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广东深圳市龙岗区宏扬学校2025－2026学年九年级下学期中考复习综合模拟数学（一）
1．的相反数是（　　).
A． B． C．-2026 D．2026
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义即可得出答案。
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以B符合题意；
C：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．下列算式中可以用“积的乘方法则”运算的是（　　).
A． B． C．（2m)4 D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：用同底数幂的乘法法则进行运算，所以A不符合题意；
B：用幂的乘方法则进行运算，所以B不符合题意；
C：用积的乘方法则进行运算，所以C符合题意；
D：整式的加法运算，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据各项的特点，可分别得出运用的运算法则，进而即可得出答案。
4．下面图形不能折成正方体的是（　　).
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A：可以折成正方体，所以A符合题意；
D：可以折成正方体，所以B符合题意；
C：出现了“田字”，所以不能折成正方体，所以C符合题意；
D：可以折成正方体，所以D符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据正方体的多种展开图逐项进行识别，即可得出答案。
5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 (　　)
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
6．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式 kx+b<0的解集是（　　).
A．x<1 B．x>1 C．x<-2 D．x>-2
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象，与x轴相交于点（1，0），在（1，0）的左侧，图象在x轴的下边，
所以 不等式 kx+b<0的解集是 x＜1.
故答案为：A.
【分析】观察函数图象，根据直线与x轴的交点，即可得出不等式 kx+b<0的解集 。
7．已知抛物线 经过（2， y1) ，（1， y2)两点，则y1与y2的大小关系为（　　).
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为：x=-1，
∵a=2＞0，2＞1＞-1，
∴y1＞y2 。
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为：x=-1，进而根据a=2＞0，可得出函数的增减性，进而通过比较2＞1＞-1，即可得出y1＞y2 。
8．如图（a)，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止，设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图（b)是y与x的函数关系的大致图像，则平行四边形ABCD的面积为（　　).
A． B． C． D．36
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据点（8，8），可得出AB=8；
根据点（8，8）和点（16，12），可得出BD=16-8=8，AD=12，
过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=BD=8，BE⊥AD于点E，AD=12，
∴AE=BE=6，
在Rt中：BE=，
∴ 平行四边形ABCD的面积为 ：ADBE=12.
故答案为：A.
【分析】首先根据特殊点的坐标，得出AB=8；BD=16-8=8，AD=12，进而过点B作BE⊥AD于点E，根据等腰三角形的性质及勾股定理可得出BE的长，再根据平行四边形的面积即可得出答案。
9．如果一组数据1，11，x，5，9，4的中位数是5，那么　 　．
【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵共6个数，
∴中位数是第3和第4个的平均数，
∵中位数为5，
，
解得：，
故答案为：5．
【分析】根据求中位数的求解方法可得，这组数据的个数就是6，所以处于最中间的两数的平均数就是此组数据的中位数，从而得到，求解即可．
10．如图，按下面的方式摆放图形，第1幅图中有1个四边形，第2幅图中有3个四边形，第3幅图中有5个四边形…根据第1幅图到第3幅图的规律，推测第n幅图中有　 　个四边形.（用含字母n的代数式表示)
【答案】2n-1
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1幅图中四边形的个数为：1=2×1-1；
第2幅图中四边形的个数为：3=2×2-1；
第3幅图中四边形的个数为：5=2×3-1；
......
第n幅图中四边形的个数为：2n-1；
故答案为：2n-1.
【分析】分析第1幅图到第3幅图中四边形的个数的规律，即可得出第n幅图中四边形的个数为：2n-1；
11．已知反比例函数 的图象经过点A（-1， y1) ， B（-2， y2).若 则实数k的取值范围是　 　.
【答案】k>2
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵-1＞-2，
∴反比例函数图象的一个分支在第二象限，且y随x的增大而增大。
∴-k+2＜0，
∴k＞2.
故答案为：k＞2.
【分析】首先根据函数的性质可得出反比例函数图象的一个分支在第二象限，且y随x的增大而增大，即可得出-k+2＜0，解不等式可得出k的取值范围。
12．如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB=60°， OA= 则阴影部分的面积为　 　.
【答案】-
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，则∠COD=60°，OC =OD =CD=1
∵∠AOB=60= ∠COM=∠CON，∠COD=60°=∠DON+∠CON，
∴∠COM=∠DON，
∵ ∠ODN=∠OCM，OC=OD，
∴(ASA)，
∴S四边形OMCN= S△COD，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S四边形OMCN=S扇形OAB- S△COD=
故答案为：﹣；
【分析】如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，首先通过证明，可得出S四边形OMCN = S△COD，进而根据割补发即可得出S阴影部分=S扇形OAB-S四边形OMCN=S扇形OAB- S△COD=。
13．抛物线 的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1， n)，且与x轴的一个交点在点（-3， 0)和（-2， 0)之间.有下列结论：①a+b+c<0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2 的两根为x1， x2，则 ④对于任意实数m，不等式 恒成立.上述结论中正确的是　 　.（填序号)
【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，且对称轴x=-1，
∵抛物线的对称轴为x=-1，且 与x轴的一个交点在点（-3， 0)和（-2， 0)之间
∴ 抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0
∴ a+b+c<0； 即①正确；
又∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴
∴b=2a，
∴2a-b=0，即②正确；
方程 ax2 ，
将b= 2a代入方程，得ax2+(2a+
由顶点坐标（-1，n)可知，当x=-1 时，y=n，即 a(-1)2 +b(-1) +c = n，化简得 a-b+c=n。
·将b=2a代入上式，得a- 2a+c=n，即c- a=n，所以c=a十n。
将c=a+n代入方程，得：
ax2+(2a+
ax2+(2a+
·观察方程系数，发现a+(2a+）+a+=4a+n，这似乎不能直接因式分解。
尝试代入x=-1：a(-1)2 +(2a +）（-1）+a+=a-2a-=0，
所以x1=-1是方程的一个根。
根据韦达定理得：x1+x2==-2-
因为x=-1，所以-1+x2=-2-
解得：x2=-1-
两根之差的绝对值为：
∵a＜0，n为顶点纵坐标，（由图可知，n＞0），所以，绝对值为，
题目中未给出n与a的具体数量关系，无法确定是否等于2，
故③不正确；
把b=2a代入中，得：
a（m2-1）+2a（m+1）=a（m+1）[（m-1）+2]=a(m+1)2
∵a＜0，(m+1)2≥0，
∴a(m+1)2≤0，
故结论④正确。
故答案为：①②④.
【分析】由图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，且对称轴x=-1，首先根据抛物线的对称性，可得出抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，即可得出当x=1时，y＜0，即可得出①正确；根据对称轴x=-1，可得出②正确；首先得出方程 ax2 的 一个根为-1，然后根据韦达定理可求得另一个根为1-，进而可求得=，因为根据题目条件无法确定a与n的关系，故无法确定是否等于2，即可得出③不正确；把b=2a代入中，得：a（m2-1）+2a（m+1）=a（m+1）[（m-1）+2]=a(m+1)2，即可得出结论④正确。z综上即可得出结论。
14．解方程：
【答案】解：
x2+2x-1=0
这里a=1，b=2，c=-1，
所以=b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，
所以x=
所以x11，x21
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法即可求出方程的解。
15．在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界.某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的四类人工智能软件A，B，C，D，每个学生可选择其中一类学习使用.为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次抽取的学生总人数为　 　人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A，B 两类软件各1人的概率.
【答案】（1）200；144
（2）解：B类人数为：200-80-20-40=60（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，
∴恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 这次抽取的学生总人数为 ：40÷20%=200（人）；
扇形统计图中A类软件所占圆心角为 ：
故第1空答案为：200；第2空答案为：144；
【分析】（1）条形统计图上知道选择D类人数，扇形统计图知道选择D类人数占抽取学生总数的百分比，进而用人数除以对应百分比，即可得出抽取的学生总人数；根据A类软件人数和抽取学生总数，可得出占总数的比例，进而再乘360°，即可得出 扇形统计图中A类软件所占圆心角 ；
（2）首先从总人数里边减去其他类的人数，即可得出B类人数，进而再补全条形统计图即可；
（3）首先用树状图进行分析，可得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
16．如图，在△ABC中， D为AB的中点.
（1）过点B作BP∥AC；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在线段AC上任意找一点E（不与A，C重合)，连接ED并延长，交BP 于点 F，连接BE，AF.求证：四边形 AEBF 是平行四边形.
【答案】（1）解：如图（a）所示， BP∥AC
（2）解：如图（b），∵BP∥AC，
∴∠FBA =∠EAB. ∵D为AB的中点，
∴AD =BD.
在△BDF和△ADE中，∠FBA =∠EAB，AD =BD，∠BDF=∠ADE，
∴△BDF≌△ADE.（ASA）
∴BF =AE. ∵BP∥AC，
∴四边形AEBF是平行四边形.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，可得出∠ABP=∠A，根据内错角相等，两直线平行，即可得出BP∥AC；
（2）首先根据ASA可证得△BDF≌△ADE，可得出BF =AE，进而根据一组对边平行且相等，即可得出结论；
17．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
18．图（a)是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图（b)是某种工作状态下的侧面结构示意图，MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂， 已知基座高度 MN为1m，主臂MP 长为5m，测得主臂伸展角. （参考数据：
（1）求点 P到地面QN的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求 的度数.
【答案】（1）解：如图，过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F.
由题意，得MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1 m，在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5 m，PF＝PM·sin37°≈5×＝3(m)
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4(m)
∴点P到地面QN的高度约为4m.
（2）解：在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PF＝3 m，
∴FM＝≈＝4(m).
∴FM＝GN＝4 m.
∴QG＝QN﹣GN＝7﹣4＝3(m). 在△GQP和△FPM中， QG＝PF，∠QGP＝∠PFM，PG＝MF，
∴△GQP≌△FPM．
∴∠QPG＝∠PMF．
∵∠FPM+∠PMF＝90°，
∴∠FPM+∠QPG＝90°．
即∠QPM＝90°．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）首先解直角三角形得出PF的长，进而根据PG＝PF+FG可得出PG的长，即点P到地面QN的高度；
（2）首先证明△GQP≌△FPM．∠QPG＝∠PMF．进而根据∠FPM+∠PMF＝90°，可得出∠FPM+∠QPG＝90°．即∠QPM＝90°．
19．某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务.
问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动.
素材1 如图（a)，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面4.5m，水面宽6m.
素材2 公园投放游船供游客乘坐，图（b)是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形ABCD， 已知BC=2m，AB=1.5m.
素材3 如图（c)，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
问题解决
任务1 求抛物线的函数表达式.
任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升2.5m时，水面宽度减少多少
任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过
【答案】解：任务1：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．将点（3，﹣4.5）代入y＝ax2
得﹣4.5＝a×32，解得．
∴．
任务2：当水面上升2.5 m时，水面的纵坐标为﹣2．即，解得x1＝2，x2＝﹣2．
6﹣2×2＝2．答：水面宽度减少2 m；
任务3：当游船顶部A，D刚好在抛物线上时，游船不能从桥下通过，此时，点D的横坐标为1．
当x＝1时，，则﹣0.5﹣1.5﹣（﹣4.5）＝2.5．
答：当水面比正常水位至少上升2.5 m时，游船满载不能从桥洞通过．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法，可得出抛物线的函数表达式；
任务2：首先求当y=-2时，x的值，进而即可得出此时水面的宽度，进而即可得出减少的量；
任务3：求得当x＝1时所对应的y的值即可得出答案。
20． 如图
【问题探究】如图（a)， 在正方形ABCD中， AB=6， E为DC上的点， DE=2CE， 连接BE， 点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点 M，交BC于点 N，求MN的长度.
此问题的解决思路：过点M作MG⊥BC，垂足为G，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证 根据全等三角形的性质得出 MN=BE，再由勾股定理可以求得 MN=BE= ▲ ：（填数值)
【类比迁移】如图（b)， 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD， 过BD上的一点O作 交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度.
【拓展应用】如图（c)，李大爷家有一块平行四边形的菜地.记为 测得 为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这条小路的中间，开了另一条垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计).直接写出新开出的小路MN的长度.
【答案】解：【问题探究】2；
【类比迁移】如图，过点M作MK⊥BC，垂足为K，MK交BD于点L，
则∠MKB＝∠MKN＝90°.
∵MN⊥BD，
∴∠MOL＝90°.
∴∠MLO+∠LMO＝90°.
∵∠MKB＝90°，
∴∠LBK+∠BLK＝90°.
∵∠BLK＝∠MLO，
∴∠LBK＝∠LMO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠A＝∠ABK＝∠MKB＝90°.
∴四边形ABKM是矩形.
∴AB＝MK＝CD
.∵∠LBK＝∠LMO，∠MKN＝∠BCD＝90°，
∴△MKN∽△BCD
.∴.
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD5，
∴MNBD5；
【拓展应用】MN m
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【问题探究】如图①，过点M作MG⊥BC于点G，MG交BE于点H，
则∠MGN= ∠MGB=90°，
∵MN⊥BE，
∴∠MOH=90°，
∴∠MHO+∠HMO= 90°，
∵∠MGB=90°，
∴∠HBG + ∠BHG = 90°，
∵∠BHG=∠MHO，
∴∠HBG=∠HMO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= BC= CD=6，∠A= ∠ABC= ∠C= 90°，
∴∠A= ∠ABG = ∠MGB= 90°，
∴四边形ABGM是矩形，
∴AB=MG，
∴MG = BC，
在△MGN和△BCE中，
∵∠GMN=∠CBE
∠MGN=∠C
MG=BC
∴ (AAS)，
∴MN =BE，
∴AB=6，DE=2CE，
∴CE==2
∴BE===2，
∴MN =2
故答案为：2；
【拓展应用】 如图③，过点M作MP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=7米，AB//CD，AD//BC
∴∠ABC=∠DCQ= 45°，DQ⊥BC，
∴ ∠CDQ=45°=∠DCQ，
∴CQ= DQ，
∵DQ⊥BC，
∴CQ = DQ=CD = 7(米)，
∵BC =17米，
∴BQ = BC + CQ = 17 + 7 = 24(米)，
∴BD = == 25(米)
∵MN⊥BD，MP⊥BC，
∴∠DBQ+MNP =90°，∠MNP +∠NMP=90°，MP//DQ，
∴∠DBQ=∠NMP，
又∵∠MPN = ∠Q = 90°，
∴△MPN-△BQD，
∴
∵AD//BC，MP//DQ，∠Q = 90°，
∴四边形MPQD是矩形，
∴MP = DQ =7米，
∴
∴MN=
即新开出的小路MN的长度为米
【分析】（1）根据正方形的性质可得出AB= BC= CD=6，∠A= ∠ABC= ∠C= 90°，即可得出∠A= ∠ABG = ∠MGB= 90°，可得出四边形ABGM是矩形，再根据AAS证得，可得出MN =BE，根据勾股定理可求得BE===2，进而得出MN =2；
（2）如图，过点M作MK⊥BC，垂足为K，MK交BD于点L，根据矩形的性质。可得出AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠A＝∠ABK＝∠MKB＝90°.可得出四边形ABKM是矩形.进一步可根据AA证得△MKN∽△BCD，进而得出，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD5，进而得出MNBD5；
（3）首先证明△MPN∽△BQD，可得出，再证明四边形MPQD是矩形，可得出MP = DQ =7米，进而得出MN=。
1 / 1广东深圳市龙岗区宏扬学校2025－2026学年九年级下学期中考复习综合模拟数学（一）
1．的相反数是（　　).
A． B． C．-2026 D．2026
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　).
A． B．
C． D．
3．下列算式中可以用“积的乘方法则”运算的是（　　).
A． B． C．（2m)4 D．
4．下面图形不能折成正方体的是（　　).
A． B．
C． D．
5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 (　　)
A．① B．② C．③ D．均不可能
6．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式 kx+b<0的解集是（　　).
A．x<1 B．x>1 C．x<-2 D．x>-2
7．已知抛物线 经过（2， y1) ，（1， y2)两点，则y1与y2的大小关系为（　　).
A． B． C． D．无法确定
8．如图（a)，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止，设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图（b)是y与x的函数关系的大致图像，则平行四边形ABCD的面积为（　　).
A． B． C． D．36
9．如果一组数据1，11，x，5，9，4的中位数是5，那么　 　．
10．如图，按下面的方式摆放图形，第1幅图中有1个四边形，第2幅图中有3个四边形，第3幅图中有5个四边形…根据第1幅图到第3幅图的规律，推测第n幅图中有　 　个四边形.（用含字母n的代数式表示)
11．已知反比例函数 的图象经过点A（-1， y1) ， B（-2， y2).若 则实数k的取值范围是　 　.
12．如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB=60°， OA= 则阴影部分的面积为　 　.
13．抛物线 的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1， n)，且与x轴的一个交点在点（-3， 0)和（-2， 0)之间.有下列结论：①a+b+c<0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2 的两根为x1， x2，则 ④对于任意实数m，不等式 恒成立.上述结论中正确的是　 　.（填序号)
14．解方程：
15．在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界.某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的四类人工智能软件A，B，C，D，每个学生可选择其中一类学习使用.为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）这次抽取的学生总人数为　 　人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A，B 两类软件各1人的概率.
16．如图，在△ABC中， D为AB的中点.
（1）过点B作BP∥AC；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在线段AC上任意找一点E（不与A，C重合)，连接ED并延长，交BP 于点 F，连接BE，AF.求证：四边形 AEBF 是平行四边形.
17．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
18．图（a)是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图（b)是某种工作状态下的侧面结构示意图，MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂， 已知基座高度 MN为1m，主臂MP 长为5m，测得主臂伸展角. （参考数据：
（1）求点 P到地面QN的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求 的度数.
19．某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务.
问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动.
素材1 如图（a)，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面4.5m，水面宽6m.
素材2 公园投放游船供游客乘坐，图（b)是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形ABCD， 已知BC=2m，AB=1.5m.
素材3 如图（c)，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
问题解决
任务1 求抛物线的函数表达式.
任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升2.5m时，水面宽度减少多少
任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过
20． 如图
【问题探究】如图（a)， 在正方形ABCD中， AB=6， E为DC上的点， DE=2CE， 连接BE， 点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点 M，交BC于点 N，求MN的长度.
此问题的解决思路：过点M作MG⊥BC，垂足为G，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证 根据全等三角形的性质得出 MN=BE，再由勾股定理可以求得 MN=BE= ▲ ：（填数值)
【类比迁移】如图（b)， 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD， 过BD上的一点O作 交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度.
【拓展应用】如图（c)，李大爷家有一块平行四边形的菜地.记为 测得 为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这条小路的中间，开了另一条垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计).直接写出新开出的小路MN的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以B符合题意；
C：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：用同底数幂的乘法法则进行运算，所以A不符合题意；
B：用幂的乘方法则进行运算，所以B不符合题意；
C：用积的乘方法则进行运算，所以C符合题意；
D：整式的加法运算，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据各项的特点，可分别得出运用的运算法则，进而即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A：可以折成正方体，所以A符合题意；
D：可以折成正方体，所以B符合题意；
C：出现了“田字”，所以不能折成正方体，所以C符合题意；
D：可以折成正方体，所以D符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据正方体的多种展开图逐项进行识别，即可得出答案。
5．【答案】A
6．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象，与x轴相交于点（1，0），在（1，0）的左侧，图象在x轴的下边，
所以 不等式 kx+b<0的解集是 x＜1.
故答案为：A.
【分析】观察函数图象，根据直线与x轴的交点，即可得出不等式 kx+b<0的解集 。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为：x=-1，
∵a=2＞0，2＞1＞-1，
∴y1＞y2 。
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为：x=-1，进而根据a=2＞0，可得出函数的增减性，进而通过比较2＞1＞-1，即可得出y1＞y2 。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据点（8，8），可得出AB=8；
根据点（8，8）和点（16，12），可得出BD=16-8=8，AD=12，
过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=BD=8，BE⊥AD于点E，AD=12，
∴AE=BE=6，
在Rt中：BE=，
∴ 平行四边形ABCD的面积为 ：ADBE=12.
故答案为：A.
【分析】首先根据特殊点的坐标，得出AB=8；BD=16-8=8，AD=12，进而过点B作BE⊥AD于点E，根据等腰三角形的性质及勾股定理可得出BE的长，再根据平行四边形的面积即可得出答案。
9．【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵共6个数，
∴中位数是第3和第4个的平均数，
∵中位数为5，
，
解得：，
故答案为：5．
【分析】根据求中位数的求解方法可得，这组数据的个数就是6，所以处于最中间的两数的平均数就是此组数据的中位数，从而得到，求解即可．
10．【答案】2n-1
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1幅图中四边形的个数为：1=2×1-1；
第2幅图中四边形的个数为：3=2×2-1；
第3幅图中四边形的个数为：5=2×3-1；
......
第n幅图中四边形的个数为：2n-1；
故答案为：2n-1.
【分析】分析第1幅图到第3幅图中四边形的个数的规律，即可得出第n幅图中四边形的个数为：2n-1；
11．【答案】k>2
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵-1＞-2，
∴反比例函数图象的一个分支在第二象限，且y随x的增大而增大。
∴-k+2＜0，
∴k＞2.
故答案为：k＞2.
【分析】首先根据函数的性质可得出反比例函数图象的一个分支在第二象限，且y随x的增大而增大，即可得出-k+2＜0，解不等式可得出k的取值范围。
12．【答案】-
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，则∠COD=60°，OC =OD =CD=1
∵∠AOB=60= ∠COM=∠CON，∠COD=60°=∠DON+∠CON，
∴∠COM=∠DON，
∵ ∠ODN=∠OCM，OC=OD，
∴(ASA)，
∴S四边形OMCN= S△COD，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S四边形OMCN=S扇形OAB- S△COD=
故答案为：﹣；
【分析】如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，首先通过证明，可得出S四边形OMCN = S△COD，进而根据割补发即可得出S阴影部分=S扇形OAB-S四边形OMCN=S扇形OAB- S△COD=。
13．【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，且对称轴x=-1，
∵抛物线的对称轴为x=-1，且 与x轴的一个交点在点（-3， 0)和（-2， 0)之间
∴ 抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0
∴ a+b+c<0； 即①正确；
又∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴
∴b=2a，
∴2a-b=0，即②正确；
方程 ax2 ，
将b= 2a代入方程，得ax2+(2a+
由顶点坐标（-1，n)可知，当x=-1 时，y=n，即 a(-1)2 +b(-1) +c = n，化简得 a-b+c=n。
·将b=2a代入上式，得a- 2a+c=n，即c- a=n，所以c=a十n。
将c=a+n代入方程，得：
ax2+(2a+
ax2+(2a+
·观察方程系数，发现a+(2a+）+a+=4a+n，这似乎不能直接因式分解。
尝试代入x=-1：a(-1)2 +(2a +）（-1）+a+=a-2a-=0，
所以x1=-1是方程的一个根。
根据韦达定理得：x1+x2==-2-
因为x=-1，所以-1+x2=-2-
解得：x2=-1-
两根之差的绝对值为：
∵a＜0，n为顶点纵坐标，（由图可知，n＞0），所以，绝对值为，
题目中未给出n与a的具体数量关系，无法确定是否等于2，
故③不正确；
把b=2a代入中，得：
a（m2-1）+2a（m+1）=a（m+1）[（m-1）+2]=a(m+1)2
∵a＜0，(m+1)2≥0，
∴a(m+1)2≤0，
故结论④正确。
故答案为：①②④.
【分析】由图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，且对称轴x=-1，首先根据抛物线的对称性，可得出抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，即可得出当x=1时，y＜0，即可得出①正确；根据对称轴x=-1，可得出②正确；首先得出方程 ax2 的 一个根为-1，然后根据韦达定理可求得另一个根为1-，进而可求得=，因为根据题目条件无法确定a与n的关系，故无法确定是否等于2，即可得出③不正确；把b=2a代入中，得：a（m2-1）+2a（m+1）=a（m+1）[（m-1）+2]=a(m+1)2，即可得出结论④正确。z综上即可得出结论。
14．【答案】解：
x2+2x-1=0
这里a=1，b=2，c=-1，
所以=b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，
所以x=
所以x11，x21
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式法即可求出方程的解。
15．【答案】（1）200；144
（2）解：B类人数为：200-80-20-40=60（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，
∴恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 这次抽取的学生总人数为 ：40÷20%=200（人）；
扇形统计图中A类软件所占圆心角为 ：
故第1空答案为：200；第2空答案为：144；
【分析】（1）条形统计图上知道选择D类人数，扇形统计图知道选择D类人数占抽取学生总数的百分比，进而用人数除以对应百分比，即可得出抽取的学生总人数；根据A类软件人数和抽取学生总数，可得出占总数的比例，进而再乘360°，即可得出 扇形统计图中A类软件所占圆心角 ；
（2）首先从总人数里边减去其他类的人数，即可得出B类人数，进而再补全条形统计图即可；
（3）首先用树状图进行分析，可得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
16．【答案】（1）解：如图（a）所示， BP∥AC
（2）解：如图（b），∵BP∥AC，
∴∠FBA =∠EAB. ∵D为AB的中点，
∴AD =BD.
在△BDF和△ADE中，∠FBA =∠EAB，AD =BD，∠BDF=∠ADE，
∴△BDF≌△ADE.（ASA）
∴BF =AE. ∵BP∥AC，
∴四边形AEBF是平行四边形.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，可得出∠ABP=∠A，根据内错角相等，两直线平行，即可得出BP∥AC；
（2）首先根据ASA可证得△BDF≌△ADE，可得出BF =AE，进而根据一组对边平行且相等，即可得出结论；
17．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
18．【答案】（1）解：如图，过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F.
由题意，得MF⊥PG，MF＝GN，FG＝MN＝1 m，在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PM＝5 m，PF＝PM·sin37°≈5×＝3(m)
∴PG＝PF+FG＝3+1＝4(m)
∴点P到地面QN的高度约为4m.
（2）解：在Rt△PFM中，∠PMF＝37°，PF＝3 m，
∴FM＝≈＝4(m).
∴FM＝GN＝4 m.
∴QG＝QN﹣GN＝7﹣4＝3(m). 在△GQP和△FPM中， QG＝PF，∠QGP＝∠PFM，PG＝MF，
∴△GQP≌△FPM．
∴∠QPG＝∠PMF．
∵∠FPM+∠PMF＝90°，
∴∠FPM+∠QPG＝90°．
即∠QPM＝90°．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）首先解直角三角形得出PF的长，进而根据PG＝PF+FG可得出PG的长，即点P到地面QN的高度；
（2）首先证明△GQP≌△FPM．∠QPG＝∠PMF．进而根据∠FPM+∠PMF＝90°，可得出∠FPM+∠QPG＝90°．即∠QPM＝90°．
19．【答案】解：任务1：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．将点（3，﹣4.5）代入y＝ax2
得﹣4.5＝a×32，解得．
∴．
任务2：当水面上升2.5 m时，水面的纵坐标为﹣2．即，解得x1＝2，x2＝﹣2．
6﹣2×2＝2．答：水面宽度减少2 m；
任务3：当游船顶部A，D刚好在抛物线上时，游船不能从桥下通过，此时，点D的横坐标为1．
当x＝1时，，则﹣0.5﹣1.5﹣（﹣4.5）＝2.5．
答：当水面比正常水位至少上升2.5 m时，游船满载不能从桥洞通过．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法，可得出抛物线的函数表达式；
任务2：首先求当y=-2时，x的值，进而即可得出此时水面的宽度，进而即可得出减少的量；
任务3：求得当x＝1时所对应的y的值即可得出答案。
20．【答案】解：【问题探究】2；
【类比迁移】如图，过点M作MK⊥BC，垂足为K，MK交BD于点L，
则∠MKB＝∠MKN＝90°.
∵MN⊥BD，
∴∠MOL＝90°.
∴∠MLO+∠LMO＝90°.
∵∠MKB＝90°，
∴∠LBK+∠BLK＝90°.
∵∠BLK＝∠MLO，
∴∠LBK＝∠LMO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠A＝∠ABK＝∠MKB＝90°.
∴四边形ABKM是矩形.
∴AB＝MK＝CD
.∵∠LBK＝∠LMO，∠MKN＝∠BCD＝90°，
∴△MKN∽△BCD
.∴.
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD5，
∴MNBD5；
【拓展应用】MN m
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：【问题探究】如图①，过点M作MG⊥BC于点G，MG交BE于点H，
则∠MGN= ∠MGB=90°，
∵MN⊥BE，
∴∠MOH=90°，
∴∠MHO+∠HMO= 90°，
∵∠MGB=90°，
∴∠HBG + ∠BHG = 90°，
∵∠BHG=∠MHO，
∴∠HBG=∠HMO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= BC= CD=6，∠A= ∠ABC= ∠C= 90°，
∴∠A= ∠ABG = ∠MGB= 90°，
∴四边形ABGM是矩形，
∴AB=MG，
∴MG = BC，
在△MGN和△BCE中，
∵∠GMN=∠CBE
∠MGN=∠C
MG=BC
∴ (AAS)，
∴MN =BE，
∴AB=6，DE=2CE，
∴CE==2
∴BE===2，
∴MN =2
故答案为：2；
【拓展应用】 如图③，过点M作MP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=7米，AB//CD，AD//BC
∴∠ABC=∠DCQ= 45°，DQ⊥BC，
∴ ∠CDQ=45°=∠DCQ，
∴CQ= DQ，
∵DQ⊥BC，
∴CQ = DQ=CD = 7(米)，
∵BC =17米，
∴BQ = BC + CQ = 17 + 7 = 24(米)，
∴BD = == 25(米)
∵MN⊥BD，MP⊥BC，
∴∠DBQ+MNP =90°，∠MNP +∠NMP=90°，MP//DQ，
∴∠DBQ=∠NMP，
又∵∠MPN = ∠Q = 90°，
∴△MPN-△BQD，
∴
∵AD//BC，MP//DQ，∠Q = 90°，
∴四边形MPQD是矩形，
∴MP = DQ =7米，
∴
∴MN=
即新开出的小路MN的长度为米
【分析】（1）根据正方形的性质可得出AB= BC= CD=6，∠A= ∠ABC= ∠C= 90°，即可得出∠A= ∠ABG = ∠MGB= 90°，可得出四边形ABGM是矩形，再根据AAS证得，可得出MN =BE，根据勾股定理可求得BE===2，进而得出MN =2；
（2）如图，过点M作MK⊥BC，垂足为K，MK交BD于点L，根据矩形的性质。可得出AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠A＝∠ABK＝∠MKB＝90°.可得出四边形ABKM是矩形.进一步可根据AA证得△MKN∽△BCD，进而得出，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD5，进而得出MNBD5；
（3）首先证明△MPN∽△BQD，可得出，再证明四边形MPQD是矩形，可得出MP = DQ =7米，进而得出MN=。
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