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甘肃白银市景泰县部分校2025-2026学年下学期期中八年级数学试卷
1．下列属于一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：一元一次不等式需同时满足四个条件：是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边为整式．
∵选项A： 是等式，属于一元一次方程，不是不等式，∴A不符合要求；
∵选项B： 不含未知数，∴B不符合要求；
∵选项C： 是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴C符合要求；
∵选项D：是单项式，不是不等式，∴D不符合要求．
故答案为：C.
【分析】先明确一元一次不等式完整定义，提炼出三条必备判定要素；再依次对 A、B、C、D 四个选项逐条对照判定条件筛查，剔除等式、无未知数、无不等号的错误选项，最终锁定符合全部定义的选项.
2．下面四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，因为能找到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即满足中心对称图形的定义，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项符合题意．
故选：B．
【分析】如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．如图，为内一点，作于点，于点，且，则能直接判断和全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵于点，于点，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】 由垂直的定义推导出两个三角形均为直角三角形，再结合公共斜边相等、一组直角边相等的条件，对照直角三角形专属的全等判定定理，直接匹配出对应的判定依据.
4．如果，那么，则“”中应填的符号是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
根据不等式的性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，
∴ ，
因此□中应填．
故答案为：A.
【分析】由已知的不等关系m5．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故答案为：D．
【分析】
由等边三角形的内角性质，得到顶角∠BAC 的度数为 60°；再依据等边三角形三线合一的核心性质，判定 BC 边上的中线 AD 同时平分顶角∠BAC；最后根据角平分线的定义，通过角度平分计算得出∠BAD 的度数.
6．如图，沿直线向右平移后到达的位置，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵沿直线向右平移后到达的位置，
∴；
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠C，再根据平移性质即可求出答案.
7．正五边形的每一个外角是(　　)．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】360°÷5=72°.
故正五边形的每个外角等于72°.
故答案为：C.
【分析】由多边形外角和的通用结论出发，明确任意多边形外角和恒为360 ，与边数无关；再结合正多边形各外角相等的性质，通过除法运算直接计算得到单个外角的度数.
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
把解集在数轴上表示出来，如下：
∴原不等式组的解集为.
故答案为：B.
【分析】 由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，依据 “同大取大” 的解集确定法则，得到不等式组的公共解集；再结合数轴表示不等式解集的规范，匹配出对应的正确图示.
9．如图，下列关于和的说法中正确的是（　　）
A．是等腰三角形
B．是等腰三角形
C．和均是等腰三角形
D．和均不是等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：的第三个内角为，有两个角都是，故是等腰三角形；
的第三边的长不确定，故不一定是等腰三角形；
故答案为：A．
【分析】由三角形内角和定理出发，计算出△ABC的第三个内角度数，通过两角相等的条件，依据 “等角对等边” 判定其为等腰三角形；再分析△DEF的已知条件，因仅给出两边长度、第三边未知，无法确定存在等边，不能判定其为等腰三角形，最终对照选项得出正确结论.
10．若关于的不等式的解集是，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
移项得 ，
两边同除以得，
又∵ 不等式的解集是，
∴，
两边同乘得，
解得．
故答案为：D.
【分析】由解一元一次不等式的基本步骤出发，先将原不等式变形为用含参数m表示解集的形式；再结合题目给出的确定解集，根据解集边界对应相等的关系建立关于m的一元一次方程；最后通过解方程求出参数m的数值，完成不等式解集的逆用求解.
11．某校计划举办“五一启智游”活动，为了丰富活动内容，学校计划购买，两款纪念品共件，已知款纪念品的单价为元，款纪念品的单价________，要求总费用不超过元．设购买件款纪念品，可列不等式．则横线处应填写的内容为（　　）
A．比款纪念品的单价多元 B．比款纪念品的单价少元
C．是款纪念品单价的倍 D．是款纪念品单价的一半
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设购买件款纪念品，则购买件款纪念品，
∵款纪念品的单价为元，
∴购买件款纪念品的费用为，
又∵，且总费用不超过元，
∴购买件款纪念品的费用可表示为，
∴款纪念品的单价为元，
即款纪念品的单价比款纪念品的单价多元．
故答案为：A.
【分析】
由给出的不等式结构入手，拆分出 A、B 两款纪念品各自的总费用代数式；依据 “总价 = 单价 × 数量” 的基础数量关系，从 B 款总费用的表达式中反推出 B 款的单价表达式；再将 B 款单价与已知的 A 款单价做差比较，得出两款单价的数量关系，最终匹配对应的选项.
12．直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：不等式的解集是．
故答案为：.
【分析】由一次函数的图象特征入手，将代数不等式问题转化为几何图象问题，先定位函数值等于 1 时对应的横坐标分界点，再根据一次函数的增减性判断函数值小于等于 1 的区间，通过数形结合的方式直接得出不等式的解集.
13．在中，，，，则AB的长为　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
．
故答案为：6．
【分析】根据角所对的直角边等于斜边长的一半求解即可．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的长为　 　．
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
．
故答案为：5.
【分析】由平面直角坐标系中两点的坐标出发，借助勾股定理推导的两点间距离公式求出线段AB的长度；再根据图形旋转的性质得到AB=AB'且旋转角为60 ，由此判定△ABB'为等边三角形；最后利用等边三角形三边相等的性质，直接得到线段BB'的长度.
15．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
由②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】先求解不含参数的一元一次不等式，得到其确定解集x< 1；再结合不等式组的最终解集，依据 “同小取小” 的解集判定法则，推导出含参数的边界2a+1的取值限制；最后通过解一元一次不等式得到参数a的取值范围，完成不等式组解集的逆用求解.
16．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：
在数轴上表示其解集如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】由含分母的一元一次不等式出发，遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的标准步骤逐步化简；重点关注系数化为 1 时除以负数需反向改变不等号方向这一易错点，最终得到不等式的解集；再按照数轴表示解集的规范，用空心圆圈和方向射线直观呈现解集范围.
17．解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是，0，1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】 由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，依据 “大小小大中间找” 的解集判定法则，确定两个解集的公共部分，得到不等式组的完整解集；再根据整数的定义，在解集范围内依次筛选，得到所有符合要求的整数解.
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题．
（1）在坐标系中，画出关于原点中心对称的；
（2）在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）从平面直角坐标系的格点中读取△ABC 三个顶点 A、B、C 的坐标；依据关于原点对称的点的坐标特征，计算出对称点 A1、B1、C1的坐标；在坐标系中依次描出三个对称顶点，用线段顺次连接，得到中心对称后的三角形.
（2）以△ABC 三个顶点的原始坐标为基础；根据点绕原点顺时针旋转 90°的坐标变换规律，计算出旋转后对应顶点 A2、B2、C2的坐标；在坐标系中描出旋转后的三个顶点，顺次连接各顶点，得到旋转后的三角形.
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
19．舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】解：舞台中心M的位置如解图所示．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 由 “点到三条直线距离相等” 的实际需求出发，结合角平分线的性质定理，将舞台选址的生活问题转化为尺规作角平分线的几何问题；通过作出两个内角的平分线，利用其交点到三边距离相等的性质确定舞台中心的位置，体现了数学知识在实际场景中的应用价值.
20．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
．
（2）证明：平分，，，
，
，
，
，
垂直平分．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】(1) 由已知的直角与一个锐角出发，利用三角形内角和定理先计算出∠ACB的度数，再结合角平分线的定义得到∠BCD的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余的关系，求出∠BDC的度数.
(2) 先依据角平分线的性质推导出BD=DE，确定点D在BE的垂直平分线上；再通过 HL 判定证明两个直角三角形全等，得到对应边CB=CE，确定点C在BE的垂直平分线上；最后结合两点确定一条直线，证明直线CD就是线段BE的垂直平分线.
（1）解：，，
，
平分，
，
．
（2）证明：平分，，，
，
，
，
，
垂直平分．
21．已知关于的不等式组无解，求的取值范围．
【答案】解：，
解不等式，
得．
解不等式，
得，
该不等式组无解，
，
．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，得到一个 “大于型” 解集和一个 “小于型” 解集；再结合不等式组无解的已知条件，依据 “大大小小找不到” 的解集判定法则，推导出含参数的边界需满足的大小关系，建立关于参数a的一元一次不等式；最后通过解不等式得到参数a的取值范围，完成不等式组无解的逆用求解.
22．若关于的不等式的解都能使不等式成立，求的取值范围．
【答案】解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
依题意，得，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，将 “第一个不等式的解都满足第二个不等式” 的文字条件转化为数学上的解集包含（子集）关系；再结合同向大于型解集的包含规律，推导出含参数的边界值需满足的大小关系，建立关于m的一元一次不等式；最后通过解不等式得到参数m的取值范围，考查一元一次不等式的解法与含参解集的逆向应用能力.
23．如图，在中，平分，于点，过点作交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
24．如图，在中，于点D，已知，，．
（1）求，的长；
（2）求证：是直角三角形．
【答案】（1）解：，
，
．
，，
，
．
（2）证明：，，，
．
是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB的垂直条件出发，先确定△BCD为直角三角形，结合已知的斜边BC与直角边DB的长度，利用勾股定理由斜边与一直角边推导求出另一条直角边CD的长度；再通过线段和差运算，由总线段AB的长度减去DB的长度，得到AD的长度；最后在Rt△ACD中，结合两条直角边AD、CD的长度，利用勾股定理由两直角边推导求出斜边AC的长度，完成两段边长的求解.
(2) 由第 (1) 问得到的AC边长，结合题目给出的BC、AB边长出发，分别计算三角形三边的平方值；通过有理数的加法运算，验证两条较短边的平方和与最长边的平方相等；最后依据勾股定理的逆定理，由三角形三边的数量关系推导判定△ABC为直角三角形，完成几何证明.
（1）解：，
，
．
，，
，
．
（2）证明：，，，
．
是直角三角形．
25．现有一架天平和的砝码，为了称出橡皮和钢笔的质量，数学小组进行了测量实验，并记录如下：
　 天平右边 天平左边 天平状态
记录1 4块橡皮+1个5g砝码 1支钢笔 平衡
记录2 9块橡皮 2支钢笔+1个5g砝码 平衡
已知橡皮和钢笔的规格分别相同．
（1）分别求1块橡皮和1支钢笔的质量；
（2）该小组准备设计一种书写套装，每套中橡皮和钢笔的总数量为30，且橡皮数量不超过钢笔数量的，求橡皮的数量最多有多少块．
【答案】（1）解：设1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是，
由题意，得，
解得：，
答：1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是．
（2）解：设橡皮有块，则钢笔有支，
由题意，得，
解得：，
所以橡皮的数量最多有10块．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）由天平平衡的实际场景出发，依据 “天平平衡时左右两侧总质量相等” 的原理，将两次称重的物品与砝码组合转化为两个独立的等量关系；通过设两个未知数，把实际称重问题抽象为二元一次方程组的数学模型；再通过代入消元法求解方程组，得到两种物品的单质量，完成从实际问题到数学模型再到实际结论的转化.
(2) 由书写套装的总数限制与数量比例要求出发，将 “不超过” 的文字描述转化为数学不等号，设橡皮数量为未知数，用总数量表示出钢笔数量；根据数量限制条件建立一元一次不等式模型；通过解不等式得到数量的取值范围，结合物品数量为正整数的实际意义，取范围内的最大整数解，得到最终结论。
（1）解：设1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是，
由题意，得，
解得：，
答：1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是．
（2）解：设橡皮有块，则钢笔有支，
由题意，得，
解得：，
所以橡皮的数量最多有10块．
26．综合与探究
问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，．
初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长；
操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号）
【答案】解：（1）在中，，
∴，
∴，
∵点与点重合，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）是等边三角形，理由如下，
如图所示，设交于点，
∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，
∴，，，
当线段经过点时，，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等边三角形；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，
∴，，
∴，即，
∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，
当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴平移距离为；
如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，，
∴，
∴平移距离为；
综上所述，平移距离为或．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理得到，从而得到，，，由此即可求解；
（2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解；
（3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解．
1 / 1甘肃白银市景泰县部分校2025-2026学年下学期期中八年级数学试卷
1．下列属于一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下面四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，为内一点，作于点，于点，且，则能直接判断和全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
4．如果，那么，则“”中应填的符号是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，沿直线向右平移后到达的位置，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．正五边形的每一个外角是(　　)．
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，下列关于和的说法中正确的是（　　）
A．是等腰三角形
B．是等腰三角形
C．和均是等腰三角形
D．和均不是等腰三角形
10．若关于的不等式的解集是，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．某校计划举办“五一启智游”活动，为了丰富活动内容，学校计划购买，两款纪念品共件，已知款纪念品的单价为元，款纪念品的单价________，要求总费用不超过元．设购买件款纪念品，可列不等式．则横线处应填写的内容为（　　）
A．比款纪念品的单价多元 B．比款纪念品的单价少元
C．是款纪念品单价的倍 D．是款纪念品单价的一半
12．直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是　 　．
13．在中，，，，则AB的长为　 　．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的长为　 　．
15．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　 　．
16．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
17．解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题．
（1）在坐标系中，画出关于原点中心对称的；
（2）在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的．
19．舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
20．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）求证：垂直平分．
21．已知关于的不等式组无解，求的取值范围．
22．若关于的不等式的解都能使不等式成立，求的取值范围．
23．如图，在中，平分，于点，过点作交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求证：．
24．如图，在中，于点D，已知，，．
（1）求，的长；
（2）求证：是直角三角形．
25．现有一架天平和的砝码，为了称出橡皮和钢笔的质量，数学小组进行了测量实验，并记录如下：
　 天平右边 天平左边 天平状态
记录1 4块橡皮+1个5g砝码 1支钢笔 平衡
记录2 9块橡皮 2支钢笔+1个5g砝码 平衡
已知橡皮和钢笔的规格分别相同．
（1）分别求1块橡皮和1支钢笔的质量；
（2）该小组准备设计一种书写套装，每套中橡皮和钢笔的总数量为30，且橡皮数量不超过钢笔数量的，求橡皮的数量最多有多少块．
26．综合与探究
问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，．
初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长；
操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：一元一次不等式需同时满足四个条件：是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边为整式．
∵选项A： 是等式，属于一元一次方程，不是不等式，∴A不符合要求；
∵选项B： 不含未知数，∴B不符合要求；
∵选项C： 是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴C符合要求；
∵选项D：是单项式，不是不等式，∴D不符合要求．
故答案为：C.
【分析】先明确一元一次不等式完整定义，提炼出三条必备判定要素；再依次对 A、B、C、D 四个选项逐条对照判定条件筛查，剔除等式、无未知数、无不等号的错误选项，最终锁定符合全部定义的选项.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，因为能找到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即满足中心对称图形的定义，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义，故本选项符合题意．
故选：B．
【分析】如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵于点，于点，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】 由垂直的定义推导出两个三角形均为直角三角形，再结合公共斜边相等、一组直角边相等的条件，对照直角三角形专属的全等判定定理，直接匹配出对应的判定依据.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
根据不等式的性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，
∴ ，
因此□中应填．
故答案为：A.
【分析】由已知的不等关系m5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故答案为：D．
【分析】
由等边三角形的内角性质，得到顶角∠BAC 的度数为 60°；再依据等边三角形三线合一的核心性质，判定 BC 边上的中线 AD 同时平分顶角∠BAC；最后根据角平分线的定义，通过角度平分计算得出∠BAD 的度数.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵沿直线向右平移后到达的位置，
∴；
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠C，再根据平移性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】360°÷5=72°.
故正五边形的每个外角等于72°.
故答案为：C.
【分析】由多边形外角和的通用结论出发，明确任意多边形外角和恒为360 ，与边数无关；再结合正多边形各外角相等的性质，通过除法运算直接计算得到单个外角的度数.
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
把解集在数轴上表示出来，如下：
∴原不等式组的解集为.
故答案为：B.
【分析】 由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，依据 “同大取大” 的解集确定法则，得到不等式组的公共解集；再结合数轴表示不等式解集的规范，匹配出对应的正确图示.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：的第三个内角为，有两个角都是，故是等腰三角形；
的第三边的长不确定，故不一定是等腰三角形；
故答案为：A．
【分析】由三角形内角和定理出发，计算出△ABC的第三个内角度数，通过两角相等的条件，依据 “等角对等边” 判定其为等腰三角形；再分析△DEF的已知条件，因仅给出两边长度、第三边未知，无法确定存在等边，不能判定其为等腰三角形，最终对照选项得出正确结论.
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
移项得 ，
两边同除以得，
又∵ 不等式的解集是，
∴，
两边同乘得，
解得．
故答案为：D.
【分析】由解一元一次不等式的基本步骤出发，先将原不等式变形为用含参数m表示解集的形式；再结合题目给出的确定解集，根据解集边界对应相等的关系建立关于m的一元一次方程；最后通过解方程求出参数m的数值，完成不等式解集的逆用求解.
11．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设购买件款纪念品，则购买件款纪念品，
∵款纪念品的单价为元，
∴购买件款纪念品的费用为，
又∵，且总费用不超过元，
∴购买件款纪念品的费用可表示为，
∴款纪念品的单价为元，
即款纪念品的单价比款纪念品的单价多元．
故答案为：A.
【分析】
由给出的不等式结构入手，拆分出 A、B 两款纪念品各自的总费用代数式；依据 “总价 = 单价 × 数量” 的基础数量关系，从 B 款总费用的表达式中反推出 B 款的单价表达式；再将 B 款单价与已知的 A 款单价做差比较，得出两款单价的数量关系，最终匹配对应的选项.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：不等式的解集是．
故答案为：.
【分析】由一次函数的图象特征入手，将代数不等式问题转化为几何图象问题，先定位函数值等于 1 时对应的横坐标分界点，再根据一次函数的增减性判断函数值小于等于 1 的区间，通过数形结合的方式直接得出不等式的解集.
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
．
故答案为：6．
【分析】根据角所对的直角边等于斜边长的一半求解即可．
14．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
．
故答案为：5.
【分析】由平面直角坐标系中两点的坐标出发，借助勾股定理推导的两点间距离公式求出线段AB的长度；再根据图形旋转的性质得到AB=AB'且旋转角为60 ，由此判定△ABB'为等边三角形；最后利用等边三角形三边相等的性质，直接得到线段BB'的长度.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
由②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】先求解不含参数的一元一次不等式，得到其确定解集x< 1；再结合不等式组的最终解集，依据 “同小取小” 的解集判定法则，推导出含参数的边界2a+1的取值限制；最后通过解一元一次不等式得到参数a的取值范围，完成不等式组解集的逆用求解.
16．【答案】解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：
在数轴上表示其解集如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】由含分母的一元一次不等式出发，遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的标准步骤逐步化简；重点关注系数化为 1 时除以负数需反向改变不等号方向这一易错点，最终得到不等式的解集；再按照数轴表示解集的规范，用空心圆圈和方向射线直观呈现解集范围.
17．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是，0，1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】 由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，依据 “大小小大中间找” 的解集判定法则，确定两个解集的公共部分，得到不等式组的完整解集；再根据整数的定义，在解集范围内依次筛选，得到所有符合要求的整数解.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）从平面直角坐标系的格点中读取△ABC 三个顶点 A、B、C 的坐标；依据关于原点对称的点的坐标特征，计算出对称点 A1、B1、C1的坐标；在坐标系中依次描出三个对称顶点，用线段顺次连接，得到中心对称后的三角形.
（2）以△ABC 三个顶点的原始坐标为基础；根据点绕原点顺时针旋转 90°的坐标变换规律，计算出旋转后对应顶点 A2、B2、C2的坐标；在坐标系中描出旋转后的三个顶点，顺次连接各顶点，得到旋转后的三角形.
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
19．【答案】解：舞台中心M的位置如解图所示．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 由 “点到三条直线距离相等” 的实际需求出发，结合角平分线的性质定理，将舞台选址的生活问题转化为尺规作角平分线的几何问题；通过作出两个内角的平分线，利用其交点到三边距离相等的性质确定舞台中心的位置，体现了数学知识在实际场景中的应用价值.
20．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
．
（2）证明：平分，，，
，
，
，
，
垂直平分．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】(1) 由已知的直角与一个锐角出发，利用三角形内角和定理先计算出∠ACB的度数，再结合角平分线的定义得到∠BCD的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余的关系，求出∠BDC的度数.
(2) 先依据角平分线的性质推导出BD=DE，确定点D在BE的垂直平分线上；再通过 HL 判定证明两个直角三角形全等，得到对应边CB=CE，确定点C在BE的垂直平分线上；最后结合两点确定一条直线，证明直线CD就是线段BE的垂直平分线.
（1）解：，，
，
平分，
，
．
（2）证明：平分，，，
，
，
，
，
垂直平分．
21．【答案】解：，
解不等式，
得．
解不等式，
得，
该不等式组无解，
，
．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，得到一个 “大于型” 解集和一个 “小于型” 解集；再结合不等式组无解的已知条件，依据 “大大小小找不到” 的解集判定法则，推导出含参数的边界需满足的大小关系，建立关于参数a的一元一次不等式；最后通过解不等式得到参数a的取值范围，完成不等式组无解的逆用求解.
22．【答案】解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
依题意，得，
解得：．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】由分别求解两个一元一次不等式的独立解集出发，将 “第一个不等式的解都满足第二个不等式” 的文字条件转化为数学上的解集包含（子集）关系；再结合同向大于型解集的包含规律，推导出含参数的边界值需满足的大小关系，建立关于m的一元一次不等式；最后通过解不等式得到参数m的取值范围，考查一元一次不等式的解法与含参解集的逆向应用能力.
23．【答案】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：，
，
．
，，
，
．
（2）证明：，，，
．
是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB的垂直条件出发，先确定△BCD为直角三角形，结合已知的斜边BC与直角边DB的长度，利用勾股定理由斜边与一直角边推导求出另一条直角边CD的长度；再通过线段和差运算，由总线段AB的长度减去DB的长度，得到AD的长度；最后在Rt△ACD中，结合两条直角边AD、CD的长度，利用勾股定理由两直角边推导求出斜边AC的长度，完成两段边长的求解.
(2) 由第 (1) 问得到的AC边长，结合题目给出的BC、AB边长出发，分别计算三角形三边的平方值；通过有理数的加法运算，验证两条较短边的平方和与最长边的平方相等；最后依据勾股定理的逆定理，由三角形三边的数量关系推导判定△ABC为直角三角形，完成几何证明.
（1）解：，
，
．
，，
，
．
（2）证明：，，，
．
是直角三角形．
25．【答案】（1）解：设1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是，
由题意，得，
解得：，
答：1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是．
（2）解：设橡皮有块，则钢笔有支，
由题意，得，
解得：，
所以橡皮的数量最多有10块．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）由天平平衡的实际场景出发，依据 “天平平衡时左右两侧总质量相等” 的原理，将两次称重的物品与砝码组合转化为两个独立的等量关系；通过设两个未知数，把实际称重问题抽象为二元一次方程组的数学模型；再通过代入消元法求解方程组，得到两种物品的单质量，完成从实际问题到数学模型再到实际结论的转化.
(2) 由书写套装的总数限制与数量比例要求出发，将 “不超过” 的文字描述转化为数学不等号，设橡皮数量为未知数，用总数量表示出钢笔数量；根据数量限制条件建立一元一次不等式模型；通过解不等式得到数量的取值范围，结合物品数量为正整数的实际意义，取范围内的最大整数解，得到最终结论。
（1）解：设1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是，
由题意，得，
解得：，
答：1块橡皮的质量是，1支钢笔的质量是．
（2）解：设橡皮有块，则钢笔有支，
由题意，得，
解得：，
所以橡皮的数量最多有10块．
26．【答案】解：（1）在中，，
∴，
∴，
∵点与点重合，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）是等边三角形，理由如下，
如图所示，设交于点，
∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，
∴，，，
当线段经过点时，，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等边三角形；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，
∴，，
∴，即，
∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，
当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴平移距离为；
如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，，
∴，
∴平移距离为；
综上所述，平移距离为或．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理得到，从而得到，，，由此即可求解；
（2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解；
（3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解．
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