资源简介

广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
1．已知函数，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
2．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（　　）
A．11种 B．22种 C．30种 D．60种
3．若函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则 的值为（　　）
A．1 B．2或 C．2 D．1或
4．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有（　　）种
A．360 B．240 C．120 D．60
6．某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（　　）
A．12种 B．30种 C．36种 D．42种
7．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
8．已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．函数在区间单调递减 B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
10．下列函数在定义域上为增函数的有（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（　　）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
12．从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成　 　个没有重复数字的四位数．
13．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有　 　种．
14．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　.
15．已知等差数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．在 中，已知角 所对的边分别是 ，且 .
（1）求 和角 的值；
（2）求 的面积.
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值.
18．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：
（1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
（2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
（3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
19．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，恒成立，求的值；
（3）若在区间上存在零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数，则，
所以，
故答案为：C．
【分析】本题考查导数的定义，解题核心是利用导数的定义：函数在某点的导数 ，先求导函数，再代入 求值。
2．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法，
根据分步乘法计数原理，
可得不同的组合方式有（种）．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出不同的组合方式种数.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】由题意知：直线 的斜率为 ，则在 处切线的斜率为3，
又∵ ，即 ，
∴ 或 ，
故答案为：D．
【分析】首先由直线的方程求出直线的斜率再由直线垂直斜率之间的关系求出切线的斜率，再由导函数与切线斜率的关系对函数求导即可得出关于a的方程求解出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为函数在上存在单调递减区间，
则在上有解，可得，所以．
令，则，
显然，可知函数单调递增，则，
即，所以实数的取值范围是．
故答案为：C
【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，核心思路是：函数在区间上存在单调递减区间，等价于其导函数在上有解，进而转化为求不等式中参数的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 甲、乙两位同学要相邻， 一共为 种.
故答案为：B．
【分析】用捆绑法，把甲、乙同学看做一个整体，再让这个整体与其他4名同学进行全排列，即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将第6名同学放到原来5名同学形成的6个空中，有6种放法；
将第7名同学放到已经排好的6名同学形成的7个空中，有7种放法，
故不同的比赛顺序共有种.
故答案为：D
【分析】本题考查分步乘法计数原理，核心思路是在保持原有 5 名同学顺序不变的前提下，将新增的两名同学依次插入到已排好的队伍空隙中，分步计算插入方法数，再相乘得到总排列数。
7．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：画出函数 的图像，
在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】根据 g（x） =0得出 ，分别作出两个函数的图象，根据图像交点个数与函数的零点之间的关系进行转化即得。
8．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：根据题意，可知，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可知在处取得极小值，也是最小值，
则
因此在上的值域为，
因为，
可得，
令，可得，，
则当时，，
所以在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
因为
所以，
又因为，
所以在上的值域为，
若对于任意，都存在，使得，
可得，
解得.
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】依题意可知函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，则得出函数在上的值域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出函数在上的值域，对于任意，都存在，使得，可得，再根据集合间的包含关系，从而得出实数a的取值范围.
9．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于A，由图可知，当时，，
则在区间单调递增，故A错误；
对于B，由图可知，当时，，
则在区间单调递减，故B正确；
对于C，由图可知，，
则在处不取极值，故C错误；
对于D，由图可知，当时，；当时，，
则在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件和导函数图象，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：A：对求导，得，在上恒成立，且仅在处导数为0，因此在定义域上为增函数，故A正确；
B：对求导，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增，因此在定义域上不是单调增函数，故B错误；
C：对求导，得。因为，所以在上恒成立，因此在定义域上为增函数，故C正确；
D：对求导，得。由基本不等式，可知在上恒成立，且仅在处导数为0，因此在定义域上为增函数，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】利用函数单调性与导数的关系判断.
11．【答案】B,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A：甲从M到N需走6步（3步向上、3步向右），最短路径数为组合数种，而非120种，故A错误；
B：甲从M经到N，分两步：
从M到：需走3步（1右2上），路径数种；
从到N：需走3步（1上2右），路径数种；
总路径数为种，故B正确；
C：甲、乙两人在处相遇，需同时满足：
甲从M经到N，路径数为9种；
乙从N经到M，路径数也为9种；
两人总路径数均为种，故相遇概率为，C正确；
D：两人相遇仅可能在处，分别计算相遇路径数：
：1种；：81种；：81种；：1种；
总相遇路径数为，总路径数为，故相遇概率为，D正确。
故答案为：BCD。
【分析】A：利用格路问题的组合数公式计算最短路径数，验证是否为；B：将路径分为两段，分别计算各段的路径数再相乘；C：结合B的结果，计算两人在相遇的路径数与总路径数的比值；D：分四个交汇点计算相遇路径数，求和后除以总路径数，得到总相遇概率。
12．【答案】1440
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：从1，3，5，7，9 这5个奇数中任取2个，方法数为：
从2，4，6，8这4个偶数中任取2个，方法数为：
选出的4个不同数字，全排列组成无重复数字的四位数，方法数为：
根据分步乘法计数原理，总数为：
故答案为：
【分析】本题考查排列组合的分步计数原理，解题核心是分三步完成：先从奇数中选数、再从偶数中选数、最后将选出的数字全排列组成四位数。
13．【答案】72
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于区域，与相邻，有3种涂法，
③，对于区域，与相邻，有2种涂法，
④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法，
若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种.
【分析】本题考查分步计数原理的应用，解题核心是从中间与所有区域相邻的 A 区域开始分步涂色，同时对 D、E 区域的涂色情况进行分类讨论。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若关于的不等式恒成立，所以恒成立，
令，求导得，
，，
所以在单调递减，在单调递增，
而，当趋于0和正无穷时，都趋于正无穷，
所以的值域为，
原问题等价于恒成立，即恒成立，
令，求导得，
所以在上单调递增，
所以的最小值为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题是恒成立问题，解题核心是通过变形将不等式转化为函数值域与最值问题，先构造函数 求其值域，再构造函数 求其最小值，从而确定 的取值范围。
15．【答案】（1）解：设数列的公差为，
因为，
所以，，
解得，，
所以．
（2）解：，
因为
所以．
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 设等差数列公差为，根据和列方程，求出首项和公差，进而写出通项公式；
(2) 先将裂项，再利用裂项相消法求前项和。
（1）设数列的公差为，
因为，
所以，，
解得，，
所以．
（2），
因为
所以．
所以.
16．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理 得： ，
则有 ，而 ，解得 ，
又 ，即 为锐角，于是得 ，
所以 ， .
（2）解：在 中，由余弦定理 得： ，
整理得： ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或3.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)在中利用正弦定理边化角，结合已知计算即可得解.
(2)利用余弦定理结合(1)的结论求出边c，再用三角形面积公式即可计算作答.
17．【答案】（1）解：，
，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由得或，
由于，故当时，，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先求函数在x=0处的函数值f(0)和导数值f'(0)，再利用点斜式写出切线方程；
(2) 先求导并令导数为0，得到临界点x=0和x=a，再根据导数符号判断单调性，进而确定极大值与极小值。
（1），
，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由得或，
由于，故当时，，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，极小值为.
18．【答案】（1）解：因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，
所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，
所以排法种数为：种.
（2）解：完成这件事可以分两步：
第一步：先选人，有种选法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：.
由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：.
（3）解：完成这件事的方法可以分两类：
第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种；
第二类：小钱和小赵都参加，方法有.
由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 小王必须参加且固定位置，只需从剩余选手中选人并安排其他位置；
(2) 先确定必须参加的选手，再用插空法处理不相邻问题；
(3) 用分类加法原理，分 “仅一人参加” 和 “两人都参加” 两类计算。
（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，
所以排法种数为：种.
（2）完成这件事可以分两步：
第一步：先选人，有种选法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：.
由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：.
（3）完成这件事的方法可以分两类：
第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种；
第二类：小钱和小赵都参加，方法有.
由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：.
19．【答案】（1）解：当时，，，
则，
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）解：由，
得，，
当时，恒成立，所以是在区间上的最小值，
则当时，是的极小值点，
所以，
解得，
当时，，
令，则，
由（1）知，则当时，
恒成立，
所以在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
又因为，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，
则.
（3）解：因为，
所以，
由（1）知.
当时，，则当时，，
所以，当时，在区间上恒成立，
则在区间上单调递增，
所以，当时，，
此时在区间上无零点，不符合题意，舍去，
当时，令，
则，
当时，，则单调递增，
又因为，当时，，
所以，存在，使得，
当时，，则，所以单调递减；
当时，，则，所以单调递增，
因为，当时，，
则当时，在区间上有唯一零点，
综上所述，若在区间上存在零点，
则的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再求出导函数，令，利用导数得出函数g(x)的最值，进而得出函数的单调区间.
（2）由题意结合不等式恒成立，从而可得是在区间上的最小值，得出a的值以及函数的解析式，令，再根据（1）和导数的正负判断函数h(x)的单调性的方法，从而得出函数f(x)的单调性，进而得出函数f(x)的极值点，则得出实数a的值.
（3），结合（1）分析，可得时，在区间上无零点；当时，结合单调性与零点存在性定理可判断零点情况.
（1）当时，，，则.
令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，
所以当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由，得，.
因为当时，恒成立，
所以是在区间上的最小值，
即当时，是的极小值点，
所以，解得.
当时，.
令，则.
由（1）知，
所以当时，
恒成立，
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.
又，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，符合题意.
故.
（3）因为，所以，
由（1）知.
又当时，，
所以当时，，
所以当时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
故当时，，
此时在区间上无零点，不符合题意，舍去.
当时，令，
则.
当时，，单调递增.
又，当时，，所以存在，使.
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增.
因为，当时，，
所以当时，在区间上有唯一零点.
综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是.
1 / 1广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
1．已知函数，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数，则，
所以，
故答案为：C．
【分析】本题考查导数的定义，解题核心是利用导数的定义：函数在某点的导数 ，先求导函数，再代入 求值。
2．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（　　）
A．11种 B．22种 C．30种 D．60种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法，
根据分步乘法计数原理，
可得不同的组合方式有（种）．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和分步乘法计数原理，从而得出不同的组合方式种数.
3．若函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则 的值为（　　）
A．1 B．2或 C．2 D．1或
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】由题意知：直线 的斜率为 ，则在 处切线的斜率为3，
又∵ ，即 ，
∴ 或 ，
故答案为：D．
【分析】首先由直线的方程求出直线的斜率再由直线垂直斜率之间的关系求出切线的斜率，再由导函数与切线斜率的关系对函数求导即可得出关于a的方程求解出结果即可。
4．已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为函数在上存在单调递减区间，
则在上有解，可得，所以．
令，则，
显然，可知函数单调递增，则，
即，所以实数的取值范围是．
故答案为：C
【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，核心思路是：函数在区间上存在单调递减区间，等价于其导函数在上有解，进而转化为求不等式中参数的取值范围。
5．6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有（　　）种
A．360 B．240 C．120 D．60
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 甲、乙两位同学要相邻， 一共为 种.
故答案为：B．
【分析】用捆绑法，把甲、乙同学看做一个整体，再让这个整体与其他4名同学进行全排列，即可得到答案。
6．某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（　　）
A．12种 B．30种 C．36种 D．42种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将第6名同学放到原来5名同学形成的6个空中，有6种放法；
将第7名同学放到已经排好的6名同学形成的7个空中，有7种放法，
故不同的比赛顺序共有种.
故答案为：D
【分析】本题考查分步乘法计数原理，核心思路是在保持原有 5 名同学顺序不变的前提下，将新增的两名同学依次插入到已排好的队伍空隙中，分步计算插入方法数，再相乘得到总排列数。
7．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：画出函数 的图像，
在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】根据 g（x） =0得出 ，分别作出两个函数的图象，根据图像交点个数与函数的零点之间的关系进行转化即得。
8．已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：根据题意，可知，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可知在处取得极小值，也是最小值，
则
因此在上的值域为，
因为，
可得，
令，可得，，
则当时，，
所以在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
因为
所以，
又因为，
所以在上的值域为，
若对于任意，都存在，使得，
可得，
解得.
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】依题意可知函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，则得出函数在上的值域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出函数在上的值域，对于任意，都存在，使得，可得，再根据集合间的包含关系，从而得出实数a的取值范围.
9．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．函数在区间单调递减 B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于A，由图可知，当时，，
则在区间单调递增，故A错误；
对于B，由图可知，当时，，
则在区间单调递减，故B正确；
对于C，由图可知，，
则在处不取极值，故C错误；
对于D，由图可知，当时，；当时，，
则在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件和导函数图象，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而逐项判断找出结论正确的选项.
10．下列函数在定义域上为增函数的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：A：对求导，得，在上恒成立，且仅在处导数为0，因此在定义域上为增函数，故A正确；
B：对求导，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增，因此在定义域上不是单调增函数，故B错误；
C：对求导，得。因为，所以在上恒成立，因此在定义域上为增函数，故C正确；
D：对求导，得。由基本不等式，可知在上恒成立，且仅在处导数为0，因此在定义域上为增函数，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】利用函数单调性与导数的关系判断.
11．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（　　）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A：甲从M到N需走6步（3步向上、3步向右），最短路径数为组合数种，而非120种，故A错误；
B：甲从M经到N，分两步：
从M到：需走3步（1右2上），路径数种；
从到N：需走3步（1上2右），路径数种；
总路径数为种，故B正确；
C：甲、乙两人在处相遇，需同时满足：
甲从M经到N，路径数为9种；
乙从N经到M，路径数也为9种；
两人总路径数均为种，故相遇概率为，C正确；
D：两人相遇仅可能在处，分别计算相遇路径数：
：1种；：81种；：81种；：1种；
总相遇路径数为，总路径数为，故相遇概率为，D正确。
故答案为：BCD。
【分析】A：利用格路问题的组合数公式计算最短路径数，验证是否为；B：将路径分为两段，分别计算各段的路径数再相乘；C：结合B的结果，计算两人在相遇的路径数与总路径数的比值；D：分四个交汇点计算相遇路径数，求和后除以总路径数，得到总相遇概率。
12．从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成　 　个没有重复数字的四位数．
【答案】1440
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：从1，3，5，7，9 这5个奇数中任取2个，方法数为：
从2，4，6，8这4个偶数中任取2个，方法数为：
选出的4个不同数字，全排列组成无重复数字的四位数，方法数为：
根据分步乘法计数原理，总数为：
故答案为：
【分析】本题考查排列组合的分步计数原理，解题核心是分三步完成：先从奇数中选数、再从偶数中选数、最后将选出的数字全排列组成四位数。
13．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有　 　种．
【答案】72
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于区域，与相邻，有3种涂法，
③，对于区域，与相邻，有2种涂法，
④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法，
若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种.
【分析】本题考查分步计数原理的应用，解题核心是从中间与所有区域相邻的 A 区域开始分步涂色，同时对 D、E 区域的涂色情况进行分类讨论。
14．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若关于的不等式恒成立，所以恒成立，
令，求导得，
，，
所以在单调递减，在单调递增，
而，当趋于0和正无穷时，都趋于正无穷，
所以的值域为，
原问题等价于恒成立，即恒成立，
令，求导得，
所以在上单调递增，
所以的最小值为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题是恒成立问题，解题核心是通过变形将不等式转化为函数值域与最值问题，先构造函数 求其值域，再构造函数 求其最小值，从而确定 的取值范围。
15．已知等差数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：设数列的公差为，
因为，
所以，，
解得，，
所以．
（2）解：，
因为
所以．
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 设等差数列公差为，根据和列方程，求出首项和公差，进而写出通项公式；
(2) 先将裂项，再利用裂项相消法求前项和。
（1）设数列的公差为，
因为，
所以，，
解得，，
所以．
（2），
因为
所以．
所以.
16．在 中，已知角 所对的边分别是 ，且 .
（1）求 和角 的值；
（2）求 的面积.
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理 得： ，
则有 ，而 ，解得 ，
又 ，即 为锐角，于是得 ，
所以 ， .
（2）解：在 中，由余弦定理 得： ，
整理得： ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或3.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)在中利用正弦定理边化角，结合已知计算即可得解.
(2)利用余弦定理结合(1)的结论求出边c，再用三角形面积公式即可计算作答.
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值.
【答案】（1）解：，
，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由得或，
由于，故当时，，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先求函数在x=0处的函数值f(0)和导数值f'(0)，再利用点斜式写出切线方程；
(2) 先求导并令导数为0，得到临界点x=0和x=a，再根据导数符号判断单调性，进而确定极大值与极小值。
（1），
，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由得或，
由于，故当时，，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值为，极小值为.
18．为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：
（1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
（2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
（3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
【答案】（1）解：因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，
所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，
所以排法种数为：种.
（2）解：完成这件事可以分两步：
第一步：先选人，有种选法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：.
由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：.
（3）解：完成这件事的方法可以分两类：
第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种；
第二类：小钱和小赵都参加，方法有.
由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 小王必须参加且固定位置，只需从剩余选手中选人并安排其他位置；
(2) 先确定必须参加的选手，再用插空法处理不相邻问题；
(3) 用分类加法原理，分 “仅一人参加” 和 “两人都参加” 两类计算。
（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，
所以排法种数为：种.
（2）完成这件事可以分两步：
第一步：先选人，有种选法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：.
由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：.
（3）完成这件事的方法可以分两类：
第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种；
第二类：小钱和小赵都参加，方法有.
由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：.
19．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，恒成立，求的值；
（3）若在区间上存在零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
则，
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）解：由，
得，，
当时，恒成立，所以是在区间上的最小值，
则当时，是的极小值点，
所以，
解得，
当时，，
令，则，
由（1）知，则当时，
恒成立，
所以在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
又因为，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，
则.
（3）解：因为，
所以，
由（1）知.
当时，，则当时，，
所以，当时，在区间上恒成立，
则在区间上单调递增，
所以，当时，，
此时在区间上无零点，不符合题意，舍去，
当时，令，
则，
当时，，则单调递增，
又因为，当时，，
所以，存在，使得，
当时，，则，所以单调递减；
当时，，则，所以单调递增，
因为，当时，，
则当时，在区间上有唯一零点，
综上所述，若在区间上存在零点，
则的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再求出导函数，令，利用导数得出函数g(x)的最值，进而得出函数的单调区间.
（2）由题意结合不等式恒成立，从而可得是在区间上的最小值，得出a的值以及函数的解析式，令，再根据（1）和导数的正负判断函数h(x)的单调性的方法，从而得出函数f(x)的单调性，进而得出函数f(x)的极值点，则得出实数a的值.
（3），结合（1）分析，可得时，在区间上无零点；当时，结合单调性与零点存在性定理可判断零点情况.
（1）当时，，，则.
令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，
所以当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由，得，.
因为当时，恒成立，
所以是在区间上的最小值，
即当时，是的极小值点，
所以，解得.
当时，.
令，则.
由（1）知，
所以当时，
恒成立，
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.
又，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是的极小值点，符合题意.
故.
（3）因为，所以，
由（1）知.
又当时，，
所以当时，，
所以当时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
故当时，，
此时在区间上无零点，不符合题意，舍去.
当时，令，
则.
当时，，单调递增.
又，当时，，所以存在，使.
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增.
因为，当时，，
所以当时，在区间上有唯一零点.
综上，若在区间上存在零点，则的取值范围是.
1 / 1

展开更多......

收起↑