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综合与实践的备考策略 自主学习单
四步法：删繁读题 → 定位模型 → 分层拆解 → 严谨作答
典例一：代数建模
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
巩固练习：
【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节．
【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定．
【制作步骤】
步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为．
(1)直接写出骨架的长度：_____，_____；
步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线．
(2)求过E，F，G三点的二次函数解析式；
步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，．
(3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？
典例二：几何探究
垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角
线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四
边形”．
（1）如图所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，，CE＝2，则AE＝　 　；AB＝　 　；
（2）如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
（3）①如图3所示，在△ABC中，BE＝5，CE＝2AE＝12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值．
典例三：跨科融合
综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）综合与实践的备考策略 参考答案
1．（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道
【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为
（2）
当时，
（3）设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；
2．(1)60，20；
(2)
(3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米．
【详解】（1）解：设，则的长为，
由题意得，
解得，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵过距离点A，点B，点D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线，
∴，
设所求抛物线表达式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
（3）解：∵，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可知直线的解析式为，
∴，
令，
则，
令，
解得，
∴，
∴，直线的解析式为，
∴，
令，解得，
∴，
即，
即筝形纸片面积至少为．
答：小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米．
3.(1)，
(2)，理由见解析
(3)①见解析；②或
【详解】（1）解：∵四边形为“垂中平行四边形”，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形为“垂中平行四边形”，
∴，，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①作法一：如图①所示，作平行四边形ABCH则为所求，
作法提示：过A作AH∥BC，过C作CH∥AB，两条直线交于点H（因为题中并没有要求作图工具，所以尺规作图也行，其他工具也可以，只要符合题意．）
作法二：如图②所示，平行四边形CBQH即为所求，
作法提示：过C作CH∥AB，延长BE交CH于点H，过H作HQ∥BC交BA延长线于Q，作法三：如图③所示，平行四边形BCDF即为所求，
作法提示：作AD∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线，在DA延长线上取点F，使AF＝AD，连接BF，
① ② ③
②（Ⅰ）当垂中平行四边形是作法一时，
方法一：如图所示，作PQ⊥AC，
∵△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AH∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴AQAC＝9，
∴EQ＝EC﹣CQ＝3，
∵tan∠ACB＝tan∠PCQ，
∴，即，
解得PQ，
∴PE．
方法二：如图建立坐标系，以BB'为x轴，以AC为y轴，
∴A（0，6），C（0，﹣12），B（﹣5，0），
由tan∠BCE得，kAH，kCB'，
∴直线AH解析式为：yx+6，
直线CB'解析式为：yx﹣12，
联立解析式求解得P（，﹣3）．
∴PE．
（Ⅱ）当垂中平行四边形是作法二时，延长、交于点，同理可得，是等腰三角形，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
若按照上图③作图，则没有交点，不存在，故不符合题意
综上所述，或．
4．(1)能，见解析
(2)
【详解】（1）解：该滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
由题意可知：AB=AC=BC=7cm
折叠后CD=CE=
底面周长=
∴
∴
∴
∴
∴
故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：由（1）问可知CD=DE=5cm
∴
过点C作于点F，则
在中，
∴
答：滤纸围成圆锥形的体积为

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