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(共35张PPT)
四边形中对角互补解题探究
罗湖区2026年中考备考“百师助学”课程
授课教师：深圳市桂园中学 黄诗蕴
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例1：【2025秋 吉安县期末】
【问题初探】
如图1，课后习题课上，刘同学把一个足够大的三角板GEF放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交边CD于点F，另一边交CB的延长线于点G，求证：EF＝EG．
（1）刘同学认为通过证明△EGB与△EFD全等，可证EF＝EG．请你帮助刘同学完成这个证明；
【类比分析】
（2）如图2，刘同学移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．你认为EF＝EG是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图3，刘同学将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，求的值（用含有a，b的代数式表示）．
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例1：
【问题初探】
如图1，课后习题课上，刘同学把一个足够大的三角板GEF放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交边CD于点F，另一边交CB的延长线于点G，求证：EF＝EG．
（1）刘同学认为通过证明△EGB与△EFD全等，可证EF＝EG．请你帮助刘同学完成这个证明；
【解答】（1）证明：
∵∠GEF=90°，四边形ABCD为正方形
∴∠GEF=∠BAD=∠ABC= ∠D=90°
ED＝EB----------------------------①
∴ ∠D＝∠EBG--------------------②
∴∠GEB+∠BEF＝∠DEF+∠BEF＝90°
∴∠DEF＝∠GEB------------------③
∴由②①③得△FED≌△GEB（ASA），
∴EF＝EG；
关键条件：
∠BCD=∠GEF=90°
AC为对角线（角平分线）
△FED≌△GEB（ASA）
EF＝EG
已知:∠GEF=90°
四边形ABCD为正方形
直角共顶点“手拉手”全等
（2）成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH﹣EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP＝90°，
∵∠GEH+∠HEF＝90°，
∠PEF+∠HEF＝90°，
∴∠PEF＝∠GEH，
又∵∠EPF＝∠EHG，EP＝EH，
∴△FEP≌△GEH（AAS），
∴EF＝EG；
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例1：
（2）如图2，刘同学移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．你认为EF＝EG是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，∠BCD=90°
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴∠BCD=∠EHC=∠EPC=90°
EH=EP-------------------①
∴四边形EHCP是矩形----②
∴由①②得四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP＝90°
∵∠GEH+∠HEF＝∠PEF+∠HEF＝90°
∴∠PEF＝∠GEH--------③
又∵∠EPF＝∠EHG----④
∴由③①④△FEP≌△GEH（ASA），
∴EF＝EG；
利用角平分线性质：作双垂直
直角共顶点“手拉手”全等
△FEP≌△GEH
EF＝EG
已知:∠GEF=90°
四边形ABCD为正方形
关键条件：
∠BCD=∠GEF=90°
AC为对角线（角平分线）
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例1：
【学以致用】
（3）如图3，刘同学将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，求的值（用含有a，b的代数式表示）．
关键条件：
∠BCD=∠GEF=90°
AC为对角线
构造直角共顶点“手拉手”
作双垂直
∵矩形CNEM
∴EN=CM
∴=
Rt△CME中 tan∠EMC=
Rt△ABC中 tan∠BAC==
=
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例1：
【学以致用】
（3）如图3，刘同学将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a，BC＝b，求的值（用含有a，b的代数式表示）．
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例2：【2026 元宝区校级模拟】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）如图1，若点E在线段AC上，则= （用含m，n的代数式表示）；
（2）当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图2的情形给出证明；
模块一：四边形中含90°对角互补模型
∵Rt△ABC中 tanA=
∴Rt△ADC中 tanA=
∴
例2：【2026 元宝区校级模拟】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）如图1，若点E在线段AC上，则= （用含m，n的代数式表示）；
Rt△ABC中 tanA=
Rt△ADC中 tanA=
关键条件：
∠ACB=∠EDF=90°
CD为对角线
直角共顶点“手拉手”相似
模块一：四边形中含90°对角互补模型
例2：【2026 元宝区校级模拟】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（2）当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图2的情形给出证明；
∵Rt△ABC中 tanA=
∴Rt△ADC中 tanA=
∴
关键条件：
∠ACB=∠EDF=90°
CD为对角线
Rt△ABC中 tanA=
Rt△ADC中 tanA=
直角共顶点“手拉手”相似
结论：(1)CD=CE; (2)OD+OE=2OC; （3）S△OCD+S△OCE=12OC2
模块一：四边形中含90°对角互补模型
1、全等模型
条件：如图，四边形OECD中，
∠AOB=∠DCE=90°，∠DCE 的顶点在∠AOB的平分线OC 上，两边分别与射线OA,OB 交于点D,E.
图1
图2
结论：(1)CD=CE; (2)OD+OE=2OC; （3）S△OCD+S△OCE=12OC2
模块一：四边形中含90°对角互补模型
2、相似模型：
方法1：
条件： 如图，四边形OECD中，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝α.
结论： ①△ECG △DCF； ②CE＝CD·tanα.
方法2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝α.
结论：①△CFE △COD； ②CE＝CD·tanα.
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例1：
【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．试探究BC、CD、AC之间的数量关系．
小明的思路是：他发现∠BAD和∠BCD互补，推得∠B+∠ADC＝180°，于是想到延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，不难得到BC、CD、AC之间的数量关系是 　 　 ；
【问题变式】（2）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，连接AC，若AC=23，求四边形ABCD的面积．（直接写出结果）
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
罗湖区2026年中考备考“百师助学”课程
授课教师：深圳市桂园中学 黄诗蕴
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例1：
【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．试探究BC、CD、AC之间的数量关系．
小明的思路是：他发现∠BAD和∠BCD互补，推得∠B+∠ADC＝180°，于是想到延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，不难得到BC、CD、AC之间的数量关系是 　 　 ；
解：（1）延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．如图1，
∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，
∴四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝360°-∠BAD-∠BCD=180°
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠B＝∠ADE----------------①
∵AB=AD-----------------------②
BC=DE-----------------------③
∴由②①③△ABC≌△ADE（SAS）
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AC＝CE，
∵CE＝CD+DE＝CD+BC，
∴BC+CD＝AC，
关键条件：
∠B+∠ADC＝180°
AB=AD
∠B+∠ADC＝180°
△ABC≌△ADE(SAS)
△CAE为等边三角形
CE＝CD+DE＝CD+BC
BC+CD＝AC
延长CD到点E，使DE＝BC
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例1：【问题变式】（2）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，连接AC，若AC=2，
求四边形ABCD的面积．（直接写出结果）
关键条件：
∠BAD+∠BCD＝180°
AB=AD
∠B+∠ADC＝180°
延长CD到点E，使DE＝BC
△ABC≌△ADE（SAS）
四边形ABCD的面积＝S△ACE
等腰△ACE(顶角120°）
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例1：
【问题变式】（2）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，连接AC，若AC=2，
求四边形ABCD的面积．（直接写出结果）
解：（2）如图：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE，
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠B+∠ADC＝180°
∵∠ADE+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADE----------------①
∵AB=AD----------------------②
BC=DE-----------------------③
∴由②①③△ABC≌△ADE（SAS）
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE
∴等腰△CAE
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝120°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝120°，
∴∠E＝∠ACD＝30°
过点A作AF⊥CE交CE于点F，
∴CF＝EFCE，
∵在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，AC=2，
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例1：
【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．试探究BC、CD、AC之间的数量关系．
小明的思路是：他发现∠BAD和∠BCD互补，推得∠B+∠ADC＝180°，于是想到延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，不难得到BC、CD、AC之间的数量关系是 　 　 ；
【问题变式】（2）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，连接AC，若AC=23，求四边形ABCD的面积．（直接写出结果）
将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE
将△ABC绕点A顺时针旋转120°得△ADE
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例2：
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例2：在菱形ABCD中，P是对角线AC上一点．
【感知】如图①，过点P作PM⊥BC交BC于点M，作PN⊥CD交CD于点N，易证PM＝PN． （不需要证明）
【应用】如图②，∠BCD＝120°，∠EPF+∠BCD＝180°，∠EPF的两边分别交边BC、CD于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结EF．
（1）判断△PEF的形状，并说明理由．
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例2：在菱形ABCD中，P是对角线AC上一点．
【感知】如图①，过点P作PM⊥BC交BC于点M，作PN⊥CD交CD于点N，易证PM＝PN． （不需要证明）
【应用】如图②，∠BCD＝120°，∠EPF+∠BCD＝180°，∠EPF的两边分别交边BC、CD于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结EF．
（1）判断△PEF的形状，并说明理由．
方法二：解：
（1）△PEF是等边三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°
∴∠ACB＝∠ACD=∠BCD＝60°，
∵∠EPF+∠BCD＝180°，
∴点P、E、C、F共圆，∠EPF=60°
∴∠PEF＝∠ACD＝60°，
∠PFE＝∠ACB＝60°
∴∠PEF＝∠PFE＝∠EPF＝60°
∴△PEF是等边三角形；
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例2：在菱形ABCD中，P是对角线AC上一点．
【感知】如图①，过点P作PM⊥BC交BC于点M，作PN⊥CD交CD于点N，易证PM＝PN． （不需要证明）
【应用】如图②，∠BCD＝120°，∠EPF+∠BCD＝180°，∠EPF的两边分别交边BC、CD于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结EF．
（1）判断△PEF的形状，并说明理由．
解：
（1）△PEF是等边三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°
∴∠ACB＝∠ACD=∠BCD＝60°，
∵∠EPF+∠BCD＝180°，
∴点P、E、C、F共圆，∠EPF=60°
∴∠PEF＝∠ACD＝60°，
∠PFE＝∠ACB＝60°
∴∠PEF＝∠PFE＝∠EPF＝60°
∴△PEF是等边三角形；
关键条件：
∠PEC+∠PFC＝180°
AC为对角线（角平分线）
CP绕P旋转60°到PQ
△PFC≌△PEQ
PF=PE，∠EPF＝60°
△PEF是等边三角形
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
例2：在菱形ABCD中，P是对角线AC上一点．
（2）若PC＝2AP，则△PEF面积最小值时，△PEF与△ABC的面积之比为 　 　 ．
△ABC、△PEF是等边三角形
S△ABC=
S△PEF=
当PE⊥BC时，PE最小，面积最小
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
模块二：四边形中含60°或120°对角互补模型
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
罗湖区2026年中考备考“百师助学”课程
授课教师：深圳市桂园中学 黄诗蕴
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
关键条件：
∠ABC+∠ADC＝180°
AB=AD
构造“手拉手”全等
在DF上截取DM＝BE
△ADM≌△ABE（SAS）
△EAF≌△MAF（SAS）
∠EAF＝∠MAF
EF=MF=CF+CM
△CEF的周长：CE+EF+FC=BC+CD+2CF
解：在DF上截取DM＝BE，
∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE----------------①
∵AB=AD----------------------②
DM＝BE----------------③
∴由②①③得△ADM≌△ABE（SAS），
∴AM＝AE---------------④
∠BAE＝∠DAM
∴∠BAD=∠BAM+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠EAM
∵∠EAF＝=∠BAD
∴∠EAF＝=∠EAM
∴∠EAF＝∠MAF----------------⑤
∵AF=AF-------------⑥
∴由④⑤⑥得△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝MF=CF+CM
∴△CEF的周长:CE+EF+FC
＝CE+FM+CF
＝BC+BE+CF+CM+CF
=BC+DM+CF+CM+CF
=BC+CD+2CF
∵BC＝4，DC＝7，CF＝1
∴△CEF的周长：4+7+2=13
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
例2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC．
（1）以下图形属于对等补四边形的有__________ （填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）如图2，四边形ABCD为对等补四边形（AB＝CD），小明发现当∠A＝90°时，四边形ABCD恰好为矩形，请你帮他证明这一结论；
（3）如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线AC平分角∠BCD，求线段AC的长度；
（4）在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形ABEC为对等补四边形，线段DE与线段AC交于点Q，请直接写出线段DQ的长．
点A、B、C、D四点共圆
关键条件：
∠A+∠C＝180°
AB＝CD
AD∥BC
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
例2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC．
（2）如图2，四边形ABCD为对等补四边形（AB＝CD），小明发现当∠A＝90°时，四边形ABCD恰好为矩形，请你帮他证明这一结论；
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
例2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC．
（3）如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线AC平分角∠BCD，求线段AC的长度；
过A作AN BC于点N，作AM CD延长线于点M
∵四边形ABCD为对等补四边形
∴∠CDA+∠ABC＝180°
AB=CD=5
AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵CA平分∠BCD,AN BC,AM CD
∴∠ACB＝∠DCA
AN=AM---------------------①
∴∠DAC＝∠DCA
∴AD＝DC＝5---------------②
∴由①②得Rt△ANB≌Rt△AMD(HL)
∴BN=DM
∵AC=AC---------------③
∴由①③得Rt△ANC≌Rt△AMC(HL)
∴CN=CM
设BN=DM=x
∵BC=11
∴CN=BC-BN=11-X
CM=CD+DM=5+X
∴11-X=5+X,解得 X=3
Rt△ANB中 AN==4
∴CN=11-3=8
Rt△ANC中AC==4
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
例2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC．
（3）如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线AC平分角∠BCD，求线段AC的长度；
（4）在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形ABEC为对等补四边形，线段DE与线段AC交于点Q，请直接写出线段DQ的长．
四边形ABCD为对等补四边形
四边形ABEC为对等补四边形
点A、B、C、D四点共圆
点A、B、E、C四点共圆
点A、B、C、D、E五点共圆
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
例2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形ABCD为对等补四边形，且有AD∥BC．
（3）如图3，四边形ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线AC平分角∠BCD，求线段AC的长度；
（4）在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形ABEC为对等补四边形，线段DE与线段AC交于点Q，请直接写出线段DQ的长．
四边形ABCD为对等补四边形
四边形ABCD为对等补四边形
点A、B、C、D四点共圆
点A、B、E、C四点共圆
点A、B、C、D、E五点共圆
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
模块三：四边形中含 α对180°-α对角互补模型
对角互补模型的应用主要解题方法是作垂线和旋转两种.遇到对角互补题目，不知道从何下手作辅助线？记住这三招：
1、口诀：对角互补，作双垂，全等（相似）立现！
2、口诀：对角互补，等线段，旋转全等立现！
3、口诀：对角互补，四点共圆！

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