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垂直问题的应对策略·自主学习单
罗湖外语实验学校 汪德萍
一、知识技能梳理
1、核心概念与性质
垂直定义：两直线相交成直角（90°），则两直线互相垂直，是平面内最基本的位置关系之一。
角度性质：垂直关系衍生等角、互余角，为三角形全等、相似提供角相等条件。
坐标性质：平面直角坐标系中，两直线垂直是解析几何垂直问题核心依据。
2、关键模型与方法
①一线三等角（三垂直模型）以公共直线为载体构造直角，通过角互余推导等角，实现三角形相似转化，是几何垂直问题通法。
②解析法依托坐标与解析式，将垂直关系转化为代数方程，实现数形结合求解。
几何变换旋转 90°、作高、构造直角三角形，将分散条件集中，简化线段与角度关系。
3、核心技能与思想
推理技能：由垂直导角、证相似或者全等，建立线段比例关系。
运算技能：运用勾股定理、坐标公式建立方程求解。
思想方法：数形结合、分类讨论、模型化思想、转化与化归。
4、应用范畴
覆盖一次函数、反比例函数、二次函数、三角形、四边形中的垂直判定、线段求值、坐标求解、动点存在性问题，构建初中几何与代数垂直问题完整解题体系。
方法提炼
1、代数解法
几何解法
①见直角三角形（构造一线三垂直）
②见垂直结构——构造相似
拓展方法：
学习过程
模块一：一次函数、反比例函数中的垂直问题
（一）典例精讲
例1、如图，点的坐标为（﹣4，0），直线与坐标轴交于点，，连接，如果，则的值为多少？
如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且 ，则的值
巩固练习
1、如图，直线与轴、轴分别交于，两点，把绕点按逆时针旋转后得到，则点的坐标是_______．
2、如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点．
（1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________；
（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________．
3、如图，点的坐标是(-2,0)，点的坐标是(0,6)，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
4、如图，直线y＝4﹣x与双曲线y交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是_____．
第3题 第4题
模块二：二次函数中的垂直问题
（一）典例精讲
例3、如图，二次函数与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交二次函数于点．
(1)求点、点、点坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（二）巩固练习
1、如图1，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一交点为
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，若是线段上一动点，在轴是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为的面积为，当最大值时，求点D的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到（点D和点F为对应点），直线交y轴于点P，点S为中点，连接，过点S作的垂线交x轴于点R，在对称轴上有一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，求直线的解析式．试卷第1页，共3页
3、定义：如果两条抛物线与轴都有两个交点，且这两个交点位置相同，那么这两条抛物线称为“同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相同，那么这两条抛物线称为“同向同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相反，那么这两条抛物线称为“异向同根抛物线”．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线都与轴交于点和点，且开口方向都是向上，则称抛物线与抛物线是“同向同根抛物线”．
(1)在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“同向同根抛物线”，求的值；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“同向同根抛物线”，与轴交于点和点，点在抛物线上，射线与抛物线在第一象限交于点，，当时，求的值；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“异向同根抛物线”，与轴交于点和点，点是抛物线的顶点，连接，作交抛物线于点，点的纵坐标是，点是抛物线的顶点，点与点不重合，连接，当时，请直接写出的值．
答案第1页，共2页
模块三：三角形、四边形中的垂直问题
（一）典例精讲
例4、如图，在中，， , ,动点 从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接、.若,求的值。
例5、【图特殊化】
(1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）；
【探究证明】
(2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点．
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
(3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长；
【拓展运用】(4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值。
（二）巩固练习
1、如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 _____，△BDE面积的最大值为 _____．
第1题 第2题
3、如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
求证：；
若，求证：；
(3)如图②，若，，求的值．
4、综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．垂直问题的应对策略·自主学习单
详解答案
模块一：一次函数、反比例函数中的垂直问题
（一）典例精讲
例1、如图，点的坐标为（﹣4，0），直线与坐标轴交于点，，连接，如果，则的值为多少？
策略一∵直线与坐标轴交于点B，C，
∴B点的坐标为（，0），C点的坐标为（0，n），
∵A点的坐标为（﹣4，0），∠ACD=90°，
∴，
∵，，
∴，
即，
解得n=，n=0（舍去）．
策略二：易证,则有,即是;
∵由题可知
∴，解得
策略三：由题可知，
则∴
又∵
∴即,
解得
例2、如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且 ，则的值
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于．作轴，作轴，先证明，利用相似比继而求出值即可．
策略一:如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，
，
又，，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
策略二：设,
巩固练习
1、如图，直线与轴、轴分别交于，两点，把绕点按逆时针旋转后得到，则点的坐标是_______．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及旋转的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点、的坐标，进而可得出、的长度，再利用旋转的性质结合图形可得出点、的坐标．
【详解】解：直线与轴、轴分别交于，两点，
令，得，解得，
令令，得，
点的坐标为，点的坐标为，
，．
根据旋转的性质，可知：，，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：
2、如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点．
（1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________；
（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质．
(1)利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，设，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值，即可得到点的坐标；
(2)当是以为直角边的等腰直角三角形时，分和两种情况求点的坐标．
【详解】(1)解：直线交轴于点，
，，，又令，则，，
，，
点是直线上一动点，点在上，
令，则，，
设，
，
的面积与的面积相等，，
或（不合题意，舍去）；
故答案为：；
(2)解：如下图所示，当，时，过点作轴，
是以为直角边的等腰直角三角形，
，，，
，，，
在和中，，
，，，
，，，，
，点的坐标是；
如下图所示，当，时，过点作轴，
同理可证：，
，，
，，，
点的坐标是．
综上所述，点的坐标为或．
3、如图，点的坐标是(-2,0)，点的坐标是(0,6)，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
∵，
∴，∴，
∵，∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，∴，∴，
∵，∴，
∵反比例函数的图象经过点，∴．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4、如图，直线y＝4﹣x与双曲线y交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是_____．
【分析】求得交点A、B的坐标，即可求得直径AB的长度和P点的坐标，从而求得PE的长度，利用勾股定理求得EM=EN=，结合P的坐标即可求得以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标．
【详解】由求得或，
∴A（1，3），B（3，1），∴OA，
设OA的中点为P，以AB为直径的⊙P与直线BC的交点为M、N，
过P点作PD⊥x轴于D，交BC于E，连接PN，
∵P是OA的中点，
∴P（，），∴PD，
∵BC⊥y轴，垂足为C，∴BC∥x轴，
∴PD⊥BC，∴PE1，
在Rt△PEN中，EM＝EN，
∴M（﹣1，1），N（2，1）．
∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是（﹣1，1）和（2，1），
故答案为（﹣1，1）和（2，1）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的交点问题，垂径定理，勾股定理的应用，求得圆心的坐标是解题的关键．
模块二：二次函数中的垂直问题
（一）典例精讲
例3、如图，二次函数与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交二次函数于点．
（1）求点，点，点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；
（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，-2），解方程即可得到结论；
（3）设点Q的坐标为（m，- m+2），分两种情况：①当∠QBD=90°时，根据勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合题意，舍去），②当∠QDB=90°时，根据勾股定理列方程求得m=8，m=-1，于是得到结论．
【详解】解：（1）当时，，即点坐标为；
当时，即，
解得，即．
（2）∵点与点关于轴对称，
．
设直线的解析式为，
将点坐标代入解析式，
得解得∴直线的解析式为y=x-2．
策略一、
（3）存在．∵点的坐标为轴交抛物线于点，
∴点的坐标为．
是以为直角边的直角三角形，
①当时，由勾股定理，得，
即，
解得（不符合题意，舍去），；
②当时，由勾股定理，得，
即，
解得，或．
综上所述，存在点的坐标为或或，使是以为直角边的直角三角形．
策略二、
（3）易知
∴
∵点的坐标为．
下略，同理在另一个直角顶点构造三垂直求解
策略三：
(3)易知
可以求出的解析式，再和二次函数联立求交点坐标，下略
策略四：
(3)易知
可以求出的解析式，再和二次函数联立求交点坐标，下略
【点睛】此题考查二次函数综合题，坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，解题关键在于利用方程思想和分类思想，综合性较强，有一定的难度．
（二）巩固练习
1、如图1，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一交点为
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，若是线段上一动点，在轴是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由对称轴的对称性得出点的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形分成梯形和直角三角形，表示出面积，化简后是一个关于的二次函数，求最值即可；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线的抛物线经过A，两点，
∴，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
∴，∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1，设点，过作轴，垂足为，
∴，
∴，
∵，∴有最大值，则；
（3）解：存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，理由如下：
①当时，如图2：
∵，∴只能，
设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则，
在中， ，
∵，∴，
∴，即，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，0）．
②当时，如图3：
由①得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴点，综上，点的坐标为或．
2．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为的面积为，当最大值时，求点D的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到（点D和点F为对应点），直线交y轴于点P，点S为中点，连接，过点S作的垂线交x轴于点R，在对称轴上有一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，求直线的解析式。
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质是关键；
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，过点D作y轴平行线交于点N，利用相似三角形的判定与性质得到，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，设，则，进而求得线段，求出线段，再利用配方法解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：①当时，利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点R，Q的坐标，再利用待定系数法解答即可；②当时，利用①中的方法解答即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
令，则，∴，
把和代入抛物线解析式中得：
，解得： ，∴抛物线的解析式为；
（2）过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，过点D作y轴平行线交于点N，如图，
∵，
∴，
∴，∴，
∵中边上的高与中边上的高相同，
∴，
设，则，∴，
把代入中，得：，∴，
∴，∴，
∴当时，有最大值，∴D（，）；
①当时，如图，
由（2）知：，
∵点D和点F关于直线对称，∴．∴直线的解析式为，
令，则，∴ ，根据题意可知：，
∴直线的解析式为．∴直线的解析式为，
令，则．∴．
∵直线的解析式为，
∵，∴直线的解析式为．
∵，∴抛物线对称轴的解析式为，
当时， ，∴．
设直线的解析式为，
∴，∴，∴直线的解析式为；
②当时，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
∵抛物线对称轴的解析式为，∴当时，，∴ ．设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为．
综上，直线的解析式为或
试卷第1页，共3页
3、定义：如果两条抛物线与轴都有两个交点，且这两个交点位置相同，那么这两条抛物线称为“同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相同，那么这两条抛物线称为“同向同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相反，那么这两条抛物线称为“异向同根抛物线”．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线都与轴交于点和点，且开口方向都是向上，则称抛物线与抛物线是“同向同根抛物线”．
(1)在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“同向同根抛物线”，求的值；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“同向同根抛物线”，与轴交于点和点，点在抛物线上，射线与抛物线在第一象限交于点，，当时，求的值；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“异向同根抛物线”，与轴交于点和点，点是抛物线的顶点，连接，作交抛物线于点，点的纵坐标是，点是抛物线的顶点，点与点不重合，连接，当时，请直接写出的值．
【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，再根据“同向同根抛物线”的定义代入交点的坐标到，即可求解；
（2）作轴于点，作轴于点，由（1）得，抛物线与轴的交点为和，得出，由推出是等腰直角三角形，设，则，代入到求出的值，结合求出点的坐标，再代入即可求解；
（3）作轴于点，设与轴交于点，利用二次函数的性质求出顶点和的坐标，得出，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用一次函数和平行线的性质，求出直线的解析式为，然后与抛物线联立解出点的坐标，通过证明，得到，代入数据解出的值，再根据“异向同根抛物线”的定义即可求解．
【详解】（1）解：当时，则，
解得：，，抛物线与轴的交点为和，
抛物线与抛物线是“同向同根抛物线”，
抛物线与轴的交点为和，
代入和得，，解得：；的值为．
（2）解：如图2，作轴于点，作轴于点，
由（1）得，抛物线与轴的交点为和，
，，
，，是等腰直角三角形，，
设，则，
点在抛物线上，，
解得：，（舍去），
，，
，，
，
同理可得，是等腰直角三角形，
，，
代入到，得，
解得：，的值为．
（3）解：如图3，作轴于点，设与轴交于点，
由（2）得，，
，顶点的坐标为，
，顶点的坐标为，
与轴交于点，，，，
设直线的解析式为，
代入和得，，解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入得，，解得：，
直线的解析式为，联立，
解得：或，，
，，
，，
又，，
，，
，，
解得：，，
抛物线与抛物线是“异向同根抛物线”，
，，
点的纵坐标是，
．的值为．
模块三：三角形、四边形中的垂直问题
（一）典例精讲
例4、如图，在中，， , ,动点 从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接、.若,求的值。
【分析】设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M，
∵，
∴，∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，即，解得，
经检验是该分式方程的解．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
例5、我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
(1)如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）；
【探究证明】
(2)如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点．
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
(3)如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长；
【拓展运用】
(4)如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．
【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值；
（2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解：
（3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可；
（4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）四边形是正方形，
，，
又，，，
在和中，
，，
，，
故答案为：；
（2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；
四边形是矩形，
，，，，
四边形、均为平行四边形，，，，
，，
，，
又，，
，；
乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，
四边形、均为矩形，，，
，，
，，
，，
又，
，，；
（3）解：由矩形的性质可得，，
由勾股定理得，
由（2）可知，，
即，解得，的长为；
（4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，，，
，，
又，
，，
，，
，，
（不合题意舍去），，，
由（2）知，，
又，，，
，，．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（二）巩固练习
1、如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
【答案】
【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图：
，，，
在和中，，，
，，，即为的中点，
，，
，，，
，
故答案为：．
2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 _____，△BDE面积的最大值为 _____．
【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，
，，，
，，
，即，
，
在中，，
，，
四边形是正方形，，
，，
又，
，，
设，则，
，
，的最大值为，故答案为，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
3、如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图②，若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵∴．
∵∴∴ 因为∴
（2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H
∵∴∴∴
由（1）可知，∴
在和中∴（AAS）∴∴
（3）解：在中，，，则，
设，则在中，则
∵，∴
∴，即解得：，（舍去）
∵，∴∴
4、综合与实践
问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程．
数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________．
深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：．
拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴．故答案为：．
（2）过点作于点，过点作于点，且交于点，如图，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
同理，，，∴
∵，，∴，
∵，∴，∴．
（3）过点作，延长交于点，如图，
在中，，，，∴，
∵，∴∵，∴，，
∴，∴，∵，∴
又∵，∴，∴，∴，∴．

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