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广东省江门市江海区2024-2025学年下学期期末统考八年级数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，所以A符合题意；
B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，所以B不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所iD不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的特征：①被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母。分别进行识别，即可得出答案。
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A：42+52=41≠62=36，A选项不符合题意；
B：52+122=169=132=169，B选项符合题意；
C：62+82=100≠112121，C选项不符合题意；
D：52+122=169≠232=529，D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】计算四个选项的数是否满足勾股定理。
3．下列计算正确的是（　　）
A． 3 B． C． D．（ ）2＝2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，选项A错误；
与 不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（ ）2＝2，选项D正确；
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，可对A，C，D作出判断；同类二次根式才能合并，可对B作出判断.
4．将直线平移得到直线，则移动方法为（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线平移得到直线，则移动方法为向下平移4个单位
故选：D．
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，核心是“左加右减，上加下减”（针对函数解析式中的常数项和自变量）。观察平移前后的函数解析式，值均为-2，说明平移不改变函数的增减性，仅改变与轴的交点。原函数常数项为4，平移后为0，常数项减少了4，根据“上加下减”的规律，常数项减少对应图象向下平移，平移单位长度为常数项变化的绝对值，因此是向下平移4个单位。
5．如图，，与相交于点E，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：，
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查平行线间的距离，三角形的面积，由可得的边上的高相等，可得到，再结合图形计算，得到答案．
6．如图，在中，对角线交于点O，且，则的周长（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】本题考查平行四边形的性质，要求的周长，就要求出，、的长，根据对角线平分和对边相等即可求得．
7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（） 180 185 180 185
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为队员丙和丁的方差最小，但队员丙平均数小，
所以丁的成绩好，应该选择队员丁．
故答案为：D．
【分析】方差是衡量数据波动程度的指标。方差值较大时，说明数据点与平均数的偏离程度较高，波动性大，数据稳定性较差；方差值较小时，表明数据分布相对集中，各数据点均数，波动性小，数据更稳定。根据表格数据，可得出丙和丁的方差较小，再根据丁的平均数大于丙的平均数，故而 要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁。
8．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
9．如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
10．如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】如图，过点C作于点E，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，
当点P与点B重合时，的面积是，
，
解得，
又，，，
，，
四边形是矩形，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
．
故选：D．
【分析】过点C作于点E，根据图像得到点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，的面积是，进而根据三角形的面积求出AD，从而根据矩形的判定与性质得到，，设，则，，再根据勾股定理即可求解。
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．正比例函数（）的图象过点（-1，3），则k=　 　.
【答案】-3
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数（）的图象经过点（-1，3），
∴3=-k，
解得k=-3，
故答案为-3．
【分析】根据题意先求出3=-k，再计算求解即可。
13．如图，直线与直线交于点．当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意知，当时，的取值范围为直线的图象在直线的图象下方部分所对应的的取值范围，
由图象可知，当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据题意观察两个一次函数的交点即可得到当时，的取值范围为直线的图象在直线的图象下方部分所对应的的取值范围，从而即可求解。
14．用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为　 　（不写自变量的取值范围）．
【答案】
【知识点】函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵用一根长的铁丝围一个矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的性质、求函数解析式，根据矩形的周长公式可得，变形后可得出答案．
15．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得，接着把活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线，则图1中对角线的长为 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图1，2中，连接．
在图2中，∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在图1中，∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质．在图1和图2中，连接，在图2中，根据正方形的性质以及勾股定理可得，在图1中，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；同类二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的化简与同类二次根式的合并。
（2）完全平方公式(a-b)2＝a2-2ab+b2在二次根式运算中的应用。
17．如图，在中，点E、F在上，且，求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定．由平行四边形的性质得出，，则，而，即可根据全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可得证．
18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
（1）请求出的长度；
（2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际应用.解题的关键是正确识别直角三角形，利用勾股定理求边长，再用勾股定理的逆定理判断另一组边是否构成直角三角形.
在第（1）问中，已知，，，直接应用勾股定理：直角边AB、BD与斜边AD满足，因此，注意此处是已知斜边和一条直角边求另一条直角边，不要错用加法；
在第（2）问中，已求得BD，再结合BC，CD计算，因此，由勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即 BC⊥CD，符合安全标准.
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，直线l经过点和点．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：设直线l的解析式为，把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，∴，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求出直线l的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征分别令和并分别解方程即可；
（2）设直线l与y轴交于点C ，则，即，再利用割补法即进行求解即可．
（1）解：设直线l的解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，
∴，
∴
．
20．支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用
活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 B．微信支付 C．现金支付 D．其他移动支付
调查结果 …
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是　 　；
（3）该社区中岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
【答案】（1）（1）400，
补图如下；
（2）55
（3）解：（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意知，这次调查的样本容量是，
使用现金支付的人数为（人），
∴其中岁居民使用现金支付的人有（人）
故答案为：400；
（2）解：由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共100、90、20、15，从小到大依次排序为15，20，90，100，
∴中位数为第2、3位数的平均数为，
故答案为：55；
【分析】本题考查了样本容量，条形统计图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
（1）由题意得，这次调查的样本容量是，使用现金支付的人数为（人），最后运算其中岁居民使用现金支付的人数，再补全条形统计图即可．
（2）由题意得 社区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15， 从小到大依次排序为15，20，90，100，然后求中位数即可．
（3）结合样本估计总体进行列式计算，即可作答．
（1）解：由题意知，这次调查的样本容量是，
使用现金支付的人数为（人），
∴其中岁居民使用现金支付的人有（人），
补图如下；
故答案为：400；
（2）解：由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共100、90、20、15，
从小到大依次排序为15，20，90，100，
∴中位数为第2、3位数的平均数为，
故答案为：55；
（3）解：（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
21．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：．
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化、平方差公式、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握把含有分母的式子利用分母有理化进行化简．
（1）把分子和分母同乘分母的有理化因式，再利用平方差公式进行计算；
（2）先把已知条件分母有理化得到，移项、变形得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
（1）解：．
（2）解：，
，
，
，
．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．综合与实践
某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属A和C制作出了合金M，利用金属B和C制作出了合金N．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属C的质量百分比有关．当合金中所含金属C的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金M的硬度y1（单位：）和合金N的硬度y2（单位：），部分数据如表：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95
合金N的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59
根据数据可以发现，与x之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与x之间的关系．
（1）补全表格；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）第一实验小组准备了金属C，全部用于制作合金M和100g合金N，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属C的质量均为，则合金N与合金M的硬度差约为多少？（结果保留整数）；
②假设合金N的硬度会受温度影响，温度每升高，硬度下降．如果合金M的硬度为，问：当合金N的温度升高多少时，两种合金的硬度会相同？
【答案】（1）解：设与x 之间的函数关系式为，把点，代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
补全表格如下：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95
合金N的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由图象可得，，即当时，，
∴；
②由题可知合金N的温度提高时，则合金N的硬度会下降．
又∵合金M的硬度为，
∴合金M中金属C质量为．
∴合金N中金属C质量为，
此时合金N所含金属C的质量百分比，
∴由表格可知当时，，下降，则为，
∴合金N的温度应升高．
答：当合金N的温度升高时，两种合金的硬度会相同．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】 本题主要考查了一次函数的图象、函数图象和性质等内容，正确理解题意，数形结合是解题的关键．
（1）依据题意，由表格可知，x每增加10，则y1增加5，即可得解；
（2）依据题意，列表、描点、连线，进而求解即可；
（3）①依据题意可得两种合金的x=35，再根据图象得解即可；
②依据题意，易得合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降0.2=10=2HRC，然后结合表格数据求解即可．
（1）解：设与x 之间的函数关系式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
补全表格如下：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95
合金N的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由图象可得，，
即当时，，
∴；
②由题可知合金N的温度提高时，则合金N的硬度会下降．
又∵合金M的硬度为，
∴合金M中金属C质量为．
∴合金N中金属C质量为，
此时合金N所含金属C的质量百分比，
∴由表格可知当时，，下降，则为，
∴合金N的温度应升高．
答：当合金N的温度升高时，两种合金的硬度会相同．
23．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1），，理由：由折叠可知：垂直平分，
∴；
连接，
由折叠可知，
设，则，
∴
，
∴；
（2）由折叠可知：，
在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
如图，设交于点，
∵，即是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②存在，
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）②过点作于点，设，
则，
∵，即，
解得：，
则，
∴当最小时，面积最小，
∴当时，面积最小，
如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴的面积存在最小值为．
【分析】本题以正方形纸片折叠为背景，综合考查折叠的性质（垂直平分、对应边相等、对应角相等）、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定（HL）、等腰三角形的性质以及含特殊角直角三角形的边角关系。
（1）由折叠得 GH 垂直平分 PD，得 QP = QD；连接 QB，由折叠得 QB = QD = QP，设，通过角度计算得 ∠DQP = 90°，即；
（2）利用 及折叠性质，结合正方形对角线平分内角得 ∠ QCD = 45°，通过角度推导得 ∠CQD =∠QDC = 67.5°，从而 CQ = CD = 8 cm；
（3）①过点 N 作、，利用菱形性质及角平分线得 NE = NF，证得 ∠ ENM =∠ FND，推出 ∠DNM =∠ ENF = 120°，由 DN = MN 得 ∠ NMD = 30°；
②作，设 DM = a，利用勾股定理得 NK =a，则，当 DM BC 时 a 最小，由菱形边长及含 30° 角关系求出最小面积。
1 / 1广东省江门市江海区2024-2025学年下学期期末统考八年级数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
3．下列计算正确的是（　　）
A． 3 B． C． D．（ ）2＝2
4．将直线平移得到直线，则移动方法为（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
5．如图，，与相交于点E，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，对角线交于点O，且，则的周长（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（） 180 185 180 185
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
9．如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．正比例函数（）的图象过点（-1，3），则k=　 　.
13．如图，直线与直线交于点．当时，的取值范围是　 　．
14．用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为　 　（不写自变量的取值范围）．
15．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得，接着把活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线，则图1中对角线的长为 　 　．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，在中，点E、F在上，且，求证：．
18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
（1）请求出的长度；
（2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，直线l经过点和点．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求的面积．
20．支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用
活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 B．微信支付 C．现金支付 D．其他移动支付
调查结果 …
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是　 　；
（3）该社区中岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
21．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．综合与实践
某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属A和C制作出了合金M，利用金属B和C制作出了合金N．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属C的质量百分比有关．当合金中所含金属C的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金M的硬度y1（单位：）和合金N的硬度y2（单位：），部分数据如表：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95
合金N的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59
根据数据可以发现，与x之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与x之间的关系．
（1）补全表格；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）第一实验小组准备了金属C，全部用于制作合金M和100g合金N，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属C的质量均为，则合金N与合金M的硬度差约为多少？（结果保留整数）；
②假设合金N的硬度会受温度影响，温度每升高，硬度下降．如果合金M的硬度为，问：当合金N的温度升高多少时，两种合金的硬度会相同？
23．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，所以A符合题意；
B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，所以B不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所以C不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，所iD不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的特征：①被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母。分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A：42+52=41≠62=36，A选项不符合题意；
B：52+122=169=132=169，B选项符合题意；
C：62+82=100≠112121，C选项不符合题意；
D：52+122=169≠232=529，D选项不符合题意。
故答案为：B.
【分析】计算四个选项的数是否满足勾股定理。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，选项A错误；
与 不是同类二次根式，不能合并，选项B错误；
，选项C错误；
（ ）2＝2，选项D正确；
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质，可对A，C，D作出判断；同类二次根式才能合并，可对B作出判断.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线平移得到直线，则移动方法为向下平移4个单位
故选：D．
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，核心是“左加右减，上加下减”（针对函数解析式中的常数项和自变量）。观察平移前后的函数解析式，值均为-2，说明平移不改变函数的增减性，仅改变与轴的交点。原函数常数项为4，平移后为0，常数项减少了4，根据“上加下减”的规律，常数项减少对应图象向下平移，平移单位长度为常数项变化的绝对值，因此是向下平移4个单位。
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：，
，
，即，
，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查平行线间的距离，三角形的面积，由可得的边上的高相等，可得到，再结合图形计算，得到答案．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】本题考查平行四边形的性质，要求的周长，就要求出，、的长，根据对角线平分和对边相等即可求得．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为队员丙和丁的方差最小，但队员丙平均数小，
所以丁的成绩好，应该选择队员丁．
故答案为：D．
【分析】方差是衡量数据波动程度的指标。方差值较大时，说明数据点与平均数的偏离程度较高，波动性大，数据稳定性较差；方差值较小时，表明数据分布相对集中，各数据点均数，波动性小，数据更稳定。根据表格数据，可得出丙和丁的方差较小，再根据丁的平均数大于丙的平均数，故而 要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】如图，过点C作于点E，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，
当点P与点B重合时，的面积是，
，
解得，
又，，，
，，
四边形是矩形，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
．
故选：D．
【分析】过点C作于点E，根据图像得到点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，的面积是，进而根据三角形的面积求出AD，从而根据矩形的判定与性质得到，，设，则，，再根据勾股定理即可求解。
11．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．【答案】-3
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数（）的图象经过点（-1，3），
∴3=-k，
解得k=-3，
故答案为-3．
【分析】根据题意先求出3=-k，再计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意知，当时，的取值范围为直线的图象在直线的图象下方部分所对应的的取值范围，
由图象可知，当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据题意观察两个一次函数的交点即可得到当时，的取值范围为直线的图象在直线的图象下方部分所对应的的取值范围，从而即可求解。
14．【答案】
【知识点】函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵用一根长的铁丝围一个矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的性质、求函数解析式，根据矩形的周长公式可得，变形后可得出答案．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图1，2中，连接．
在图2中，∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在图1中，∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质．在图1和图2中，连接，在图2中，根据正方形的性质以及勾股定理可得，在图1中，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得．
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；同类二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的化简与同类二次根式的合并。
（2）完全平方公式(a-b)2＝a2-2ab+b2在二次根式运算中的应用。
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定．由平行四边形的性质得出，，则，而，即可根据全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可得证．
18．【答案】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际应用.解题的关键是正确识别直角三角形，利用勾股定理求边长，再用勾股定理的逆定理判断另一组边是否构成直角三角形.
在第（1）问中，已知，，，直接应用勾股定理：直角边AB、BD与斜边AD满足，因此，注意此处是已知斜边和一条直角边求另一条直角边，不要错用加法；
在第（2）问中，已求得BD，再结合BC，CD计算，因此，由勾股定理的逆定理可知△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即 BC⊥CD，符合安全标准.
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
19．【答案】（1）解：设直线l的解析式为，把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，∴，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求出直线l的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征分别令和并分别解方程即可；
（2）设直线l与y轴交于点C ，则，即，再利用割补法即进行求解即可．
（1）解：设直线l的解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，
∴，
∴
．
20．【答案】（1）（1）400，
补图如下；
（2）55
（3）解：（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意知，这次调查的样本容量是，
使用现金支付的人数为（人），
∴其中岁居民使用现金支付的人有（人）
故答案为：400；
（2）解：由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共100、90、20、15，从小到大依次排序为15，20，90，100，
∴中位数为第2、3位数的平均数为，
故答案为：55；
【分析】本题考查了样本容量，条形统计图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
（1）由题意得，这次调查的样本容量是，使用现金支付的人数为（人），最后运算其中岁居民使用现金支付的人数，再补全条形统计图即可．
（2）由题意得 社区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15， 从小到大依次排序为15，20，90，100，然后求中位数即可．
（3）结合样本估计总体进行列式计算，即可作答．
（1）解：由题意知，这次调查的样本容量是，
使用现金支付的人数为（人），
∴其中岁居民使用现金支付的人有（人），
补图如下；
故答案为：400；
（2）解：由题意知，区中岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共100、90、20、15，
从小到大依次排序为15，20，90，100，
∴中位数为第2、3位数的平均数为，
故答案为：55；
（3）解：（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
21．【答案】（1）解：．
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化、平方差公式、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握把含有分母的式子利用分母有理化进行化简．
（1）把分子和分母同乘分母的有理化因式，再利用平方差公式进行计算；
（2）先把已知条件分母有理化得到，移项、变形得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
（1）解：．
（2）解：，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：设与x 之间的函数关系式为，把点，代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
补全表格如下：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95
合金N的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由图象可得，，即当时，，
∴；
②由题可知合金N的温度提高时，则合金N的硬度会下降．
又∵合金M的硬度为，
∴合金M中金属C质量为．
∴合金N中金属C质量为，
此时合金N所含金属C的质量百分比，
∴由表格可知当时，，下降，则为，
∴合金N的温度应升高．
答：当合金N的温度升高时，两种合金的硬度会相同．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】 本题主要考查了一次函数的图象、函数图象和性质等内容，正确理解题意，数形结合是解题的关键．
（1）依据题意，由表格可知，x每增加10，则y1增加5，即可得解；
（2）依据题意，列表、描点、连线，进而求解即可；
（3）①依据题意可得两种合金的x=35，再根据图象得解即可；
②依据题意，易得合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降0.2=10=2HRC，然后结合表格数据求解即可．
（1）解：设与x 之间的函数关系式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
补全表格如下：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95
合金N的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59
（2）解：函数图象如图所示；
（3）解：①由图象可得，，
即当时，，
∴；
②由题可知合金N的温度提高时，则合金N的硬度会下降．
又∵合金M的硬度为，
∴合金M中金属C质量为．
∴合金N中金属C质量为，
此时合金N所含金属C的质量百分比，
∴由表格可知当时，，下降，则为，
∴合金N的温度应升高．
答：当合金N的温度升高时，两种合金的硬度会相同．
23．【答案】解：（1），，理由：由折叠可知：垂直平分，
∴；
连接，
由折叠可知，
设，则，
∴
，
∴；
（2）由折叠可知：，
在正方形中，，，
∵，
∴，
∴，
如图，设交于点，
∵，即是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②存在，
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）②过点作于点，设，
则，
∵，即，
解得：，
则，
∴当最小时，面积最小，
∴当时，面积最小，
如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴的面积存在最小值为．
【分析】本题以正方形纸片折叠为背景，综合考查折叠的性质（垂直平分、对应边相等、对应角相等）、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定（HL）、等腰三角形的性质以及含特殊角直角三角形的边角关系。
（1）由折叠得 GH 垂直平分 PD，得 QP = QD；连接 QB，由折叠得 QB = QD = QP，设，通过角度计算得 ∠DQP = 90°，即；
（2）利用 及折叠性质，结合正方形对角线平分内角得 ∠ QCD = 45°，通过角度推导得 ∠CQD =∠QDC = 67.5°，从而 CQ = CD = 8 cm；
（3）①过点 N 作、，利用菱形性质及角平分线得 NE = NF，证得 ∠ ENM =∠ FND，推出 ∠DNM =∠ ENF = 120°，由 DN = MN 得 ∠ NMD = 30°；
②作，设 DM = a，利用勾股定理得 NK =a，则，当 DM BC 时 a 最小，由菱形边长及含 30° 角关系求出最小面积。
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