资源简介

(共20张PPT)
二次函数综合题探究
翠园东晓中学 丰婷
罗湖区中考备考“百师助学”课程
知识技能梳理
二次函数的综合题的探究向来是数学中考的热点，它常常以试卷压轴大题的形式呈现给考生，对学生数形结合、逻辑推理和综合运算的能力要求极高，所以我们在中考专项复习当中，一直把它当作核心重点和难点。这节课我们将立足二次函数图象与性质的理解，依托函数性质探究、新定义解读和实际应用三个模块来探究二次函数综合大题的解题思路。
【模块一】二次函数性质探究
01
1．综合与实践
在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数C1：y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点特征展开了如下探究：
（1）①列表：填写表格，表格中的a与b的值分别是a＝　 　 ，b＝　 　 ；
k的值 … k＝﹣1 k＝0 k＝1 k＝2 k＝3 …
C1的顶点横坐标 … ﹣1 a 1 2 3 …
C1的顶点纵坐标 … 0 3 4 b 0 …
②描点：随着k取不同值，请将C1的顶点描在下面的平面直角坐标系中；
③连线：用光滑的曲线顺次连接各点；
（2）①猜想：随着k取不同值，y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点形成的图象C2的
表达式是　 　 ；
②请验证你的猜想；
（3）若抛物线C1与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）（x1＜x2），请求出x1的取值范围．
解：（1）由题意，∵二次函数C1：y＝x2﹣2kx+2k+3＝
（x﹣k）2﹣k2+2k+3，∴其顶点为（k，﹣k2+2k+3）．

1．综合与实践
在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数C1：y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点特征展开了如下探究：
（1）①列表：填写表格，表格中的a与b的值分别是a＝　 　 ，b＝　 　 ；
①当k＝0时，顶点为（0，3），∴a＝0，
当k＝2时，顶点为（2，3）．∴b＝3．
故答案为：0，3．
②描点：如图，即为所描点；
③连线：如图，即为所连线；
k的值 … k＝﹣1 k＝0 k＝1 k＝2 k＝3 …
C1的顶点横坐标 … ﹣1 a 1 2 3 …
C1的顶点纵坐标 … 0 3 4 b 0 …
（2）①猜想：随着k取不同值，y＝x2﹣2kx+2k+3的坝点形成的图象C2的表达式是y＝﹣x2+2x+3．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）①猜想：随着k取不同值，y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点形成的图象C2的表达式是　 　 ；
②请验证你的猜想；
②由题意，二次函数C1：y＝x2﹣2kx+2k+3＝（x﹣k）2﹣k2+2k+3，其顶点为（k，﹣k2+2k+3），
∴可设x＝k，y＝﹣k2+2k+3，把x＝k 代入y＝﹣k2+2k+3中，∴y＝﹣x2+2x+3．
k的值 … k＝﹣1 k＝0 k＝1 k＝2 k＝3 …
C1的顶点横坐标 … ﹣1 0 1 2 3 …
C1的顶点纵坐标 … 0 3 4 3 0 …
（3）由题意，∵C1与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），由（2）可知：函数C1：y＝x2﹣2kx+2k+3的顶点（k，﹣k2+2k+3）始终在y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4图象上滑动，其顶点为（1，4），当﹣x2+2x+3＝0时，∴x＝﹣1或 x＝3，抛物线与x轴交（﹣1，0），（3，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1，
∵C1：y＝x2﹣2kx+2k+3，即y＝k（﹣2x+2）+x2+3，
∴当﹣2x+2＝0时，即x＝1时，y＝4．
∴C1：y＝x2﹣2kx+2k+3始终过点（1，4）．
∵函数 的顶点始终在C1上，
∴（1，4）在C2上．
∴当C1的顶点在（3，0）下方时，1＜x1＜3．
综上可得：1＜x1＜3或x1＜﹣1．
（3）若抛物线C1与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）（x1＜x2），请求出x1的取值范围．
【模块二】新定义函数
02
2．综合与探究
【定义】对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内有最大值m和最小值n，则m﹣n称为极差值，记作R[x1，x2]＝m﹣n．
【示例】如图（a），根据函数y＝2x的图象可知，在﹣1≤x≤2范围内，该函数的最大值是4，最小值为﹣2，即R[﹣1，2]＝4﹣（﹣2）＝6．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数 的R[1，3]的值为　 　 ；
（2）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（2，﹣3）．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的R[﹣1，4]的值．
（3）已知函数y1＝kx（k＞0），函数
的图象经过点（0，0），且两个函数的 相等，求k的值．
解：（1）当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝2，则6﹣2＝4，故答案为：4；
（2）①将点（2，﹣3）代入函数表达式得：﹣3＝4+2b+5，则b＝﹣6，
则函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5；
②对于y＝x2﹣6x+5，当x＝0时，y＝﹣5，当y＝0时，x＝1或5，当x＝6时，
y＝5，将上述各点描点连线绘制函数图象如下：
③从函数图象看，当x＝﹣1时，y＝x2﹣6x+5＝12为最大值，当x＝3时，即在顶点（3，﹣4）时，取得最小值，则R[﹣1，4]＝12﹣（﹣4）＝16；
（1）直接写出反比例函数 的R[1，3]的值为　 　 ；
（2）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（2，﹣3）．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的R[﹣1，4]的值．
（3）已知函数y1＝kx（k＞0），函数 的图象经过点（0，0），且两个函数的 相等，求k的值．
（3）函数 的图象经过点（0，0），则a2﹣1＝0，则a＝±1，
当a＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x，抛物线的对称轴为直线x＝1，对于y1＝kx（k＞0），
当x＝0时，y1＝0，当x＝ 时，y1＝ ,则R[0, ]＝ ;
当 ≤1时，则抛物线在x＝0时，取得最小值为y＝0，x＝ 时，函数取得最大值，即y＝﹣2（ ）2+4（ ），则R[0， ]＝ ＝﹣2（ ）2+4（ ）﹣0,则k＝1（舍去）或3，即k＝3；
当1＜ ≤2时，抛物线的顶点（1，2）时取得最大值，在x＝0时，y＝0取得最小值，则2﹣0≠ ，
故该情况不存在；
当k＜ 时，则在x＝ 时，函数取得最小值，y＝﹣2（ ）2+4（ ）﹣0，而在顶点处取得最大值
即R[0， ]＝2﹣[﹣2（ ）2+4（ ）]＝ ，解得：k＝6（不合题意舍去），当a＝1时，直线解析式为：y＝﹣4x，∵y＝kx与y＝﹣4x的相等，∴两直线重合或关于x轴对称，∴k＝﹣4（舍去）或4．综上，k＝3或4．
【模块三】二次函数综合应用
03
3．综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到
入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是　 　 ．
解：（1）由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为y＝ax2+bx+c，代入（0，10），（1，10），（1.5，6.25），
得: 解得:
∴y关于x的关系式为y＝﹣5x2+5x+10；
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（2）把y＝0代入y＝﹣5x2+5x+10，得﹣5x2+5x+10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
（3）①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系为y＝﹣5x2+5x+10，整理得 ，得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为 m，即 ，把h＝0代入，得 ，
解得t1＝1.5，t2＝﹣1.5（不合题意，舍去），
∵1.5＜1.6，∴运动员甲不能成功完成此动作；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是　 　 ．
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y（m）与水平距离x（m） 的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），得顶点为， ，得 ，
得 ，把h＝0代入 ，得 ，
由运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，得t≥1.6，则t2≥1.62，即 ，解得 ．故答案为： .
．
亲 爱 的 同 学 们 ， 学 习 数 学 是 艰 辛 的 ， 但 也 是 快 乐 的 ！ 只 要 在 学 习 中 树 立 信 心 、 善 于 思 考 、 不 断 努 力 ， 相 信 你 的 数 学 学 习 能 力 会 越 来 越 强 ， 你 收 获 到 的 自 信 心 和 成 功 的 喜 悦 也 会 越 来 越 多 ！
小 结
小 结

展开更多......

收起↑