资源简介

隐圆中的最值问题 自主学习单答案
深圳市翠园文锦中学辜靖晶
知识技能梳理
隐圆问题是中考几何动态最值的核心难点，也是优生培优的重点内容。本专题梳理定点
定长、四点共圆、定弦定角三大核心模块，通过构造隐形圆将动点轨迹化隐为显。解题紧扣
两类基本最值：点圆最值用“一箭穿心”，线圆最值用“垂线穿心”，由基本题型延伸各类变
式。精选例题与配套练习，强化轨迹识别、构图与计算能力，提升几何直观与逻辑推理，助
力学生突破难点、冲刺中考高分。
学习过程
活动 1：已知点 A是平面内一点，点 P是⊙O 上的动点 ，分别画出 PA最大和最小时，点 P
的位置。
小结：
活动 2：已知直线 l，点 P是⊙O 上的动点 ，分别画出点 P到直线 l的距离最大和最小时，
点 P的位置。
小结：
模块一：定点定长
活动 3：在平面内 ，A为定点，B 为动点，且 AB=1cm，画出 B 的轨迹.
动点 B 的轨迹是 。
在平面内 ，A为定点，AB=AC=AD=2cm，则点 B、C、D 有
什么位置关系？
共圆.在以点 A为圆心，以 AB长为半径的圆上.
1
典例精析
【题型一】翻折型定长
例 1 如图 ，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6 ，BC＝8 ，点 M 是
BC 边上一动点(点 M 不与 点 B ，C 重合) ，连接 AM，将△ABM 沿
AM 对折得到△APM，线段 CP的最小值为 4 。
解：如图 ，连接 AC
练 1 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 F在边 AC上，并
且 CF=2，点 E为边 BC上的动点，将△CEF沿直线 EF翻折，点 C落在点 P
处，则点 P到边 AB距离的最小值是___1.2___。
【分析】本题主要考查的是翻折的性质，熟练掌握翻折的性质、垂线段的性
质是解的关键．先依据勾股定理求得 AB的长，然后依据翻折的性质可知 PF = FC，故此点
P在以 F为圆心，以 2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当 FP ⊥ AB时，点 P到 AB的距
离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示：当 PE P AB．
由翻折的性质可知： PF = FC = 2，∠FPE = ∠C = 90°．
2
QPE∥AB，
∴∠PDB = 90°．
由垂线段最短可知此时 FD有最小值．
又Q FP为定值，
∴PD有最小值．
又Q∠A = ∠A，∠ACB = ∠ADF ，
∴△AFD∽△ABC．
∴ AF DF= ，
AB BC
4 DF
即 = ，
10 8
解得： DF = 3.2．
∴ PD = DF FP = 3.2 2 = 1.2．
故答案为：1.2
练 2、如图，在边长为 2的菱形 ABCD中，∠A=60°，M是 AD
边的中点，N是 AB边上的一动点，将△AMN沿 MN所在直线
翻折得到△ A'MN，连接 A'C，则 A'C 长度的最小值是
____ 7 1__。
【分析】根据题意，在 N的运动过程中 A′在以 M为圆心、 AM
为直径的圆上的弧 AD上运动，当 A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时 M、 A′、C
三点共线，得出 A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 A′C的长即可．
【详解】解：如图所示：∵MA′是定值， A′C长度取最小值时，即 A′在MC上时，
过点 M作MF ⊥ DC于点 F，
∵在边长为 2的菱形 ABCD中，∠A = 60°，M为 AD中点，
∴ 2MD = AD = CD = 2，∠FDM = 60°，
∴∠FMD = 30°，
FD 1 1∴ = MD = ，
2 2
∴ FM = DM × cos30 3° = ，
2
∴MC = FM 2 + CF 2 = 7，
∴ A′C = MC MA′ = 7 1．
3
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含30°角直
角三角形的性质，勾股定理等，找到当点 A′在MC上， A′C的长度最小，是解题的关键．
【题型二】斜边定长
例 2有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住
位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、
梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，
∠ABC = 90°，点M ， N分别在射线 BA， BC上，MN长度始终
保持不变，MN = 4，E为MN的中点，点D到BA， BC的距离
分别为 4和 2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为
___ 2 5 2 ______．
【分析】根据当 B、D、 E三点共线，距离最小，求出 BE和 BD即可得出答案．
【详解】如图当 B、D、 E三点共线，距离最小，
∵MN = 4，E为MN的中点，
∴ BE = 2，BD = 42 + 22 = 2 5，
DE = BD BE = 2 5 2，
故答案为： 2 5 2．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股
定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
练 1、菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点O，点 E、F分别是 AC
和 BD上的动点，且 EF = 6，点 P为 EF的中点，已知 AC = 16，
BD =12，连接 BP、CP，求VBPC面积的最大值 39 。
解：如图 2中，作OH ⊥ BC于点 H，连接OP，
∵菱形 ABCD中，
∴ AC ⊥ BD，
∵ AC = 16， BD =12，
OA 1 1∴ = OC = AC = 8，OD = OB = BD = 6，
2 2
∴ BC = 62 + 82 = 10，
∵OH ⊥ BC
OH 6×8 24∴ = = ，
10 5
∵ EF = 6，点 P为EF的中点，∠EOF = 90°，
4
OP 1∴ = EF = 3，
2
∴点 P在以 O为圆心，3为半径长的圆 O上，
1 1 24
∴当 P在HO的延长线上时，△BP′C的面积最大，最大值= BC P′H = ×10× 3 + = 392 2 5
练 2、如图，矩形 ABCD中，AB=4，AD=6，点 E、F分别为 AD、DC边
上的点，且 EF=4，点 G为 EF的中点，点 P为 BC上一动点，则 PA+PG
的最小值为__8____。
【分析】根据 EF=2，点 G为 EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的
性质得出 DG=2，可知 G点的轨迹为：交以 D为圆心，以 2为半径的圆
弧（一部分），作 A关于 BC的对称点 A′，连接 A′D，交 BC于 P，交以 D为圆心，以 2为
半径的圆于 G，此时 PA+PG的值最小，最小值为 A′G的长；根据勾股定理求得 A′D = 10，
即可求得 AⅱG = A D - DG =10 - 2 = 8，即问题得解．
【详解】解：∵EF=4，点 G为 EF的中点，
∴DG=2，
∴G点的轨迹是以 D为圆心，以 2为半径的圆弧（一部分），
作 A关于 BC的对称点 A′，连接 A′D，交 BC于 P，当 G点
刚好在直线 A′D上时，此时 PA+PG的值最小，最小值为 A′G
的长；
∵AB=4，AD=6，
∴ AA′ = 8，
∴在 Rt△ AA′D利用勾股定理有 A′D = 10，
∴ AⅱG = A D - DG =10 - 2 = 8，
∴PA+PG的最小值为 8，
A
【题型三】旋转型定长
例 3 如图，等边三角形 ABC和等边三角形 ADE，点 N、点M分别
M
为 BC、DE的中点，AB=6，AD=4，△ADE绕点 A旋转的过程中， E
MN的最大值为 ______ ，最小值为______。 D
B N C
∵△ABC、△ADE是等边三角形，
AB=6，AD=4，
∴AN=3 3，AM=2 3，
∴点 M的运动轨迹是圆，
5
当 A、M、N共线时，3 M3N取最值，此时 =AN-A3M=3 + 2 32 53=3 3
如图所示：
=AN+AM= =
练 1、在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图 1所示的方式
摆放。其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3。将三角板 DEB绕点 B按顺时针方
向旋转。如图，G 为 DC 的中点，则在旋转过程中，点 G 到直线 AB 的距离的最大值是
7 3
__ 4 ____。
解：取 BC的中点O，连接GO，则
GO 1= BD = 3．
2
∴点G在以O为圆心， 3为半径的圆上．
如图四，过 O作 OH⊥AB于 H，
当 G在 OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线 AB的距离的最大，
在 Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30° 1， BO = BC 3 3= ，
2 2
OH 3 3 3 3∴ = BO sin ∠OBH = sin 30° = ，
2 4
GH OG OH 3 3 3 7 3∴ = + = + = ，
4 4
7 3
即点G到直线 AB的距离的最大值为 .
4
练 2、如图，⊙O的半径是 1，AB为⊙O的弦，将弦 AB绕点 A逆时针旋转 120°，得到 AC，
连 OC，则 OC的最大值为_ 3 +1________．
【分析】本题考查了旋转的性质，解三角形，正确的作出辅助线是
解题的关键．
把OA绕点 A 逆时针旋转120度，于是得到VEAC≌VOAB，根据等
腰三角形的性质得到OE = 3，在VOEC中，任意两边之和大于第
三边，于是得到结论．
【详解】解：如图示，作半径OA绕点 A逆时针旋转120°而得到的边 AE，连接OE， EC，
6
∵将弦 AB绕点 A逆时针旋转120°得到 AC，
∴VEAC是把VOAB绕点 A逆时针旋转120度得到的，
则 ：VEAC≌VOAB，
∴∠ EAO = ∠ CAB =120°， AE = AO =1，CE = OB =1，
∴VOEA为等腰三角形，∠ OEA = ∠ EOA = 30°，
∴OE = 2gcos30°gOA = 3 ，
∴由两边之和大于第三边，并且OC取最大值，
∴OC ≤ CE + EO ，
∴OC ≤ 3 +1，
∴OC = 3 +1．
故答案为 3 +1．
模块二：四点共圆
问题 1：若∠ACB= ∠ADB＝90°，如图 1，点 A、B、C、D有什么位置关系？说明理由。
若∠BAD= ∠BCD，如图 2，点 A、B、C、D有什么位置关系？说明理由。
结论：
问题 2：若∠C=∠D＝90 °，如图 3，点 A 、B、C、D 有什么位置关系？说明理由
若∠D+∠B＝180 °，如图 4，点 A 、B、C、D 有什么位置关系？说明理由
结论：
典例精析
【题型一】同侧等角型
例 1如图，△ABC中，AB=5，∠ACB=90°，P=∠A，
tan∠CPB= 3 ∠过点 C作 CP的垂线与 BP延长线交于点 Q，
4 ，
7
求 CQ的最大值 。
练 1、如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4，AC=3，F
是 DE的中点，若点 E是直线 BC上的动点，连接 BF，则 BF的最小
值是 2 。
【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADE＝∠ABE，推出点 A，D，B，
E 1四点共圆，得到∠DBE＝90°，根据直角三角形的性质得到 BF＝ 2 DE，
当 DE最小时，BF的值最小，DE最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∴点 A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∵F是 DE的中点，
1
∴BF＝ 2 DE，
∴当 DE最小时，BF的值最小，
∵若点 E是直线 BC上的动点，
8
∴当 AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
AB × AC 12
∴AE＝ = ，
BC 5
∵△ABC∽△ADE，
AC BC
∴ = ，
AE DE
3 5
∴ 12
=
DE，
5
∴DE＝4，
∴BF＝2，
练 2、如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线 AB上方一点，连接 AD，
BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为___12___。
【分析】依题意得 BC 2 + AC 2 = AB2，所以VABC是直角三角形，又因为∠ADB＝90°，所以
点 A、D、C、B在以 AB为直径的圆上，依题意可知当OD//BC时，
BE最大，据此求解即可．
【详解】解：在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，
BC2 = 81, AC2 =144, AB2 = 225，
∴ BC 2 + AC 2 = AB2，
∴∠C = 90°，
∵∠ADB＝90°，
∴ A、C、D、B共圆
取 AB的中点O 连接DO，过点O作OF ⊥ EB于点 F
如图，当OD//BC时， BE最大，此时OD ⊥ AC，OD ⊥ DE ，
∴OF //AC,OF ⊥ OD, BF 1= BC 1 9= ×9 = ，
2 2 2
∴四边形ODEF 是矩形，
EF 1 1∴ = OD = AB = ×15 15= ，
2 2 2
BE 9 15∴ = BF + EF = + = 12，
2 2
9
故答案为：12．
【点睛】本题考查了四点共圆，平行线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质等知识，判定
四点共圆是解题的关键．
【题型二】对角互补型
例 2、如图，等边△ABC中，AB=6，P为 AB上一动点，PD⊥BC，
9
PE⊥AC，求 DE的最小值 2 .
【分析】由题意易得∠PEC=∠PDC=90°，所以 P、D、C、E四点共
圆，又因为∠EOD=120°，所以当直径最小时，弦 DE的值最小．
【详解】解：∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PEC=∠PDC=90°，
∴四边形 PDCE对角互补，
∴P、D、C、E四点共圆，如图 2．
∴∠EOD=2∠ECD=120°，
要使得 DE最小，则要使圆的半径最小，故直径 PC最小，则当 CP⊥AB时，PC最短，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B = 60°, BP = 3，
∴CP = 3BP = 3 3，
∵∠DOP = 60°，
∴DE = 2OD sin ∠DOP
9
= ．
2
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握圆的基本性
质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
练 1、如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为 AC的中
点，过 O作 OE⊥OF，OE、OF分别交射线 AB、BC于 E、F，则 EF的
最小值为 5 .
【分析】首先过点 O作 OM⊥AB于点 M，作 ON⊥BC于点 N，易得四边
形 OMBN是矩形，OM∥BC，ON∥AB，又由 AB=6，BC=8，O为 AC的中
点，可求得 OM与 ON的长，然后由勾股定理求得MN的长，又由垂线段最短，可得当 OE
与 OM重合，即 EF与 MN重合时，EF最短，求得答案．
【详解】过点 O作 OM⊥AB于点 M，作 ON⊥BC于点 N，
∵∠ABC＝90°，
10
∴四边形 OMBN是矩形，
∴OM∥BC，ON∥AB，
∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，
∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC，
∵O为 AC的中点，
OM 1∴ ＝ 2 BC
1 1 1
＝ 2 ×8＝4，ON＝ 2 AB＝ 2 ×6＝3，
∴MN＝ OM 2 + ON 2 = 42 + 32 ＝5，
由垂线段最短，可得当 OE与 OM重合，即 EF与 MN重合时，EF最短，
∴EF的最小值为 5．
练 2 如图，在边长为 12的菱形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，
∠BAD=60°，E为 AB边上一动点，过点 E作 EP⊥AD于点 P，EQ//AC
交 BD于点 Q，连接 PQ，△DPQ周长的最小值为 27 .
解：∵菱形 ABCD
∴ AD=AB , BD⊥AC
∵∠BAD=60°
∴△ADB为等边三角形
∴ ∠DAB=60°, ∠DBA=60°
∵ EQ//AC
∴ EQ⊥BD
∴ EB=2BQ
∵ PE⊥AD
∴ AE=2AP
∵ AE+EB=12
∴ AP+BQ=6
∵ AD+BD=24
∴ DP+DQ=18
∵ ∠DPE+∠DQE=180°
∴ D、P、E、Q 四点共圆
连 DE,取 DE的中点 O, 连 OP、OQ
易得 ∠POQ=120°
∴ PQ= 3PO= 3r
即 r最小时 PQ最小
当 DE⊥AB 时 DE=2r最小
此时 DE=6 3
∴ r=3 3
∴ PQ=9
∴ DP+DQ+PQ最小值为 18+9=27
11
模块三：定角定弦
活动：已知线段 AB=2，平面内找一点 P，分别在图 1使得∠APB=90°，图 2使得∠APB=45°.
图 3使得∠APB=120°
图 1 图 2 图 3
合作探究：
你能画出所有点 P的运动轨迹吗？如果能，请用尺规作图在图 4，图 5，图 6中分别画出
∠APB=90°，∠APB=45°，∠APB=120°所有点 P的运动轨迹。
图 4 图 5 图 6
小结：若有固定线段 AB及线段 AB所对的∠C的大小固定，点 C在过 A、B、C三点的⊙O
上运动（优弧或劣弧上）
典例精析
【题型一】直角对定边
例 1、在正方形 ABCD中,AD=2,E,F分别为边 DC,CB上的点,且始
终保持 DE=CF,连接 AE 和 DF 交于点 P,则线段 CP 的最小值为
___ 5 1__.
12
【分析】根据“边角边”证明VADE和VDCF全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠DAE = ∠CDF，然后求出∠APD = 90°，取 AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得点 P到 AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得
C、 P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．
【详解】解：Q四边形 ABCD是正方形，
∴ AD = CD，∠ADE = ∠DCF = 90°，
在VADE和VDCF中，
AD = CD

∠ADE = ∠BCD，

DE = CF
∴VADE≌VDCF (SAS)，
∴∠DAE = ∠CDF ，
Q∠CDF + ∠ADF = ∠ADC = 90°，
∴∠ADF + ∠DAE = 90°，
∴∠APD = 90°，
1 1 3
取 AD的中点O，连接OP，CO，则OP = AD = ×3 = （不变），
2 2 2
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在RtVCOD中，根据勾股定理得，
CO = CD2 + OD2 = 22 + 12 = 5，
∴CP = CO OP = 5 1，
∴CP的最小值为 5 1
练 1、（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 ABCD中，
∠ABC = ∠BAD = 90°, AB = 5, AD = 4, AD < BC，点 E在线段 BC上
运动，点 F在线段 AE上，∠ADF =∠BAE，则线段 BF 的最小值
为 29 2 ．
【分析】设 AD的中点为 O，以 AD为直径画圆，连接OB，设OB与
eO的交点为点 F ′，证明∠DFA = 90°，可知点 F在以 AD为直径的半圆上运动，当点 F运
动到OB与eO的交点 F ′时，线段 BF有最小值，据此求解即可．
13
【详解】解：设 AD的中点为 O，以 AD为直径画圆，连接OB，设OB与eO的交点为点 F ′，
∵∠ABC = ∠BAD = 90°，
∴ AD∥BC，
∴∠DAE = ∠AEB，
∵∠ADF =∠BAE，
∴∠DFA =∠ABE = 90°，
∴点 F在以 AD为直径的半圆上运动，
∴当点 F运动到OB与eO的交点 F ′时，线段 BF有最小值，
∵ AD = 4，
∴ AO = OF ′
1
= AD = 2，，
2
∴ BO = 52 + 22 = 29，
BF的最小值为 29 2
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得
到点 F的运动轨迹是解题的关键．
练 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是正方形 ABCD 内
的动点，点 P 是 BC边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结 AE，
BE，PD，PE，则PD + PE 的最小值为 2 13 2 .
【分析】本题考查最短路径问题，涉及到知识点有圆周角定理，
正方形的性质，勾股定理．先证明∠AEB = 90°得到点 E在以 AB为直径的半圆上移动，再
作点 D关于直线 BC的对应点是 F，即可得 PE + PD = PE + PF + OE 2 ≥ OF 2，求出OF的
长度即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE + ∠EBC = 90°，
∵∠EAB = ∠EBC，
∴∠EAB + ∠EBA = 90°，
∴∠AEB = 90°，
∴点 E在以 AB为直径的半圆上移动，
如图，设 AB的中点为 O，
14
作正方形 ABCD关于直线 BC对称的正方形GBCF，
则点 D的对应点是 F，
1
连接 FO交 BC于 P′，交半圆 O于 E'，连接OE，则OE = AB = 2，
2
根据对称性有： PD = PF，
则有 PE + PD = PE + PF + OE 2 ≥ OF 2，
∴ PD + PE的最小值为OF 2，
∵∠G = 90°，FG = BG = AB = 4，
∴OG = 6，OA = OB = OE = 2，
∴OF = OG2 + GF 2 = 42 + 62 = 2 13，
∴ EF = OF 2 = 2 13 2，
故 PE + PD的长度最小值为 2 13 2．
【题型二】 特殊角对定边
例 2、如图，在矩形 ABCD中，AD=5，AB=3 3，点 E在 AB上，AE：
EB7=1:2，在矩形内找一点 P，使得∠BPE=60°，则线段 PD的最小值为2 -2 ．
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理，
在 BE的上方，作VOEB，使得OE = OB,∠EOB =120°，连接OD，过点O分别作OQ ⊥ BE于
点Q,OJ ⊥ AD于点 J．则∠BPE
1
= ∠EOB，那么，点 P的运动轨迹是以O为圆心，OE长
2
为半径的eO在矩形 ABCD内的部分，当点 P落在线段OD上时，DP的值最小，根据矩形
的性质得∠A = 90°，结合已知求得 BE和 EQ = BQ，继而证明四边形 AQOJ是矩形，可知
AJ = OQ =1和 JO = AQ = 2 3，利用勾股定理可求得OD = JD2 + OJ 2 ，即可求得
PD最小 = OD OP．
【详解】解：如图，在 BE的上方，作VOEB，使得OE = OB,∠EOB =120°，连接OD，过点
O分别作OQ ⊥ BE于点Q,OJ ⊥ AD于点 J．
Q∠BPE 1= ∠EOB，
2
∴点 P的运动轨迹是以O为圆心，OE长为半径的eO在矩形
ABCD内的部分，
15
∴当点 P落在线段OD上时，DP的值最小，
Q四边形 ABCD是矩形，
∴∠A = 90°，
Q AB = 3 3， AE : EB = 1: 2，
∴ BE = 2 3，
QOE = OB，∠EOB = 120°，OQ ⊥ EB，
∴EQ = BQ = 3，∠EOQ = ∠BOQ = 60°，
∴OQ = 1，OE = 2，
QOJ ⊥ AD，OQ ⊥ AB，
∴∠A = ∠AJO = ∠AQO = 90°，
∴四边形 AQOJ是矩形，
∴ AJ = OQ =1， JO = AQ = 2 3，
Q AD = 5，
∴DJ = AD AJ = 4，
2
∴OD = JD2 + OJ 2 = 42 + (2 3 ) = 2 7，
∴PD最小 = OD OP = 2 7 2．
练 1、如图，Rt△ABC 中，AC＝2 3，∠CAB ＝30° ,点 D 和
点 B 分别在线段 AC的异7侧，且3∠ADC＝30° ,连接 BD ,则BD 的最大值为 2 +2 .
16
练 2、如图，△ABC为等边三角形，3AB=2，若点 P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，2则线段 PB长度的最小值为 3 ．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
∴点 P的运动轨迹是 AC，当 O、P、B共线时，PB长度最小，设 OB交 AC于 D，如图：
此时 PA=PC 1，OB⊥AC，则 AD=CD= 2 AC=1，
∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD= 12 ∠ABC=30°，
∴ PD = AD tan 30° 3 3= AD = ，BD = 3AD = 3，
3 3
PB BD PD 3 3 2 3∴ = = = 。
3 3
17隐圆中的最值问题 自主学习单
深圳市翠园文锦中学辜靖晶
知识技能梳理
隐圆问题是中考几何动态最值的核心难点，也是优生培优的重点内容。本专题梳理定点定
长、四点共圆、定弦定角三大核心模块，通过构造隐形圆将动点轨迹化隐为显。解题紧扣两
类基本最值：点圆最值用“一箭穿心”，线圆最值用“垂线穿心”，由基本题型延伸各类变式。
精选例题与配套练习，强化轨迹识别、构图与计算能力，提升几何直观与逻辑推理，助力学
生突破难点、冲刺中考高分。
学习过程
活动 1：已知点 A是平面内一点，点 P是⊙O 上的动点 ，分别画出 PA最大和最小时，点 P
的位置。
小结：
活动 2：已知直线 l，点 P是⊙O 上的动点 ，分别画出点 P到直线 l的距离最大和最小时，
点 P的位置。
小结：
模块一：定点定长
活动 3：在平面内 ，A为定点，B 为动点，且 AB=1cm，画出 B 的轨迹.
A
动点 B 的轨迹是 。
在平面内，A为定点，AB=AC=AD=2cm，则点 B、C、D 有
什么位置关系？
1
典例精析
【题型一】翻折型定长
例 1、如图 ，在矩形 ABCD 中， 已知 AB ＝6 ，BC＝8 ，
点 M 是 BC 边上一动点(点 M 不与 点 B ，C 重合) ，连
接 AM，将△ABM 沿 AM 对折得到△APM，线段 CP的最小
值为 。
练 1、如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 F
在边 AC上，并且 CF=2，点 E为边 BC上的动点，将△CEF沿
直线 EF翻折，点 C落在点 P处，则点 P到边 AB距离的最小
值是______。
练 2、如图，在边长为 2的菱形 ABCD中，∠A=60°，M是 AD
边的中点，N是 AB边上的一动点，将△AMN沿 MN所在直线
翻折得到△A'MN，连接 A'C，则 A'C长度的最小值是______。
【题型二】斜边定长
例 2、有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯
住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、
梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，
∠ABC = 90°，点M ， N分别在射线 BA， BC上，MN长度始终
保持不变，MN = 4，E为MN的中点，点D到BA， BC的距离
分别为 4和 2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为
_________．
练 1、菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点O，点E、F分别是 AC
和 BD上的动点，且 EF = 6，点 P为 EF的中点，已知 AC = 16，
BD =12，连接 BP、CP，求VBPC面积的最大值 。
练 2、如图，矩形 ABCD中，AB=4，AD=6，点 E、F分别为 AD、DC
边上的点，且 EF=4，点 G为 EF的中点，点 P为 BC上一动点，则 PA+PG
的最小值为______。
2
【题型三】旋转型定长 A
例 3、如图，等边三角形 ABC和等边三角形 ADE，点 N、点M分别
为 BC、DE的中点，AB=6，AD=4，△ADE绕点 A旋转的过程中，MN
的最大值为 ______ ，最小值为______ M。 E
D
B N C
练 1、在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图 1所示的方式
摆放。其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3。将三角板 DEB绕点 B按顺时针方
向旋转。
如图，G为 DC的中点，则在旋转过程中，点 G到直线 AB的距离的最大值是______。
练 2、如图，⊙O的半径是 1，AB为⊙O的弦，将弦 AB绕点 A逆时针旋转 120°，得到 AC，
连 OC，则 OC的最大值为_________。
模块二：四点共圆
问题 1：若∠ACB=∠ADB＝90°，如图 1，点 A、B、C、D有什么位置关系？说明理由。
若∠BAD=∠BCD，如图 2，点 A、B、C、D有什么位置关系？说明理由。
结论：
问题 2：若∠C=∠D＝90°，如图 3，点 A、B、C、D 有什么位置关系？说明理由
若∠D+∠B＝180°，如图 4，点 A、B、C、D 有什么位置关系？说明理由
结论：
3
典例精析
【题型一】同侧等角型
例 1、如图，△ABC中，AB=5，∠ACB=90°，P=∠A，
tan∠CPB= 3 ∠过点 C作 CP的垂线与 BP延长线交于点 Q，
4 ，
求 CQ的最大值 。
练 1、如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4，AC=3，
F是 DE的中点，若点 E是直线 BC上的动点，连接 BF，则 BF的
最小值是 。
练 2、如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直
线 AB上方一点，连接 AD，BD，且∠ADB＝90°，过 D作直线
BC的垂线，垂足为 E，则线段 BE的长度的最大值为______。
【题型二】对角互补型
例 2、如图，等边△ABC中，AB=6，P为 AB上一动点，PD⊥BC，
PE⊥AC，求 DE的最小值 .
练 1、如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为 AC的
中点，过 O作 OE⊥OF，OE、OF分别交射线 AB、BC于 E、F，则
EF的最小值为 。
练 2、如图，在边长为 12的菱形 ABCD中，对角线 AC、BD交于
点 O，∠BAD=60°，E为 AB边上一动点，过点 E作 EP⊥AD于点
P， EQ//AC 交 BD 于点 Q，连接 PQ，△DPQ 周长的最小值
为 。
4
模块三：定角定弦
活动：已知线段 AB=2，平面内找一点 P，分别在图 1使得∠APB=90°，图 2使得∠APB=45°.
图 3使得∠APB=120°
图 1 图 2 图 3
合作探究：
你能画出所有点 P的运动轨迹吗？如果能，请用尺规作图在图 4，图 5，图 6中分别画出
∠APB=90°，∠APB=45°，∠APB=120°所有点 P的运动轨迹。
图 4 图 5 图 6
小结：
典例精析
【题型一】直角对定边
例 1、在正方形 ABCD中,AD=2,E,F分别为边 DC,CB上的点,且始终
保持 DE=CF,连接 AE和 DF交于点 P,则线段 CP的最小值为_____。
练 1、（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 ABCD中，
∠ABC = ∠BAD = 90°, AB = 5, AD = 4, AD < BC，点 E在线段 BC上
运动，点 F在线段 AE上，∠ADF =∠BAE，则线段 BF 的最小值
为 。
5
练 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是正方形 ABCD 内的动点，点 P是 BC边上
的动点，且∠EAB = ∠EBC ．连结AE，BE，PD，PE，则PD + PE 的最小值
为 。
【题型二】 特殊角对定边
例 2、如图，在矩形 ABCD中，AD=5，AB=3 3，点 E在 AB上，AE：EB=1:2，在矩形内找
一点 P，使得∠BPE=60°，则线段 PD的最小值为 。
练 1、如图，Rt△ABC 中，AC＝2 3，∠CAB ＝30° ,点 D和点 B 分别在线段
AC的异侧，且∠ADC＝30° ,连接 BD ,则 BD 的最大值为 。
练 2、如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点 P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，
则线段 PB长度的最小值为 。
6

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