资源简介

罗湖区 2025 年中考备考“百师助学”课程
探究函数中平行四边形存在性问题
深圳市罗湖未来学校 周伟
学习目标
一、熟练掌握平行四边形顶点坐标公式的推导过程，并且能运用公式解决平行四边形存在性问
题。
二、经历从 “几何问题” 到 “代数方程” 的转化过程，深刻体会数形结合思想；通过分类
讨论，培养我们思维的严谨性和周密性。
三、建立 “模型化” 解题的思维习惯，提升数学核心素养，增强中考备考能力。
学习过程
平行四边形顶点坐标公式
模块一：平行四边形“单动点”题型
模块二：平行四边形“双动点”题型
模块三：矩形和菱形题型
温故知新：平行四边形顶点坐标公式
(1)复习中点坐标公式：
A x , y B x , y
如图，已知点 1 1 ， 2 2 ，点 C为线段 AB的中点，
则点 C的坐标为（_____,______）
(2)平行四边形顶点坐标公式
中点法（原理：对角线互相平分）
如图，□ABCD的顶点坐标分别为 A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
结论：____________________________
1
模块一：平行四边形“单动点”题型
例 1. 1如图所示，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+4交 x轴于点 A，直线 y= 2x+2交 x轴于点 B，两直线
交于点 C．平面直角坐标系内是否存在点 D，使得以 A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
例 2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD的点 B，点 C都在 x轴上，点 A在 y轴上，其中 OA
＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段 OD的中点．平面内是否存在一点 N，使以 A，D，E，N为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请直接写出点 N所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
2
模块一巩固练习
1
练习 1.如图所示，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+4 交 x轴于点 A，直线 y= 2x+2 交 x轴于点 B，两直
线交于点 C．平面直角坐标系内是否存在点 D，使得以 A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
练习 2.【材料阅读】小明偶然发现线段 MN的端点 M的坐标为（1，2），端点 N的坐标为（3，4），则这条
线段 MN中点的坐标为（2，3）．通过进一步探究，在平面直角坐标系中，以任意点 P（x1，y1），Q（x2，
y2）为端点的线段中点坐标为(
1+ 2 1+ ， 22 2 )．
（1）【知识运用】如图，平行四边形 OEFG的对角线相交于点 H，点 E在 x轴上，O为坐标原点，点 F
的坐标为（4，3），则点 H的坐标为 ；
（2）【能力拓展】在直角坐标系中，有 A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点 D与点 A，
B，C构成平行四边形，求点 D的坐标．
3
练习 3.如图，平面直角坐标系中，四边形 ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接
OD，点 E是线段 OD的中点．
（1）求点 E和点 D的坐标；
（2）平面内是否存在一点 N，使以 C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 N
的坐标；若不存在，请说明理由．
1
练习 4.如图，一次函数 y x 2 7，抛物线 y=-x2+ x+2 过 A，B两点．作垂直 x轴的直线 x＝2，在第一
2 2
象限交直线 AB于 M，交抛物线于 N，在平面直角坐标系内是否存在点 D，使以A，M，N，D为顶点的四边
形是平行四边形，若存在，请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
4
模块二：平行四边形“双动点”题型
例 1. 2 4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=- x2+ x+2。点 N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点
3 3
M，使得以 B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请
说明理由．
备用图
1
例 2. 如图，直线 y x 2与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，抛物线 y=-1x2+3x+2经过 A，B两点且与
2 2 2
x轴的负半轴交于点 C．已知 E，F分别是直线 AB和抛物线上的动点，当 B，O，E，F为顶点的四边形
是平行四边形时，请直接写出点 E的坐标．
备用图
5
模块二巩固练习
练习 1. 抛物线与 x轴交于点 A， B，与 y轴交于点C．已知 A( 3,0)，抛物线的顶点坐标为 ( 1, 4)，点 P是
抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图 1，点 P在线段 AC上方的抛物线上运动（不与 A，C重合），过点 P作 PD AB，垂足为D，PD交
AC于点 E．作 PF AC，垂足为 F ，求 PEF 的面积的最大值；
(3)如图 2，点Q是抛物线的对称轴 l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点 P，使得以点 A， P，C，Q
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，说明理由．
练习 2. 如图，直线 y 1 1 x 2 2与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，抛物线 y x bx c经过 A，B
2 2
两点且与 x轴的负半轴交于点 C．
⑴ 求抛物线的表达式；
⑵ 已知 E，F分别是直线 AB和抛物线上的动点，当 B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，请
直接写出点 E的坐标．
备用图
6
练习 3．如图，直线 y=﹣ x+3与 x轴交于点 C，与 y轴交于点 B，抛物线 y=ax2+ x+c经过 B、
C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点 E的坐
标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点 E作 y轴的平行线交直线 BC 于点M，连接 AM，点 Q是抛物
线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行
四边形？如果存在，请直接写出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2
练习 4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= 3x
2+bx+c（a≠0）与 x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）
两点，与 y轴交于点 C，连接 BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点 D在第一象限抛物线上一点，连接 BC、DC，若∠DCB＝2∠ABC，求点 D的坐标；
（3）若点 N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得 B，C，M，N为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
7
模块三：矩形和菱形题型
例 1：（四边形为矩形时）抛物线 y=-3x2+9x+3与 x轴交于点 A( 1,0)和点 B，与 y轴交于点C(0,3) .点 E在直
4 4
线 x 1上，点 F在平面内，当以点 A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点 F的坐标.
例 2（四边形为菱形时）如图，抛物线 y=-x2+2x+3过点 A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3).若点M是抛物线对称
轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以 BC为边，点 B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存
在，请直接写出点 N的坐标;若不存在，请说明理由.
8
模块三巩固练习
练习 1：如图，抛物线 y=x2+6x+5经过 A、B两点，顶点为 M，对称轴 l与 x轴交于点 D，与直线 AC交于点
E．设 G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点 G，使得以 A、C、G、K为顶点的
四边形是矩形，若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由
练习 2．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝﹣x+3与 y轴交于点 A，与 x轴交于点 B，抛物线 y=x2-4x+3
经过 A，B两点，并与 x轴交于另一点 C，顶点为点 D．点 G在平面内，则以点 A，B，E，G为顶点的四边
形能否成为矩形？若能，求出此时点 E的坐标；若不能，请说明理由．
9
练习 3．已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2-2x-3经过点 B 3,0 ,C 0, 3 ，点 P（4，5）。如图 2，
若 E是 y轴右侧抛物线上的一个动点，过点 E作EF x轴交直线 BC于点 F ，在平面内找一点G，使得以
点O,C,F ,G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
练习 4．如图，二次函数 y=x2-2x-3的图象交 x轴于点 A，B，交 y轴于点C，点 B的坐标为 1,0 ，对称轴是
直线 x 1，点 P是 x轴上一动点， PM x轴，交直线 AC于点M ，交抛物线于点N．若点 P在 x轴上运
动，则在 y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足
条件的点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
10探究函数中平行四边形存在性问题
详解答案
模块一：平行四边形“单动点”题型
例 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x＋4交 x轴于点 A，直线
y 1＝﹣ x＋2交 x轴于点 B，两直线交于点 C．平面直角坐标系内是否存在点
2
D，使得以 A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写
出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为(﹣
34 12 14 12 26 12
， )，( ，﹣ )或( ， )，
5 5 5 5 5 5
如右图所示，
∵直线 y＝2x＋4 交 x 轴于点 A，
∴当y＝0时，x＝﹣2，∴点A的坐标为(﹣2，0)，
1
∵直线 y＝﹣ x＋2交 x 轴于点 B，
2
∴当 y＝0时，x＝4，∴点 B的坐标为(4，0)，
y=2x+4 x= 4
由 1 ，得 5
4 12
y= x+2 12 ，∴点 C的坐标为(﹣ ， )，5 5
2 y= 5
设 D(x,y),分情况讨论
①当 AC 为对角线时
4+( 2)=x+4 x= 34
5 34 12
12 ，得
5 ， ∴D( , )
+0=y+0 y= 12 5 5
5 5
②当 AB 为对角线时
( 2)+4= 4+x x= 14
5 5 14 12，得
0+0= 12+y y= 12
， ∴D( , )
5 5
5 5
③当 BC 为对角线时
4+4= 2+x x= 34
5 5 34 12
12 ，得 ， ∴D( , )+0=0+y y= 12 5 5
5 5
34 12 14 12 26 12
由上可得，点 D的坐标为(﹣ ， )，( ，﹣ )或( ， )．
5 5 5 5 5 5
1
例 2．如图，平行四边形 在直角坐标系中，点 、点 都在 轴上，其中 = 4， = 3， = 6，
是线段 的中点．平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在，理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=6，
∵OB=3， ∴OC=6-3=3，
∴点 C的坐标为(3，0)，点 D的坐标为(6，4)；
∵E是线段 OD的中点，
6+0 4+0
∴点 E的坐标为( ， )，即(3，2)，
2 2
设点 N的坐标为(x，y)，
①当 AD 为对角线时，
x+3 = 6+0 y+2， = 4，解得：x = 3，y = 6，∴N1的坐标为(3，6)；2 2 2
②当 DE 为对角线时，
x+0 = 6+3 y+4 = 4+2， ，解得：x = 9，y = 2，∴N2的坐标为(9，2)；2 2 2 2
③当 AE 为对角线时，
x+6 = 0+3 y+4， = 0+2，解得：x = 3，y = 2，∴N3的坐标为( 3， 2) ．2 2 2 2
综上：点 N的坐标为(3，6)，(9，2)或( 3， 2)
练习 1．如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ， （点 在 轴负半轴上），直线 = 2 + 4 经过点 ，交
轴于点 ，且 △ = 6．
（1）求直线 的解析式；
（2）平面内是否存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平
行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
解：（1）由题意得，B 0,4 ，C 2,0 ，
∴OB = 4，OC = 2，
∵S△ABC = 6，
1
∴ OB AC = 6，
2
∴AC = 3，∴A 1,0 ，
2
设直线 AB的解析式为：y = kx + b，
∵函数图象经过点（﹣1，0），（0，4）
k+ b = 0 k = 4
∴ b = 4 ，解得 b = 4，∴直线 AB的解析式为 y = 4x + 4．
故答案为：y = 4x + 4；
（2）设点 D的坐标为（m，n），分三种情况考虑（如图）：
①当 AB为对角线时，∵A 1,0 ，B 0,4 ，C 2，0 ，
m+ 2 = 1+ 0 m = 3
∴ n + 0 = 0 + 4 ，解得： n = 4 ，
∴点D1的坐标为 3,4 ；
②当 AC为对角线时，∵A 1,0 ，C 2，0 ，B 0,4 ，
m+ 0 = 1+ 2 m = 1
∴ n + 4 = 0 + 0 ，解得： n = 4，
∴点D2的坐标为 1, 4 ；
③当 AD为对角线时，∵C 2，0 ，B 0,4 ，A 1,0
m+ 1 = 0 + 2 m = 3
∴ n + 0 = 4 + 0 ，解得： n = 4 ，
∴点D3的坐标为 3,4 ．
综上，D1 3,4 ，D2 1, 4 ，D3 3,4 ．
练习 2．【材料阅读】小明偶然发现线段 的端点 的坐标为 1,2 ，端点 的坐标为 3,4 ，则这条线段
中点的坐标为 2,3 ．通过进一步探究，在平面直角坐标系中，以任意点 1, 1 ， 2, 2 为端点的线段中
+ +
点坐标为 1 2 , 1 2 ．
2 2
(1)【知识运用】如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，点 在 轴上，
为坐标原点，点 的坐标为 4,3 ，则点 的坐标为______；
3
(2) 【能力拓展】在直角坐标系中，有 1,2 ， 3,1 ， 1,4 三点，另有一点 与点 ， ， 构成平行四
边形，求点 的坐标．
（1）解：设 H的坐标为 x, y ，
∵ F 4，3 ，O 0，0 ，H为 OF中点，
∴ x = 4+0 = 2，y = 3+0 = 3．
2 2 2
3 3
∴点 H的坐标为 2, ， 故答案为： 2, ；
2 2
（2）解：设 D点的坐标为 m,n ，
5
当 BC为对角线时，BC的中点坐标为 2, ．
2
∵ A点的坐标为 1，2
m 1 = 2
∴ 2 m = 5n+2 = 5
解得 n = 3
2 2
∴此时 D点的坐标为 5,3 ，
当 AC为对角线时，
同理求得 D点的坐标为 3,5 ，
当 AB为对角线时，
同理求得 D点的坐标为 1, 1 ，
∴点 D的坐标为 5,3 或 3,5 或 1, 1 ．
练习 3．如图，平面直角坐标系中，四边形 ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连
接 OD，点 E是线段 OD的中点．
（1）求点 E和点 D的坐标；
（2）平面内是否存在一点 N，使以 C、D、E、N为
顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点 N的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），
∴OA=OB=3，OC=4，CD⊥OC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
4
∴CD=AB=6，CD∥AB，
∴点 D的坐标为（-6,4）；
过点 E作 EF⊥OC 于 F，EH⊥CD 与 H，则四边形 EFCH 是矩形，
∵点 E是线段 OD的中点，
∴CE=OE=DE，
∴CH=DH=3，CF=OF=2，
∴点 E的坐标为（-3,2）；
（2）存在点 N，使以 C、D、E、N 为顶点的四边形是平行四边形
∵C（0，4），D（-6,4），E（-3,2），
∴当点 N与点 D为对角顶点时，N(3,2)；
当点 N 与点 C为对角顶点时，N(-9,2)；
当点 N 与点 E为对角顶点时，N(-3,6)；
∴点 N 的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)．
练习 4．如图，直线 = + 2 交 y轴于点 A，交 x轴于点 B，抛物线 = 2 + + 过 A，B两点．
(1)求这个抛物线的解析式．
(2)作垂直于 x轴的直线 = ，在第一象限交直线 于点 M，交这条抛物线于点 N．当 t取何值时， 有
最大值？最大值是多少？
5
(3)在（2）的情况下，是否存在点 D，使以 A，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵直线 y = x + 2交 y轴于点 A，交 x轴于点 B，
∴点 A的坐标是 0,2 ，点 B的坐标是 2,0 ．
∵抛物线 y = x2 + bx + c过 A，B两点，
∴ 4 + 2b + c = 0c = 2 ，
∴ b = 1, c = 2，
∴抛物线的解析式为 y = x2 + x + 2．
（2）解：直线 x = t与直线 y = x + 2的交点 M的坐标是 t, t + 2 ．
直线 x = t与抛物线 y = x2 + x + 2的交点 N的坐标是 t, t2 + t + 2 ，
∴MN = t2 + t + 2 t + 2 = t2 + 2t．
∴当 t = 1时，MN有最大值，MN最大值为 1．
（3）解：存在．
由（1）（2）知，点 M的坐标是 1,1 ，点 N的坐标是 1,2 ，点 A 0,2 ．
当 MN为平行四边形的边时，
则 MN ∥ AD且 AD = MN = 1，则点 D的坐标为 0,1 或 0,3 ．
3
当 MN为平行四边形的对角线时，设MN的中点为 Q，则 Q的坐标为 1, ，
2
又∵Q为 AD的中点，
∴点 D的坐标是 2,1 ．
综上，点 D的坐标为 0,1 或 0,3 或 2,1 ．
6
模块二：平行四边形“双动点”题型
例 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2 + + 2( ≠ 0)与 轴交于 1,0 ）， 3,0 两点，
与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 ，使得以 , , , 为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点 A 1,0 , B 3,0 代入 y = ax2 + bx + 2，
2 4
可得 a = , b = ，
3 3
∴ y = 2 x2 + 4 x + 2； ∴对称轴 x = 1；
3 3
（2）存在点 M使得以 B, C,M, N为顶点的四边形是平行四边形，设 N 1,n ,M x, y ，
①当 CN 为对角线时，
1 3 + x
=
2 2
10
∴ x = 2 ∴ M 2,
3
②当 CB为对角线时，
3 1 + x
=
2 2
∴ x = 2， ∴ M(2,2)；
③当 NB为对角线时，
1+3 = x，
2 2
∴ x = 4， ∴ M 4, 10 ；
3
10 10
综上所述：M 2,2 或M 4, 或 M 2, ；
3 3
7
例 2 1．如图，在平面直角坐标系中，直线 = + 2 与 x轴交于点 ，与 1轴交于点 ，抛物线 = 2 + +
2 2
经过 , 两点且与 x轴的负半轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 为直线 上方抛物线上的一个动点，当∠ ＝2∠ 时，求点 的坐标；
(3)已知 , 分别是直线 和抛物线上的动点，当 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所
有符合条件的 点的坐标．
(1) 1解：在 y = x + 2中，令 y = 0，得 x = 4，令
2
x = 0，得 y = 2
∴ A（4，0）, B（0，2）
把A 1（4，0）, B（0，2），代入y = x2 + bx + c，
2
得
c = 2
1 b =
3
× 16+ 4b + c，解得 2
2 c = 2
∴ 1抛物线得解析式为 y = x2 + 3 x + 2
2 2
(2)①当 BE为对角线时， OB//EF，OB＝EF
设 E(m, 1m+ 2), F(m, 1m2 + 3m+ 2)
2 2 2
1 1 3
EF = |( m+ 2) ( m2 + m+ 2)| = 2
2 2 2
解得 m1 = 2,m2 = 2 2 2,m3 = 2 + 2 2
②当 BO为对角线时，OB与 EF互相平分
过点 O作 OF//AB 1，直线 y = x交抛物线于点 F(2 + 2 2,
2
1 2),(2 2 2, 1 + 2)
2
求得直线 EF解析式为 y = x + 1
2
直线 EF与 AB的交点为 E，点 E的横坐标为 2 2 2或
2 2 2
∴ E点的坐标为(2,1)或(2 2 2, 1 + 2)或(2 + 2 2, 1 2)
或( 2 2 2, 3 + 2)或( 2 + 2 2, 3 2)
8
练习 1．抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．已知 ( 3,0)，抛物线的顶点坐标为( 1,4)，点 是抛
物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图 2，点 是抛物线的对称轴 l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为( 1,4)，
∴假设抛物线的表达式为 y = a x + 1 2 + 4，
将 A( 3,0)代入得，0 = a 3 + 1 2 + 4，
解得 a = 1，
∴抛物线的表达式为 y = x + 1 2 + 4 = x2 2x + 3；
（2）解：令 x = 0,则 y = 3， ∴C 0,3 ，
分两种情况讨论，
①当 AP为对角线时，如图，∴点 P坐标为(2, 5)或( 4, 5)；
②当 AC对角线时
∴ P( 2,3)；
综上所述，点 P的坐标为(2, 5)或( 4, 5)或( 2,3)．
9
1
练习 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 = + 2 与 轴交于点 ，与 1轴交于点 ，抛物线 = 2 +
2 2
+ 经过 ， 两点且与 轴的负半轴交于点 ．
（1）求该拋物线的解析式；
（2）已知 ， 分别是 轴和拋物线上的动点，当以 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形时，宜接写出所有符合条件的 点的
坐标．
解：（1）在 y=-1x+2中，
2
令 y=0，得 x=4；令 x=0，得 y=2，
∴A（4，0），B（0，2），
把 A（4，0），B（0，2）代入 y=-1x2+bx+c，
2
1 × 16+ 4b + c = 0
得 2 ，
c = 2
b = 3
解得： 2，
c = 2
1 3
∴抛物线的解析式为 y=- x2+ x+2；
2 2
（2）A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形分以下两种情况：
①AF为对角线时，如图：
∴F（3，2）；
②AB为对角线，如图：
∴F（3，2），
③当 BF为对角线时，如图
F 3+ 41 3 41∴ （ ，-2）或（ ，-2）
2 2
3+ 41 3 41
综上，点 F的坐标为（3，2）或（ ，-2）或（ ，-2）．
2 2
10
3
练习 3．如图，直线 y=﹣ x+3与 x轴交于点 C，与 y轴交于点 B，抛物线 y=ax2+3x+c经过 B、C两点．
4 4
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点 E的坐标和△BEC
面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点 E作 y轴的平行线交直线 BC于点M，连接 AM，点 Q是抛物线对称轴上的
动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接
写出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由．
3
解：（1）∵直线 y=﹣ x+3与 x轴交于点 C，与 y
4
轴交于点 B，
∴点 B的坐标是（0，3），点 C的坐标是（4，0），
∵抛物线 y=ax2+3x+c经过 B、C两点，
4
16a + 3 × 4 + c = 0 a = 3
∴ 4 ，解得 8，
c = 3 c = 3
∴y= 3 3﹣ x2+ x+3．
8 4
（2）如图 1，过点 E作 y轴的平行线 EF交直线 BC于点M，EF交 x轴于点
F，
∵点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点，
3
∴设点 E的坐标是（x，﹣ x2+3x+3 3），则点M的坐标是（x，﹣ x+3），
8 4 4
EM= 3x2+3x+3 3x+3 = 3∴ ﹣ ﹣（﹣ ） ﹣ x2+3x，
8 4 4 8 2
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC=1EM·OC=1 3 3 3×（﹣ x2+ x）×4=﹣ x2+3x= 3﹣ （x﹣2）2+3，
2 2 8 2 4 4
∴当 x=2时，即点 E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是 3．
（3）在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图 2，当 AQ为对角线时
21
∴点 P的坐标是（﹣3，﹣ ）．
8
②如图 3，当 QM为对角线时
11
21
∴点 P的坐标是（5，﹣ ）．
8
③如图 4，当 AM为对角线时
15
∴点 P的坐标是（﹣1， ）．
8
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是
P 3 21 5 21平行四边形，点 的坐标是（﹣ ，﹣ ）、（ ，﹣ ）、（﹣1 15， ）．
8 8 8
2
练习 4．综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = x2 + bx + c a ≠ 0 与 x轴交于 A 1,0 、
3
B 3,0 两点，与 y轴交于点 C，连接 BC．
(1)求抛物线的解析式；
(3)若点 N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得 B，C，
M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的
点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
（1）解：∵抛物线 y = x2 + bx + c a ≠ 0 与 x轴交于 A 1,0 、
3
B 3,0 两点，
∴设抛物线解析式为 y = a x + 1 x 3 a = 2， ，
3
∴抛物线解析式为 y = 2 x + 1 x 3 2，即 y = x2 + 4 x + 2；
3 3 3
（2）解：存在；
4
2 4
∵抛物线的解析式为 y = x2 + x+ 2，∴抛物线对称轴为直线 x = 3 = 1，
3 3 2×( 23)
设 N 1, a ，
2 4
∵抛物线解析式 y = x2 + x+ 2中，∴C 0,2 ，
3 3
①当 BM为对角线时，
∵N 1, a ，B 3,0 ，C 0,2 ，
∴1 0 + 3 = 4，a 2+ 0 = a 2，则M 4, a 2 ，
把 M 4, a 2 代入 y = 2 x2 + 4 x + 2，得：a 2 = 2 × 16+ 4 × 4 + 2 = 10，
3 3 3 3 3
12
∴M 4, 10 ；
3
②当 CN为对角线时，
∵N 1, a ，B 3，0 ，C 0,2 ，
∴1 3 + 0 = 2，a 0 + 2 = a + 2，则M 2,2 + a ，
把 M 2,2 + a 代入 y = 2 x2 + 4 x + 2，得：2 + a = 2 × 4 + 4 × 2 + 2 = 10，
3 3 3 3 3
∴M 2, 10 ；
3
③当 BC为对角线时，
∵N 1, a ，B 3，0 ，C 0,2 ，
∴0 1 + 3 = 2，2 a + 0 = 2 a，则M 2,2 a ，
M 2,2 a y = 2 x2 + 4把 代入 x + 2，得：2 a = 2 × 4 + 4 × 2 + 2 = 2，
3 3 3 3
∴M 2,2 ．
综上所述，满足条件的 M点坐标为 4, 10 或 2, 10 或 2,2 ．
3 3
13
模块三：矩形和菱形题型
例 1：（四边形为矩形时）抛物线 y=-3x2+9x+3与 x轴交于点 A( 1,0)和点 B，与 y轴交于点C(0,3) .点 E在直
4 4
线 x 1上，点 F在平面内，当以点 A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点 F的坐标.
解：设 E 1, e ，连接 AE，
∵A( 1,0)，C(0,3)，
∴AE2 = 4 + e2，AC2 = 10，CE2 = 1 + 3 e 2，
若以点 A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，则
△ACE为直角三角形，设 F xF, yF ,
①当∠ACE = 90°时，AE2 = AC2 +EC2，
∴1 + 3 e 2 + 10 = 4 + e2， ∴e = 8，
3
此时 AE与 CF为对角线，
1+1 = 0+x∴ F 7，解之得xF = 0，则yF = ，2 2 3
∴F 0, 1 ，
3
②当∠CAE = 90°时，CE2 = AC2 + AE2，
∴1 + 3 e 2 = 4 + e2 + 10 2，∴e = ，
3
此时 CE与 AF为对角线，
0+1 = 1+xF 7∴ ，解之得xF = 2，则yF = ，2 2 3
F 2, 7∴ ，
3
③当∠CAE = 90°时，AC2 = CE2 + AE2，
∴10 = 1 + 3 e 2 + 4 + e2， ∴e = 1或 e = 2，
此时 AE与 CF为对角线，
1+0
∴ = 1+xF，解之得xF = 2，则yF = 2或 1，2 2
∴F 2,2 或 F 2,1 ，
7 1
综上所述：当以点 A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，点 F的坐标为 F 2, 或 F 0, 或
3 3
F 2,2 或 F 2,1 ．
14
例 2（四边形为菱形时）如图，抛物线 y=-x2+2x+3过点 A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3).若点M是抛物线对称
轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以 BC为边，点 B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存
在，请直接写出点 N的坐标;若不存在，请说明理由.
解：存在， 4, 17 或 4, 17 或 2, 14 + 3 ， 2, 14 + 3 ，证明如下：
∵B 3,0 , C 0,3 ，
∵抛物线的解析式为 y = x2 + 2x + 3，
∴对称轴为：x = 1，
设点M(1, t)，N(x, y)，
①若 BC为菱形的边长，菱形 BCMN，
则BC2 = CM2，即 18 = 12 + (t 3)2，
解得：t1 = 17 + 3，t2 = 17 + 3，
3 + 1 = 0 + x
∵ 0 + t = 3 + y ，
∴x = 4, y = t 3，
∴N1 4, 17 ，N2 4, 17 ；
②若 BC为菱形的边长，菱形 BCNM，
则BC2 = BM2，即 18 = (3 1)2 + t2，
解得：t1 = 14，t2 = 14，
3 + x = 0 + 1
∵ 0 + y = 3 + t ，
∴x = 2, y = 3 + t，
∴N3 2, 14 + 3 ，N4 2, 14 + 3 ；
综上可得：
4, 17 或 4, 17 或 2, 14 + 3 ， 2, 14 + 3 ．
15
练习 1：如图，抛物线 y=x2+6x+5经过 A、B两点，顶点为 M，对称轴 l与 x轴交于点 D，与直线 AC交于点
E．设 G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点 G，使得以 A、C、G、K为顶点的
四边形是矩形，若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由
解：存在，
要使以 A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则△ ACG一定是直角三角形，
∵点 G在对称轴上，
∴设点 G的坐标为 3, g ，
由勾股定理，得 AC2 = 52 + 52 = 50, CG2 = 0+ 3 2 + g 5 2 = g2 10g +
34，AG2 = 5 + 3 2 + g 0 2 = g2 + 4，
①若∠ACG = 90°，则 AC2 + CG2 = AG2,
即 50 + g2 10g + 34 = 4 + g2，
得 g = 8，
此时点 G的坐标为 3,8 ，
② 若∠CAG = 90°，则 AC2 + AG2 = CG2,即 50 + 4 + g2 = g2 10g + 34，
解得 g = 2，
此时点 G的坐标为 3, 2 ，
③ 若∠CGA = 90°，则 CG2 + AG2 = AC2,即g2 10g + 34 + 4 + g2 = 50，
解得g 1 = 6, g 2 = 1，
此时点 G的坐标为 3,6 或 3, 1 ，
综上可知，点 G的坐标为 3,8 或 3, 2 或 3,6 或 3, 1 ．
16
练习 2．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝﹣x+3与 y轴交于点 A，与 x轴交于点 B，抛物线 y=x2-4x+3
经过 A，B两点，并与 x轴交于另一点 C，顶点为点 D．点 G在平面内，则以点 A，B，E，G为顶点的四边
形能否成为矩形？若能，求出此时点 E的坐标；若
不能，请说明理由．
解：（1）在 y=-x+3中令 x=0得到 y=3，令 y=0
得到 x=3，
∴A、B坐标分别为（0，3）、（3，0），
设抛物线的函数表达式为 y = ax2 + bx + c，
c = 3
则由题意可得： 9a + 3b + c = 0，
b = 2
2a
a = 1
∴ b = 4，
c = 3
∴所求抛物线的函数表达式为 y = x2 4x + 3；
∠ABD=90°，所以当 E点为 D点时，以点 A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形，即 E点坐标为（2，
-1）．
练习 3．已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2-2x-3 经过点B 3,0 ,C 0, 3 ，点 P（4，5）。如图 2，
若 E是 y轴右侧抛物线上的一个动点，过点 E作EF x轴交直线 BC于点 F ，在平面内找一点G，使得以
点O,C,F ,G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
解：存在，理由如下
设直线 BC的解析式为 y = k1x + b(k1 ≠ 0)，
将 B 3,0 、C 0, 3 分别代入，得
3k1 + b = 0，
b = 3
∴直线 BC的解析式为 y = x 3，
∵F在直线 BC上，
∴设 F n, n 3 ，
①当 OC为对角线时，如图
∵四边形 OCFG是菱形，且 OC在 y轴上，
∴F、G关于 y轴对称，
17
∴点 F 3的纵坐标为 n 3 = ，
2
解得 n = 3，即 F( 3 , 3 )，
2 2 2
∴G( 3 , 3 )；
2 2
②当 OC为边，CF为边时，如图
∵四边形 OCFG是菱形，且 OC在 y轴上，F n, n 3
∴OC = CF = GF = 3，
∵CF = n2 + (n 3 + 3)2，
∴ n2 + (n 3 + 3)2 = 3，
解得 n =± 3 2，
2
n = 3 2 n 3 = 3 2 6当 时， ，
2 2
F 3 2 , 3 2 6∴ ，
2 2
G 3 2 , 3 2 6则 + 3 ，
2 2
3 2 3 2
∴G , ．
2 2
当 n = 3 2时，n 3 = 3 2 3，
2 2
∴F 3 2 , 3 2 3 ，
2 2
则 G 3 2 , 3 2 3+ 3 ，
2 2
∴G 3 2 , 3 2 ．
2 2
如图所示
∴点 G 3 2 3 2 3 2 3 2的坐标为 , 或 , ；
2 2 2 2
③当 OC为边，CF为对角线时，有 OC = OF = 3，
如图
此时点 F与点 B，E重合，不符合题意，
或此时点 F与点 C，E重合，不符合题意，如图所示
G ( 3 , 3 ) 3 2 3 2 3 2 3 2综上所述，点 的坐标为 或 , 或 , ．
2 2 2 2 2 2
18
练习 4．如图，二次函数 y=x2+2x-3 的图象交 x轴于点 A，B，交 y轴于点C，点 B的坐标为 1,0 ，对称轴是
直线 x 1，点 P是 x轴上一动点， PM x轴，交直线 AC于点M ，交抛物线于点N．若点 P在 x轴上运
动，则在 y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足
条件的点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
（3）解：存在．
∵y = x2 + 2x 3 = x + 1 2 4，
∴D 1, 4 ，
设 E 0, t ，
①当 DF为菱的对角线时，如图，
∴AD = DE，
∴ 3 + 1 2 + 0+ 4 2 = 1 2 + 4 t 2，
整理得，t2 + 8t 3 = 0，
解得 t = 4 + 19或 t = 4 19，
∴E 0, 4 + 19 或E' 0, 4 19 ；
②当 EF为矩形的对角线时，如图，
∴AE = DE，
19
∴ 3 2 + 0 t 2 = 1 2 + 4 t 2，
整理得，8t = 8，
解得 t = 1，
∴E 0, 1 ；
③当 AF为矩形的对角线时，如图，
∴AE = AD，
∴ 3 2 + 0 t 2 = 3+ 1 2 + 42，
整理得，t2 = 11，
解得 t = 11或 t = 11，
∴E 0, 11 或 0, 11 ；
综上，存在 E点坐标为 0, 4 + 19 或 0, 4 19 或 0, 1 或 0, 11 或 0, 11 使得以 A、D、E、
F为顶点的四边形是菱形．
20

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