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浙教版2025—2026学年八年级下册期末真题汇编金考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·永康期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·莲都期末） 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示：
跳绳成绩x 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 180≤x＜200
人数 5 10 15 10
则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（　　）.
A．平均数一定是170
B．众数一定是170
C．中位数在160~180范围内（含160，不含180）
D．方差为0
3．（2025八下·桂林期末）如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
4．（2025八下·湛江期末）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
5．（2025八下·温州期末）温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元.设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（　　）
A．8030（1+x）2=9719 B．8030x2=9719
C．8030（1+x2）=9719 D．8030（1+2x）=9719
6．（2025八下·越城期末）如图1，在矩形中，要在边，上找点，，使四边形为菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案（　　）
A．甲、乙都是 B．只有甲才是
C．只有乙才是 D．甲、乙都不是
7．（2025八下·金东期末） 在 22，24，27，22，25，22 中插入一个任意数 x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（2025·揭西期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
9．（2024八下·北仑期末）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2024八下·江岸期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2-＝0.已知一个根x1=3，则另一个根x2=　 　.
12．（2025八下·永康期末）将一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，过原点的一边与x轴的夹角为45°，另一边交y轴于点B，与双曲线交于点A和C。若点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，则点C的坐标为　 　。
13．（2025八下·椒江期末） 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 中点，连接 BE，G 为边 BC 上一点，将 沿 DG 折叠，使点 C 刚好落在线段 BE 的中点 F 处，则 =　 　.
14．（2025八下·越城期末）一个多边形剪掉一个角后内角和为，则原多边形的边数为　 　．
15．（2025八下·新昌期末） 正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是　 　.
16．（2026八下·浙江期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别为边AB，BC的中点，连结AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连结GH，则GH的长为　 　。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·东阳期末）选择合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·济南期末） 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
（1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
19．（2025八下·金东期末） 近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 88.5 98
B 88
（1）求出上述图表中，，的值；
（2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由.
20．（2025八下·潮南期末） 如图，在中，，，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
（1） 求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2） 若，求平行四边形BCFD的面积.
21．（2025八下·潮南期末） 如图，某小区内有一块矩形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相等的矩形绿地（阴影部分），每块矩形绿地的长为米，宽为米.
（1） 求广场的周长；
（2） 除绿地部分外，广场其它部分要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？
22．（2026八下·浙江期末）端午节前夕，某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为每个2元的粽子的销售情况。调查获知，若粽子每个的定价为3元，每天能卖出500个，这种粽子的单价每上涨
0.1元，其销售量将减少10个（相关部门规定，商品最高零售价不得超过进价的240%)。
（1）若商场每天要获得800元的销售利润，该如何定价
（2）商场的日盈利能否达到1000元
（3）当单价定为3.9元和4.3元时，商场的日盈利分别为多少 定价多少时，盈利较多
23．（2025八下·鹤山期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式；
（3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图）
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浙教版2025—2026学年八年级下册期末真题汇编金考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·永康期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵x2=0，
∴x=0
∴此方程有解，
故A不符合题意；
B、∵x2-2=0，
∴x2=2
∴，，
故B不符合题意；
C、∵-x2+2=0，
∴x2=2，
∴，，
故C不符合题意；
D、∵x2+2=0，
∴x2=-2，
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过将方程转化为x2=a的形式，判断a的符号来确定是否有实数解；若a≥0则有解，否则无解.
2．（2025八下·莲都期末） 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示：
跳绳成绩x 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 180≤x＜200
人数 5 10 15 10
则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（　　）.
A．平均数一定是170
B．众数一定是170
C．中位数在160~180范围内（含160，不含180）
D．方差为0
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不能确定平均数，故A不符合题意；
B、不能确定众数，故B不符合题意；
C、中位数在160~ 180范围内(含160，不含180)，故C符合题意；
D、不能确定方差，故D不符合题意；
故答案为： C.
【分析】分别分析平均数、中位数、众数、方差的定义及计算方法.
3．（2025八下·桂林期末）如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（　　）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点 F 为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积是，
故答案为：A．
【分析】做辅助线后，结合矩形的判定及性质得出是矩形，并进一步得出，，，再根据角平分线以及平行线的性质，综合得到，此时利用等角对等边得出；再结合垂直的定义以及平行线的性质，推出；从而综合得出，计算得到，根据中点得到，则计算出、AD=7，最后根据矩形面积公式计算即可．
4．（2025八下·湛江期末）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，，
解得：，，
一个三角形两边的长是3和5，
第三边，
∴三角形的第三边为，
，
该三角形的形状是直角三角形．
故选：C．
【分析】解方程求出x的值，根据三角形三边关系求出第三边的边长，利用勾股定理的逆定理解答即可．
5．（2025八下·温州期末）温州市2022年GDP（国内生产总值）约为8030亿元，2024年GDP约为9719亿元.设这两年温州市的GDP平均增长率为x，则可列出方程（　　）
A．8030（1+x）2=9719 B．8030x2=9719
C．8030（1+x2）=9719 D．8030（1+2x）=9719
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：8030(1+x)2=9719.
故答案为：A.
【分析】利用2024年的GDP=2022年的GDP×(1+这两年GDP的年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．（2025八下·越城期末）如图1，在矩形中，要在边，上找点，，使四边形为菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案（　　）
A．甲、乙都是 B．只有甲才是
C．只有乙才是 D．甲、乙都不是
【答案】B
【解析】【解答】解：方案甲：根据作图可知EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，EF⊥BD，OB=OD，
在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠EDB=∠FBD，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EB=ED，
∴四边形EBFD是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴，，
在矩形ABCD中，AB//CD， AD//BC，
∴∠ABD=∠CDB
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE//DF
∵AD//BC
∴四边形BEDF是平行四边形
但是没有条件证明BE=DE.
∴四边形BEDF不是菱形，故方案乙不正确；
故答案为：B.
【分析】根据作图，利用矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定定理，分别证明方案甲和方案乙中四边形EBFD是否为菱形.
7．（2025八下·金东期末） 在 22，24，27，22，25，22 中插入一个任意数 x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【解析】【解答】解：在22，24，27，22，25，22中插入一个任意数x，则一定不会改变的是众数，即众数是22．
故答案为：B .
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可分析得出答案.
8．（2025·揭西期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
【答案】D
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
9．（2024八下·北仑期末）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ，记 的面积为 ，四边形 的面积为 ． 若， ，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：连结 ，
由题意得∶ ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
同理可证∶△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，
∴，
四边形是菱形，
，
又，
在同一直线上
又
，
则
四边形 是正方形，
在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上；
设DG=CF=BH=AE=x，
则 ，
，
解得∶ (负值已舍去)
．
故选：B.
【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．先证明△GCF≌△FBH≌△HAE≌△EDG，可得，从而得到四边形是菱形，再求，可证四边形 是正方形，进而得到 在同一直线上； 在同一直线上； 在同一直线上，设DG=CF=BH=AE=x，用x表示出S1和S2，再由，即可求解．
10．（2024八下·江岸期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF，
∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，
∴CF过点Q，CA过点P，
∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=AF，
在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，
∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°，
由题意得，BC=EF，CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴∠BHF=∠AHF=90°，
∵扭动后四边形面积减少了8，
∴四边形BCEF的面积为40-8=32，
∴8BH=32，
∴BH=4，
∴AH=AB-BH=5-4=1，
∵BF=CE=AB=5，
∴由勾股定理得，FH===3，
在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF===，
∴PQ=AF=，
故答案为：A.
【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·温州期末）小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2-＝0.已知一个根x1=3，则另一个根x2=　 　.
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-=0，已知一个根是x1=3，
∴将x=3代入x2-=0中，得9-=0，解得=9.
∴解一元二次方程x2-9=0，得x=3或-3，
∴方程的另一个根为-3，
故答案为：-3.
【分析】利用已知根x1=3求出被污染的数字，然后通过解方程或根与系数的关系得到另一个根x2.
12．（2025八下·永康期末）将一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，过原点的一边与x轴的夹角为45°，另一边交y轴于点B，与双曲线交于点A和C。若点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，则点C的坐标为　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：∵直尺过原点的一边与x轴的夹角为45°，与双曲线交于点A和C，若点A的横坐标为1，
∴A(1，1)，
∴反比例函数解析式为，
设点C的横坐标为m，则纵坐标为2+m，
∴m(m+2)=1，
解得(负值已舍去)，
∴.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
13．（2025八下·椒江期末） 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 中点，连接 BE，G 为边 BC 上一点，将 沿 DG 折叠，使点 C 刚好落在线段 BE 的中点 F 处，则 =　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：取BC的中点H，连接FH，
设CD=x，则，，
∴，
由折叠可得，
∴，
又∵点F，H是BE和EC的中点，
∴，
∴，
故答案为： .
【分析】取BC的中点H，连接FH，设CD=x，即可得到，，根据勾股定理求出FH的长，然后根据三角形的中位线定理求出BC长，然后求出比值解答即可.
14．（2025八下·越城期末）一个多边形剪掉一个角后内角和为，则原多边形的边数为　 　．
【答案】3或4或5
【解析】【解答】解：∵剪痕不过任何一个其他顶点
设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得(n-2)180°=360°，
解得n=4，
∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
∴原多边形的边数为3或4或5.
故答案为：3或4或5.
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边解答即可.
15．（2025八下·新昌期末） 正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是　 　.
【答案】或
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=2x与反比例函数(k≠0)的图象相交于点A，B两点，
∴点A与点B关于原点成中心对称，k>0，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
∴当时，x的取值范围是或.
故答案为：或.
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点坐标解答即可.
16．（2026八下·浙江期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别为边AB，BC的中点，连结AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连结GH，则GH的长为　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
，
∵ E、F分别为边AB、BC的中点，
∵G为DE的中点，
在 和 中，
∴G为AP的中点，
∵H为AF的中点，
∴GH是 的中位线.
在 中，CP=DC-DP=4-2=2，
故答案为：
【分析】连接AG，并延长AG交CD于点P，先通过证明 得到DG=EG，DP=AE后，证明GH是 的中位线，可得 在 中利用勾股定理求出PF的长，从而求出GH的长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·东阳期末）选择合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
或，
所以，．
【解析】【分析】(1)先利用配方法对方程进行变形，再求得方程的解.
(2)观察方程，利用提取公因式法分解方程，再求得方程的解.
18．（2024八下·济南期末） 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
（1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
【答案】（1）解：由题意得：
他计算出的结果为4；
（2）解：设“”处的数字是，则
，
∴，
解得：，
∴“”处的数字是．
【解析】【分析】（1）把10代入，（10-2）÷（-），再计算即可；
（2）设“■”处的数字是a，再建立方程求解即可。
19．（2025八下·金东期末） 近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 88.5 98
B 88
（1）求出上述图表中，，的值；
（2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由.
【答案】（1）解：15，88，96；
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数比B款的中位数高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱 (答案不唯一)
【解析】【解答】解：(1)由题意得：
即
∵A把B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数
故答案为： 15， 88， 96；
【分析】(1)用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
(2)通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可.
20．（2025八下·潮南期末） 如图，在中，，，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
（1） 求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2） 若，求平行四边形BCFD的面积.
【答案】（1）证明：∵，，
.
△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠D=60°
∴∠BAD=∠ABC
∴BC∥DF
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE
∴在△AEF和△BEC中
∴△AEF≌△BEC(ASA)
∴∠AFE=∠BCE
∵∠ACB=90°，E为AB的中点
∴CE=AE
∴∠EAC=∠ECA=30°
∵∠ACB=90°
∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=60°
∴∠AFE=60°
∵∠D=60°
∴∠AFE=∠D.
∴FC∥BD
∵BC∥DF
∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）解：∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AB=6.
∴，
∴，
.
答：平行四边形BCFD的面积为.
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定与性质，平行线的性质与判定，勾股定理、平行四边形的面积、三角形全等的性质与判定、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质
（1）根据直角三角形的性质：两锐角互余可知：∠ABC=90°-∠ACB=60°，再根据等边三角形的性质：三个角相等，且都是60°可知：∠BAD=∠D=60°，等量代换得：∠BAD=∠ABC，根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可知：BC∥DF，根据中点的定义可知：AE=BE，结合∠BEC=∠AEF，根据三角形全等的判定定理ASA可证得：△AEF≌△BEC，再根据三角形全等的性质：对应角相等可知：∠AFE=∠BCE，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：CE=AE，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠EAC=∠ECA=30°，根据角的和差运算可知：∠BCE=∠ACB-∠ECA=60°，等量代换可得：∠AFE=∠D，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行可知：FC∥BD，最后根据平行四边形的判定定理：两组对边平行的四边形是平行四边形可知：四边形BCFD是平行四边形，由此可证得结论；
（2）根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可知：，再根据勾股定理：在Rt△ABC中，，最后根据平行四边形面积计算公式：，代入数据可得：，即可得出答案.
21．（2025八下·潮南期末） 如图，某小区内有一块矩形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相等的矩形绿地（阴影部分），每块矩形绿地的长为米，宽为米.
（1） 求广场的周长；
（2） 除绿地部分外，广场其它部分要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？
【答案】（1）解： （米）
答：广场的周长为（）米.
（2）解：铺地砖的面积为：
（平方米）
这个广场铺地砖的费用：（（元）
答：这个广场铺地砖的费用为（）元.
【解析】【分析】
本题围绕矩形广场的周长与铺地砖费用计算展开，考查二次根式的运算及矩形面积公式的应用.
（1）根据矩形的周长计算公式：C=2×(长+宽)，代入数据可得：，再根据二次根式的性质：来化简根式，，再运用矩形周长公式计算即可得出答案；
（2） 先求出广场总面积与绿地总面积，两者相减得到铺地砖的面积，再乘以每平方米费用得到总费用，代入数据即可得出答案.
22．（2026八下·浙江期末）端午节前夕，某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为每个2元的粽子的销售情况。调查获知，若粽子每个的定价为3元，每天能卖出500个，这种粽子的单价每上涨
0.1元，其销售量将减少10个（相关部门规定，商品最高零售价不得超过进价的240%)。
（1）若商场每天要获得800元的销售利润，该如何定价
（2）商场的日盈利能否达到1000元
（3）当单价定为3.9元和4.3元时，商场的日盈利分别为多少 定价多少时，盈利较多
【答案】（1）解：设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为 ×10=(800-100x)个，
依题意得：((x-2)(800-100x)=800，
整理得：
解得：
又∵物价局规定，商品最高零售价不得超过进价的240%，
答：这种粽子的售价应定为4元/个
（2）解：商场日盈利不能否达到1000元，理由如下：
设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为((y-2)元，日销售量为((800-100y)个，
依题意得：((y-2)(800-100y)=1000，
整理得：
∴该方程无解，
即商场日盈利不能否达到1000元
（3）解：当定价为3.9元时，商场的日盈利为( (800-100×3.9)=779(元)；
当定价为4.3元时，商场的日盈利为( (800-100×4.3)=851(元)。
∴定价为4.3元时，盈利较多.
答：当定价为3.9元时，商场的日盈利为779元；当定价为4.3元时，商场的日盈利为851元，定价为4.3元时，盈利较多
【解析】【分析】(1)设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为(800-100x))个，利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商品最高零售价不得超过进价的240%，即可得出这种粽子的售价应定为4元/个；
(2)商场日盈利不能否达到1000元，设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y-2)元，日销售量为(800-100y)个，用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无解，即商场日盈利不能否达到1000元；
(3)利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，可分别求出定价为3.9元和4.3元时商场的日盈利，比较后即可得出结论.
23．（2025八下·鹤山期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN；
（2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式；
（3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∵四边形EFMN是正方形，
∴∠FEN＝90°，EF＝EN，
∴∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠DEN＝∠AFE，
∴△FAE≌△EDN（AAS）；
（2）解：如图1，
连接NF，作MG⊥AB于G，
∴∠FGM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠FGM，∠DNF＝∠BFN，
∵四边形EFMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠MFN，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠BFN﹣∠MFN，
∴∠DNE＝∠MFG，
∴△EDN≌△MGF（AAS），
∴MG＝DE＝6﹣2＝4，
∴S；
（3）解：如图2，
当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小，
当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小，
∴AF，
此时x＝9﹣2，
S最大＝18﹣24，
如图3，
当点M在BC上时，AF最大，S最小，
由EF＝FM得，
22+x2＝（9﹣x）2+42，
∴x，
∴S最小＝18﹣2．
【解析】【分析】（1）根据AAS即可证明 △FAE≌△EDN；
（2）连接NF，作MG⊥AB于G，根据AAS可证明△EDN≌△MGF，得出MG=DE=6-2=4，进一步根据三角形面积计算公式，即可得出S关于x的函数解析式；
（3）如图2，当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小，当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小，可求得此时的最大值为4；当点M在BC上时，AF最大，S最小，可求得最小值为.
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