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罗湖区中考备考攻坚课程之
中考数学新定义阅读理解题
桂园中学 黎幼彦
一、知识技能梳理
1.新定义阅读理解题是中考数学压轴题的高频考点，核心考查学生的数学阅读能力、知识迁移能力与逻辑推理能力，常见分为三大类：
（1） 定义新运算：自定义特殊运算规则，需严格按题目要求计算
（2） 初高中衔接知识：引入高中基础概念，用初中方法解决
（3） 定义新概念：自定义几何、代数类全新概念，是本节重点突破的主流题型

2、解题核心关键
（1） 吃透新定义：逐句拆解，明确概念的条件、原理、步骤和结论，圈出所有限制条件
（2）活用示例：用题目给出的例子验证理解，归纳解题方法和分类标准
（3）类比迁移：将新概念与初中已学知识关联，把陌生问题转化为熟悉题型
3、必备数学思想
（1）转化思想：把未知问题转化为已学知识解决
（2）类比思想：通过新旧概念的相似性，迁移解题方法
（3）分类讨论思想：全面分析所有可能情况，避免漏解


模块一：以几何为载体
1.2024深圳【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】
(1)如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若 ，CE=2，则AE=　　；AB=　　；
(2)如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB=BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE=2AE=12，BE=5．
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；
(不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母)
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长．
1.2024深圳【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】
(1)如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若 ，CE=2，则AE=　　；AB=　　；
1.2024深圳【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】(2)如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB=BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；
1.2024深圳【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】(2)如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB=BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；
1.2024深圳【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
(3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE=2AE=12，BE=5．
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；
(不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母)
(3)①第一种情况：如图①．
1.2024深圳【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
(3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE=2AE=12，BE=5．
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；
(不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母)
____
第二种情况：如图②．
___
第三种情况：如图③．
_____
②若按照上图①作图，即如图④，
由题意可知，∠ACB=∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ACB=∠PAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴△PAC是等腰三角形；
过P作PH⊥AC于H，则AH=HC，
∵BE=5，CE=2AE=12，
∴B′E=BE=5，AE=6，
∴ ，
∴EH=AH-AE=9-6=3，
∵PH⊥AC，BE⊥AC，
∴△CPH∽△CB′E，
∴ ，即 ，
∴ ；
(3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE=2AE=12，BE=5．
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，
连接PE，请直接写出PE的长
(3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE=2AE=12，BE=5．
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长
(3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE=2AE=12，BE=5．
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长
若按照上图②作图，即如图⑤，____
延长CA、DF交于点G，
同理可得△PGC是等腰三角形，
连接PA，
∵GF∥BC，
∴△GAF∽△CAB，
∴ ，
∴AG=AC，
∴PA⊥AC；
同理△CPA∽△CB′E，
∵AE=6，EC=12，B'E=BE=5，
∴ ，
即 ，∴ ；
若按照上图③作图，则没有交点，不存在PE(不符合题意)，即如图⑥，
____
2.（2025深圳中考）【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC．
求：①AD与BC的位置关系为： _____ ；②AC2 ____ AD BC．(填“＞”，“＜”或“=”)
【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC=BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB= ，AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为： _____ ；②AC2 ____ AD BC．(填“＞”，“＜”或“=”)
【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC=BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．
________
【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC=BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．
________
【方法应用】①证明：∵△ADE为△ABC旋转得到，
∴AB=AD，
令∠B=α，则∠ADB=α，∠BAD=180°-2α，
∴∠ADE=∠B=a,
由旋转得，
DE=BC，AE=AC，
又∵AC=BC，
∴EA=ED，
∴∠DAE=∠ADE=α，
∴∠E=180°-2α，
∴∠E=∠BAD，
∴四边形ABDE为双等四边形；
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=
AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，
若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB= AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=
AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，
若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=
AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，
若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=
AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，
若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=
AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，
若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
【方法应用】②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=
AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，
若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
________
综上所述：满足条件时， 或 或 ．
模块一：以函数为载体
3.（上海中考）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-2x,其顶点为A．
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
3.（上海中考）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-2x,其顶点为A．
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
3.（上海中考）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-2x,其顶点为A．
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；
3.（上海中考）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2-2x,其顶点为A．
②平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式
【解析】解：(1)∵a=1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为(1，-1)，
当x＞1，y随x的增大而增大，当x＜1，y随x增大而减小；
(2)①设抛物线“不动点”坐标为(t,t)，则t=t2-2t,
解得：t=0或3，
故“不动点”坐标为(0，0)或(3，3)；
②当OC∥AB时，
∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B(m,m)，
∴新抛物线的对称轴为：x=m,与x轴的交点C(m,0)，
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x=m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A(1，-1)，点B(m,m)，
∴m=-1，
故新抛物线是由抛物线y=x2-2x向左平移2个单位得到的；
当OB∥AC时，
同理可得：抛物线的表达式为：y=(x-2)2+2=x2-4x+6，
当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，
综上，新抛物线的表达式为：y=(x+1)2-1．
5.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+4x.
(1)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”．试求抛物线y=-x2+4x的“方点”的坐标；
(2)如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；
(3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
(2)如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；
(2)如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；
(3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
(3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
模块三：以圆为载体
1.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图(1)，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
(1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ____ ，最小值为 ____ ．
(2)如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
(3)如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD， ，则CD的长度 ____ ．
1.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图(1)，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
(1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ____ ，最小值为 ____ ．
(3)如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD， ，则CD的长度 ____ ．
______
【解析】(1)解：当CD为⊙O的直径时，CD有最大值，最大值为10
6
(2)如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
(2)如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
1.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图(1)，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【问题解决】
(3)如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD， 则CD的长度 ____ ．
1.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图(1)，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【问题解决】(3)如图3，在⊙O中，半径为 ，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD， ，则CD的长度 ____ ．
（3）解：如图3，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OD，
∵AB⊥CD，
∴四边形EOFH为矩形，
∵AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴OE＝OF，
∴矩形EOFH为正方形，
∴OE＝EH，
设DH＝x，则CH＝5x，
∴CD＝CH+DH＝6x，
∵OE⊥CD，
∴DE=12CD＝3x，
∴EH＝OE＝2x，
在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即（2x）2+（3x）2＝（13）2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴CD＝6x＝6
2.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
(1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ____ ，最小值为 ____ ．
(2)如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
(3)如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC=60°，求弦CD的长．
2.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
(1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ____ ，最小值为 ____ ．
(2)如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
(3)如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC=60°，求弦CD的长．
10
6
_____
【解析】解：(1)如图a,当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；
_____
如图b,当点D与点A重合时，CD有最小值，
过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，
∴AF=BF=4，DE=CE，
∴OF= = =3，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∴CE=OF=3，
∴CD=6，
∴CD最小值为6，
故答案为：10，6；
(2)如图1，连接AD，
___
∵DH=7，CH=9，
∴CD=16，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴AD= = =4 ，
∵ ， = ，
∴ ，∠ADH=∠ADC，
∴△ADH∽△CDA，
∴∠AHD=∠CAD=90°，
∴AB⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”；
(3)如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON⊥AC于N，
___
∵∠ADC=60°，AB⊥CD，
∴AF= DF，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，
∴四边形OEHF是矩形，AF=BF=4，CE=ED，
∴OF=EH，
∵OF= = =3，
∴EH=3，
∴ED=CE=3+DH，
∴CF=3+2DH，
∵∠AOC=2∠ADC=120°，且AO=CO=5，ON⊥AC，
∴∠CAO=30°，AN=CN，
∴NO= ，AN= ，
∴AC=5 ，
∵AH2+CH2=AC2，
∴75=3DH2+(3+2DH)2，
∴DH=2 - ，
∴CD=2CE=2(3+2 - )= ．
6（2023苏州）如图，二次函数y=x2-6x+8的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l,垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围．
【解析】解：(1)令y=0，
则x2-6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
∴A(2，0)，B(4，0)．
则x2-6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
∴A(2，0)，B(4，0)．
答：点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)．
(2)∵y=x2-6x+8=(x-3)2-1，
∴对称轴为x=3．
设P(m,m2-6m+8)，
∵PM⊥l,
∴M(3，m2-6m+8)，
连接MT，则MT⊥PT，
∴PT2=PM2-MT2=(m-3)2-r2，
即以切线长PT为边长的正方形的面积为(m-3)2-r2，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则 ，
∴(m-3)2-r2=m2-6m+8，
∵r＞0，
∴r=1．
假设⊙M经过点N(3，2)，则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方，
___
∴M(3，3)，
∴m2-6m+8=3，
解得m=5或1，
∵m＞4，
∴m=5．
②如图，当点M在点N的下方，
___
∴M(3，1)，
∴m2-6m+8=1，
解得 ，
∵m＞4，
∴ ，
综上所述，PM=m-3=2或 ，
∴当⊙M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为： 或 ＜PM＜2或PM＞2．
答：PM长的取值范围为： 或 ＜PM＜2或PM＞
2．

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