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(共34张PPT)
垂直问题的应对策略
罗湖外语实验学校 汪德萍
罗湖区中考备考“百师助学”课程
中考垂直问题：
1、函数背景下的垂直问题（一次函数、反比例函数、二次函数）
2、几何图形中的垂直问题（三角形、矩形、正方形、折叠）
3、动点与垂直结合的综合题
代数解法
方法提炼
直角坐标系中的点坐标求线段长度
勾股定理：
方法提炼
1、见直角三角形（构造一线三垂直）
△ADC∽△CEB
几何解法
2、见垂直结构——构造相似
△AEB∽△CFD
方法拓展：见直角三角形
等腰直角三角形
构造“一线三垂直”全等
求交点坐标
模块一：一次函数、反比例函数中的垂直问题
例1. 如图，A点的坐标为（﹣4，0），直线 与坐标轴
交于点B，C，连接AC，如果∠ACD =90°，则 的值为多少？
策略一：代数解法，复杂计算
分析：
C点的坐标
解析：
例1. 如图，A点的坐标为（﹣4，0），直线 与坐标轴
交于点B，C，连接AC，如果∠ACD =90°，则 的值为多少？
分析：
C点的坐标
OC的长度
解析：
策略二：几何解法，
反思：几何关系求解，计算量减少
例1. 如图，A点的坐标为（﹣4，0），直线 与坐标轴
交于点B，C，连接AC，如果∠ACD =90°，则 的值为多少？
分析：
C点的坐标
OC的长度
解析：
策略三：导角分析，比例口算
例2.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，
第二象限内的点B在反比例函数 的图象上，且OA⊥OB，
∠B=30°，则 的值？
分析：
B点的坐标
B点与坐标轴形成的矩形或三角形面积
策略：一线三垂直相似
例2.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，
第二象限内的点B在反比例函数 的图象上，且OA⊥OB，
∠A=60°，则 的值？
方法一：几何面积法
解析：
例2.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，
第二象限内的点B在反比例函数 的图象上，且OA⊥OB，
∠B=30°，则 的值？
方法二：设点坐标法
解析：
模块二：二次函数中的垂直问题
例3．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个动点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(1)求点 、点 、点 坐标；
(2)求直线 的解析式；
A( -1 , 0 ) ; B( 4 , 0 ); C( 0 , 2 )
B( 4 , 0 ), D( 0, -2 )
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个动点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略一：代数解法
分类讨论：
①以B为直角顶点，
②以D为直角顶点，
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略一：代数解法，复杂计算
分类讨论：①以B为直角顶点，
②以D为直角顶点，
反思：
优势（思维量少，盲解盲算，不需要画图，不易漏解；）
劣势（计算量大，可能会出现高次方无功而返；）
此法需要将所列的方程中 看作一个整体，平方后抵消计算
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略二：几何解法，构造一线三垂直相似
Rt△DNB∽Rt△BMQ
Rt△AOD∽Rt△BMQ
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略二：几何解法，构造一线三垂直相似
解析：
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略二：几何解法，构造一线三垂直
反思：
优势（计算量少，普适应性强；）
劣势（需要画图分析，有一定的思维量，容易漏解，尤其是过点D作BD的垂线与抛物线在第四象限内的交点Q极易忽略，且位置较远，不好作图。
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略三：几何方法，直角三角形
等腰直角三角形
构造一线三垂直
全等
求交点坐标
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略三：几何方法，直角三角形 等腰直角三角形 构造“一线三垂直”全等 求交点坐标
反思：这种方法可以巧妙地将直角三角形问题转化为特殊的等腰直角三角形问题，将相似转化为全等，体现出转化的思想价值。
解析：
例4．如图，抛物线 与轴交于点 、点 ，与轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，点 是 轴上的一个点．设点P的坐标为 ，过点 作 轴的垂线 交抛物线于点 ．
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
策略四：几何方法，三垂直相似+解析法
反思：关键锁定所求直线与坐标轴的一个交点，识别“坐标三垂直相似型”
模块三：三角形、四边形中的垂直问题
例4．如图，在 中, ， ， ，动点 P从B点出发，在边上以 每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（ ），连接．
当 时，求t的值？
例4．如图，在 中, ， ， ，动点 P从B点出发，在边上以 每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（ ），连接．
当 时，求t的值？
解析：
反思：根据形成垂直的两条线段确定四个顶点作为“水平---竖直辅助线”，构造“三垂直相似”，这是垂直问题常见的几何解法。
例5、我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
(1)如图1，在正方形 中， , 交 于点 ，则 _____（填比值）；
【探究证明】
(2)如图2，在矩形 中， ， 分别交 、 于点 、 ， 分别交 于点 ，
求证： ；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于 点．
乙方案：过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于 点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
(3)如图3，将矩形 沿 折叠，使得点 和点 重合．若 ，求折痕的长；
【拓展运用】
(4)如图4，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在
线段 、 上，且 ，求 的值。
例5、我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
(1)如图1，在正方形 中， , 交 于点 ，则 _____（填比值）；
解析：
【探究证明】
(2)如图2，在矩形 中， ， 分别交 、 于点 、 ， 分别交 于点 ，
求证： ；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于 点．
乙方案：过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于 点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
甲方案
乙方案
【结论应用】
(3)如图3，将矩形 沿 折叠，使得点 和点 重合．若 ，求折痕的长；
【拓展运用】
(4)如图4，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在
线段 、 上，且 ，求 的值。
要坚信你不是一个人在战斗，在考试过程中老师平时所讲的方法将是你“隐形的翅膀”，关键时刻平时的方法“助你一起飞”。相信在考试中你们一定绽放出属于自己最美的时代芳华。最后祝同学们
“中考必胜，金榜题名”

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