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罗湖区中考备考“百师助学”课程之第 9 讲
《四边形中对角互补解题探究》
深圳市桂园中学 黄诗蕴
二、 教学过程
模块一：四边形中含 90°对角互补模型
（一）提炼模型：
1、全等模型
条件：如图，四边形OECD中，∠AOB=∠DCE=90°，∠DCE 的顶点在∠AOB的平分线
OC 上，两边分别与射线OA,OB 交于点 D,E,
1
结论：(1)CD=CE; (2)OD+OE= 2OC; （3）S△OCD+S△OCE= OC22
2、相似模型：
条件： 如图，四边形OECD中，，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论 1： ①△ECG △DCF； ②CE＝CD· .
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论 2：①△CFE △COD； ②CE＝CD· .
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（二）例题讲解：
例 1：【2025 秋 吉安县期末】
【问题初探】
如图 1，课后习题课上，刘同学把一个足够大的三角板 GEF放在正方形 ABCD上，使三角板的直角顶点 E与
正方形 ABCD的顶点 A重合．三角板的一边交边 CD于点 F，另一边交 CB的延长线于点 G，求证：EF＝
EG．
（1）刘同学认为通过证明△EGB与△EFD全等，可证 EF＝EG．请你帮助刘同学完成这个证明；
【类比分析】
（2）如图 2，刘同学移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD的对角线 AC上，其他条件不变．你认为
EF＝EG是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图 3，刘同学将“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不
变，若 AB＝a ，BC＝b，求 的值（用含有 a，b的代数式表示）．

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例 2：【2026 元宝区校级模拟】

如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°， = ，CD⊥AB于点 D，点 E是直线 AC上一动点，连接 DE，过点 D作 FD⊥ED，

交直线 BC于点 F．

（1）如图 1，若 m＝n，点 E在线段 AC上，求出 的值，并写出证明过程；


（2）①如图 2，若点 E在线段 AC上，则 = （用含 m，n的代数式表示）；

②当点 E在直线 AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图 3的情形给出证明；
（3）若 = 5， = 2 5， = 4 2，请直接写出 CE的长．
（三）巩固练习：
1、（2021秋 海口期末）如图，O为矩形 ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点 O旋转，它的两边分
与 AB、BC交于 E、F．若 AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则 y与 x的关系是（ ）
A y x B y= 6． ＝ ． C．y= 2x D．y= 3x
3 2
2．（2025春 张店区校级期中）如图，正方形 ABCD中，E是对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E作 EF⊥
AE，交边 BC于点 F．若 AB＝4，FE＝FC，则 DE＝
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3．（2025 河北模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，Rt△MPN，∠MPN＝90°，
点 P在 AC上，PM交 AB与点 E，PN交 BC与点 F，当 PE＝2PF时，AP＝ ．
4、（2025 呼和浩特二模）问题背景
问题 1如下：如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，点（又是正方形 A1B1C1O的一个顶点，而且这两
个正方形的边长相等．无论正方形 A1B1C1O绕点 O怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正
1
方形面积的 想一想，这是为什么．（此问题不需要作答）
4
类比探究：将正方形 A1B1C1O沿 OB方向平移．
【实验猜想】
将点 O平移到 OB的中点 P时，如图 2，PM⊥DC于点 M，PN⊥BC于点 N ，请你猜想并直接写出 的值．

【拓展运用】

将点 O平移到线段 OB上的任意点 P（不与 O，B重合）时，记 = ．

（1 ）如图 3，求证： = ；

（2）如图 4，点 F在边 BC上（不与 C，B重合），连接 FP并延长与 BA的延长线交于点 Q，当 BQ＝4BF
且∠FPC＝45°时，求 k的值．
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模块二：四边形中含 60°或 120°对角互补模型
（一）提炼模型：
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
CD CE 3结论：① ＝ ，②OD＋OE＝OC，③ 2 + = .4
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与 BO的延长线交于点 D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ 3 2 = .4
（二）例题讲解：
例 1:【23-24·湖北咸宁·期中】
【问题提出】（1）如图 1，在四边形 ABCD中， BAD 60 ， BCD 120 ， AB AD，连接 AC．试探究 BC、
CD、 AC之间的数量关系．
小明的思路是：他发现 BAD和 BCD互补，推得 B ADC 180 ，于是想到延长CD到点 E，使DE BC，连
接 AE．从而得到 B ADE，然后证明 ADE≌ ABC，不难得到 BC、CD、 AC之间的数量关系是______；
【问题变式】（2）如图 2，四边形 ABCD中， BAD 120 ， BCD 60 ， AB AD，连接 AC，若 AC 2 3，
求四边形 ABCD的面积．（直接写出结果）
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例 2：【2024·吉林长春·模拟预测】
在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一点．
【感知】如图①，过点 P 作 ⊥ 交 BC 于点 M，作 ⊥ 交 CD 于 N，易证 = ．（不需要证明）
【应用】如图②，∠ = 120 ，∠ + ∠ = 180 ，∠EPF的两边分别交边 BC、CD 于点 E、F（E、F
不与荾形顶点重合），连结 EF．
（1）判断△ 的形状，并说明理由；
（2）若 PC=2AP，则△ 面积最小值时，△ 与△ ABC的面积之比为______．
【拓展】如图②， BCD 120 ，∠ + ∠ = 180 ，∠EPF的两边分别交边 BC、CD 于点 E、F（E、F 不
= 49与荾形顶点重合），连结 EF，当 AC=10，PC=8，且 时，线段 CE 的长为______．
菱形 200
（三）巩固练习：
1、如图，△ABC是边长为 4的等边三角形，D是 BC的中点，E、F分别是 AB、AC边上的点，且∠EDF＝
120°，BE+CF＝
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D为 BC边的中点，∠EDP分别交 AB、AC边于点 E、F，且∠EDF+∠
A＝180°．其中∠A＝60°，作∠EDF的角平分线 DQ，交 AC于点 P，交 BA的延长线于点 Q（如图 3），若
BE＝2，CF＝1，线段 PQ的长为___________
3、在菱形 ABCD中，∠C＝60°，点 E在边 BC上，连接 AE，点 F在线段 AE上，且 AF＝AB，点 G在 AB
边上，连接 DF，FG，使∠DFG＝120°，若 AG＝6，EF＝2，菱形 ABCD的边长____________．
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4、【2021 商丘三模】
在菱形 ABCD中，∠A＝60°．
问题提出：
（1）如图 1，点 P为对角线 BD的中点，射线 PE交 AB于点 M，绕点 P将射线 PE逆时针旋转 60°得到
射线 PF，交射线 BC于点 N，则 PM与 PN的数量关系为 ，线段 MB，NB，PB的数量关系
为 ．
深入探究：
（2）如图 2，若点 P为射线 BD上一点，且 BD＝2PD，射线 PE交 AB延长线于点 M，绕点 P将射线 PE
逆时针旋转 60°得到射线 PF，交 BC延长线于点 N，（1）的结论是否成立，请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图 3，菱形 ABCD对角线的交点为点 O，点 P在线段 OB上，射线 PE交直线 AB于点 M，绕点 P
将射线 PE逆时针旋转 60°得到射线 PF，交直线 BC于点 N，若 AD＝6，AP＝2 7，当 BN＝1时，请直接
写出 AM的值．
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模块三：四边形中含 α对 180°-α对角互补模型
（一）提炼模型：
1、全等模型
条件：四边形 ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。
结论：OP平分∠AOB。
注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二
推一。
2、相似模型
条件：已知如图，四边形 ABCD中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点 D作 DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为 E、F；则：①△DAE △DCF；
②A、B、C、D四点共圆。
（二）例题讲解：
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例 1：（2022 春 青秀区校级期末）
如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点 E、F分别在射线 CB、DC上，且∠ = 12∠ ，当 BC
＝4，DC＝7，CF＝1时，则△CEF的周长等于 ．
例 2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图 1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形 ABCD为对等补四边形，且有 AD∥BC．
（1）以下图形属于对等补四边形的有 （填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）如图 2，四边形 ABCD为对等补四边形（AB＝CD），小明发现当∠A＝90°时，四边形 ABCD恰好为矩形，请你帮
他证明这一结论；
（3）如图 3，四边形 ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线 AC平分角∠BCD，求线段 AC的长度；
（4）在问题（3）的条件下，平面内存在点 E使得四边形 ABEC为对等补四边形，线段 DE与线段 AC交于点 Q，请直接
写出线段 DQ的长．
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（三）巩固练习：

1.如图，已知四边形 ABCD的对角互补，且∠BAC＝∠DAC，AB＝15，AD＝12．过顶点 C作 CE⊥AB于 E，则 的值为

（ ）
A．9 B． 73 C．7.2 D．6
3
2、如图，点 O是四边形 ABCD对角线 AC、BD的交点，∠BAD与∠ACB互补， = ，AD＝6，AB＝7，AC＝5，则 BC
5
的长为 ．
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点 F，∠AED和∠AGD互补，若 S△ADG＝40，S△AED＝22，则△EDF的面积
为 ．
4．（2025 罗湖区校级模拟）我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称
为“奇妙”边．
（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是 .（填写序号）
①平行四边形②矩形③菱形④正方形
（2）如图，在四边形 ABCD中，DB平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，请说明四边形 ABCD是“奇妙”四边形：
（3）已知在“奇妙”四边形 ABCD中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边 = 3，对角线 BD= 6，∠ADC
＝60°，求该“奇妙”四边形的周长．
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《四边形中对角互补解题探究》参考答案
模块一：含 90°模型
（一）例题讲解：
例 1：
【2025秋 吉安县期末】
【问题初探】
如图 1，课后习题课上，刘同学把一个足够大的三角板 GEF放在正方形 ABCD上，使三角板的直角
顶点 E与正方形 ABCD的顶点 A重合．三角板的一边交边 CD于点 F，另一边交 CB的延长线于
点 G，求证：EF＝EG．
（1）刘同学认为通过证明△EGB与△EFD全等，可证 EF＝EG．请你帮助刘同学完成这个证明；
【类比分析】
（2）如图 2，刘同学移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD的对角线 AC上，其他条件不变．你
认为 EF＝EG是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【学以致用】
（3）如图 3，刘同学将“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他

条件不变，若 AB＝a，BC＝b，求 的值（用含有 a，b的代数式表示）．

【解答】（1）证明：
∵∠GEF=90°，四边形 ABCD为正方形
∴∠GEF=∠BAD=∠ABC=90°
ED＝EB----------------------------①
∴ ∠D＝∠EBG--------------------②
∵∠GEB+∠BEF＝∠DEF+∠BEF＝90°
∴∠DEF＝∠GEB------------------③
∴由②①③得△FED≌△GEB（ASA），
∴EF＝EG；
（2）成立．
证明：如图 2，过点 E作 EH⊥BC于 H，作 EP⊥CD于 P，
∵四边形 ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，∠BCD=90°
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴∠BCD=∠EHC=∠EPC=90°
EH=EP-------------------①
∴四边形 EHCP 是矩形----②
∴由①②得四边形 EHCP 是正方形，
∴∠HEP＝90°
∵∠GEH+∠HEF＝∠PEF+∠HEF＝90°
∴∠PEF＝∠GEH--------③
又∵∠EPF＝∠EHG----④
∴由③①④△FEP≌△GEH（ASA），
∴EF＝EG；
（3）如图 3，过点 E作 EM⊥BC于 M，过点 E作 EN⊥CD于 N，
则∠MEN＝90°，
∵EM∥AB，EN∥AD，矩形 ABCD
∴四边形 CNEM 为平行四边形,∠BCD=90°
∵四边形 CNEM 为矩形
∴∠MEN=∠GEF=90°，EN=CM
∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，
∴∠GEM＝∠FEN，
∵∠GME＝∠FNE＝90°，
∴△GME∽△FNE，
CM
∴ = ，, 则 =

∵EM∥AB
∴∠MEC=∠CAB
CM
∵Rt△CME中 tan∠EMC=

BC
Rt△ABC中 tan∠BAC= =


∴ = ．

例 2：【2026 元宝区校级模拟】

如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°， = ，CD⊥AB于点 D，点 E是直线 AC上一动点，连接 DE，过点 D作

FD⊥ED，交直线 BC于点 F．

（1）如图 2，若点 E在线段 AC上，则 = （用含 m，n的代数式表示）；

（2）当点 E在直线 AC上运动时，（1）中的结论是否仍然成立？请仅就图 3的情形给出证明；
（3）若 = 5， = 2 5， = 4 2，请直接写出 CE的长．
【解答】解：
（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，

∴ = ，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，

∴ = = ，


∴ = ；


故答案为：

（2）成立．如图 2，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，

∴ = ，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，

∴ = = ，


∴ = ；


（3）由（2）有，△ADE∽△CDF， = = ．

又∵ = 5， = 2 5， = 4 2，
1
∴ = = ，
2
∴ = 2 2， = 2 10，
1
∴ = = = ，
2
∴CF＝2AE，
（二）巩固练习：
1、（2021秋 海口期末）如图，O为矩形 ABCD的中心，∠MON＝90°，∠MON绕点 O旋转，它
的两边分与 AB、BC交于 E、F．若 AB＝4，AD＝6，OE＝y，OF＝x，则 y与 x的关系是（ ）
A．y＝x B 6 2 3．y= C．y= x D．y= x
3 2
【解答】解：如图，过点 O作 OT⊥AB于点 T，OR⊥BC于点 R．
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝4，
∵∠OTB＝∠A＝90°，∠ORB＝∠C＝90°，
∴OT∥AD，OR∥CD，
∵OB＝OD，
∴BT＝AT，BR＝CR，
∴OT= 12AD＝3，OR=
1
2CD＝2，
∵∠OTB＝∠TBR＝∠ORB＝90°，
∴∠TOR＝90°，
∵∠MON＝∠TOR＝90°，
∴∠EOT＝∠FOR，
∵∠OTE＝∠ORF＝90°，
∴△OTE∽△ORF，

∴ = ，

3
∴ = ，
2
∴y= 32x．
故选：D．
2．（2025春 张店区校级期中）如图，正方形 ABCD中，E是对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E
作 EF⊥AE，交边 BC于点 F．若 AB＝4，FE＝FC，则 DE＝
【解答】解：过点 E作 AD的垂线交 BC于点 P，垂足为 H，如图所示：
设 DH＝a，
∵四边形 ABCD是正方形，AB＝4，
∴AD＝AB＝CD＝4，∠ADF＝45°，∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴AH＝AD﹣DH＝4﹣a，
∵PH⊥AD，∠ADF＝45°，
∴△HED是等腰直角三角形，
∴EH＝DH＝a，
由勾股定理得：DE= 2 + 2 = 2 ，
∵∠PHD＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴四边形 CDHP是矩形，
∴CP＝DH＝a，PH＝CD＝4，
∴EP＝PH﹣EH＝4﹣a，∠AHE＝∠EPF＝90°，
∴AH＝EP＝4﹣a，∠EAH+∠AEH＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠FEP+∠AEH＝90°，
∴∠EAH＝∠FEP，
在△EAH和△FEP中，
∠ = ∠ = 90°
∠ = ∠ ，
=
∴△EAH≌△FEP（AAS），
∴EH＝FP＝a，
∴FC＝FP+CP＝2a，
∵FE＝FC，
∴FE＝2a，
在 Rt△FEP中，由勾股定理得：EP= 2 2 = (2 )2 2 = 3 ，
∴4 = 3 ，
解得：a= 2 3 2，
∴DE= 2 = 2 × (2 3 2) = 2 6 2 2．
故答案为：2 6 2 2．
3．（2025 河北模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，Rt△MPN，∠MPN＝
90°，点 P在 AC上，PM交 AB与点 E，PN交 BC与点 F，当 PE＝2PF时，AP＝ ．
【解答】解：如图作 PQ⊥AB于 Q，PR⊥BC于 R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形 PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，

∴ = =2，

∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设 PQ＝4x，则 AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝6，
∴x= 65，
∴AP＝5x＝6．
故答案为：6．
4、（2025 呼和浩特二模）问题背景
问题 1如下：如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，点（又是正方形 A1B1C1O的一个顶点，
而且这两个正方形的边长相等．无论正方形 A1B1C1O绕点 O怎样转动、两个正方形重叠部分的面
1
积，总等于一个正方形面积的 想一想，这是为什么．（此问题不需要作答）
4
类比探究：将正方形 A1B1C1O沿 OB方向平移．
【实验猜想】
将点 O平移到 OB的中点 P时，如图 2，PM⊥DC于点 M，PN⊥BC于点 N，请你猜想并直接写出

的值．

【拓展运用】

将点 O平移到线段 OB上的任意点 P（不与 O，B重合）时，记 = ．

（1 ）如图 3，求证： = ；

（2）如图 4，点 F在边 BC上（不与 C，B重合），连接 FP并延长与 BA的延长线交于点 Q，当
BQ＝4BF且∠FPC＝45°时，求 k的值．
【解答】【实验猜想】解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，OB＝OD，
∵P为 OB的中点，
∴OP＝BP，
∴DP＝3BP，
∵PM⊥DC于点 M，PN⊥BC于点 N，
∴∠PMD＝∠PNB＝90°，
∴△PMD∽△PNB，

∴ = ，


∴ = 3；

【拓展运用】（1）证明：过点 P作 PM⊥CD，PN⊥BC，垂足分别为点 M和点 N，
∵点 P在正方形 ABCD的对角线上，
∴△PMD和△BNP是等腰直角三角形，
∴△PMD∽△PNB，

∴ = ，

∵∠BCD＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形 PMCN是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∵四边形 A1B1C1P是正方形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠MPN﹣∠MPF＝∠EPF﹣∠MPF，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，

∴ = = = ；

（2）解：过点 P作 PE⊥PF交 DC于点 E，PM⊥DC于点 M，PN⊥BC于点 N，
∵∠FPC＝∠PBC＝45°，∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，

∴ = ，即 PC2＝BC CF，

同理：△PCE∽△DCP，PC2＝EC DC，
∵DC＝BC，
∴EC＝CF，
∵PN∥QB，
∴△PNF∽△QBF，
4
∴ = = = ，
1
设 NF＝a，则 PN＝BN＝MC＝4a，设 CF＝x，则 NC＝PM＝a+x，
∵△PNF∽△PME，

∴ = ，则 = + = + + 4 ，
4 4
∵EC＝CF，
+
∴ + 4 = ，
4
= 17解得： 3 ，
则 = + = 203 ，
=
20
3 5∴ = 4 = 3．
模块二：含 60°或 120°模型
（一）例题讲解：
例 1:【23-24·湖北咸宁·期中】
【问题提出】（1）如图 1，在四边形 ABCD中， BAD 60 ， BCD 120 ， AB AD，连接 AC．试探
究 BC、CD、 AC之间的数量关系．
小明的思路是：他发现 BAD和 BCD互补，推得 B ADC 180 ，于是想到延长CD到点 E，使DE BC，
连接 AE．从而得到 B ADE，然后证明 ADE≌ ABC，不难得到 BC、CD、 AC之间的数量关系是
______；
【问题变式】（2）如图 2，四边形 ABCD中， BAD 120 ， BCD 60 ，AB AD，连接 AC，若 AC 2 3，
求四边形 ABCD的面积．（直接写出结果）
【解答】解：（1）延长 CD到点 E，使 DE＝BC，连接 AE．如图 1，
∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，
∴四边形 ABCD中，∠B+∠ADC＝360°-∠BAD-∠BCD=180°
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠B＝∠ADE----------------①
∵AB=AD-----------------------②
BC=DE-----------------------③
∴由②①③△ABC≌△ADE（SAS）
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AC＝CE，
∵CE＝CD+DE＝CD+BC，
∴BC+CD＝AC，
故答案为：BC+CD＝AC；
（2）如图：延长 CD到点 E，使 DE＝BC，连接 AE，
（2）如图：延长 CD到点 E，使 DE＝BC，连接 AE，
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠B+∠ADC＝180°
∵∠ADE+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADE----------------①
∵AB=AD----------------------②
BC=DE-----------------------③
∴由②①③△ABC≌△ADE（SAS）
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE
∴等腰△CAE
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝120°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝120°，
∴∠E＝∠ACD＝30°
过点 A作 AF⊥CE交 CE于点 F，
1
∴CF＝EF= CE，
2
∵在 Rt△ACF中，∠ACF＝30°，AC=2√3，
1
∴AF= 2AC= 3，
∴Rt△ACF中：CF= 2 2 = (2 3)2 ( 3)2 =3，
∴CE＝2CF＝6，
∴S 1△ACE= 2CE AF=
1
2 ×6× 3 =3 3，
∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC＝S△ADE，
∴四边形 ABCD的面积＝S△ACE＝3 3．
例 2：【2023 南关区校级模拟】
在菱形 ABCD中，P是对角线 AC上一点．
【感知】如图①，过点 P作 PM⊥BC交 BC于点 M，作 PN⊥CD交 CD于点 N，易证 PM＝PN．（不需要证明）
【应用】如图②，∠BCD＝120°，∠EPF+∠BCD＝180°，∠EPF的两边分别交边 BC、CD于点 E、F（E、F
不与菱形顶点重合），连结 EF．
（1）判断△PEF的形状，并说明理由．
（2）若 PC＝2AP，则△PEF面积最小值时，△PEF与△ABC的面积之比为 ．
【拓展】如图②，∠BCD＝120°，∠EPF+∠BCD＝180°，∠EPF的两边分别交边 BC、CD于点 E、F（E、F
49
不与菱形顶点重合），连结 EF，当 AC 10 PC 8 △ ＝ ， ＝ ，且 = 时，线段 CE的长为 ．

菱形 200
【解答】解：【应用】
（1）△PEF是等边三角形，理由如下：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD= 12∠BCD＝60°，
∵∠EPF+∠BCD＝180°，
∴点 P、E、C、F共圆，
∴∠PEF＝∠ACD＝60°，∠PFE＝∠ACB＝60°，
∴△PEF是等边三角形；
（2）当 PE⊥BC时，△PEF的边长最小，面积最小，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝AC，
∵∠ACB＝60°
∴△ABC是等边三角形，S△ABC=
3AC2
4
由（1）可知，△PEF是等边三角形
3
∴S△PEF= PE24
△
∴ = ( )2
△
∵在 Rt△PCE中，∠ACB=60°
∴ sin 3∠ACB= =
2
∴PE＝PC 3 sin∠ACB= 2 PC，
∵PC＝2AP，
2
∴PC= 3AC，
PE= 3 × 2∴ 2 3AC=
3
3 AC，
△ 1
∴ = ( )2 = ，
△ 3
1
故答案为： ；
3
【拓展】如图，
同理（1）可得：△PEF是等边三角形，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB∥CD，△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠EPF+∠BCD＝180°，
∴∠EPF＝∠ABC，
∴△PEF∽△BAC，
△
∴ ( )2，
△
△ 49
∵ = ，
200菱形
△ 49
∴ = ，
△ 100
∴PE＝7，
作 PG⊥CE于 G，
3
∴PG= 2 PC＝4 3，CG＝4，
∴EG= 2 2 = 72 (4 3)2 =1，
∴CE＝CG+EG＝4+1＝5，
故答案为：5．
（二）巩固练习：
1、如图，△ABC是边长为 4的等边三角形，D是 BC的中点，E、F分别是 AB、AC边上的点，且
∠EDF＝120°，BE+CF＝
【解答】证明：如图，连接 AD，过 D作 DM⊥AB交 AB于 M，再作 DN⊥AC交 AC于 N．
∵△ABC是等边三角形，D为 BC的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°
∴DM＝DN，∠MDN＝120°
又∵∠EDF＝120°，
∴∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF．
∠ = ∠
∴在△MDE与△NDF中， = ，
∠ = ∠ = 90°
∴△MDE≌△NDF（ASA）
∴DE＝DF，ME＝NF．
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+NF+CF＝BM+CN．
∵在直角△BMD中，∠BDM＝30°，
∴BM= 12BD．
1
同理在直角△DNC中，CN= 2CD．
∴BM+CN= 12（BD+CD
1
）= 2BC．
∵△ABC是边长为 4的等边三角形，
∴BC＝4，
∴BM+CN＝2，即 BE+CF＝2．
故答案为：2．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D为 BC边的中点，∠EDP分别交 AB、AC边于点 E、F，且∠
EDF+∠A＝180°．其中∠A＝60°，作∠EDF的角平分线 DQ，交 AC于点 P，交 BA的延长线于
点 Q（如图 3），若 BE＝2，CF＝1，线段 PQ的长为___________
【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，
取 AC的中点 G，连接 DG，如图 2，
∵点 D为 BC边的中点，
∴ = 12 ， =
1
2 =
1
2 ， ∥ ，
∴DG＝BD，∠DGC＝∠A＝60°，∠GDC＝∠GDF+∠FDC＝60°，
∵∠EDF+∠BAC＝180°，
∴∠EDF＝120°，
∴∠BDE+∠FDC＝180°﹣∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠GDF，
∴△BDE≌△GDF（ASA），
∴BE＝GF，
∵BE＝2，CF＝1，
+ = 12 = 3，GF＝BE＝2，∠DGC＝60°，
∴CG＝CD＝3，
∴△DGC为等边三角形，
∴DG＝3，
∵∠EDF＝120°，DQ平分∠EDF，
∠ = 1∴ 2∠ = 60° = ∠ ，
∵∠DFP＝∠DFG，
∴△DFP∽△GFD，
∴∠DPF＝∠FDG，
又∠C＝∠DGC＝60°，
∴△CPD∽△GDF，
3
∴ = = = ，
2
3 9
∴ = 2 = 2，
∴ = = 32， = =
3
2， = =
7
2，
∵△DFP∽△GFD，

∴ = ，

7
∴ 2 = 2 × 2 = 7，
∴ = 7（负值已舍去），
3
∵ = = ，
2
∴ = 3 = 32 2 7，
∵DG∥AB，
∴△APQ∽△GPD，
3

= = 2∴
3
= 1，
2
∴ = = 32 7．
3、在菱形 ABCD中，∠C＝60°，点 E在边 BC上，连接 AE，点 F在线段 AE上，且 AF＝AB，
点G在AB边上，连接DF，FG，使∠DFG＝120°，若AG＝6，EF＝2，菱形ABCD的边长____________．
【解答】如图，延长 DF，交 BC于 H，连接 DG，
同理（2）可得，
△ADG≌△CDH，
∴CH＝AG＝6，
∵∠EFH＝∠AFD＝∠ADH＝∠DHF，
∴EH＝EF＝2，
∴CE＝CH﹣EH＝4，
作 AX⊥CB，交 CB的延长线于 X，
设 BC＝AB＝AD＝AF＝x，则 BE＝BC﹣CE＝x﹣4，AE＝AF+EF＝x+2，
∵∠ABX＝∠C＝60°，
BX= 1AB= 1∴ 2 2 ，AX=
3 3
2 = 2 ，
∴EX BX+BE= 3＝ 2 4，
∵AX2+EX2＝AE2，
( 3∴ 2 )
2 + ( 32 4)
2 = ( + 2)2，
∴x1＝4+ 10， 2 = 4 10（舍去），
∴菱形 ABCD的边长是 4+ 10．
4、【2021 商丘三模】
在菱形 ABCD中，∠A＝60°．
问题提出：
（1）如图 1，点 P为对角线 BD的中点，射线 PE交 AB于点 M，绕点 P将射线 PE逆时针旋转 60°
得到射线 PF，交射线 BC于点 N，则 PM与 PN的数量关系为 ，线段 MB，NB，PB
的数量关系为 ．
深入探究：
（2）如图 2，若点 P为射线 BD上一点，且 BD＝2PD，射线 PE交 AB延长线于点 M，绕点 P将
射线 PE逆时针旋转 60°得到射线 PF，交 BC延长线于点 N，（1）的结论是否成立，请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图 3，菱形 ABCD对角线的交点为点 O，点 P在线段 OB上，射线 PE交直线 AB于点 M，
绕点 P将射线 PE逆时针旋转 60°得到射线 PF，交直线 BC于点 N，若 AD＝6，AP＝2 7，当 BN
＝1时，请直接写出 AM的值．
【解答】解：（1）如图 1中，过点 P作 PK⊥BC于 K，PJ⊥AB于 J．
∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠DCB＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∵PK⊥BC，PJ⊥AB，
∴∠PKB＝∠PJB＝90°，
∵PB＝PB，
∴△PBJ≌△PBK（AAS），
∴PJ＝PK，BJ＝BK，
∴∠KPJ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠EPF＝∠KPJ，
∴∠KPN＝∠JPM，
∵∠PKN＝∠PJM＝90°，
∴△PKN≌△PJM（ASA），
∴PM＝PN，KN＝JM，
∴BM+BN＝BJ﹣JM+BK＝NK＝2BK，
∵∠BPK＝90°﹣60°＝30°，
∴PB＝2BK，
∴BM+BN＝PB．
故答案为：PM＝PN，BM+BN＝PB．
（2）结论不成立．关系式：BN﹣BM＝PB．
理由：如图 2中，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠DCB＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，
∵PK⊥BC，PJ⊥AB，
∴∠PKB＝∠PJB＝90°，
∵PB＝PB，
∴△PBJ≌△PBK（AAS），
∴PJ＝PK，BJ＝BK，
∴∠KPJ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠EPF＝∠KPJ，
∴∠KPN＝∠JPM，
∵∠PKN＝∠PJM＝90°，
∴△PKN≌△PJM（ASA），
∴PM＝PN，KN＝JM，
∴BM﹣BN＝BK+NK﹣（JM﹣BJ）＝BK+BJ＝2BK，
∵∠BPK＝90°﹣60°＝30°，
∴PB＝2BK，
∴BN﹣BM＝2BK＝PB．
（3）如图 3﹣1中，点 N在线段 BC上时，
∵△ADB是等边三角形，AC⊥BD，
∴AD＝BD＝6，OD＝OB＝3，
∴OA= 2 2 = 62 32 =3 3，
∴OP= 2 2 = (2 7)2 (3 3)2 =1，
∴PB＝OB﹣OP＝2，
由（1）可知 PB＝BM+BN，
∴BM＝2﹣1＝1，
∴AM＝AB﹣BN＝5，
当点 N在线段 CB的延长线上时，
∴BM＝BP+BN＝2+1＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣3＝3，
综上所述，AM的长为 3或 5
模块三：含 α对 180°-α模型
（一）例题讲解：
例 1：（2022 春 青秀区校级期末）
如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点 E、F分别在射线 CB、DC 1上，且∠ = 2∠ ，
当 BC＝4，DC＝7，CF＝1时，则△CEF的周长等于 ．
【解答】解：在 DF上截取 DM＝BE，
∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE----------------①
∵AB=AD----------------------②
DM＝BE----------------③
∴由②①③得△ADM≌△ABE（SAS），
∴AM＝AE---------------④
∠BAE＝∠DAM
∴∠BAD=∠BAM+∠DAM=∠BAM+∠DAM=∠EAM
∵∠EAF＝= 12∠BAD
∴∠EAF 1＝= 2∠EAM
∴∠EAF＝∠MAF----------------⑤
∵AF=AF-------------⑥
∴由④⑤⑥得△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝MF=CF+CM
∴△CEF的周长:CE+EF+FC
＝CE+FM+CF
＝BC+BE+CF+CM+CF
=BC+DM+CF+CM+CF
=BC+CD+2CF
∵BC＝4，DC＝7，CF＝1
∴△CEF的周长：4+7+2=13
故答案为：13．
例 2：（2026 光明区二模）
我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．
例如图 1所示，若∠A+∠C＝180°，AB＝CD，则称四边形 ABCD为对等补四边形，且有 AD∥BC．
（1）以下图形属于对等补四边形的有 ②④ （填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（2）如图 2，四边形 ABCD为对等补四边形（AB＝CD），小明发现当∠A＝90°时，四边形 ABCD恰好为矩形，
请你帮他证明这一结论；
（3）如图 3，四边形 ABCD为对等补四边形，AB＝CD＝5，BC＝11，对角线 AC平分角∠BCD，求线段 AC的
长度；
（4）在问题（3）的条件下，平面内存在点 E使得四边形 ABEC为对等补四边形，线段 DE与线段 AC交于点 Q，
请直接写出线段 DQ的长．
【解答】解：（1）由定义可知满足对角互补的只有矩形和正方形，其也都满足有一组对边相等，
故答案为：②④；
（2）证明：∵四边形 ABCD是对等补四边形，且 AB＝CD，
∴∠A+∠C＝180°，且 AD∥BC．
∵∠A＝90°，
∴∠C＝90°，
又∵AD∥BC，
∴∠D＝90°，
∴四边形 ABCD是矩形；
(3)过 A作 AN BC于点 N，作 AM CD延长线于点M
∵四边形 ABCD为对等补四边形
∴∠CDA+∠ABC＝180°
AB=CD=5
AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵CA平分∠BCD,AN BC,AM CD
∴∠ACB＝∠DCA
AN=AM---------------------①
∴∠DAC＝∠DCA
∴AD＝DC＝5---------------②
∴由①②得 Rt△ANB≌Rt△AMD(HL)
∴BN=DM
∵AC=AC---------------③
∴由①③得 Rt△ANC≌Rt△AMC(HL)
∴CN=CM
设 BN=DM=x
∵BC=11
∴CN=BC-BN=11-X
CM=CD+DM=5+X
∴11-X=5+X,解得 X=3
Rt△ANB中 AN=√AB^2 BN^2=4
∴CN=11-3=8
Rt△ANC中 AC=√AN^2+CN^2=4√5
（4）∵四边形 ABCD为对等补四边形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝DC＝AB＝5，
①当 AB＝CE＝5时，如图，
则 AC∥BE，∠BAC+∠CEB＝180°，
∴CD＝CE＝5，AD＝CD＝5，
又∵∠BAC＝∠ECA，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DAB＝∠DCE，
∵∠DAB＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴△ADC≌△ECD（SAS），
∴∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠DCE＝∠ACB，
∴DQ＝QC，
又∵△CDQ∽△CAD，
∴CD2＝CQ AC，
= 25 = 5 5∴ ，
4 5 4
= 5 5∴ 4 ；
②当 = = 4 5时，
如图，连接 BD，过点 B作 BH⊥DE于点 H，
此时 = = = 4 5，
∴ = 2 = 2 ∠ = 2 ∠ = 24 55 ，
∵△DQC∽△DCE，

∴ = ，

2
∴DQ= =
25 5
24 ；
5 5 25 5
综上，DQ的长为 或 ．
4 24
（二）巩固练习：

1、如图，已知四边形 ABCD的对角互补，且∠BAC＝∠DAC，AB＝15，AD＝12．过顶点 C作 CE⊥AB于 E，则

的值为（ ）
A．9 B． 73 C．7.2 D．6
【解答】解：如图，过点 C作 CF⊥AD交 AD的延长线于点 F，则∠CFD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CEB＝∠CFD，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，
∵四边形 ABCD的对角互补，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在△CEB和△CFD中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△CEB≌△CFD（AAS），
∴BE＝DF，
设 BE＝DF＝a，
∵AB＝15，AD＝12，
∴12+2a＝15，
∴a＝1.5，
∴AE＝12+a＝12+1.5＝13.5，BE＝a＝1.5，
13.5
∴ = = 9，
1.5
故选：A．
3
2、如图，点 O是四边形 ABCD对角线 AC、BD的交点，∠BAD与∠ACB互补， = ，AD＝6，AB＝7，AC＝5，
5
则 BC的长为 ．
【解答】解：过点 O作 OM∥AD交 AB于 M
5
∴ = = ，
3
AM= 3 ×7= 21 BM= 5 ×7= 35∴ 8 8 ， 8 8 ，
∵△BOM∽△BDA，

∴ = ，

∴OM= 154 ，
∵∠BAD+∠OMA＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，
∴∠OMA＝∠ACB，
∴△AMO∽△ACB，

∴ = ，

BC= 50∴ 7 ．
50
故答案为： ．
7
3、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点 F，∠AED和∠AGD互补，若 S△ADG＝40，S△AED＝22，则△EDF
的面积为 ．
【解答】解：过点 D作 DH⊥AC于点 H，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在 Rt△ADF和 Rt△ADH中，
=
= ，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴S△ADF＝S△ADH，
∵∠AED和∠AGD互补，
∴∠AED+∠AGD＝180°，
∵∠AED+∠FED＝180°，
∴∠AGD＝∠FED，
∵DF⊥AB，DH⊥AC，
∴∠EFD＝∠GHD，
在 Rt△DFE和 Rt△DHG中，
∠ = ∠
∠ = ∠
=
∴Rt△DFE≌Rt△DHG（AAS），
∴S△DEF＝S△DHG，
∵S△ADG＝40，S△AED＝22，
∴2S△EDF＝S△ADG﹣S△AED＝18，
∴S△EDF＝9．
故答案为：9．
4．（2025 罗湖区校级模拟）我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的
这组边称为“奇妙”边．
（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是 .（填写序号）
①平行四边形②矩形③菱形④正方形
（2）如图，在四边形 ABCD中，DB平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，请说明四边形 ABCD是“奇妙”四边形：
（3）已知在“奇妙”四边形 ABCD中，“奇妙”边为两相邻边，其中一条“奇妙”边 = 3，对角线 BD= 6，
∠ADC＝60°，求该“奇妙”四边形的周长．
【解答】解：（1）∵矩形，正方形的对角为 90°，对边相等，
∴矩形，正方形有两条边相等，一组对角互补，
∴矩形，正方形是奇妙”四边形，
∴选项中一定是“奇妙”四边形的是②④．
故答案为：②④；
（2）过点 D作 DE⊥AB于点 E，DF⊥BC，交 BC的延长线于点 F，如图，
∵DB平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵∠A+∠C＝180°，∠BCD＝∠DCF＝180°，
∴∠A＝∠DCF．
在△AED和△CFD中，
∠ = ∠
∠ = ∠ = 90°，
=
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AD＝DC．
∵∠A+∠C＝180°，
∴四边形 ABCD是“奇妙”四边形；
（3）①当 AB＝AD= 3时，
延长 CD至点 E，使 DE＝CB，连接 AC，AE，过点 A作 AF⊥CD于点 F，如图，
∵AB＝AD= 3，BD= 6，
∴AB2+AD2＝3+3＝6，BD2＝6，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE．
在△ABC和△ADE中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．
∵∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠DAE+∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
1
∴AF＝CF＝FE= 2CE．
∵∠ADC＝60°，
∴∠FAD＝30°，
DF= 1∴ 2AD=
3
2 ，
∴AF= 2 2 = 32．
∴CE＝2AF＝3．
∴该“奇妙”四边形的周长＝AB+AD+BC+CD＝2AB+CD+DE＝2AB+CE＝2 3 +3．
②当 AB＝BC= 3时，
延长 DC至点 E，使 CE＝AD，连接 BE，过点 B作 BF⊥CD于点 F，BH⊥AD，交 DA的延长线于点 H，如图，
∵四边形 ABCD是“奇妙”四边形，
∵∠A+∠DCB＝180°，
∵∠BCE+∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE．
在△ABD和△BCE中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴BD＝BE= 6，∠ADB＝∠E．
∵∠BAD+∠DCB＝180°，
∵∠BAD+∠BAH＝180°，
∴∠BAH＝∠BCD．
在△ABH和△FBC中，
∠ = ∠
∠ = = 90°，
=
∴△ABH≌△FBC（AAS），
∴BH＝BF，
∵BF⊥CD，BH⊥AD，
∴BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC= 12∠ADC＝30°，
∴∠E＝∠BDC＝30°．
∵BE＝BD，BF⊥DE，
1
∴EF＝DF= 2DE．
∵BF= 12BD=
6
2 ，
∴DF= 2 2 = 3 22 ，
∴DE＝3 2．
∴该“奇妙”四边形的周长＝AB+BC+AD+CD＝2AB+EC+CD＝2AB+DE＝2 3 +3 2．
综上，该“奇妙”四边形的周长为 2 3 +3或 2 3 + 3 2．

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