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2025学年第二学期期末参考样卷
高二 数学
2026.6
考生注意：
1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分120分．
2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息．
3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．“直线在平面上”用集合语言描述为____________．
2．直线的倾斜角的大小为____________．
3．已知为正整数且，则满足方程的解____________．
4．已知事件与事件互斥，，，则____________．
5．若一个圆柱的侧面积是，高为1，则这个圆柱的体积是____________．（结果保留）
6．在的二项展开式中，项的系数为____________．（结果用数值表示）
7．已知，则函数在处的瞬时变化率为____________．
8．若方程表示圆，则实数的值为____________．
9．已知点在直线上，是数列的前项和，则使成立的最小正整数的值为____________．
10．已知点、、、，则在方向上的投影向量的坐标为____________．
11．平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点为曲线上的任意一点，则的最小值为____________．
12．已知函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数．若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合____________．
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
13．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（ ）
A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收；
B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问；
C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查；
D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌．
14．过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
15．已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比．若与项数均为，且满足，，现有下述两个结论：
①为奇数时，数据，，，…，的中位数一定不大于数据，，，…，的中位数；②对任意的正整数，数据，，，…，的方差一定不大于数据，，，…，的方差．则说法正确的选项是（ ）
A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
16．在三棱柱中，平面，是内一点，当点，在直线上运动时，直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）
某场校内篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如下，其中，，，，且十位数作为“茎”、个位数作为“叶”．
（1）若甲队队员得分的极差为32，乙队队员得分的平均值为24，求和的值；
（2）分别求甲队队员得分的第60百分位数和乙队队员得分的第25百分位数．
18．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，点，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
A，B两人下棋，每局均无和棋且每局A获胜的概率为，每局比赛相互独立．某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金．
（1）求A以获胜的概率；
（2）若第一局比赛A已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？
20．（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线l交椭圆C于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最大值（O为坐标原点）
21．（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分8分）
已知定义域为的函数，其导函数为．设，若对任意的，都有成立，则称函数具有“性质M”
（1）已知，．若函数具有“性质M”，求实数a的取值范围；
（2）若的函数具有“性质M”，求证：对任意两个不相等的实数、，都有成立．
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