 先利用复数除法运算化简 ，根据纯虚数的定义（实部为0，虚部不为0）求出 ，再计算 ；
(2) 将 代入方程，利用复数相等的条件（实部、虚部分别为0）列方程组求解 和 。
（1），
∵是纯虚数，∴，且，
解得，；
（2）依题意，，，
即且，
即或.
16．如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量.
（1）求单位向量的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模；
（3）求的面积.
【答案】（1）解：设，根据题意可得
又因为与垂直，即可得
故可得：
解得，或
所以或.
（2）解：设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为，
则；
又因为，故当时，；
当时，.
所以向量在向量上的投影向量的模为.
（3）解：由（1）可知：，由（2）可知，
故.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1) 先求出向量，再根据单位向量且与垂直的条件列方程组，求解单位向量的坐标；
(2) 利用投影向量的模公式，结合向量点积计算；
(3) 利用三角形面积公式，结合(1)(2)的结果求解。
17．已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，可得，
且，所以.
（2）解：由正弦定理得，可得，，
则，
又为锐角三角形，则，解得：，
则，可得，所以，
故，即周长的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将条件式转化为边的关系，再结合余弦定理求角 ；
(2) 先由正弦定理将边 表示为角 的函数，再结合锐角三角形条件确定角 的范围，进而求出周长的取值范围。
（1）因为，由正弦定理可得，
即，可得，
且，所以.
（2）由正弦定理得，可得，，
则，
又为锐角三角形，则，解得：，
则，可得，所以，
故，即周长的取值范围是.
18．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以平面；
（2）解：因为，且，所以，所以，
由（1）得，则与所成角为（或其补角），
因为，所以，
则与所成角的大小为；
（3）解：连接，过作于点，如图所示：
因为平面，且平面，
所以，又且，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角），
因为正方体的边长为1，所以，，所以，
则直线与平面所成角的正切值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，利用线线平行证明线面平行即可；
（2）利用平移得到与所成角为，解三角形即可；
（3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合求解即可.
（1）如图，连接交于点，
因为，分别为，的中点，所以.
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）因，且，易得，
则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）.
因为，所以，
即与所成角的大小为.
（3）连接，过作于点.
因为平面，且平面，
所以，又且，
所以平面.
因为平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角）.
因为正方体的边长为1，所以，，
所以.
19．如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
（1）证明：平面；
（2）求点到面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：连接，
在三棱台中，，
，
四边形为等腰梯形且，
设，则，
由余弦定理得：，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又因为平面，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，平面，
平面.
（2）解：由棱台性质知：延长交于一点，
，
，
，
；
平面，即平面，
即为三棱锥中，点到平面的距离，
由（1）得：，，
为等边三角形，，
，，
，
，
，
设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，
，
，
解得：，
即点到平面的距离为.
（3）解：平面，平面，
平面平面，
平面平面，
取中点，
在正中，，
平面，
因为平面，
平面平面，
作，平面平面，
则平面，
作，连接，
则即在平面上的射影，
平面，平面，
，
，平面，
平面，
平面，，
即二面角的平面角，
设，在中，作，
，，
又因为平面，平面，
，解得：，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得：，
，
存在满足题意的点，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证，由面面垂直和线面垂直的性质定理可证，再结合证出平面.
（2）延长交于一点，根据可求出的值，再利用等体积法得出，从而构造方程求出点到面的距离.
（3）根据线面垂直和面面垂直性质定理可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，再由二面角大小可构造方程求得的值，进而得出存在满足题意的点.
（1）连接，
在三棱台中，；
，四边形为等腰梯形且，
设，则.
由余弦定理得：，
，；
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
，平面，平面.
（2）由棱台性质知：延长交于一点，
，，，
；
平面，即平面，
即为三棱锥中，点到平面的距离，
由（1）中所设：，，
为等边三角形，，
，；
，，
，
设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，
，，解得：.
即点到平面的距离为.
（3）平面，平面，平面平面，
平面平面
取中点，在正中，，平面，
又平面，平面平面．
作，平面平面，则平面，
作，连接，则即在平面上的射影，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，即二面角的平面角.
设，
在中，作，
，，又平面，平面，
，解得：，
由（2）知：，，
，，
，，
，，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得：，
，
存在满足题意的点，.
1 / 1浙江余姚中学2025-2026学年高一下学期4月质量检测数学试题
1．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于（　　）
A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10)
3．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
4．在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（　　）
A． B． C． D．
5．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为
A． B． C． D．
9．已知复数满足，则下列命题是真命题的是（　　）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内对应的点位于第一象限
D．若与复数相等，则
10．已知的内角所对边分别为，下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等腰直角三角形
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（　　）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：　 　.
13．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，，则圆台甲与乙的体积之比为　 　．
14．如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为　 　．
15．已知复数，（，是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数和的值.
16．如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量.
（1）求单位向量的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模；
（3）求的面积.
17．已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
18．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
19．如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，
（1）证明：平面；
（2）求点到面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，解题核心是通过乘以分母的共轭复数将分母实数化。
2．【答案】C
【知识点】向量加减混合运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：平面向量 =（1，2）， =（-2，m）且 ∥ ，
所以1×m=2×（-2），即m=-4
则2 +3 =2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）
故答案为：C．
【分析】根据平行向量的坐标表示，先求出m，再利用向量加法的坐标表示计算即可．
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
4．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据题意，在中，，，，
由余弦定理，可得，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查余弦定理的应用，解题核心是利用余弦定理直接计算边c的长度。
5．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查斜二测画法中直观图与原平面图形的面积关系，解题核心是还原原图形的关键边长，再利用梯形面积公式计算。
6．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，在中，，，
则，
所以；
在中，，，
则，
在中，，
则
所以，塔尖之间的距离为.
故答案为：B.
【分析】先在中得出的长，在中得出的长，再在中结合余弦定理得出MN的长.
7．【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：
根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥的外接球的半径为，内切球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为，，，
，，解得，
，
，，
三棱锥的表面积为
，
又，，
故答案为：C.
【分析】先将鳖臑放入长方体中，利用外接球表面积求出长方体的棱长（即AB的长度），再计算三棱锥体积和表面积，最后用等体积法求内切球半径。
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：取的中点，的中点为，
因为为等腰三角形，所以，
同理可得， ，所以平面，
又因为平面，所以，平面平面，
在四棱锥中，过点作的垂线，垂足为，
过作的垂线，垂足为，连接，
因为，平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以平面，
又因为平面，所以，
则为二面角的平面角，
设，则，，
又因为，
所以，其中，
令，则，
令且，
当时，；当时，，
所以，
则．
故答案为：B.
【分析】取的中点，的中点为，利用二面角的定义先确定出为二面角的平面角，再结合三角函数的定义，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出当二面角A—BC—D的平面角最大时的正切值．
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由 ，可解得 ：
A：，其共轭复数 ，所以 的虚部为 ，故A正确；
B：计算 ：；计算 ：。显然 ，故B错误；
C：复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限，故C正确；
D：若 与复数 相等，则实部与虚部分别相等：
解得 或 （第一个方程），代入第二个方程验证，只有 满足 ，无公共解，故D错误。
故答案为：AC
【分析】A：先求出，再求其共轭复数，判断虚部；B：分别计算和，比较是否相等；C：根据的实部和虚部，判断对应点在复平面的象限；D：利用复数相等的条件，列出方程组求解，验证解是否同时满足实部和虚部的等式。
10．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A：由及正弦定理，可得，根据“大边对大角”，则，故A正确；
B：由余弦定理，若，则，只能说明为锐角，但无法确定、的大小，因此不能判定是锐角三角形，故B错误；
C：由，结合正弦定理得：
即，故（或，但三角形内角和为，舍去后者），
因此，是等腰三角形，故C正确；
D：由及正弦定理，
可得：
又，故，则，因此是等腰直角三角形，故D正确。
故答案为：ACD
【分析】A：利用正弦定理和“大边对大角”的性质，由正弦值大小直接判断角的大小；B：通过余弦定理判断角的锐角性质，但无法确定三角形整体形状；C：结合正弦定理和两角和的正弦公式，推出，从而判定为等腰三角形；D：联立已知条件与正弦定理，推导出，确定三角形为等腰直角三角形。
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，如图，连接，
，，，且平面，
平面，平面，
，
同理可得，，
，且平面，
直线平面，故A正确；
对于B，，且，
四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面，
点P在线段上运动，到平面的距离，
则点到平面的距离，其为定值，
又因为的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，
不妨设正方体的棱长为1，
则，
所以，三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
点P在线段上运动，可设，
则，
对于C，因为，．
所以，
又因为，且，
所以，，
则，
因为异面直线与所成角为锐角或直角，
所以与所成角的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，．
由选项A可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：
，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】 利用线面垂直的判定定理证出直线平面，则判断出选项A；利用线线平行得出四边形是平行四边形，从而得出 得出平面 ，再根据点到平面的距离为定值和三棱锥的体积公式以及等体积法，则判断出选项B；先建立空间直角坐标系，再根据点P在线段上运动，则可设，利用数量积求向量夹角公式和a的取值范围求得出异面直线与所成角的取值范围，则判断出选项C；由选项A可知是平面的一个法向量， 再利用数量积求向量夹角公式和函数求值域的方法，则得出直线与平面所成角的正弦值的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】0
【知识点】复数代数形式与三角形式的互化
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：0.
【分析】本题考查欧拉公式的直接应用，解题核心是代入x=计算。
13．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，可得两个圆台的高分别为，
，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件和勾股定理，从而分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，从而得出圆台甲与圆台乙的体积之比.
14．【答案】3
【知识点】平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的判定；解三角形
【解析】【解答】解：在中，设，，，
由余弦定理可得：，
即，即，
由，则（当且仅当时等号成立），
所以，
所以即（当且仅当时等号成立），
即当时，取得最大值4.此时三棱柱是正三棱柱，
过点作，则，连接，
过、、三点的截面即为平面.，
由三棱柱为直三棱柱，则平面，
所以，由，则，
所以四边形为矩形，则，
当最小时，最小.
当平面时，即，最小. 此时，
所以最小值为，
故答案为：3.
【分析】本题分为两步：先利用余弦定理和均值不等式求出 最大时的情况，再分析截面面积的最小值。
15．【答案】（1）解：，
∵是纯虚数，∴，且，
解得，；
（2）解：由题意得，，，
即且，
即或.
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【分析】(1) 先利用复数除法运算化简 ，根据纯虚数的定义（实部为0，虚部不为0）求出 ，再计算 ；
(2) 将 代入方程，利用复数相等的条件（实部、虚部分别为0）列方程组求解 和 。
（1），
∵是纯虚数，∴，且，
解得，；
（2）依题意，，，
即且，
即或.
16．【答案】（1）解：设，根据题意可得
又因为与垂直，即可得
故可得：
解得，或
所以或.
（2）解：设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为，
则；
又因为，故当时，；
当时，.
所以向量在向量上的投影向量的模为.
（3）解：由（1）可知：，由（2）可知，
故.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1) 先求出向量，再根据单位向量且与垂直的条件列方程组，求解单位向量的坐标；
(2) 利用投影向量的模公式，结合向量点积计算；
(3) 利用三角形面积公式，结合(1)(2)的结果求解。
17．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，可得，
且，所以.
（2）解：由正弦定理得，可得，，
则，
又为锐角三角形，则，解得：，
则，可得，所以，
故，即周长的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将条件式转化为边的关系，再结合余弦定理求角 ；
(2) 先由正弦定理将边 表示为角 的函数，再结合锐角三角形条件确定角 的范围，进而求出周长的取值范围。
（1）因为，由正弦定理可得，
即，可得，
且，所以.
（2）由正弦定理得，可得，，
则，
又为锐角三角形，则，解得：，
则，可得，所以，
故，即周长的取值范围是.
18．【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以平面；
（2）解：因为，且，所以，所以，
由（1）得，则与所成角为（或其补角），
因为，所以，
则与所成角的大小为；
（3）解：连接，过作于点，如图所示：
因为平面，且平面，
所以，又且，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角），
因为正方体的边长为1，所以，，所以，
则直线与平面所成角的正切值为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，利用线线平行证明线面平行即可；
（2）利用平移得到与所成角为，解三角形即可；
（3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合求解即可.
（1）如图，连接交于点，
因为，分别为，的中点，所以.
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）因，且，易得，
则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）.
因为，所以，
即与所成角的大小为.
（3）连接，过作于点.
因为平面，且平面，
所以，又且，
所以平面.
因为平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角）.
因为正方体的边长为1，所以，，
所以.
19．【答案】（1）证明：连接，
在三棱台中，，
，
四边形为等腰梯形且，
设，则，
由余弦定理得：，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又因为平面，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，平面，
平面.
（2）解：由棱台性质知：延长交于一点，
，
，
，
；
平面，即平面，
即为三棱锥中，点到平面的距离，
由（1）得：，，
为等边三角形，，
，，
，
，
，
设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，
，
，
解得：，
即点到平面的距离为.
（3）解：平面，平面，
平面平面，
平面平面，
取中点，
在正中，，
平面，
因为平面，
平面平面，
作，平面平面，
则平面，
作，连接，
则即在平面上的射影，
平面，平面，
，
，平面，
平面，
平面，，
即二面角的平面角，
设，在中，作，
，，
又因为平面，平面，
，解得：，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得：，
，
存在满足题意的点，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证，由面面垂直和线面垂直的性质定理可证，再结合证出平面.
（2）延长交于一点，根据可求出的值，再利用等体积法得出，从而构造方程求出点到面的距离.
（3）根据线面垂直和面面垂直性质定理可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，再由二面角大小可构造方程求得的值，进而得出存在满足题意的点.
（1）连接，
在三棱台中，；
，四边形为等腰梯形且，
设，则.
由余弦定理得：，
，；
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
，平面，平面.
（2）由棱台性质知：延长交于一点，
，，，
；
平面，即平面，
即为三棱锥中，点到平面的距离，
由（1）中所设：，，
为等边三角形，，
，；
，，
，
设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离，
，，解得：.
即点到平面的距离为.
（3）平面，平面，平面平面，
平面平面
取中点，在正中，，平面，
又平面，平面平面．
作，平面平面，则平面，
作，连接，则即在平面上的射影，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，，即二面角的平面角.
设，
在中，作，
，，又平面，平面，
，解得：，
由（2）知：，，
，，
，，
，，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得：，
，
存在满足题意的点，.
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