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2026年罗湖区中考备考“百师助学”课程
《三角形中的折叠问题》自主学习单详细答案
翠园东晓中学 杨紫韵
知识技能梳理
一、考点剖析：
三角形折叠是中考几何核心必考题型，本质为轴对称变换，折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，解题关键在于变中找不变，常与直角三角形（勾股定理）、等腰三角形、相似、旁心综合考察线段长度、面积比、线段比等。
三角形的折叠按折痕位置可分为两类：折痕过顶点与折痕不过顶点。
中考还常出现隐藏型折叠，题目仅给出角平分线、垂直平分线条件，需掌握抽图、补图技巧，还原轴对称折叠本质，再运用性质解题。
知识预备：三角形的旁心相关知识点
1、定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。
2、核心性质：
①在中，设边对应的旁心为，则；
同理，，。
②设的三边为，，，AE=AD。
三、折叠问题中旁心的情形：等腰三角形中，当折痕经过底边的中点，常常出现旁心
①等边△ABC, D是BC中点, E是AB上一点. △BDE沿着DE折叠得△FDE, EF交AC于点G.
注意：观察右图，导角可得：D是△AEG的旁心，则GD平分∠EGC.
如上图，由旁心，进一步可以得到： 且∠EDG=60°
于是有一线三等角模型，从而有: BE×CG=BD×CD=BD .
②等腰△ABC, D是BC中点
此时D 是 △AEG 的旁心，一线三等角，恒成立
③等边△ABC, D是BC中点
此时D 为 △AEG 的旁心
④等腰直角△ABC, D是BC中点
此时D为 △AEG的旁心，∠EDG=45°，由一线三等角：BE X CG = BD2 C△AEG = AB
模块一：一般三角形中的折叠问题
典例精析
例1：（2025江苏常州中考）如图，在△ABC中，tanC，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由，设FG＝4x，则CG＝3x，结合CF＝5，求出FG＝4，CG＝3，由翻折得AC＝AE，设AC＝AE＝y，则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，在Rt△AFG中，利用AF2＝AG2+FG2，求解即可．
【解答】解：在△ABC中，tanC，如图，过点F作FG⊥AC于点G，
∴，
设FG＝4x，则CG＝3x，
在直角三角形CFG中，CF＝5，
由勾股定理得：CF2＝CG2+FG2，即52＝（3x）2+（4x）2，
解得：x＝1（负值已舍去），
∴FG＝4，CG＝3，
由翻折得AC＝AE，
设AC＝AE＝y，
则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF2＝AG2+FG2，
即（y﹣2）2＝（y﹣3）2+42，
解得：，
即，
故答案为：．
【总结归纳】利用翻折性质作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，结合勾股定理解直角三角形。
练习1．（2025山西省中考）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．
①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；
②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长．
【解答】解：（1）四边形BDB'E是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE，
∵B'D∥BC，
∴∠B'DE＝∠BED，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴BE＝BD＝B'D＝B'E，
∴四边形BDB'E是菱形；
（2）①DE⊥A'E，理由如下：
由（1）知四边形BDB'E是菱形，
∴BD＝B'E＝B'D，
由折叠的性质得到AD＝A'D，
∵AD＝2BD，
∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E，
∴B'D＝A'B'＝B'E，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴DE⊥A'E；
②∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴，
当△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC，A'D交点为M，则FG＝A'F，
∴∠C＝90°，A'D∥BC，
∴∠AMD＝∠C＝90°，
∴∠AMA'＝90°，
由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F，
∴△ADF≌△A'DF（SAS），
∴∠A＝∠DA'F，
∵∠AFH＝∠A'FG，
∴∠AHF＝∠AMA'＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AFH∽△ABC，
∴，
∴HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，
∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF，
∴△AHF≌△A'MF（AAS），
∴HF＝FM，AH＝A'M，
设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x，
∴AM＝AF+FM＝8x，
∵A'D∥BC，
∴△AMD∽△ACB，
∴，即，
∴AD＝10x，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10x，
∴CE＝BC﹣BE＝10x﹣6，
∵FG＝A'F＝5x，
∴MG＝FG﹣FM＝2x，
∴CG＝AC﹣AM﹣MG＝12﹣8x﹣2x＝12﹣10x，
∵A'D∥BC，
∴△A'MG∽△ECG，
∴，
∴，
解得：x＝1，
∴A'F＝5x＝5；
当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F＝AG，
同理得HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F，
设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y，
∴AM＝AF+FM＝8y，
∵A'D∥BC，
∴△AMD∽△ACB，
∴，即，
∴AD＝10y，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10y，
∴CE＝BC﹣BE＝10y﹣6，
∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，
∴GM＝FM＝3y，
∴FG＝GM+FM＝6y，
∴CG＝AC﹣AF﹣FG＝12﹣11y，
∵A'D∥BC，
∴△A'MG∽△ECG，
∴，
∴，
解得：，
∴A'F＝5y；
综上，A'F的长为5或．
模块二：等腰三角形中的折叠问题（折痕过顶点）
从特殊三角形开始，进行探究.现在有一张等边三角形的纸片，可以怎么折叠
若要经过某一个顶点，那么通常就是两种方式(若D恰好在中点就过于简单不做讨论) 给定D的位置设定为三等分点，求其它的线段比或者面积比.
典例精析
例2:等边△ABC, D是BC的三等分点, △ABD沿着AD折叠得△AED.
①D是靠近B的三等分点,求 .
分析： △DEF ∽ △ACF ，那么可得到：
设DF=x,
∴2 x=3(3 3x) ，∴x= ∴ = =
∴
∴
②D是靠近C的三等分点,求
分析：导角导边如右图；
△DEF ∽ △ACF ，那么可得到：
∴， 解得 x .
∴
∴
【总结归纳】。
①在求线段长时，可以利用解形或者相似(相交弦)列方程，若求两个共边三角形的面积比时，只需求其底边之比.若求两个相似三角形面积比时，只需求对应边之比，如求，要用相似比、面积比解决问题；
②若求两个既不共边也不相似的三角形的面积比时，除了单独求出来，也可以找它们共同的纽，如求 ，这两个三角形既不共边，也不相似，可以由△ACF这个“纽带”联系起来，只需先求：或是把S△ABD转化为S△ADE.
练习2：等腰Rt△ABC, F为BC中点, D是AB上一点.△BCD沿着CD折叠，点B的对应点E，刚好落在AF上.若AB=2,求S△ADE.
简析：
过E 向两边作垂， CF = BF = 1
设FM = x，则 BM = NE = 1 -x
此时ME = 2MF = 2x， 在Rt△EMC 中，EM2 + MC2 = EC2即 (2x）2 + (1+x）2 = 22，解得 x
由相似：
练习3: 等腰△ABC中, AB=AC, D是AC上一点.满足AD=2CD=2,△ABD沿着BD折叠得
△EBD.若DE⊥BC,求BC.
简析：过点A 作垂，设参如右图
此时 ，再设 DF = 5t， 此时
∴ AN = 15t ， AM = 12t
导角可得：AM = AD， 于是 12t = 2 ， t
∴ AN ，勾股可得 BC = 2CN
模块三：等腰三角形中的折叠问题（折痕不过顶点）
为了特殊一点，将点D放在中点位置（常常出现旁心）
典例精析
例3：等边△ABC，D是BC中点，E是靠近A的三等分点.△BDE沿着DE折叠得△FDE.EF,DF分别交AC于点G, M.求
【总结归纳】学会利用旁心的相关知识点，结合勾股定理、相似、一线三等角解决问题。
练习4:等边△ABC, D是BC中点, E是AB上一点, AE=7BE=7.△BDE沿着DE折叠得△FDE.延长EF, CA交于点 G.求AG.
练习5：等腰Rt△ABC ，AB =AC = 12 ，D 是BC 中点， E 是靠近A 的四等分点.△BDE 沿着DE 折叠得 △FDE.求 S△EDG .
简析：
易知 △BED △CDG
CG = 8 ，AG = 4
EG = 5 ，MD AC = 6 =ND，则
练习6: 等腰△ABC中, AB=AC, ∠A为锐角, D是AB上一点,满足AD=10.
E是AC上一点, △ADE沿着DE折叠得△FDE.若EF⊥BC,求AE.
四、等腰三角形中的折叠问题的变形
1、直角三角形的折叠和等腰三角形的折叠有很强的联系..
如果把等腰三角形分成全等的两个直角三角形，则变成了直角三角形中的折叠问题。所以遇到直角三角形的折叠问题，可以补图成前面的等腰三角形问题。
2、根据前面的例1，若题目给出的条件是角平分线，不妨把它补全进行尝试。
【总结归纳】抽图和补形，是解决几何问题的两个核心技巧。一般而言，抽图——去掉原题中无关紧要的线条——有利于简化图形，明确目标；补形——基于某种逻辑，人为添加辅助线——可以利用一些事先研究的好的结构、结论2026年罗湖区中考备考“百师助学”课程
《三角形中的折叠问题》自主学习单
翠园东晓中学 杨紫韵
知识技能梳理
一、考点剖析：
三角形折叠是中考几何核心必考题型，本质为轴对称变换，折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，解题关键在于变中找不变，常与直角三角形（勾股定理）、等腰三角形、相似、旁心综合考察线段长度、面积比、线段比等。
三角形的折叠按折痕位置可分为两类：折痕过顶点与折痕不过顶点。
中考还常出现隐藏型折叠，题目仅给出角平分线、垂直平分线条件，需掌握抽图、补图技巧，还原轴对称折叠本质，再运用性质解题。
知识预备：三角形的旁心相关知识点
1、定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。
2、核心性质：
①在中，设边对应的旁心为，则；
同理，，。
②设的三边为，，，AE=AD。
三、折叠问题中旁心的情形：等腰三角形中，当折痕经过底边的中点，常常出现旁心
①等边△ABC, D是BC中点, E是AB上一点. △BDE沿着DE折叠得△FDE, EF交AC于点G.
注意：观察右图，导角可得：D是△AEG的旁心，则GD平分∠EGC.
如上图，由旁心，进一步可以得到： 且∠EDG=60°
于是有一线三等角模型，从而有: BE×CG=BD×CD=BD .
②等腰△ABC, D是BC中点
此时D 是 △AEG 的旁心，一线三等角，恒成立
③等边△ABC, D是BC中点
此时D 为 △AEG 的旁心
④等腰直角△ABC, D是BC中点
此时D为 △AEG的旁心，∠EDG=45°，由一线三等角：BE X CG = BD2， C△AEG = AB
四、学习过程
模块一：一般三角形中的折叠问题
典例精析
例1：（2025江苏常州中考）如图，在△ABC中，tan C，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
【总结归纳】利用翻折性质作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，结合勾股定理解直角三角形。
练习1．（2025山西省中考）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．
①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；
②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长．
模块二：等腰三角形中的折叠问题（折痕过顶点）
从特殊三角形开始，进行探究.现在有一张等边三角形的纸片，可以怎么折叠
若要经过某一个顶点，那么通常就是两种方式(若D恰好在中点就过于简单不做讨论) 给定D的位置设定为三等分点，求其它的线段比或者面积比.
典例精析
例2:等边△ABC, D是BC的三等分点, △ABD沿着AD折叠得△AED.
①D是靠近B的三等分点,求
②D是靠近C的三等分点,求
【总结归纳】。
①在求线段长时，可以利用解形或者相似(相交弦)列方程，若求两个共边三角形的面积比时，只需求其底边之比.若求两个相似三角形面积比时，只需求对应边之比，如求，要用相似比、面积比解决问题；
②若求两个既不共边也不相似的三角形的面积比时，除了单独求出来，也可以找它们共同的纽带，如求 ，这两个三角形既不共边，也不相似，可以由△ACF这个“纽带”联系起来，只需先求：或是把S△ABD转化为S△ADE.
练习2：等腰Rt△ABC, F为BC中点, D是AB上一点.△BCD沿着CD折叠，点B的对应点E，刚好落在AF上.若AB=2,求S△ADE.
练习3: 等腰△ABC中, AB=AC, D是AC上一点.满足AD=2CD=2,△ABD沿着BD折叠得
△EBD.若DE⊥BC,求BC.
模块三：等腰三角形中的折叠问题（折痕不过顶点）
为了特殊一点，将点D放在中点位置（常常出现旁心）
典例精析
例3：等边△ABC，D是BC中点，E是靠近A的三等分点.△BDE沿着DE折叠得△FDE.EF,DF分别交AC于点G, M.求
【总结归纳】学会利用旁心的相关知识点，结合勾股定理、相似、一线三等角解决问题。
练习4:等边△ABC, D是BC中点, E是AB上一点, AE=7BE=7.△BDE沿着DE折叠得△FDE.延长EF, CA交于点 G.求AG.
练习5：等腰Rt△ABC ，AB =AC = 12 ，D 是BC 中点， E 是靠近A 的四等分点.△BDE 沿着DE 折叠得 △FDE.求 S△EDG .
练习6: 等腰△ABC中, AB=AC, ∠A为锐角, D是AB上一点,满足AD=10.
E是AC上一点, △ADE沿着DE折叠得△FDE.若EF⊥BC,求AE.
五、等腰三角形中的折叠问题的变形
1、直角三角形的折叠和等腰三角形的折叠有很强的联系.
如果把等腰三角形分成全等的两个直角三角形，则变成了直角三角形中的折叠问题。所以遇到直角三角形的折叠问题，可以补图成前面的等腰三角形问题。
2、根据前面的例1，若题目给出的条件是角平分线，不妨把它补全进行尝试。
【总结归纳】抽图和补形，是解决几何问题的两个核心技巧。一般而言，抽图——去掉原题中无关紧要的线条——有利于简化图形，明确目标；补形——基于某种逻辑，人为添加辅助线——可以利用一些事先研究的好的结构、结论

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