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北师大版2025—2026学年八年级下册期末复习全能练考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八下·高州期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·揭西期末）把不等式组中两个不等式的解集表示在同一条数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·达川期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·贵阳期末）如图，在中，，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·榕城期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：；
乙：；
丙：．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．只有丙对 D．三人说的都对
6．（2025八下·达川期末）下列说法中，错误的是（　　）
A．如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等
B．若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或
C．三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于”
7．（2025八下·成华期末）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋粽子的售价降低2元、经测算，同样花240元，降价后可以比降价前多买10袋，求每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·榕城期末）若关于 的分式方程 有解， 则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
9．（2024八下·金沙期末）如图，在 中，，，点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动在此运动过程中，线段出现的次数是(　　)
A． B． C． D．
10．（2024八下·兴宁期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·娄底期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是　 　．
12．（2025八下·双流期末）若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有　 　个．
13．（2025八下·新昌期末） 如图， ABCD的面积是32，点E，G在AD上，点F，H在BC上，且，，点M，N在EF上，点P在GH上，则阴影部分的面积是　 　.
14．（2025八下·成都期末）若一个多边形的每一个外角都等于120°，则该多边形的内角和度数为　 　.
15．（2024八下·岳阳期末）在中，，，点分别是边的中点，则的周长是　 　．
16．（2024八下·金牛期末）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·深圳期末） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
18．（2024八下·仁寿期末）分解因式：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·南昌期末）南昌市在2024年对部分旧城区地下管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）．
（1）求改造前原有管道的长度是多少？
（2）求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？
20．（2024八下·邯郸期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向B港口运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间：
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
21．（2025八下·平江期末）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
个 1 2 3 4
6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
22．（2024八下·益阳期末）如图，在中，，点E是边的中点，点D是边上一点，连接并延长至C，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）若平分，，，求四边形的面积．
23．（2024八下·南皮期末）某商家计则购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元即买A品m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元.
（1）求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元；
（2）若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购进A品牌红酒m箱.
①求商家销售这批红酒的利润P与m之间的两数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案；
②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益.
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北师大版2025—2026学年八年级下册期末复习全能练考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八下·高州期末）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义，中心对称图形是将一个图形绕着图形上的某一个点旋转180°后能与原来的图像完全重合，结合选项及图形进行判断即可。
2．（2024八下·揭西期末）把不等式组中两个不等式的解集表示在同一条数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：解不等式x-1＜1得x＜2，
解不等式x+1≤0得x≤-1，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故答案为：B．
【分析】先分别解两个不等式得到x＜2和x≤-1，然后利用数轴分别表示出x＜2和x≤-1，于是可得到正确的选项。在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键。
3．（2025八下·达川期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. 是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，故选项A不符合题意；
B. ，故原选项分解错误，故选项B不符合题意；
C. ，右侧不是积的形式，不符合因式分解的定义，故选项C不符合题意；
D. ，符合因式分解的定义，且分解正确，故符合D题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可．注意分解时需正确分解.
4．（2025八下·贵阳期末）如图，在中，，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，的平分线交于点E，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：B．
【分析】本题 考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，由g平分s可求出，由s可得 ，由得出．
5．（2025八下·榕城期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：；
乙：；
丙：．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲对 B．只有乙对
C．只有丙对 D．三人说的都对
【答案】D
【解析】【解答】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，故甲正确；
∵，
∴，故乙正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故丙正确；
故答案为：D．
【分析】利用作图痕迹可得平分，，再利用角的运算和等量代换求出，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质及等量代换逐项分析判断即可.
6．（2025八下·达川期末）下列说法中，错误的是（　　）
A．如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等
B．若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或
C．三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形
D．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于”
【答案】B
【解析】【解答】解：A：中心对称的两个图形全等，选项A说法正确，故不符合题意；
B：等腰三角形边长为，
若腰为，则三边为，此时，不满足三角形三边关系，
若腰为，则三边为，此时，满足三角形三边关系，
故周长是，
选项B说法错误，故符合题意；
C：由可得，符合勾股定理的逆定理，说明该三角形是直角三角形，故选项C正确，故不符合题意；
D：反证法需假设原命题的否定，即“三个内角都小于”，故选项D正确，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的概念，三角形的三边关系，等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可．
7．（2025八下·成华期末）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋粽子的售价降低2元、经测算，同样花240元，降价后可以比降价前多买10袋，求每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题可列：
故答案为：B.
【分析】根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程.
8．（2024八下·榕城期末）若关于 的分式方程 有解， 则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【解析】【解答】解：方程两边同乘
∴
即
∵分式方程有解
∴且
∴ 且
故答案为：D.
【分析】把分式方程两边同乘最简公分母后化为整式方程，再由分式方程的有解可得x的系数≠0且x的值使得最简公分母≠0可得a的范围.
9．（2024八下·金沙期末）如图，在 中，，，点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动在此运动过程中，线段出现的次数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
根据题意，得点P从点A到达端点D的运动时间为12s，点Q从点C到达点B的运动时间为4秒，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，AB=6，BC=12，
∴∠D=∠B=60°，CD=AB=6，AD=BC=12，AD∥BC，AB∥CD，
①当0≤t≤4时，如图，过点Q作QE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，
∴∠QEF=∠PEQ=∠DFC=90°，
∴EQ∥FC，
∵EF∥QC，
∴四边形EQCF是平行四边形，
∵∠QEF=90°，
∴四边形EQCF是矩形，
∴EF=CQ，
根据题意，得CQ=EF=3t，AP=t，
∵PQ=CD，PD∥CQ，
∴四边形PQCD是等腰梯形，
∴∠D=∠EPQ=60°，
∴∠PQE=∠FCD=30°，
∴，
又∵AD=12，
∴t+3+3t+3=12，
解得：t=1.5，
如图，四边形PQCD是平行四边形，
∴AP=BQ，
∵CQ=3t，BC=12，
∴BQ=12-3t，
∴t=12-3t，
解得：t=3；
②当4∴AP=BQ，
根据题意，得BQ=3t-12，AP=t，
∴t=3t-12，
解得：t=6，
如图，四边形PQCD是等腰梯形，
根据题意，得AP=t，CQ=EF=24-3t，
由①同理得t+3+24-3t+3=12，
解得：t=9（舍去）；
③当8∴AP=BQ，
根据题意，得AP=t，BQ=36-3t，
∴t=36-3t，
解得：t=9，
综上所述，当运动时间为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD，
故答案为：B.
【分析】设运动时间为t秒，根据题意，得点P从点A到达端点D的运动时间为12s，点Q从点C到达点B的运动时间为4秒，然后根据平行四边形的性质得∠D=∠B=60°，CD=AB=6，AD=BC=12，AD∥BC，AB∥CD，接下来分情况讨论：①当0≤t≤4时，过点Q作QE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，易证四边形EQCF是矩形，得EF=CQ，然后证四边形PQCD是等腰梯形，得∠D=∠EPQ=60°，从而有∠PQE=∠FCD=30°，利用含30°的直角三角形的性质得PE=DF=3，接下来得关于t的方程t+3+3t+3=12，解方程求出t；当四边形PQCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得AP=BQ，根据题意列出关于t的方程t=12-3t，解方程求出t；②当410．（2024八下·兴宁期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·娄底期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】先根据“如果三角形三条边长满足：较小两边的平方和 = 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形”求出是直角三角形，再根据“两角及其夹边对应相等，两三角形全等”可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后求即可．
12．（2025八下·双流期末）若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有　 　个．
【答案】4
【解析】【解答】解：解分式方程，
可得，
∵为正整数，为正整数，
∴且，解得，
∵，
∴，即有，
∴，
∴，12，9，3，
∴符合条件的所有正整数的个数有4个．
故答案为：4．
【分析】解分式方程可得，再根据x为正整数判断即可求出答案.
13．（2025八下·新昌期末） 如图， ABCD的面积是32，点E，G在AD上，点F，H在BC上，且，，点M，N在EF上，点P在GH上，则阴影部分的面积是　 　.
【答案】16
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EF//AB，GH//DC，
∴四边形ABFE，四边形EFHG，四边形GHCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积=S△AEM+S△BFM+S△ENP+S△FNH+S△CDG
=16，
故答案为：16.
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论.
14．（2025八下·成都期末）若一个多边形的每一个外角都等于120°，则该多边形的内角和度数为　 　.
【答案】180°
【解析】【解答】解：多边形的边数为：360°÷120=3，
多边形的内角和是：(3-2)×180°=180°，
故答案为：180°.
【分析】先利用360°÷120求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式(n-2)·180°计算即可求解.
15．（2024八下·岳阳期末）在中，，，点分别是边的中点，则的周长是　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，
∴C△DEF=DE+DF+EF=BC +AC +AB = (BC+AC+AB)=(4+3+5)=6.
故答案为6.
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据三角形中位线定理可得DE=BC，DF=AC，EF=AB，再根据三角形周长即可求出答案.
16．（2024八下·金牛期末）如图，是等腰直角三角形，，是等腰三角形，，点在的延长线上，连接，点关于的对称点在边上，连接交于点，点是的中点，连接，若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：延长至M，连接，作于N，作于P，
是等腰直角三角形，点F是的中点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
点、关于对称，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，于N，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
故答案为：．
【分析】延长至M，连接，作于N，作于P，可证得和是等腰直角三角形，进而得出PG=1，PF=，然后根据勾股定理，即可得出FG的长度即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·深圳期末） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
18．（2024八下·仁寿期末）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式即可求解；
（2）先根据多项式乘以多项式的计算法则计算得到，进而利用完全平方公式即可求解.
19．（2024八下·南昌期末）南昌市在2024年对部分旧城区地下管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）．
（1）求改造前原有管道的长度是多少？
（2）求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？
【答案】（1）解：由图可知，改造前原有管道的长度．
答：改造前原有管道的长度是；
（2）解：过点B作于点C，
解：根据图形可知，，
，
根据勾股定理得：，
改造后A、B之间的管道长度减少了：
，
答：改造后A、B之间的管道长度减少．
【解析】【分析】（1）根据图形列式计算即可；
（2）过点B作于点C，根据勾股定理求出，然后用改造前的长度减去改造后的长度即可得到答案．
20．（2024八下·邯郸期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向B港口运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间：
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
【答案】（1）解：由已知得：，
海里，（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）解：这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交AB于D，
在AB上取两点M，N，使得海里，
∵，
∴（海里），∴（海里），
∵且，∴海里，∴小时，
∵，∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【解析】【分析】（1）先求出，然后根据勾股定理求出海里，然后求出时间即可；
（2）过C作交于D，在上取两点M，N使得海里，根据等面积法，得海里，由勾股定理求出海里，根据等腰三角形的性质得出海里，小时，进行比较即可．
21．（2025八下·平江期末）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
个 1 2 3 4
6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，解得，
∴碗的数量最多为10个．
【解析】【解答】
（1）
解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
【分析】
（1）观察表格知，只放一只碗时高度为6厘米，即当时；接下来每增加一只碗高度增加2.4厘米，则由题意可列出函数关系式，再整理即可；
（2）由题意列不等式并求出满足条件的自变量x的最大整数解即可．
（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∴碗的数量最多为10个．
22．（2024八下·益阳期末）如图，在中，，点E是边的中点，点D是边上一点，连接并延长至C，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，，
，
，
点E是边的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：平分，
，
四边形是平行四边形
，
，
，
设，则，
在中，可得方程，
解得，
平行四边形的面积为．
【解析】【分析】（1）由点E是边的中点可得BE=FE，再证，可得CE=DE，根据对角线互相平分可证四边形是平行四边形；
（2）由角平分线的定义好额平行四边形的性质可推出，可得DB=DF，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x方程，解出x值，根据平行四边形的面积=底×高进行计算即可.
23．（2024八下·南皮期末）某商家计则购进A，B两种品牌的红酒进行销售，经调查，用30000元即买A品m红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍，一箱A品牌红酒的进价比一箱B品牌红酒的进价多20元.
（1）求A，B两种品牌红酒一箱的进价分别为多少元；
（2）若该商家购进A，B两种品牌的红酒共210箱进行试销，其中A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件，已知A品牌红酒的售价为320元/箱，B品牌红酒的售价为280元/箱，且全部售出，设购进A品牌红酒m箱.
①求商家销售这批红酒的利润P与m之间的两数解析式，并写出所获利润最大时的进货方案；
②在①的条件下，商家决定在试销活动中每售出一箱A品牌红酒，就从所得的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有红酒并支援贫困山区儿童后获得的最大收益.
【答案】（1）解：设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为元，
根据题意得
解得，
经检验，是原方程的解，
∴.
答：一箱A品牌红酒的进价为200元，一箱B品牌红酒的进价为180元；
（2）解：①由题意得：
解得，
∵，W随m的增大而增大，∴当时，W最大，
即当商家购进A品牌红酒140箱，B品牌红酒70箱时，所获利润最大
②设该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得，，
当时，Q随m的增大而增大，
∴时，Q最大，最大值为；
当时，；
当时，Q随m的增大而减小，
∴时，Q最大，最大值为.
答：当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是元；
当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；
当时，该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是元
【解析】【分析】（1）设一箱B品牌红酒的进价为x元，则一箱A品牌红酒的进价为元，根据“ 用30000元即买A品牌红酒的数量是用9000元购买B品牌红酒数量的3倍 ”列出方程并解之即可；
（2）①根据总利润=A品牌红酒利润+B品牌红酒利润，列出W关于m关系式，由“A品牌红酒的数量不多于B品牌红酒数量的2倍，且不少于100件”列出关于m的不等式组，求出m的范围，再利用一次函数的性质求解即可；
②设该商家售完所有红酒并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，则，，分当时，当时和当a=20时，利用一次函数的性质分别求解即可.
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