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广东省梅州市兴宁市田家炳学校2025-2026学年八年级数学下学期期中试题
1．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
3．到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
7．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
9．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
10．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．把多项式分解因式，应提取的公因式是　 　．
12．若，则的值为　 　．
13．如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为　 　
14．如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
15．如图，的面积为16，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　 　．
16．解不等式：，并把解集表示在数轴上；
17．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
19．如图，在中，，是角平分线，于点E，点F在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点．
（1）求m和k的值．
（2）若点在直线上，连接，求的面积．
（3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集．
21．若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”．
（1）通过计算判断45是否为“完美数”；
（2）已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值．
22．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
23．阅读理解并解答：
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：，
，．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
（3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
（4）若，，试比较、的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】旋转的性质；图形的平移
【解析】【解答】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意；
B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意；
C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意；
D、图形可以通过平移得到，故不符合题意；
故选B．
【分析】根据旋转，平移性质即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．
故答案为：A．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；公因式的概念
【解析】【解答】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、，因式错误，不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解且因式分解正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
由因式分解的完整定义，提炼两个核心判定条件：①左边必须是多项式；②变形后右侧只能是若干整式相乘；A 式左侧为单项式，直接判定不属于因式分解；B 式提取公因式计算出错，判定变形错误；C 式右侧出现分式，不满足 “整式乘积” 要求，判定不成立；D 式左侧为多项式、右侧全为整式乘积，判定该变形是因式分解。
5．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
【分析】三角形中线平分三角形面积．
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F点作于H点，如图，
∵，，
∴，
由作图痕迹得平分，
∵，，
∴，即点F到的距离为4．
故选：B．
【分析】过F点作于H点，根据边之间的关系可得FC，再根据角平分线性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AB=AC，BE=BC，∠A=40°，
所以∠ABC=∠ACB=∠BEC=70°，
所以∠EBC=40°，
所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=70°-40°=30°，
故答案为：C．
【分析】由AB=AC、顶角∠A=40 ，结合三角形内角和定理，求出底角∠ABC、∠ACB的度数；由 “以B为圆心，BC为半径画弧交AC于E” 得到BE=BC，判定△BEC为等腰三角形，推得∠BEC=∠ACB；再对△BEC使用内角和定理，算出∠EBC；由∠ABE=∠ABC ∠EBC，作差得到目标角的度数.
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
9．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意：，
故答案选：C．
【分析】
首先，题目说买篮球和足球一共 50 个，设篮球是 x 个，那足球就是 (50-x) 个，
第一个条件：“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”。“不少于” 就是大于等于，所以直接写成 x ≥(50-x)。
第二个条件：“购买资金不超过 3200 元”。“不超过” 就是小于等于。每个篮球 80 元，x 个篮球就是 80x 元；每个足球 50 元，(50-x) 个足球就是 50 (50-x) 元，加起来总花费不超过 3200，也就是 80x + 50 (50-x) ≤ 3200。
10．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
【分析】先求出两不等式组的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小打中间找，大大小小找不到”得到公共部分，再在数轴上表示判断即可．
11．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式中，各项系数分别为和，其最大公因数为；各项所含字母中，两项都含有字母，的最低次幂为，只有第二项含有字母，因此公共字母部分为；将系数的最大公因数与公共字母部分相乘，可得公因式为．
【分析】由公因式的查找规则，先分别提取多项式每一项的数字系数，求出系数的最大公因数；由多项式每一项所含字母，筛选出所有项都含有的公共字母，取公共字母的最低次幂；由 “系数最大公因数 × 公共字母最低次幂” 的计算规则，相乘得到多项式的公因式.
12．【答案】2035
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：2035．
【分析】根据平方差公式化简，再整体代入即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：∵把沿点A到点E方向平移至处
∴四边形面积 =梯形面积
∵，
∴
∴，解得：
故答案为：2.
【分析】根据平移性质可得四边形面积 =梯形面积，根据边之间的关系可得BM，再根据梯形面积建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵的面积为16，，，点为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵垂直平分，点P为线段上的一动点，
∴，
∴周长，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，
此时周长取得最小值，最小值为．
故答案为：10.
【分析】由等腰三角形AB=AC、D为底边中点，结合等腰三角形三线合一，得到AD⊥BC，算出CD长度；由三角形面积公式，代入已知面积与底边长，求出高AD；由线段垂直平分线的性质，将PC等量替换为PA，把周长转化为PA+PD+CD；由两点之间线段最短，判定PA+PD最小值为线段AD；将最小值与固定边长CD相加，得到△PCD周长最小值.
16．【答案】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把解集表示在数轴上．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】由一元一次不等式求解步骤，先对右侧括号利用乘法分配律去括号；不等式移项规则，把含x的项移到左边、常数项移到右边；由合并同类项法则化简，直接得到最简解集x≥5；由不等式解集数轴表示规则，根据 “≥” 画实心点、向右作射线完成画图.
17．【答案】解：
解①得：，
解②得：
把不等式①②得解集在数轴上表示：
∴不等式组的解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
18．【答案】证明：，
则，即，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，进而根据全等三角形对应边相等得证结论；
（2）先证明，得，然后根据线段和差关系即可求出的长，于是可求出的长．
20．【答案】（1）解：将代入，得，
，
将代入，得，
解得.
（2）解：由（1）得，直线的解析式为，
当时，，则，
设直线与轴交点为，当时，，则，
∴.
（3）解：根据图象得，不等式的解集为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】(1) 由交点A在正比例函数上，代入横坐标求出纵坐标m；再将完整点坐标代入一次函数，解一元一次方程求出参数k.
(2) 由已求k得到完整一次函数解析式，代入B点横坐标求出n；找到直线与x轴交点，利用底相同的两个三角形作面积差，算出△AOB面积.
(3) 由一次函数与不等式的数形结合关系，不等式kx+4<3x对应 “一次函数图象低于正比例函数图象”，由两直线交点横坐标分界，直接读出解集.
（1）解：将代入，得，
，
将代入，得，
解得；
（2）解：由（1）得，
直线的解析式为，
当时，，则，
设直线与轴交点为，当时，，则，
∴；
（3）解：根据图象得，不等式的解集为：．
21．【答案】（1）解：∵，∴45是“完美数”.
（2）解：
，
∵为“完美数”，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为10．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】(1) 由完美数的定义，尝试将 45 拆分为两个整数平方相加，找到32+62=45，满足定义即可判定.
(2) 由完全平方公式对多项式S分组配方，整理成两个平方项加常数的形式；再由完美数只能是两个平方和、无额外常数项的要求，令多余常数等于 0，列方程求出k.
（1）解：∵，
∴45是“完美数”；
（2）解：
，
∵为“完美数”，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为10．
22．【答案】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，依题意得：，
解得：，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，根据总价=单价×数量列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，根据总价=单价×数量，列出关于m的一元一次不等式不等式，求解即可．
（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
23．【答案】（1），
（2）解：
，
，
，
，
当代数式取得其最大值时，，
解得：，
代数式的最大值是，这时相应的的值为；
（3）解：，，是的三边长，且满足，
，
，
，
，
，
，，
解得：，，
，
，
是中最长的边，
，
的取值范围是；
（4）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：
当代数式取得其最小值时，，
解得：，
代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
【分析】（1）根据偶次方的非负性，结合不等式的性质即可求出答案.
（2）根据完全平方公式化简，根据偶次方的非负性，结合不等式的性质即可求出答案.
（3）根据完全平方公式化简，根据偶次方的非负性可得a，b值，再根据三角形三边关系即可求出答案.
（4）作差，去括号合并同类项，再根据完全平方公式化简，根据偶次方的非负性，结合不等式的性质即可求出答案.
（1）解：根据题意可得：
当代数式取得其最小值时，，
解得：，
代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
（2）解：
，
，
，
，
当代数式取得其最大值时，，
解得：，
代数式的最大值是，这时相应的的值为；
（3）解：，，是的三边长，且满足，
，
，
，
，
，
，，
解得：，，
，
，
是中最长的边，
，
的取值范围是；
（4）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1广东省梅州市兴宁市田家炳学校2025-2026学年八年级数学下学期期中试题
1．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；图形的平移
【解析】【解答】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意；
B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意；
C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意；
D、图形可以通过平移得到，故不符合题意；
故选B．
【分析】根据旋转，平移性质即可求出答案.
2．等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25．
故答案为：A．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质计算求解即可。
3．到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；公因式的概念
【解析】【解答】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、，因式错误，不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解且因式分解正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
由因式分解的完整定义，提炼两个核心判定条件：①左边必须是多项式；②变形后右侧只能是若干整式相乘；A 式左侧为单项式，直接判定不属于因式分解；B 式提取公因式计算出错，判定变形错误；C 式右侧出现分式，不满足 “整式乘积” 要求，判定不成立；D 式左侧为多项式、右侧全为整式乘积，判定该变形是因式分解。
5．如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
【分析】三角形中线平分三角形面积．
6．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F点作于H点，如图，
∵，，
∴，
由作图痕迹得平分，
∵，，
∴，即点F到的距离为4．
故选：B．
【分析】过F点作于H点，根据边之间的关系可得FC，再根据角平分线性质即可求出答案.
7．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AB=AC，BE=BC，∠A=40°，
所以∠ABC=∠ACB=∠BEC=70°，
所以∠EBC=40°，
所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=70°-40°=30°，
故答案为：C．
【分析】由AB=AC、顶角∠A=40 ，结合三角形内角和定理，求出底角∠ABC、∠ACB的度数；由 “以B为圆心，BC为半径画弧交AC于E” 得到BE=BC，判定△BEC为等腰三角形，推得∠BEC=∠ACB；再对△BEC使用内角和定理，算出∠EBC；由∠ABE=∠ABC ∠EBC，作差得到目标角的度数.
8．若是关于的一元一次不等式．则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故答案为：C．
【分析】只含有一个未知数，未知数项的次数为1，系数不为0，且不等式两边都是整式的不等式，就是一元一次不等式，据此列出关于字母a的混合组，求解即可.
9．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意：，
故答案选：C．
【分析】
首先，题目说买篮球和足球一共 50 个，设篮球是 x 个，那足球就是 (50-x) 个，
第一个条件：“购买篮球的数量不少于足球数量的一半”。“不少于” 就是大于等于，所以直接写成 x ≥(50-x)。
第二个条件：“购买资金不超过 3200 元”。“不超过” 就是小于等于。每个篮球 80 元，x 个篮球就是 80x 元；每个足球 50 元，(50-x) 个足球就是 50 (50-x) 元，加起来总花费不超过 3200，也就是 80x + 50 (50-x) ≤ 3200。
10．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
【分析】先求出两不等式组的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小打中间找，大大小小找不到”得到公共部分，再在数轴上表示判断即可．
11．把多项式分解因式，应提取的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式中，各项系数分别为和，其最大公因数为；各项所含字母中，两项都含有字母，的最低次幂为，只有第二项含有字母，因此公共字母部分为；将系数的最大公因数与公共字母部分相乘，可得公因式为．
【分析】由公因式的查找规则，先分别提取多项式每一项的数字系数，求出系数的最大公因数；由多项式每一项所含字母，筛选出所有项都含有的公共字母，取公共字母的最低次幂；由 “系数最大公因数 × 公共字母最低次幂” 的计算规则，相乘得到多项式的公因式.
12．若，则的值为　 　．
【答案】2035
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：2035．
【分析】根据平方差公式化简，再整体代入即可求出答案.
13．如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为　 　
【答案】2
【知识点】梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：∵把沿点A到点E方向平移至处
∴四边形面积 =梯形面积
∵，
∴
∴，解得：
故答案为：2.
【分析】根据平移性质可得四边形面积 =梯形面积，根据边之间的关系可得BM，再根据梯形面积建立方程，解方程即可求出答案.
14．如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
15．如图，的面积为16，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵的面积为16，，，点为边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵垂直平分，点P为线段上的一动点，
∴，
∴周长，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，
此时周长取得最小值，最小值为．
故答案为：10.
【分析】由等腰三角形AB=AC、D为底边中点，结合等腰三角形三线合一，得到AD⊥BC，算出CD长度；由三角形面积公式，代入已知面积与底边长，求出高AD；由线段垂直平分线的性质，将PC等量替换为PA，把周长转化为PA+PD+CD；由两点之间线段最短，判定PA+PD最小值为线段AD；将最小值与固定边长CD相加，得到△PCD周长最小值.
16．解不等式：，并把解集表示在数轴上；
【答案】解：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把解集表示在数轴上．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】由一元一次不等式求解步骤，先对右侧括号利用乘法分配律去括号；不等式移项规则，把含x的项移到左边、常数项移到右边；由合并同类项法则化简，直接得到最简解集x≥5；由不等式解集数轴表示规则，根据 “≥” 画实心点、向右作射线完成画图.
17．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解①得：，
解②得：
把不等式①②得解集在数轴上表示：
∴不等式组的解集为．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
18．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：，
则，即，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．如图，在中，，是角平分线，于点E，点F在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，进而根据全等三角形对应边相等得证结论；
（2）先证明，得，然后根据线段和差关系即可求出的长，于是可求出的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点．
（1）求m和k的值．
（2）若点在直线上，连接，求的面积．
（3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：将代入，得，
，
将代入，得，
解得.
（2）解：由（1）得，直线的解析式为，
当时，，则，
设直线与轴交点为，当时，，则，
∴.
（3）解：根据图象得，不等式的解集为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】(1) 由交点A在正比例函数上，代入横坐标求出纵坐标m；再将完整点坐标代入一次函数，解一元一次方程求出参数k.
(2) 由已求k得到完整一次函数解析式，代入B点横坐标求出n；找到直线与x轴交点，利用底相同的两个三角形作面积差，算出△AOB面积.
(3) 由一次函数与不等式的数形结合关系，不等式kx+4<3x对应 “一次函数图象低于正比例函数图象”，由两直线交点横坐标分界，直接读出解集.
（1）解：将代入，得，
，
将代入，得，
解得；
（2）解：由（1）得，
直线的解析式为，
当时，，则，
设直线与轴交点为，当时，，则，
∴；
（3）解：根据图象得，不等式的解集为：．
21．若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”．
（1）通过计算判断45是否为“完美数”；
（2）已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值．
【答案】（1）解：∵，∴45是“完美数”.
（2）解：
，
∵为“完美数”，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为10．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】(1) 由完美数的定义，尝试将 45 拆分为两个整数平方相加，找到32+62=45，满足定义即可判定.
(2) 由完全平方公式对多项式S分组配方，整理成两个平方项加常数的形式；再由完美数只能是两个平方和、无额外常数项的要求，令多余常数等于 0，列方程求出k.
（1）解：∵，
∴45是“完美数”；
（2）解：
，
∵为“完美数”，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为10．
22．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【答案】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，依题意得：，
解得：，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，根据总价=单价×数量列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，根据总价=单价×数量，列出关于m的一元一次不等式不等式，求解即可．
（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
23．阅读理解并解答：
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：，
，．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
（3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
（4）若，，试比较、的大小，并说明理由．
【答案】（1），
（2）解：
，
，
，
，
当代数式取得其最大值时，，
解得：，
代数式的最大值是，这时相应的的值为；
（3）解：，，是的三边长，且满足，
，
，
，
，
，
，，
解得：，，
，
，
是中最长的边，
，
的取值范围是；
（4）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：
当代数式取得其最小值时，，
解得：，
代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
【分析】（1）根据偶次方的非负性，结合不等式的性质即可求出答案.
（2）根据完全平方公式化简，根据偶次方的非负性，结合不等式的性质即可求出答案.
（3）根据完全平方公式化简，根据偶次方的非负性可得a，b值，再根据三角形三边关系即可求出答案.
（4）作差，去括号合并同类项，再根据完全平方公式化简，根据偶次方的非负性，结合不等式的性质即可求出答案.
（1）解：根据题意可得：
当代数式取得其最小值时，，
解得：，
代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
（2）解：
，
，
，
，
当代数式取得其最大值时，，
解得：，
代数式的最大值是，这时相应的的值为；
（3）解：，，是的三边长，且满足，
，
，
，
，
，
，，
解得：，，
，
，
是中最长的边，
，
的取值范围是；
（4）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
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