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专题十一：单选题解答策略
【解题策略】
选择题的结构特点决定了解答选择题的方法除常规方法外，还有一些特殊的方法，解答选择题基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
【解题技巧】
数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、间接法等．
【解题方法】
1.直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】(1)（2025新高考Ⅰ卷） 的虚部为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 6
【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1.
(2)（2025新高考Ⅰ卷）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为.
【技巧总结】 直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围
很广，只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“四基”的基础上，否则一味求快则会快中出错.
2.特例法
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
（一）特殊值
【例1】(1)(2024年全国甲卷(文科)第4题) 已知等差数列的前项和为，若，则
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】特殊值法：不妨取等差数列公差，则，则
（2）(2026江苏·一模)已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】是函数的图象上任意一点，可以任取点，如取，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值．
（3）（2025新高考Ⅰ卷）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；故选：B．
特殊函数
(4)（2022全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
令可得，，所以，因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，因此的周期，，、
且，所以，
由于22除以6余4，所以．故选：A．
（三）特殊数列
(5)已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】因为等差数列的前项和为二次函数且没有常数项，不妨设，，代入求解可得，满足题意的正整数为1，2，3，5，11，共有5个.
（四）特殊图形
(6)已知在中，，，为的外心，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为图形的不确定性，但能猜到题中的结果是定值，将变成即可.
(7)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、．若、、成等差数列，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为．
【技巧总结】
当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.
3.排除法
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.
【例3】（1）（2023全国I卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】＝－1时，，对称轴－，在区间（0，1）递增，排除AB，＝1时，，对称轴，在（0，1）不单调，排除C.故选D.
（2）（2026济南二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据图象特点，该图象是中心对称图形，显然，C为偶函数，不符合题意；对于A选项，定义域为，与题中图象不符;对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符；故选D.
【技巧总结】
排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.排除法常与特例法、数形结合法联合使用，在选择题的求解中更有效.
4.代入法
【例4】（1）(2025新高考Ⅰ卷)已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解】代入A得, 所以A错误。代入B得，
（2）(2023全国Ⅱ卷)若为偶函数，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B 【解析】代入 ，，此时非奇非偶，A错误。
代入 ，，为偶函数，应选B.
（3）(2026江西南昌·一模)若，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】由于 , 所以.
5.构造法
构造法是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法.
【例5】(1)（25-26安徽合肥·月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设（），则，在上单调递增，
所以，当时，，取，得，即；
设（），则，在上单调递减，所以，
所以当时，，取，得，即. 故.
(2)（2026河南·模拟预测）已知，，，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
令，所以，因为恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，令，所以，令，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，所以当时，取得最大值为，
即的最大值是，故C正确.
【技巧总结】
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
6.极限法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.
【例6】(1)（2026年武汉市三月份调研）若存在正实数，使得使得函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】
【解析】考虑特殊情形，时，时，由是奇函数，则，得，故选择：
(2)是双曲线右分支上一点，分别是左右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】当沿双曲线向右顶点无限接近时，的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，内切圆圆心的横坐标为，故选
【技巧总结】
用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案.
估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.
【例7】(1)(2023年全国甲卷文第11题) 已知函数，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】：(估值法、利用对称比大小) 由复合函数单调性
易知 在 单调递增, 在 单调递减, 且关于轴 对称;
而 , 在 单调递增，所以 , 故选 A.
(2)已知，，，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】：(先估算sin 2的范围→结合指数函数、对数函数的单调性来估算a，b，c，比较大小.)
∵∴，∴b>1，1>a>=0a>c.故选 A.
(3)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
【答案】B
【解析】头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm~178 cm之间.
【技巧总结】 估算法使用要点： (1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题．常与特值(例)法结合起来使用．
(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几
何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算．
8.间接法
对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论.但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决，这种方法叫间接法.
【例8】(1)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(　　)
A.126 B. 210 C. 294 D.336
【答案】D
【解析】甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种)．故选：
(2)已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数，，
所以当时，，所以在区间上是单调减函数，所以，
当时， ，所以在区间上是单调增函数，
所以，由于，，使得 ，
所以，当时，得或，
所以或 ，所以由，得
【技巧总结】对于正面不好解决的问题，可考虑反面（补集思想），一般题目中出现“至多”“至少”
等词语或否定性命题情形时，可采用逆向思维，间接求解.
9.等价转换法
等价转化法就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过转化把不熟悉、不规范、复杂问题转化为熟悉、规范问题.
【例9】(1)(2025济南模拟)已知圆O：，，，若圆O上有且仅有一点P，使PA⊥PB，则正实数a的取值为(　　)
A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或5
【答案】D
【解析】由题意可知，圆O：的圆心为O(0，0)，半径，且，
因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4，0)为圆心，半径的圆，
又因为点P在圆O：上，可知圆O与圆M有且仅有一个公共点，
则或，即或，解得或.故选：
(2)已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】，则方程
转化为，
设为两个根，
由于方程有且只有7个不同实数根，则一共有7个不同的根，结合与的图像
易知，由韦达定理知，故故选：.
【技巧总结】 等价转化包括两层含义，一是转化，将题干中陌生的情景转化为熟悉的情景,即用自己熟悉的方法解决问题;二是等价,是保证准确转化的关键.
10.数形结合法
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.
【例10】(1) （2024新高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C 【解析】解：在同一直角坐标系中分别作出与的图象，便可观察选C.
(2)已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】因为当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点，由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下
由 或，故选：
(3)设O为坐标原点，P是圆上任意一点，，M是线段PA上的点，且，，则直线BM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】令，，又，则，所以，
可得，
故轨迹方程为，即圆心为，半径为的圆，
令直线，要使直线BM的斜率最大，只需直线与圆相切且，
所以最大斜率.故选C.
【技巧总结】
对于一些含有几何背景的题目，若能根据题目条件作出符合题意的图形，做到数中思
形，以形助数，则通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速得出正确的结果.
【总结提炼】
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．专题十一：单选题解答策略
【解题策略】
选择题的结构特点决定了解答选择题的方法除常规方法外，还有一些特殊的方法，解答选择题基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
【解题技巧】
数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、间接法等．
【解题方法】
1.直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
【例1】(1)（2025新高考Ⅰ卷） 的虚部为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 6
(2)（2025新高考Ⅰ卷）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
2.特例法
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
（一）特殊值
【例1】(1)(2024年全国甲卷(文科)第4题) 已知等差数列的前项和为，若，则
A． B． C．1 D．
（2）(2026江苏·一模)已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ）
A． B． C．0 D．
（3）（2025新高考Ⅰ卷）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
特殊函数
(4)（2022全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
（三）特殊数列
(5)已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
（四）特殊图形
(6)已知在中，，，为的外心，则
A. B. C. D.
(7)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、．若、、成等差数列，则
A. B. C. D.
3.排除法
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.
【例3】（1）（2023全国I卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
（2）（2026济南二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
4.代入法
【例4】（1）(2025新高考Ⅰ卷)已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2）(2023全国Ⅱ卷)若为偶函数，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
（3）(2026江西南昌·一模)若，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
5.构造法
构造法是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法.
【例5】(1)（25-26安徽合肥·月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
(2)（2026河南·模拟预测）已知，，，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
6.极限法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.
【例6】(1)（2026年武汉市三月份调研）若存在正实数，使得使得函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2)是双曲线右分支上一点，分别是左右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.
【例7】(1)(2023年全国甲卷文第11题) 已知函数，记，则（ ）
A. B. C. D.
(2)已知，，，则(　　)
A. B. C. D.
(3)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
8.间接法
对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论.但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决，这种方法叫间接法.
【例8】(1)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是(　　)
A.126 B. 210 C. 294 D.336
(2)已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
9.等价转换法
等价转化法就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过转化把不熟悉、不规范、复杂问题转化为熟悉、规范问题.
【例9】(1)(2025济南模拟)已知圆O：，，，若圆O上有且仅有一点P，使PA⊥PB，则正实数a的取值为(　　)
A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或5
(2)已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.数形结合法
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.
【例10】(1) （2024新高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
(2)已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
(3)设O为坐标原点，P是圆上任意一点，，M是线段PA上的点，且，，则直线BM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．

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