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北京市育英学校2025-2026学年八年级下学期数学期中调研试题
1．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
2．每一个外角都是的正多边形是（　　）
A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
3． 直角三角形的两条直角边长分别为 ， 斜边长为 ， 若 ， 则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．144
4．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
5．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各曲线中哪些表示y是x的函数？
7．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）．
A． B． C． D．
10．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
12．购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价（单位：元）随铅笔支数的变化而变化，请写出函数解析式　 　
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　 　.
14．如图，在中，，，是高．若，则　 　．
15．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则　 　°．
16．如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．已知，求代数式的值．
19．已知的三边长均为整数，且和满足．
（1）求的值．
（2）求满足条件的的值．
20．如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积．
21．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题：
（1）体育场离张强家_____________千米；张强从家去体育场用了____________分钟；
（2）体育场离文具店_______________千米，张强在文具店停留了___________分钟；
（3）请计算：张强从离家到回家的平均速度是每分钟多少米
22．下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．
已知：．
求作：的平分线．
作法：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点；
③作射线．
则射线即为所求角平分线．
根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）补全下面的证明过程．
证明：连接，．
，
四边形是______________形（_________________）（填推理依据）
平分（_________________）（填推理依据）
23．如图，港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距20海里．如果“海天”号沿北偏西方向航行，那么“远航”号沿什么方向航行？
24．如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接．
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，则的面积为___________．
25．如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，直接写出的长___________
26．阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．
① ；② ．
(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、该图形是五边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意；
B、该图形含有四边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意；
C、该图形含有三个三角形结构，具有稳定性，故该选项符合题意；
D、该图形含有五边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】
由三角形稳定性的基本结论出发，明确 “只有全部分割为三角形的多边形结构才具备稳定性” 的判断标准；逐一观察四个选项的图形分割方式，判断是否存在四边形及以上的非三角形结构；最终筛选出完全由三角形组成、具备稳定性的图形.
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为 ， 斜边长为 ， ，
∴由勾股定理得，
故答案为：C
【分析】根据题意直接运用勾股定理进行计算即可求解。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴这三条线段不能构成三角形，本项不符合题意；
B、∵，∴这三条线段不能构成直角三角形，本项不符合题意；
C、∵，∴这三条线段不能构成直角三角形，本项不符合题意；
D、∵，∴这三条线段能构成直角三角形，本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理逆定理和三角形三边关系，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形或三角形，本题即可得到解决.
5．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
6．【答案】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数；
故图（1）（2）（3）中y是x的函数.
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【分析】由函数的定义，提炼出 “自变量取确定值时，函数值唯一对应” 的核心判定标准；将该标准转化为可操作的 “竖线检验法”，对四个图像逐一验证交点个数；根据交点是否唯一，区分出符合函数定义与不符合的图像，最终得出结论.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴一组对边平行，另一组对边不平行，
∴图中的四边形一定不是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵，，
∴一组对边平行，另一组对边相等，
∴图中四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意；
C、∵，
∴一组对边相等，
∴图中的四边形不一定是平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴一组对边平行且相等，
∴图中的四边形是平行四边形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由平行线的判定定理，通过角度和为180 推出对应对边的平行关系；结合边的长度条件，匹配平行四边形的各类判定定理，逐一验证每个选项是否满足判定要求；其中 “一组对边平行且相等” 是核心判定依据，同时辨析 “一组对边平行、另一组对边相等” 的易错点（可能为等腰梯形），最终确定唯一符合条件的选项.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
9．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；数形结合；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
故答案为：B.
【分析】由两个正方形的边长，推导出拼接后长方形的长与宽；结合长方形的直角特征，利用勾股定理计算出对角线的长度，也就是圆的半径；根据圆半径相等的性质，得到原点到点P的距离与对角线长度相等，再结合点P在正半轴的位置，最终确定其对应的实数.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
故答案为：B．
【分析】
由矩形对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等的条件，利用 AAS 判定△AOE与△COF全等，得到二者面积相等；通过面积的等量代换，将分散的三块阴影面积拼接转化为△BCD的面积；最后代入边长，利用直角三角形面积公式计算出阴影部分的总面积.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由二次根式的定义，提炼出 “被开方数非负” 的限制规则；将题目中的被开方代数式代入规则，转化为关于x的一元一次不等式；通过移项、系数化为 1 的步骤求解不等式，最终得到自变量x的取值范围.
12．【答案】（且为整数）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得，函数解析式为：（且为整数）．
【分析】由 “总价、单价、数量” 的基础数量公式，将固定单价作为比例系数，建立总价与购买数量的对应函数关系；结合实际问题的背景限制，明确自变量x的取值必须为正整数，补充定义域条件，最终得到完整的正比例函数解析式.
13．【答案】2.5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，BO=DO=BD，
∴OD=BD=5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ=DO=2.5．
故答案为：2.5．
【分析】根据矩形性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD，则OD=BD=5，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
14．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
故答案为：6.
【分析】由直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠A的度数；结合三角形高的定义，得到△ACD为直角三角形，推出∠ACD=30 ；第一次利用含30 角的直角三角形的边的倍分关系，由AD的长度求出AC的长度；第二次在大直角三角形中应用该性质，由AC求出斜边AB的长；最后通过线段的差运算得到BD的长度.
15．【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°．
故答案为：300．
【分析】根据多边形外角性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得，根据边之间的关系可得CB'，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)由二次根式的化简规则，先将、化为最简二次根式；由乘法分配律展开含括号的二次根式乘法运算；最后将同类二次根式与有理数部分分别合并，得到最终结果.
(2)由二次根式的乘除运算法则，分别计算乘法项与除法项；由二次根式的性质化简含分母的二次根式；最后合并同类二次根式与常数项，完成计算.
（1）解：
（2）解：
18．【答案】解：∵∴
∴
∴．
【知识点】二次根式的化简求值；完全平方式；整体思想
【解析】【分析】由已知的a的表达式，通过移项构造出含a的一次式，使其平方后恰好出现目标代数式a2+2a；对构造后的等式两边同时平方，利用完全平方公式展开并化简；最后通过移项运算直接求出结果，相比直接代入计算更简便，体现了整体代入的数学思想.
19．【答案】（1）解：
∵
∴
解得.
（2）解：∵的三边长均为整数，∴
∴，
可取．
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】(1)由完全平方公式将含b的二次三项式配方为完全平方式，把原式转化为“算术平方根+平方数=0”的经典非负和模型；根据非负数的核心性质——若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0，分别列一元一次方程求解，得到a、b的具体数值.
(2)由三角形三边关系定理，结合已求出的两边长度，推导第三边c的取值范围；再根据“边长为整数”的限定条件，在范围内筛选出所有符合要求的整数值.
（1）解：
∵
∴
解得；
（2）解：∵的三边长均为整数，
∴
∴，
可取．
20．【答案】解：连接，∵，，，
根据勾股定理可知，，
∵，，
∴，
，
则．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题采用分割转化的解题思路，通过添加对角线AC，将不规则的四边形拆分为两个三角形；先在已知直角的△ABC中应用勾股定理，求出对角线AC的长度；再通过勾股定理的逆定理，验证△ACD的三边满足直角三角形的条件，确定其为直角三角形；最后将两个直角三角形的面积相加，得到四边形的总面积，将不规则图形的面积问题转化为规则直角三角形的面积计算问题.
21．【答案】（1）2.5，15
（2）1，20
（3）解：张强从离家到回家的平均速度是每分钟（米），
故张强从离家到回家的平均速度是每分钟米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可得，体育场离张强家千米，张强从家去体育场用了分钟；
故答案为：2.5，15.
（2）
解：由图象可得：体育场离文具店千米，张强在文具店停留了分钟；
故答案为：1，20.
【分析】
（1）图象纵坐标y代表离家距离，第一段上升线段终点纵坐标最大值2.5千米，就是体育场到张强家的距离；该终点对应的横坐标为15分钟，代表从出发到抵达体育场花费的时间.
（2）体育场离家2.5km，文具店离家1.5km，两段路程做减法：2.5 1.5=1km，得到两地间距；图象水平线段代表原地停留，横坐标45分钟抵达文具店，65分钟离开文具店，时间差65 45=20分钟即为停留时长.
（3）全程往返总路程：出去最远2.5千米，原路返回起点，总路程2.5×2=5千米，统一单位换算成5000米；横轴总时间为100分钟，是从出发到回到家全部耗时；套用公式平均速度=总路程÷总时间，5000÷100=50米 / 分钟.
（1）解：由图象可得，体育场离张强家千米，张强从家去体育场用了分钟；
（2）解：由图象可得：体育场离文具店千米，张强在文具店停留了分钟；
（3）解：张强从离家到回家的平均速度是每分钟（米），
故张强从离家到回家的平均速度是每分钟米．
22．【答案】（1）解：补全图形，如图：
（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）证明：连接，
，
四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
平分（菱形的每条对角线平分一组对角）．
故答案为：菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角
【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）连接，，再根据菱形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：补全图形，如图：
（2）证明：连接，
，
四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
平分（菱形的每条对角线平分一组对角）．
23．【答案】解：由题意得，（海里），（海里），∴，
∵海里，
∴，
∴，
∴，
∵“海天”号沿北偏西方向航行，
∴，
∴，
∴“远航”号沿北偏东方向航行，
答：“远航”号沿北偏东方向航行．
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】先根据路程公式求出两艘轮船 1 小时各自航行的路程，得到△PRQ三边长度；再通过计算三边平方关系，由勾股定理的逆定理判定∠RPQ为直角；结合已知 “海天” 号北偏西40 的方位角，利用直角两角互余算出另一艘船相对正北方向的偏角，最终确定“远航”号的航行方位.
24．【答案】（1）解：是等腰直角三角形．证明：在正方形中，，．
∵ F落在边的延长线上，
∴．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
（2）8
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（2）解：∵是等腰直角三角形，∴，
，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：
【分析】（1）证明，进而可得，，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质（在等腰直角三角形中，两条直角边长度相等）和勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求得，进而即可求得的面积．
（1）是等腰直角三角形．
证明：在正方形中，，．
∵ F落在边的延长线上，
∴．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
（2）∵是等腰直角三角形，
∴，
，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：
25．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形.
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：过点O作于点G，
∵E是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】(1) 先利用平行四边形对边平行且相等、中点定义，证出一组对边平行且相等，判定四边形ABEF为平行四边形；再结合BC=2AB推出邻边AB=BE，依据菱形判定定理完成证明.
(2) 由菱形再加60°角得到等边三角形、对角线互相垂直，在含 30°直角三角形中求出OE；作垂线构造新直角三角形，分步求出垂线段OG、底边GC，最后用勾股定理计算线段OC长度.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：过点O作于点G，
∵E是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC＋∠AEB＝∠AFC＋∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD；
在△ABC和Rt△ADC中，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，BE＝DF；
∴平行四边形ABCD是菱形；
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）如图
在△ABC和Rt△ADC中，
∴△ABC≌△ADC，
∴S△ABC＝S△ADC；
过点B作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ABH中，BH2＝AB2 AH2＝262 AH2．
在Rt△CBH中，BH2＝CB2 CH2＝252 （17 AH）2．
∴262 AH2＝252 （17 AH）2，
∴AH＝10．
∴BH＝=24．
∴S△ABC＝×17×24＝204．
∴筝形ABCD的面积=2S△ABC＝408．
答： 筝形ABCD的面积为408
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC，
故答案为：∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC.
【分析】（1）根据题意，用边边边可证△ABC≌△ADC，然后根据全等三角形的性质”全等三角形的对应角相等“即可求解（答案不唯一）；
（2）由等角的补角相等可得AEB＝∠AFD，结合已知用角角边可证△AEB≌△AFD，根据全等三角形的性质”全等三角形的对应边相等“可得AB＝AD，BE＝DF，根据一组临边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，然后由筝形的定义即可判断求解；
（3）由题意，用边边边可证△ABC≌△ADC．根据全等三角形的面积也相等可得S△ABC＝S△ADC，过点B作BH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABH和Rt△CBH中，用勾股定理可得关于AH的方程，解方程求出AH的值，在Rt△ABH中，用勾股定理求出BH的值，然后根据S筝形=2S ABC即可求解．
1 / 1北京市育英学校2025-2026学年八年级下学期数学期中调研试题
1．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、该图形是五边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意；
B、该图形含有四边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意；
C、该图形含有三个三角形结构，具有稳定性，故该选项符合题意；
D、该图形含有五边形结构，不具有稳定性，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】
由三角形稳定性的基本结论出发，明确 “只有全部分割为三角形的多边形结构才具备稳定性” 的判断标准；逐一观察四个选项的图形分割方式，判断是否存在四边形及以上的非三角形结构；最终筛选出完全由三角形组成、具备稳定性的图形.
2．每一个外角都是的正多边形是（　　）
A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案.
3． 直角三角形的两条直角边长分别为 ， 斜边长为 ， 若 ， 则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．144
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为 ， 斜边长为 ， ，
∴由勾股定理得，
故答案为：C
【分析】根据题意直接运用勾股定理进行计算即可求解。
4．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴这三条线段不能构成三角形，本项不符合题意；
B、∵，∴这三条线段不能构成直角三角形，本项不符合题意；
C、∵，∴这三条线段不能构成直角三角形，本项不符合题意；
D、∵，∴这三条线段能构成直角三角形，本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理逆定理和三角形三边关系，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形或三角形，本题即可得到解决.
5．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
6．下列各曲线中哪些表示y是x的函数？
【答案】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数；
故图（1）（2）（3）中y是x的函数.
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【分析】由函数的定义，提炼出 “自变量取确定值时，函数值唯一对应” 的核心判定标准；将该标准转化为可操作的 “竖线检验法”，对四个图像逐一验证交点个数；根据交点是否唯一，区分出符合函数定义与不符合的图像，最终得出结论.
7．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴一组对边平行，另一组对边不平行，
∴图中的四边形一定不是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵，，
∴一组对边平行，另一组对边相等，
∴图中四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意；
C、∵，
∴一组对边相等，
∴图中的四边形不一定是平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴一组对边平行且相等，
∴图中的四边形是平行四边形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由平行线的判定定理，通过角度和为180 推出对应对边的平行关系；结合边的长度条件，匹配平行四边形的各类判定定理，逐一验证每个选项是否满足判定要求；其中 “一组对边平行且相等” 是核心判定依据，同时辨析 “一组对边平行、另一组对边相等” 的易错点（可能为等腰梯形），最终确定唯一符合条件的选项.
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
9．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；数形结合；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
故答案为：B.
【分析】由两个正方形的边长，推导出拼接后长方形的长与宽；结合长方形的直角特征，利用勾股定理计算出对角线的长度，也就是圆的半径；根据圆半径相等的性质，得到原点到点P的距离与对角线长度相等，再结合点P在正半轴的位置，最终确定其对应的实数.
10．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
故答案为：B．
【分析】
由矩形对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等的条件，利用 AAS 判定△AOE与△COF全等，得到二者面积相等；通过面积的等量代换，将分散的三块阴影面积拼接转化为△BCD的面积；最后代入边长，利用直角三角形面积公式计算出阴影部分的总面积.
11．若二次根式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由二次根式的定义，提炼出 “被开方数非负” 的限制规则；将题目中的被开方代数式代入规则，转化为关于x的一元一次不等式；通过移项、系数化为 1 的步骤求解不等式，最终得到自变量x的取值范围.
12．购买一些铅笔，单价为0.4元/支，总价（单位：元）随铅笔支数的变化而变化，请写出函数解析式　 　
【答案】（且为整数）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得，函数解析式为：（且为整数）．
【分析】由 “总价、单价、数量” 的基础数量公式，将固定单价作为比例系数，建立总价与购买数量的对应函数关系；结合实际问题的背景限制，明确自变量x的取值必须为正整数，补充定义域条件，最终得到完整的正比例函数解析式.
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　 　.
【答案】2.5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，BO=DO=BD，
∴OD=BD=5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ=DO=2.5．
故答案为：2.5．
【分析】根据矩形性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD，则OD=BD=5，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
14．如图，在中，，，是高．若，则　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
故答案为：6.
【分析】由直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠A的度数；结合三角形高的定义，得到△ACD为直角三角形，推出∠ACD=30 ；第一次利用含30 角的直角三角形的边的倍分关系，由AD的长度求出AC的长度；第二次在大直角三角形中应用该性质，由AC求出斜边AB的长；最后通过线段的差运算得到BD的长度.
15．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则　 　°．
【答案】
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°．
故答案为：300．
【分析】根据多边形外角性质即可求出答案.
16．如图，在中，，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B的对应点恰好落在边上，则的长等于　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得，根据边之间的关系可得CB'，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)由二次根式的化简规则，先将、化为最简二次根式；由乘法分配律展开含括号的二次根式乘法运算；最后将同类二次根式与有理数部分分别合并，得到最终结果.
(2)由二次根式的乘除运算法则，分别计算乘法项与除法项；由二次根式的性质化简含分母的二次根式；最后合并同类二次根式与常数项，完成计算.
（1）解：
（2）解：
18．已知，求代数式的值．
【答案】解：∵∴
∴
∴．
【知识点】二次根式的化简求值；完全平方式；整体思想
【解析】【分析】由已知的a的表达式，通过移项构造出含a的一次式，使其平方后恰好出现目标代数式a2+2a；对构造后的等式两边同时平方，利用完全平方公式展开并化简；最后通过移项运算直接求出结果，相比直接代入计算更简便，体现了整体代入的数学思想.
19．已知的三边长均为整数，且和满足．
（1）求的值．
（2）求满足条件的的值．
【答案】（1）解：
∵
∴
解得.
（2）解：∵的三边长均为整数，∴
∴，
可取．
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】(1)由完全平方公式将含b的二次三项式配方为完全平方式，把原式转化为“算术平方根+平方数=0”的经典非负和模型；根据非负数的核心性质——若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0，分别列一元一次方程求解，得到a、b的具体数值.
(2)由三角形三边关系定理，结合已求出的两边长度，推导第三边c的取值范围；再根据“边长为整数”的限定条件，在范围内筛选出所有符合要求的整数值.
（1）解：
∵
∴
解得；
（2）解：∵的三边长均为整数，
∴
∴，
可取．
20．如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接，∵，，，
根据勾股定理可知，，
∵，，
∴，
，
则．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题采用分割转化的解题思路，通过添加对角线AC，将不规则的四边形拆分为两个三角形；先在已知直角的△ABC中应用勾股定理，求出对角线AC的长度；再通过勾股定理的逆定理，验证△ACD的三边满足直角三角形的条件，确定其为直角三角形；最后将两个直角三角形的面积相加，得到四边形的总面积，将不规则图形的面积问题转化为规则直角三角形的面积计算问题.
21．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题：
（1）体育场离张强家_____________千米；张强从家去体育场用了____________分钟；
（2）体育场离文具店_______________千米，张强在文具店停留了___________分钟；
（3）请计算：张强从离家到回家的平均速度是每分钟多少米
【答案】（1）2.5，15
（2）1，20
（3）解：张强从离家到回家的平均速度是每分钟（米），
故张强从离家到回家的平均速度是每分钟米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可得，体育场离张强家千米，张强从家去体育场用了分钟；
故答案为：2.5，15.
（2）
解：由图象可得：体育场离文具店千米，张强在文具店停留了分钟；
故答案为：1，20.
【分析】
（1）图象纵坐标y代表离家距离，第一段上升线段终点纵坐标最大值2.5千米，就是体育场到张强家的距离；该终点对应的横坐标为15分钟，代表从出发到抵达体育场花费的时间.
（2）体育场离家2.5km，文具店离家1.5km，两段路程做减法：2.5 1.5=1km，得到两地间距；图象水平线段代表原地停留，横坐标45分钟抵达文具店，65分钟离开文具店，时间差65 45=20分钟即为停留时长.
（3）全程往返总路程：出去最远2.5千米，原路返回起点，总路程2.5×2=5千米，统一单位换算成5000米；横轴总时间为100分钟，是从出发到回到家全部耗时；套用公式平均速度=总路程÷总时间，5000÷100=50米 / 分钟.
（1）解：由图象可得，体育场离张强家千米，张强从家去体育场用了分钟；
（2）解：由图象可得：体育场离文具店千米，张强在文具店停留了分钟；
（3）解：张强从离家到回家的平均速度是每分钟（米），
故张强从离家到回家的平均速度是每分钟米．
22．下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．
已知：．
求作：的平分线．
作法：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点；
③作射线．
则射线即为所求角平分线．
根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）补全下面的证明过程．
证明：连接，．
，
四边形是______________形（_________________）（填推理依据）
平分（_________________）（填推理依据）
【答案】（1）解：补全图形，如图：
（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）证明：连接，
，
四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
平分（菱形的每条对角线平分一组对角）．
故答案为：菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角
【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）连接，，再根据菱形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：补全图形，如图：
（2）证明：连接，
，
四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
平分（菱形的每条对角线平分一组对角）．
23．如图，港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距20海里．如果“海天”号沿北偏西方向航行，那么“远航”号沿什么方向航行？
【答案】解：由题意得，（海里），（海里），∴，
∵海里，
∴，
∴，
∴，
∵“海天”号沿北偏西方向航行，
∴，
∴，
∴“远航”号沿北偏东方向航行，
答：“远航”号沿北偏东方向航行．
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】先根据路程公式求出两艘轮船 1 小时各自航行的路程，得到△PRQ三边长度；再通过计算三边平方关系，由勾股定理的逆定理判定∠RPQ为直角；结合已知 “海天” 号北偏西40 的方位角，利用直角两角互余算出另一艘船相对正北方向的偏角，最终确定“远航”号的航行方位.
24．如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接．
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，则的面积为___________．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形．证明：在正方形中，，．
∵ F落在边的延长线上，
∴．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
（2）8
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（2）解：∵是等腰直角三角形，∴，
，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：
【分析】（1）证明，进而可得，，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质（在等腰直角三角形中，两条直角边长度相等）和勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求得，进而即可求得的面积．
（1）是等腰直角三角形．
证明：在正方形中，，．
∵ F落在边的延长线上，
∴．
∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∴是等腰直角三角形．
（2）∵是等腰直角三角形，
∴，
，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：
25．如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，直接写出的长___________
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形.
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：过点O作于点G，
∵E是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】(1) 先利用平行四边形对边平行且相等、中点定义，证出一组对边平行且相等，判定四边形ABEF为平行四边形；再结合BC=2AB推出邻边AB=BE，依据菱形判定定理完成证明.
(2) 由菱形再加60°角得到等边三角形、对角线互相垂直，在含 30°直角三角形中求出OE；作垂线构造新直角三角形，分步求出垂线段OG、底边GC，最后用勾股定理计算线段OC长度.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：过点O作于点G，
∵E是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
26．阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．
① ；② ．
(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．
【答案】（1）∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC＋∠AEB＝∠AFC＋∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD；
在△ABC和Rt△ADC中，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，BE＝DF；
∴平行四边形ABCD是菱形；
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）如图
在△ABC和Rt△ADC中，
∴△ABC≌△ADC，
∴S△ABC＝S△ADC；
过点B作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ABH中，BH2＝AB2 AH2＝262 AH2．
在Rt△CBH中，BH2＝CB2 CH2＝252 （17 AH）2．
∴262 AH2＝252 （17 AH）2，
∴AH＝10．
∴BH＝=24．
∴S△ABC＝×17×24＝204．
∴筝形ABCD的面积=2S△ABC＝408．
答： 筝形ABCD的面积为408
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC，
故答案为：∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC.
【分析】（1）根据题意，用边边边可证△ABC≌△ADC，然后根据全等三角形的性质”全等三角形的对应角相等“即可求解（答案不唯一）；
（2）由等角的补角相等可得AEB＝∠AFD，结合已知用角角边可证△AEB≌△AFD，根据全等三角形的性质”全等三角形的对应边相等“可得AB＝AD，BE＝DF，根据一组临边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，然后由筝形的定义即可判断求解；
（3）由题意，用边边边可证△ABC≌△ADC．根据全等三角形的面积也相等可得S△ABC＝S△ADC，过点B作BH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABH和Rt△CBH中，用勾股定理可得关于AH的方程，解方程求出AH的值，在Rt△ABH中，用勾股定理求出BH的值，然后根据S筝形=2S ABC即可求解．
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