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贵州铜仁市万山区2025-2026学年第二学期阶段性学情诊断 八年级 数学
1．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就．下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是(　　)
A．(－2，3) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，－3)
3．已知一个多边形是正五边形，则这个正五边形的每个内角是（　　）
A． B． C． D．
4．铜仁市2026年创建全国文明城市期间，为推广“垃圾入桶”文明行为，市政部门在城区主干道旁设置了一批分类垃圾桶．如图，四边形是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如果在轴上，那么点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
7．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
11．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．
12．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．中秋节假期，浩宇同学陪家人一起去看电影隐入尘烟，如果把排号记作，若浩宇同学的电影票上写的是排号，则可以记作　 　．
14．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是　 　．
15．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为　 　．
16．如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，，…，按图中的规律，的坐标是　 　．
17．（1）计算：；
（2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值．
18．已知一个多边形的边数为．
（1）若时，则这个多边形的内角和为多少度？
（2）若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数．
19．如图，在菱形中，，点是对角线的中点，过点作于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
20．如图，在直角坐标系中．
（1）请写出各顶点的坐标；
（2）若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出，，的坐标，并在图中画出平移后图形；
（3）求出的面积．
21．如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
22．铜仁朱砂古镇是国家4A级景区，以千年丹砂文化闻名．景区为打造丹砂文化主题展厅，设计了如图所示的矩形展厅主体，将展厅绘制成如右图所示的矩形，对角线、相交于点．为呼应朱砂矿道的对称结构与丹砂晶体的菱形造型，取的中点，延长至点，使，连接、，形成菱形造型的丹砂文化展示区．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若展厅的边，菱形展示区的对角线，求菱形的面积．
23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”．
（1）点的“长距”为________；
（2）若点（，）是“龙沙点”，求a的值；
（3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点是“龙沙点”．
24．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线．
性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分．
已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，．
求证：，互相垂直平分．
部分证明过程如下：
证明：如图，顺次连接，，，四点，
任务：
（1）下列图形，是等对四边形的有　 　只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程；
（3）如图②，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长．
25．【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
（1）【问题初探】
爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________；
（2）【问题引申】
如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由：
（3）【问题解决】
如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、文字上方的图案是中心对称图形，符合题意；
C、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B ．
【分析】中心对称图形的定义是：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
只有选项C符合条件，
故答案为：C．
【分析】根据第四象限的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】∵n边形内角和公式为，该多边形为正五边形，即．
∴正五边形内角和为．
∵正五边形的五个内角相等，
∴每个内角的度数为．
故答案为：B.
【分析】 先由多边形边数代入内角和公式求出正五边形全部内角总和，再依据正多边形各内角相等的性质，用内角和除以边数，得到单个内角度数.
4．【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】由AD∥BC这一平行条件，可推出∠BAD与∠1是一组同旁内角，依据平行线性质二者互补；再代入已知∠1的度数，通过减法计算即可求出∠BAD的度数.
5．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵x轴上的点纵坐标为0，
∴，
解得，
将代入点P的横坐标，得横坐标为，
∴点P的坐标是．
故答案为：B.
【分析】由点在x轴上的坐标特征，得到纵坐标数值为0，据此列出一元一次方程求出参数m；再把m代回横坐标，完整写出点P的坐标，对照选项选出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ 只有两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，有一组对边平行的四边形可能是梯形， ∴ A是假命题；
∵ 有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形可以是直角梯形， ∴ B是假命题；
∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴ 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，C是真命题；
∵ 有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的四边形不一定是菱形， ∴ D是假命题；
故答案为：C.
【分析】 本题依次依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个验证四个命题的真假；先区分判定定理的前提条件（大多需要先为平行四边形），再层层推导 C 选项的对角线条件能否判定正方形，最终选出真命题.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】由平行四边形对边相等得到BC长度，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，将OB+OC整体转化为对角线和的一半，不用单独求出两条对角线各自长度，最后将OB+OC与BC相加，即可得到三角形周长.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴点D到和的距离相等，
∵，
∴，
∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10，
∴点D到的距离为10．
故选：C．
【分析】由作法得平分，根据角平分线性质可得点D到和的距离相等，即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据条件建立如图所示的直角坐标系，
由直角坐标系可知点的坐标为．
故答案为：A.
【分析】由A、B两点给出的坐标，反向定位网格中原点O、横轴与纵轴位置，再横向读取点C到y轴距离与正负、纵向读取点C到x轴距离与正负，组合得到完整坐标.
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】 解题思路分为两步：先单独计算中间阴影正方形面积；再利用正八边形边长得到外围等腰直角三角形斜边长度，求出单个三角形面积再乘以 4；最后把两部分阴影面积相加，得到总面积.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
故答案为：A．
【分析】由矩形性质求出对角线长度、△AOD面积；再把△AOD拆成△AOP与△DOP，分别以OA，OD为底、PE，PF为高表示面积；利用OA=OD整体提取公因式，直接解出PE+PF的定值，无需单独求两条垂线段.
12．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，，
，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，故②正确；
，故③错误；
，
，
，，
，
，故④正确；
∴①②④正确，
故答案为：B．
【分析】ABCD为正方形 AB=BC=CD=AD=12，∠A=∠C=∠B=90 ；E是BC中点 BE=EC=6；△DCE轴对称折叠△DFE △DCE △DFE DF=DC， EF=EC∠DFE=∠C=90 ， ∠DEC=∠DEF；结合AD=DC，等量代换得AD=DF；∠DFE=90 ∠DFG=90 =∠A，又DG=DG（公共边），Rt△ADG、Rt△FDG满足 HL 判定条件 △DAG △DFG，①得证，且全等推出AG=FG；设AG=FG=x，线段和差得BG=12 x，EG=EF+FG=x+6，Rt△BEG中满足BE2+BG2=EG2，代入构造一元一次方程求解出x=4，计算得BG=2AG，②得证；将FG=4，DF=12代入直角三角形面积公式S=ab，算出S△DGF=24≠120，直接否定③；EF=EC=BE △EBF为等腰三角形 ∠EFB=∠EBF；由三角形外角定理∠CEF=∠EFB+∠EBF=2∠EFB，折叠角等分∠CEF=2∠DEF，等量代换得∠EFB=∠DEF，该组内错角相等 BF∥DE，④得证；最终统计成立结论数量，确定答案.
13．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置；有序数对
【解析】【解答】解：如果把排号记作，那么“排号”记作．
故答案为：．
【分析】由示例3排2号 (3，2)，归纳出编码规则：有序数对(a，b)中a=排数，b=座位号；再把 6 排 8 号对应代入该编码规则，即可直接写出对应数对.
14．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是矩形，
故答案为：．
【分析】根据矩形的判定结合题意即可求解，本题答案不唯一。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：都是等腰直角三角形，，，
，
由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
观察图形可知，点的位置每8个一循环，即 均在 轴负半轴上，
，
的位置与相同，在轴负半轴上，
的坐标为 ．
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形直角边相等，结合勾股定理依次算出OA1，OA2，OA3，…线段长度，归纳得到OAn指数通项公式；再观察点的坐标轴分布，发现 8 个点位置循环往复，用带余除法确定A2025所在坐标轴；结合线段长度与半轴方向写出完整坐标.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值；负整数指数幂；求算术平方根；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先看实数混合运算，运算优先级决定先处理三级运算再算二级最后一级，由绝对值的代数意义，正数的绝对值等于它本身，得| 3|=3；由负整数指数幂运算法则a p=(a≠0)，得2 1=；由算术平方根定义，表示4 的正平方根，得=2；再按先乘除后加减顺序，计算×6=3，最后按从左到右顺序计算3 3+2=2，得到第一问结果。
（2）再看分式化简求值，分式加减先通分，两个分式的最简公分母为a(a 1)，将变形为，同分母分式相减分母不变、分子相减，得；由分式基本性质，分子分母同时除以不为 0 的a 1，约分化简为.由分式有意义的核心条件 “分母不为 0”，得a(a 1)≠0，即a≠0且a≠1，因此给定的 1，0，2中只能选取a= 1或a=2；分别代入最简分式，当a= 1时原式= 1，当a=2时原式=.
18．【答案】（1）解：.
（2）解：，解得：，
∴这个多边形的边数为8．
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】(1)由已知边数n=6，直接代入多边形内角和公式(n 2)×180 ，通过代数运算得到六边形内角和；
(2)由“任意凸多边形外角和恒为360 ”这一固定结论，结合题目给出的内角和与外角和总和，建立关于边数n的一元一次方程，解方程即可求出多边形的边数.
（1）解：，
（2）解：
解得：，
∴这个多边形的边数为8．
19．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴.
（2）解：∵是等边三角形，，∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【分析】(1)由菱形四条边相等的性质得到AB=AD，结合已知∠A=60 ，判定△ABD为等边三角形，再由等边三角形的内角性质推出∠ABD=60 .
(2)由等边三角形三边相等得到BD=AB=4，由中点定义求出BO的长度，再由直角三角形两锐角互余得到∠BOE=30 ，最后利用直角三角形中30 角的性质计算出BE的长度.
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：平移后的图形如图所示：
根据平移特点，向上平移2个单位纵坐标加2，再向左平移1个单位横坐标减1，
则：；
（3）解：解：
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据点的位置求出坐标即可.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（1）解：根据平面直角坐标系的特点可得： ；
（2）平移后的图形如图所示：
根据平移特点，向上平移2个单位纵坐标加2，再向左平移1个单位横坐标减1，
则：；
（3）解：
．
21．【答案】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形．
理由如下，如图，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形．
添加③为条件，则四边形是平行四边形．
理由如下，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
选择①无法得出四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】添加②为条件：根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
添加③为条件，根据平行四边形性质可得，，则，根据直线平行性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵点是的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】(1) 由 “E是AB中点且EF=EO” 得到四边形对角线互相平分，先判定AFBO为平行四边形；再由矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出邻边OA=OB；最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形” 完成证明.
(2)由菱形面积公式 “对角线乘积的一半”，直接代入已知的两条对角线AB和FO的长度，计算得到菱形面积.
（1）解：∵点是的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：．
23．【答案】（1）5
（2）解：点是“龙沙点”，
，
或，
解得或；
（3）解：点的长距为4，且点C在第二象限内，
，
解得，
，
点 的坐标为，
点到轴、轴的距离都是5，
是“龙沙点”．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】（1）根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为1，
点的“长距“为5．
故答案为：5；
【分析】（1）根据长距的定义即可求出答案.
（2）根据龙沙点的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据长距定义可得b值，求出点 的坐标为，再根据龙沙点的定义即可求出答案.
（1）根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为1，
点的“长距“为5．
故答案为：5；
（2）点是“龙沙点”，
，
或，
解得或；
（3）点的长距为4，且点C在第二象限内，
，
解得，
，
点 的坐标为，
点到轴、轴的距离都是5，
是“龙沙点”．
24．【答案】（1）②④
（2）证明：如图，顺次连接，，，四点，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，，
又，
，
四边形是菱形，
，互相垂直平分.
（3）解：如图，顺次连接，，，四点，
由（2）可知，四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是等对四边形，，是等对中位线，
，点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
即等对四边形两对角线的长都为．
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；中点四边形模型
【解析】【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，只有矩形和正方形的对角线相等，
∴是等对四边形的有②④，
故答案为：②④；
【分析】(1) 由题目给出的 “等对四边形” 新定义，逐一分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，筛选出对角线相等的图形；
(2) 由三角形中位线定理，分别得到四边形 EFGH 四条边与原四边形对角线的数量关系，结合AC=BD推出四边相等，判定四边形 EFGH 为菱形，再由菱形对角线的性质完成证明；
(3)由 “对角线相等的菱形是正方形” 判定四边形 EFGH 为正方形，结合正方形的边角性质求出中位线 GF 的长度，再由三角形中位线定理反推原四边形对角线的长度.
（1）解：在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，只有矩形和正方形的对角线相等，
∴是等对四边形的有②④，
故答案为：②④；
（2）证明：如图，顺次连接，，，四点，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，，
又，
，
四边形是菱形，
，互相垂直平分；
（3）解：如图，顺次连接，，，四点，
由（2）可知，四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是等对四边形，，是等对中位线，
，点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
即等对四边形两对角线的长都为．
25．【答案】（1）
（2）解：结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：.
（3）8或4
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】解答（1）解：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案为：
（3）
解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为8或4；
故答案为：8或4．
【分析】（1）由正方形对角线性质，得PD=PC，∠DPC=90 ，∠PDE=∠PCF=45 ；由∠MPN=90 ，得∠DPE+∠DPF=∠CPF+∠DPF，即∠DPE=∠CPF；由 ASA 判定△DPE △CPF，实现线段转化DE=CF；由CD=CF+DF=AD，直接推出DE+DF=AD.
（2）由菱形∠ADC=120 ，得△ABD是等边三角形，AD=BD；取AD中点T，连接PT，由中位线定理得PT=AB=AD=DT；由∠PDT=60 ，判定△TPD是等边三角形，得到全等所需的PT=PD，∠PTE=∠PDF=60 ；由∠EPF=∠TPD=60 ，得∠TPE=∠DPF；由 ASA 判定△TPE △DPF，实现线段转化TE=DF；由DT=DE+TE=AD，推出DE+DF=AD.
（3）菱形边长 16，先算出对角线交点O到顶点的距离AO=，OD=8；由AP=14，在Rt△AOP中用勾股定理AP2=AO2+OP2，解得OP=2；点P在对角线BD上有两个位置：当P在O、D之间时，PD=OD OP=6；当P在O、B之间时，PD=OD+OP=10；无论P在哪个位置，第 (2) 问的全等模型依然成立，即TE=DF=2，DT=PD；因此DE=DT TE=PD 2，代入两个PD的值，得DE=4或8.
（1）解：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案为：
（2）解：结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为8或4；
故答案为：8或4．
1 / 1贵州铜仁市万山区2025-2026学年第二学期阶段性学情诊断 八年级 数学
1．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就．下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、文字上方的图案是中心对称图形，符合题意；
C、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B ．
【分析】中心对称图形的定义是：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形.
2．在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是(　　)
A．(－2，3) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，－3)
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
只有选项C符合条件，
故答案为：C．
【分析】根据第四象限的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案。
3．已知一个多边形是正五边形，则这个正五边形的每个内角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】∵n边形内角和公式为，该多边形为正五边形，即．
∴正五边形内角和为．
∵正五边形的五个内角相等，
∴每个内角的度数为．
故答案为：B.
【分析】 先由多边形边数代入内角和公式求出正五边形全部内角总和，再依据正多边形各内角相等的性质，用内角和除以边数，得到单个内角度数.
4．铜仁市2026年创建全国文明城市期间，为推广“垃圾入桶”文明行为，市政部门在城区主干道旁设置了一批分类垃圾桶．如图，四边形是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】由AD∥BC这一平行条件，可推出∠BAD与∠1是一组同旁内角，依据平行线性质二者互补；再代入已知∠1的度数，通过减法计算即可求出∠BAD的度数.
5．如果在轴上，那么点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵x轴上的点纵坐标为0，
∴，
解得，
将代入点P的横坐标，得横坐标为，
∴点P的坐标是．
故答案为：B.
【分析】由点在x轴上的坐标特征，得到纵坐标数值为0，据此列出一元一次方程求出参数m；再把m代回横坐标，完整写出点P的坐标，对照选项选出答案.
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ 只有两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，有一组对边平行的四边形可能是梯形， ∴ A是假命题；
∵ 有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形可以是直角梯形， ∴ B是假命题；
∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴ 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，C是真命题；
∵ 有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的四边形不一定是菱形， ∴ D是假命题；
故答案为：C.
【分析】 本题依次依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个验证四个命题的真假；先区分判定定理的前提条件（大多需要先为平行四边形），再层层推导 C 选项的对角线条件能否判定正方形，最终选出真命题.
7．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】由平行四边形对边相等得到BC长度，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，将OB+OC整体转化为对角线和的一半，不用单独求出两条对角线各自长度，最后将OB+OC与BC相加，即可得到三角形周长.
8．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴点D到和的距离相等，
∵，
∴，
∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10，
∴点D到的距离为10．
故选：C．
【分析】由作法得平分，根据角平分线性质可得点D到和的距离相等，即可求出答案.
9．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据条件建立如图所示的直角坐标系，
由直角坐标系可知点的坐标为．
故答案为：A.
【分析】由A、B两点给出的坐标，反向定位网格中原点O、横轴与纵轴位置，再横向读取点C到y轴距离与正负、纵向读取点C到x轴距离与正负，组合得到完整坐标.
10．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】 解题思路分为两步：先单独计算中间阴影正方形面积；再利用正八边形边长得到外围等腰直角三角形斜边长度，求出单个三角形面积再乘以 4；最后把两部分阴影面积相加，得到总面积.
11．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
故答案为：A．
【分析】由矩形性质求出对角线长度、△AOD面积；再把△AOD拆成△AOP与△DOP，分别以OA，OD为底、PE，PF为高表示面积；利用OA=OD整体提取公因式，直接解出PE+PF的定值，无需单独求两条垂线段.
12．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，，
，
在和中，
，
∴，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，故②正确；
，故③错误；
，
，
，，
，
，故④正确；
∴①②④正确，
故答案为：B．
【分析】ABCD为正方形 AB=BC=CD=AD=12，∠A=∠C=∠B=90 ；E是BC中点 BE=EC=6；△DCE轴对称折叠△DFE △DCE △DFE DF=DC， EF=EC∠DFE=∠C=90 ， ∠DEC=∠DEF；结合AD=DC，等量代换得AD=DF；∠DFE=90 ∠DFG=90 =∠A，又DG=DG（公共边），Rt△ADG、Rt△FDG满足 HL 判定条件 △DAG △DFG，①得证，且全等推出AG=FG；设AG=FG=x，线段和差得BG=12 x，EG=EF+FG=x+6，Rt△BEG中满足BE2+BG2=EG2，代入构造一元一次方程求解出x=4，计算得BG=2AG，②得证；将FG=4，DF=12代入直角三角形面积公式S=ab，算出S△DGF=24≠120，直接否定③；EF=EC=BE △EBF为等腰三角形 ∠EFB=∠EBF；由三角形外角定理∠CEF=∠EFB+∠EBF=2∠EFB，折叠角等分∠CEF=2∠DEF，等量代换得∠EFB=∠DEF，该组内错角相等 BF∥DE，④得证；最终统计成立结论数量，确定答案.
13．中秋节假期，浩宇同学陪家人一起去看电影隐入尘烟，如果把排号记作，若浩宇同学的电影票上写的是排号，则可以记作　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置；有序数对
【解析】【解答】解：如果把排号记作，那么“排号”记作．
故答案为：．
【分析】由示例3排2号 (3，2)，归纳出编码规则：有序数对(a，b)中a=排数，b=座位号；再把 6 排 8 号对应代入该编码规则，即可直接写出对应数对.
14．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是矩形，
故答案为：．
【分析】根据矩形的判定结合题意即可求解，本题答案不唯一。
15．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
16．如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，，…，按图中的规律，的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：都是等腰直角三角形，，，
，
由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
观察图形可知，点的位置每8个一循环，即 均在 轴负半轴上，
，
的位置与相同，在轴负半轴上，
的坐标为 ．
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形直角边相等，结合勾股定理依次算出OA1，OA2，OA3，…线段长度，归纳得到OAn指数通项公式；再观察点的坐标轴分布，发现 8 个点位置循环往复，用带余除法确定A2025所在坐标轴；结合线段长度与半轴方向写出完整坐标.
17．（1）计算：；
（2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值；负整数指数幂；求算术平方根；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先看实数混合运算，运算优先级决定先处理三级运算再算二级最后一级，由绝对值的代数意义，正数的绝对值等于它本身，得| 3|=3；由负整数指数幂运算法则a p=(a≠0)，得2 1=；由算术平方根定义，表示4 的正平方根，得=2；再按先乘除后加减顺序，计算×6=3，最后按从左到右顺序计算3 3+2=2，得到第一问结果。
（2）再看分式化简求值，分式加减先通分，两个分式的最简公分母为a(a 1)，将变形为，同分母分式相减分母不变、分子相减，得；由分式基本性质，分子分母同时除以不为 0 的a 1，约分化简为.由分式有意义的核心条件 “分母不为 0”，得a(a 1)≠0，即a≠0且a≠1，因此给定的 1，0，2中只能选取a= 1或a=2；分别代入最简分式，当a= 1时原式= 1，当a=2时原式=.
18．已知一个多边形的边数为．
（1）若时，则这个多边形的内角和为多少度？
（2）若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数．
【答案】（1）解：.
（2）解：，解得：，
∴这个多边形的边数为8．
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】(1)由已知边数n=6，直接代入多边形内角和公式(n 2)×180 ，通过代数运算得到六边形内角和；
(2)由“任意凸多边形外角和恒为360 ”这一固定结论，结合题目给出的内角和与外角和总和，建立关于边数n的一元一次方程，解方程即可求出多边形的边数.
（1）解：，
（2）解：
解得：，
∴这个多边形的边数为8．
19．如图，在菱形中，，点是对角线的中点，过点作于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴.
（2）解：∵是等边三角形，，∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【分析】(1)由菱形四条边相等的性质得到AB=AD，结合已知∠A=60 ，判定△ABD为等边三角形，再由等边三角形的内角性质推出∠ABD=60 .
(2)由等边三角形三边相等得到BD=AB=4，由中点定义求出BO的长度，再由直角三角形两锐角互余得到∠BOE=30 ，最后利用直角三角形中30 角的性质计算出BE的长度.
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．如图，在直角坐标系中．
（1）请写出各顶点的坐标；
（2）若把向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到，写出，，的坐标，并在图中画出平移后图形；
（3）求出的面积．
【答案】（1）
（2）解：平移后的图形如图所示：
根据平移特点，向上平移2个单位纵坐标加2，再向左平移1个单位横坐标减1，
则：；
（3）解：解：
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据点的位置求出坐标即可.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（1）解：根据平面直角坐标系的特点可得： ；
（2）平移后的图形如图所示：
根据平移特点，向上平移2个单位纵坐标加2，再向左平移1个单位横坐标减1，
则：；
（3）解：
．
21．如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形．
理由如下，如图，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形．
添加③为条件，则四边形是平行四边形．
理由如下，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
选择①无法得出四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】添加②为条件：根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
添加③为条件，根据平行四边形性质可得，，则，根据直线平行性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
22．铜仁朱砂古镇是国家4A级景区，以千年丹砂文化闻名．景区为打造丹砂文化主题展厅，设计了如图所示的矩形展厅主体，将展厅绘制成如右图所示的矩形，对角线、相交于点．为呼应朱砂矿道的对称结构与丹砂晶体的菱形造型，取的中点，延长至点，使，连接、，形成菱形造型的丹砂文化展示区．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若展厅的边，菱形展示区的对角线，求菱形的面积．
【答案】（1）解：∵点是的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】(1) 由 “E是AB中点且EF=EO” 得到四边形对角线互相平分，先判定AFBO为平行四边形；再由矩形对角线相等且互相平分的性质，推导出邻边OA=OB；最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形” 完成证明.
(2)由菱形面积公式 “对角线乘积的一半”，直接代入已知的两条对角线AB和FO的长度，计算得到菱形面积.
（1）解：∵点是的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：．
23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”．
（1）点的“长距”为________；
（2）若点（，）是“龙沙点”，求a的值；
（3）若点的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点是“龙沙点”．
【答案】（1）5
（2）解：点是“龙沙点”，
，
或，
解得或；
（3）解：点的长距为4，且点C在第二象限内，
，
解得，
，
点 的坐标为，
点到轴、轴的距离都是5，
是“龙沙点”．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】（1）根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为1，
点的“长距“为5．
故答案为：5；
【分析】（1）根据长距的定义即可求出答案.
（2）根据龙沙点的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据长距定义可得b值，求出点 的坐标为，再根据龙沙点的定义即可求出答案.
（1）根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为1，
点的“长距“为5．
故答案为：5；
（2）点是“龙沙点”，
，
或，
解得或；
（3）点的长距为4，且点C在第二象限内，
，
解得，
，
点 的坐标为，
点到轴、轴的距离都是5，
是“龙沙点”．
24．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线．
性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分．
已知：如图①，四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点，连接，．
求证：，互相垂直平分．
部分证明过程如下：
证明：如图，顺次连接，，，四点，
任务：
（1）下列图形，是等对四边形的有　 　只填序号；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程；
（3）如图②，等对四边形中，若等对中位线，求等对四边形两对角线的长．
【答案】（1）②④
（2）证明：如图，顺次连接，，，四点，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，，
又，
，
四边形是菱形，
，互相垂直平分.
（3）解：如图，顺次连接，，，四点，
由（2）可知，四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是等对四边形，，是等对中位线，
，点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
即等对四边形两对角线的长都为．
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；中点四边形模型
【解析】【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，只有矩形和正方形的对角线相等，
∴是等对四边形的有②④，
故答案为：②④；
【分析】(1) 由题目给出的 “等对四边形” 新定义，逐一分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，筛选出对角线相等的图形；
(2) 由三角形中位线定理，分别得到四边形 EFGH 四条边与原四边形对角线的数量关系，结合AC=BD推出四边相等，判定四边形 EFGH 为菱形，再由菱形对角线的性质完成证明；
(3)由 “对角线相等的菱形是正方形” 判定四边形 EFGH 为正方形，结合正方形的边角性质求出中位线 GF 的长度，再由三角形中位线定理反推原四边形对角线的长度.
（1）解：在平行四边形、矩形、菱形和正方形中，只有矩形和正方形的对角线相等，
∴是等对四边形的有②④，
故答案为：②④；
（2）证明：如图，顺次连接，，，四点，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，，
又，
，
四边形是菱形，
，互相垂直平分；
（3）解：如图，顺次连接，，，四点，
由（2）可知，四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是等对四边形，，是等对中位线，
，点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
即等对四边形两对角线的长都为．
25．【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系．
（1）【问题初探】
爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________；
（2）【问题引申】
如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由：
（3）【问题解决】
如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________．
【答案】（1）
（2）解：结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：.
（3）8或4
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】解答（1）解：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案为：
（3）
解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为8或4；
故答案为：8或4．
【分析】（1）由正方形对角线性质，得PD=PC，∠DPC=90 ，∠PDE=∠PCF=45 ；由∠MPN=90 ，得∠DPE+∠DPF=∠CPF+∠DPF，即∠DPE=∠CPF；由 ASA 判定△DPE △CPF，实现线段转化DE=CF；由CD=CF+DF=AD，直接推出DE+DF=AD.
（2）由菱形∠ADC=120 ，得△ABD是等边三角形，AD=BD；取AD中点T，连接PT，由中位线定理得PT=AB=AD=DT；由∠PDT=60 ，判定△TPD是等边三角形，得到全等所需的PT=PD，∠PTE=∠PDF=60 ；由∠EPF=∠TPD=60 ，得∠TPE=∠DPF；由 ASA 判定△TPE △DPF，实现线段转化TE=DF；由DT=DE+TE=AD，推出DE+DF=AD.
（3）菱形边长 16，先算出对角线交点O到顶点的距离AO=，OD=8；由AP=14，在Rt△AOP中用勾股定理AP2=AO2+OP2，解得OP=2；点P在对角线BD上有两个位置：当P在O、D之间时，PD=OD OP=6；当P在O、B之间时，PD=OD+OP=10；无论P在哪个位置，第 (2) 问的全等模型依然成立，即TE=DF=2，DT=PD；因此DE=DT TE=PD 2，代入两个PD的值，得DE=4或8.
（1）解：如图1中，
正方形的对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
故答案为：
（2）解：结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点T，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．
是等边三角形，，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
；
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为8或4；
故答案为：8或4．
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