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矩形中的折叠问题 自主学习单
深圳市布心中学 屈娟丽
详解答案
模块一：由折叠探角度
例 1：1.如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 EA D
C'处,折痕为 EF.若∠FED=55°,那么∠ABE 的度数为 20°
解：由折叠的性质可得：∠BEF=∠FED=55°
F
∴∠AEB=180°-（∠BEF+∠FED）=180°-110°=70° B C
∵矩形 ABCD 中，∠A=90° C'
∴∠ABE=20°
A
例 2：如图,在矩形 ABCD 中,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,点 D恰好落在 BC 边 D

上的点 F处.若 AB=3,BC=5,点 E 在 DC 上,那么 sin∠EFC 的值为 .
E
解：∵矩形 ABCD
B CF
∴∠B=∠C=∠D=90°
∴∠BAF+∠AFB=90°，∠AFB+∠EFC=90°
∴∠BAF=∠EFC
由折叠性质可得：∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5
∵在 Rt△ABF 中，AB=3
∴由勾股定理可得：BF=4

sin∠EFC=sin∠BAF= =

模块一巩固练习：
1．如图，在矩形 ABCD中，AD＝4，点 E在 CD上，且 DE＝3，连接 BE，将矩
形 ABCD 沿直线 AE 翻折，点 D恰好落在 BE上的点 F 处，则 tan∠BAF的值
7
是
24
解：∵在矩形 ABCD中，AD＝4，
∴BC＝AD＝4，CD＝AB，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
由折叠得，∠DEA＝∠BEA，DE＝EF＝3，∠D＝∠EFA＝90°，
∴BA＝BE，
设 EC＝x，则 AB＝BE＝CD＝DE+EC＝x+3，
∵∠C＝90°，
∴EC2+BC2＝BE2，即 x2+42＝（x+3）2，
7
∴ = ，
6
7
∴ = ，
6
∵∠EFA＝90°＝∠ABC，
∴∠FAB+∠ABF＝∠EBC+∠ABF，
∴∠FAB＝∠EBC，
7
7
∴ ∠ = ∠ = = 6 =
4 24
2．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，E为 AD的中点，点 F在边 BC上，把
该纸片沿 EF折叠，点 A，B的对应点分别为 G，H，GE与 BC交于点 O，
2 1
HG的延长线过点 C．若 = ，则 sin∠BCH的值是 ．
3 3
解：连接 CE，
由题意可得：∠A＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AE＝DE，AE∥BF，
由折叠得 GH＝AB＝CD，HF＝BF，GE＝AE＝DE，
∠H＝∠B＝90°，∠HGE＝∠A＝90°，GE∥HF，
∵HG的延长线过点 C，
∴∠CGE＝90°，
在 Rt△CGE和 Rt△CDE中，
=
{ ，
=
∴Rt△CGE≌Rt△CDE（HL），
∴CG＝CD，
∴CG＝GH，

∴ = =1，

1
∴CO＝OF= CF，
2
2
∵ = ，
3
2
∴1 = ，
3
2
1
∴sin∠BCH= = ，
3
1
故答案为： ．
3
模块二：由折叠探面积
例 3.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD A D
51
于 E.若 AB=3,BC=5,图中阴影△AEC 的面积= .
10
解：∵矩形 ABCD
B CE
∴AD//BC
F
∴∠DAC=∠ACE
由折叠的性质可得：∠DAC=∠CAE
∴∠ACE=∠CAE
∴AE=CE
设 CE=x,则 AE=x, BE=5-x
在 Rt△ABE 中，32 + (5 x)2 = x2
17
解得x =
5
17
即：CE=
5
1 17 51
则S△AEC = ×3× = 2 5 10
例 4：如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,E 是边 AD 上的一点,将△CDE
沿直线 CE 翻折,得到△CFE.连结 BF,当 DE=1 时,△CBF 的面积=6.
解：过点 F作 FH⊥BD于 H，反向延长交 AD于 G.
即∠FHC=90°,四边形 HCDG是矩形。
∵矩形 ABCD，AB=CD=3
∴AD//BC，∠D=90°,GH=AB=3
∴∠FGE=90° G E
A
由折叠性质可得：∠EFC=∠D=90°，EF=ED=1,CF=CD=3 DF
由一线三垂直可证得：△EGF∽△FHC
EG GF EF 1
∴ = = =
FH CH FC 3
设 CH=x,则 GE= 1
B C
x
∴FH=3(x 1),GF= H
3
∵FH+GF=CD=3
9
∴x =
5
12
∴FH=3( 1)=
5
1 1 12
∴S△CBF = BC FH = × × 5 = 6 2 2 5
模块二巩固练习：
3．在矩形 ABCD中，AD＝12，E是 AB边上的点，AE＝5，点 P在 AD边上，
将△AEP沿 EP折叠，使得点 A落在点 A′的位置，如图，当 A′与点 D
40
的距离最短时，△A′PD的面积为 ．
3
解：连接 DE，如图，DE= √52 + 122 =13，
∵将△AEP沿 FP折叠，使得点 A落在点 A′的位置，
∴EA′＝EA＝5，
∵A′D≥DE﹣EA′（当且仅当 A′点在 DE上时，取等号），
∴当 A′与点 D的距离最短时，A′点在 DE上，
∴DA′＝13﹣5＝8，
设 PA′＝x，则 PA＝x，PD＝12﹣x，
2 2 2 10在 Rt△DPA′中，x +8 ＝（12﹣x） ，解得 x= ，
3
1 10 40
∴△A′PD的面积= ×8× = ．
2 3 3
40
故答案为 ．
3
4．如图，矩形 ABCD中，E为边 AB上一点，将△ADE沿 DE折叠，使点 A
的对应点 F恰好落在边 BC上，连接 AF交 DE于点 N，连接 BN．若 BF AD
√5
＝15，tan∠BNF= ，则矩形 ABCD的面积为 15√5． 2
解：将△ADE沿 DE折叠，使点 A的对应点 F恰好落在边 BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，
∵矩形 ABCD中，∠ABF＝90°，
∴B，E，N，F四点共圆，
√5
∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF= tan∠ = ，
2
设 BF= √5x，BE＝2x，
∴EF= √ 2 + 2 =3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB= √5BF．
∴S 矩形ABCD＝AB AD= √5BF AD= √5 ×15＝15√5．
故答案为：15√5．
模块三：由折叠探线段
例 5：如图,在矩形 ABCD 中，E为 AD 上一点，沿 AC 折叠，点 D恰好 A E D
3√5
落在对角线上的点 F 处.若 AB＝3，BC＝4，则折痕 CE= .
2
解：∵矩形 ABCD,AB=3,BC=4 F
∴∠B=90°，由勾股定理得：AC=5
B C
由折叠的性质可得：CF=CD=AB=3
∴AF=2
设 DE=EF=x,则 AE=4-x,
在 Rt△AEF 中，22 + x2 = (4 x)2
3
解得x =
2
2 3 2 3√5在 Rt△AEF 中,CE=√3 + ( ) =
2 2
例 6：如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为 AD 的中点,将矩形沿 CE 折叠,使
18
点 D落在矩形内的点 F处,连结 BF,若 AB=4,BC=6,则 AF 的长为 .
5
解：连接 FD 交 CE 于 H，则 CE 垂直平分 FD
∵在矩形 ABCD 中,点 E 为 AD 的中点, AB=CD=4,BC=AD=6
E
∴DE=3,EH//AF A D
∴∠AFD=∠EHD=90° H
∴在 Rt△CDE 中，有勾股定理可得：CE=5
F
∵EC⊥FD
B C
EC×FD ED×CD
∴ 四边形 = = × 2 = 12 2 2
24
∴FD=
5
24
∵在 Rt△AFD 中，AD=6，FD=
5
18
则 AF=
5
模块三巩固练习：
5.图，矩形 ABCD的对角线 AC和 BD交于点 O，AB＝3，BC＝4．将△ADC
沿着 AC折叠，使点 D落在点 E处，连接 OE交 BC于点 F，AE交 BC于
35
点 G，则 EF＝ ．
39
解：如图所示，连接 DE，BE，设 DE交 AC于点 H，
∵矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝4．
∴ = = √ 2 + 2 = 5，
∵矩形 ABCD的对角线 AC和 BD交于点 O，将△ADC沿着 AC折叠，使点 D落在点 E处
∴DE⊥AC，
1 1
∵ △ = × = × ， 2 2
× 12
∴ = = ，
5
∴ = √ 2 2
12 9
= √32 ( )2 = ，
5 5
5 9 7
∴ = = = ，
2 5 10
∵DH＝HE，OD＝OB，
1
∴ = ， ∥ ，
2
7
∴ = ，∠OCF＝∠FBE，
5
又∵∠OFC＝∠BFE，
∴△OFC∽△EFB，

∴ = ，

7
5 14
∴ = = ，
5 25
2
5
∵ = + = ，
2
25 39 5
即 + = = ，
14 14 2
35
∴ = ，
39
35
故答案为： ．
39
6.在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E，使得 AE＝2CE，连接 BE，将△BCE
4√5
沿 BE翻折得到△BFE，连接 DF．若 BC＝4，则 DF的长为 ．
5
解：如图，延长 BE交 CD于点 G，连接 FG、CF，
∵四边形 ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴△CEG∽△AEB，
1
∴ = = ，
2
1 1
∴CG= = ，即点 G为 CD的中点，
2 2
∴CG＝DG，
根据折叠的性质可得，BC＝BF，CG＝FG，
∴∠BFC＝∠BCF，CG＝DG＝FG，
1
∴FG= ，∠GFD＝∠GDF，
2
∴∠CFD＝90°，
∵∠FCG+∠BCF＝90°，
∠FCG+∠GDF＝90°，
∴∠BCF＝∠BFC＝∠GDF＝∠GFD，
∴△BCF∽△GDF，
2
∴ = = ，
1
∴CF＝2DF，
在 Rt△CDF中，DF2+CF2＝CD2，
∴DF2+（2DF）2＝42，
4√5
解得：DF= ．
5
4√5
故答案为： ．
5
7．如图，在矩形 ABCD中，AD＝6，点 E为 BC上的一个动点．
（1）如图①，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若 DF的延长线恰好经过点 B，AB
＝4，则 CE的长为 ；
1
（2）如图②，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F．若∠BEF= ∠DEF，则∠BEF的度
2
数为 ；若点E是BC的中点，AB＝4，连接BF，则 cos∠EBF的值为 ；
2
（3）如图③，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若点 F落在 AB上， = ，则 DC
3
的长为 ．
（4）如图④，点 G为 AD上一点，连接 GE，将矩形 ABCD沿 GE折叠，点 C落在 AD边上的点 F处，
点D的对应点为H，连接CF交EG于点O，若AB＝3，则S△FOG的取值范围是 ；
（5）如图⑤，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，延长 EF，若 EF的延长线恰好经过
√2
点 A，tan∠FDC= ，则矩形 ABCD的面积为 ；
4
（6）如图⑥，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若 EF交 AD于点 G，则 FG，BE，
AG之间的数量关系为 ；
（7）如图⑦，E为 BC的中点，点 P为 AD上一点，将矩形 ABCD沿 PE折叠，点 C的对应点为 F，点
3√2
D 的对应点为 D'，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 恰好落在点 F 处，若 AB= ，则 PD 的长
2
为 ．
解：（1）∵四边形 ABCD 为矩形，
∴DC＝AB＝4，BC＝AD＝6，∠C＝90°，
∴BD= √ 2 + 2 =2√13，
由折叠的性质得：DF＝DC＝4，∠DFE＝∠C＝90°，
∴BF＝2√13 4，
设 CE＝x，则 EF＝x，BE＝6﹣x，
在 Rt△BEF中，BF2+FE2＝BE2，即（2√13 4）2+x2＝（6﹣x）2，
4√13 8 4√13 8
解得：x= ，即 CE的长为 ；
3 3
4√13 8
故答案为： ；
3
（2）设∠BEF＝x°，则∠DEF＝∠DEC＝2x°，
∵x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠BEF＝36°；
∵E为 BC的中点，BC＝6，
1
∴BE＝EC= BC＝3，
2
在 Rt△CDE中，由勾股定理得 DE= √ 2 + 2 =5，
由折叠的性质可知：FE＝CE＝3，∠CED＝∠FED，
∴FE＝EB，
∴∠EFB＝∠FBE＝180°﹣∠BEF，
∵∠CED＝∠FED＝180°﹣∠BEF，
∴∠BFE+∠FBE＝∠CED+∠DEF，
∴2∠EBF＝2∠CED，
∴∠EBF＝∠CED，
3
∴cos∠EBF＝cos∠CED= = ；
5
3
故答案为：36°； ；
5
（3）∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFA+∠EFB＝90°，
∴∠ADF＝∠BFE，
∴△ADF∽△BFE，
2
∴ = = = ，
3
∵AD＝6，
∴BF＝4，
设 DF＝DC＝AB＝x，则 AF＝x﹣4，
在 Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，即 62+（x﹣4）2＝x2，
13 13
解得 x= ，即 DC= ；
2 2
13
故答案为： ；
2
（4）∵四边形 ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FGE＝∠GEC，
由折叠得，∠FEG＝∠CEG，FE＝CE，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE＝EC，
∵FG∥EC，
∴四边形 FGCE为平行四边形，
∵FE＝CE，
∴四边形 FGCE为菱形，
1
∴S△FOG= S ， 4 菱形 FGCE
如图①，当 EG过点 D时，EC最短，S 萎形 FGCE最小，
∵AB＝DC＝3，
1 9
∴此时 EC＝3，S△FOG= ×3×3= ；
4 4
如图②，当点 F与点 A重合时，EC最长，S 菱形 FGCE最大，
设此时 EC＝AE＝x，则 BE＝6﹣x，
在 Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即 32+（6﹣x）2＝x2，
15
解得 x= ，
4
1 15 45
∴S△FOG= × × 3 = ， 4 4 16
9 45
∴S△FOG的取值范围是 ≤S△FOG≤ ；
4 16
9 45
故答案为： ≤S△FOG≤ ；
4 16
（5）由折叠的性质得：DC＝DF，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝90°，
∵四边形 ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDC+∠ADF＝90°，∠ADE＝∠DEC＝∠AED，
∴∠BEA＝∠DAE＝∠FDC，AE＝AD＝6，
√2
∴tan∠AEB＝tan∠FDC= ，
4
设 AB= √2x，则 BE＝4x，
∴AE= √ 2 + 2 =3√2x＝6，
解得 x= √2，
∴AB＝2，
∴S 矩形ABCD＝AD AB＝12；
故答案为：12；
（6）如图③，过点 E作 EH⊥AD于点 H，则四边形 ABEH为矩形，BE＝AH，
由折叠的性质得 CD＝FD，∠C＝∠F＝90°，
∴EH＝AB＝CD＝DF，∠GHE＝∠F＝90°，
在△DFG和△EHG中，
∠ = ∠
{∠ = ∠
=
∴△DFG≌△EHG（AAS），
∴FG＝HG，
∵GH+AH＝AG，
∴FG+BE＝AG；
（7）由折叠得，∠AEF＝∠AEB，∠FEP＝∠PEC，
∴∠AEF+∠FEP＝90°，
∵E为 BC的中点，
1
∴BE= BC＝3，
2
3√6
∴AE= √ 2 + 2 = ，
2
∵四边形 ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PAE＝∠AEB，
√6
∴cos∠PAE＝cos∠AEB= = ，
3
3√6
√6 2 √6
∴∠cos∠PAE= = ，即 = ，
3 3
9
∴AP= ，
2
3
∴PD＝AD﹣AP= ．
2
3
故答案为： ．
2矩形中的折叠问题 自主学习单
深圳市布心中学 屈娟丽
知识技能梳理
矩形中的折叠问题是中考中出现频率较高的一类题型， 这类问题的题设通常是将矩形按
一定的条件折叠，通过分析折叠图形前后的变换，借助轴对称的性质，勾股定理，全等性质，
相似，三角函数等知识进行解答。
解决此类问题，需明白以下几点：
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称。对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，也
是对应边形成角的角平分线；折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边，对
应角相等。
3、对于折叠中较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图
形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。
4、在矩形折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形。
模块一：由折叠探角度
例 1：1.如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 EA D
C'处,折痕为 EF.若∠FED=55°,那么∠ABE 的度数为
F
B C
C'
例 2：如图,在矩形 ABCD 中,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,点 D恰好落在 BC A D
边上的点 F 处.若 AB=3,BC=5,点 E 在 DC 上,那么 sin∠EFC 的值
为 . E
B CF
模块一巩固练习：
1．如图，在矩形 ABCD中，AD＝4，点 E在 CD上，且 DE＝3，连接 BE，将矩
形 ABCD 沿直线 AE翻折，点 D恰好落在 BE上的点 F处，则 tan∠BAF的值
是
2．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，E为 AD的中点，点 F在边 BC上，把
该纸片沿 EF 折叠，点 A，B 的对应点分别为 G，H，GE 与 BC 交于点
2
O，HG的延长线过点 C．若 = ，则 sin∠BCH的值是 ．
3
模块二：由折叠探面积
例 3.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD A D
于 E.若 AB=3,BC=5,图中阴影△AEC 的面积= .
B CE
F
例 4：如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,E 是边 AD 上的一点,将
△CDE 沿直线 CE翻折,得到△CFE.连结 BF,当 DE=1 时,△CBF
的面积= .
模块二巩固练习：
3．在矩形 ABCD中，AD＝12，E是 AB边上的点，AE＝5，点 P在 AD边上，
将△AEP沿 EP折叠，使得点 A落在点 A′的位置，如图，当 A′与点 D
的距离最短时，△A′PD的面积为 ．
4．如图，矩形 ABCD中，E为边 AB上一点，将△ADE沿 DE折叠，使点 A
的对应点 F恰好落在边 BC上，连接 AF交 DE于点 N，连接 BN．若 BF AD
√5
＝15，tan∠BNF= ，则矩形 ABCD的面积为 ．
2
模块三：由折叠探线段
例 5：如图,在矩形 ABCD 中，E为 AD 上一点，沿 AC 折叠，点 D恰好 A E D
落在对角线上的点 F 处.若 AB＝3，BC＝4，则折痕 CE=______.
F
B C
例 6：如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为 AD 的中点,将矩形沿 CE 折叠,
使点 D 落在矩形内的点 F 处,连结 BF,若 AB=4,BC=6,则 AF 的长
为 .
模块三巩固练习：
5.图，矩形 ABCD的对角线 AC和 BD交于点 O，AB＝3，BC＝4．将△ADC
沿着 AC折叠，使点 D落在点 E处，连接 OE交 BC于点 F，AE交 BC于
点 G，则 EF＝ ．
6.在正方形 ABCD的对角线 AC上取一点 E，使得 AE＝2CE，连接 BE，将
△BCE 沿 BE 翻折得到△BFE，连接 DF．若 BC＝4，则 DF 的长
为 ．
7．如图，在矩形 ABCD中，AD＝6，点 E为 BC上的一个动点．
（1）如图①，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若 DF的延长线恰好经过点 B，AB
＝4，则 CE的长为 ；
1
（2）如图②，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F．若∠BEF= ∠DEF，则∠BEF的度
2
数为 ；若点E是BC的中点，AB＝4，连接BF，则 cos∠EBF的值为 ；
2
（3）如图③，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若点 F落在 AB上， = ，则 DC
3
的长为 ．
（4）如图④，点 G为 AD上一点，连接 GE，将矩形 ABCD沿 GE折叠，点 C落在 AD边上的点 F处，
点D的对应点为H，连接CF交EG于点O，若AB＝3，则S△FOG的取值范围是 ；
（5）如图⑤，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，延长 EF，若 EF的延长线恰好经过
√2
点 A，tan∠FDC= ，则矩形 ABCD的面积为 ；
4
（6）如图⑥，连接 DE，将△DEC沿 DE折叠，点 C的对应点为 F，若 EF交 AD于点 G，则 FG，BE，
AG之间的数量关系为 ；
（7）如图⑦，E为 BC的中点，点 P为 AD上一点，将矩形 ABCD沿 PE折叠，点 C的对应点为 F，点
3√2
D 的对应点为 D'，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 恰好落在点 F 处，若 AB= ，则 PD 的长
2
为 ．

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