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2026年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试
数学试卷
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．已知集合，，若，则_____________.
2．关于x的不等式的解集为__________.
3．已知向量，，若，则_____________.
4．在平面直角坐标系中,点到直线的距离为__________.
5．在的二项展开式中，的系数为_______________.（结果用数值表示）
6．已知正实数a，b满足，则ab的最大值是_____________.
7．从甲、乙、丙、丁、戊5人中选择3人去参加辩论活动，要求甲一定参加，则不同的选法一共有_____________种.
8．已知点P为抛物线上一点，若点P到抛物线的焦点的距离是点P到y轴的距离的2倍，则点P的横坐标是_____________.
9．已知实数，复数z满足，若的最小值与的最小值相同，则_____________.（i为虚数单位）
10．如图,在中,D,E在边BC上,且,若,与的夹角为,则的最大值为__________.
11．已知椭圆与椭圆相交于A,B,C,D四点,且这四个点与和的四个焦点在同一个圆上,则__________.
12．小申在乔迁新居时添置了一只油壶.壶身可视为直径、高的圆柱,油面高度为.壶嘴可视为长的线段,与壶身侧面成角,壶嘴最低点高出壶底,如图.若将油壶从壶底一端缓慢倾斜,则油恰好从壶嘴流出时,油壶的倾斜角为__________.(不计壶身的厚度和壶嘴的容积,结果精确到)
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13．下列数列既是等差数列,又是等比数列的是( )
A.1,,1,
B.1,2,3,4
C.5,5,5,5
D.2,3,5,7
14．已知实数x,y满足,则下列不等式恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
15．平移对称法在几何学中具有重要的应用.已知在平面直角坐标系xOy中,图形具有以下性质:过内任意一点P作x轴的垂线,满足为一线段.现沿方向平移这些线段,使得它们的中点均在x轴上,这样的操作叫做平移对称法.若是由曲线、曲线、直线和直线围成的封闭图形,则经过上述操作后,得到的图形大致为( )
A.B.C.D.
16．对于函数,,定义点集.对于平面点集M,若存在,使得任取,总有,则称为最低点.对于函数和,下列说法正确的是( )
A.若和都有最小值,则有最低点
B.若有最低点,则和都有最小值
C.若或有最小值,则有最低点
D.若有最低点,则或有最小值
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17．某市民夜校开展了游泳、绘画、剪纸、摄影、声乐、编程等活动.各项目参加人数如下表所示:(单位:人)
年龄 游泳 绘画 剪纸 摄影 声乐 编程 总计
8 6 6 8 7 10 45
7 10 7 10 14 7 55
9 8 9 6 16 2 50
总计 24 24 22 24 37 19 150
(1)为调查市民对活动的满意程度,需要随机抽取30人,现采用按年龄分层随机抽样的方式,则抽到的人中,年龄小于35岁且不小于25岁的有多少人
(2)试估计参加夜校的市民的平均年龄.(精确到0.1)
(3)现从参加夜校的150名市民中随机抽取1人,记事件A为“抽到的人年龄小于45岁且不小于35岁”,事件B为“抽到的人选择摄影”.事件A与事件B是否相互独立 请说明理由.
18．如图,在正四棱台中,,.
(1)若,求直线与平面所成的角.
(2)证明:平面;并求当该正四棱台的高为3时,三棱锥的体积.
19．已知函数,其中,.
(1)若,,求曲线在处的切线方程;
(2)若的最小正周期为,且在区间上恰好有1351个解,求的取值范围.
20．已知双曲线,过点作不垂直于x轴的直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线的离心率;
(2)设点,点B在的右支上,且为线段AM的中点,求直线l的斜率;
(3)若,的左、右焦点分别为,,为点A关于y轴的对称点,且存在直线l使得,求m的取值范围.
21．对于定义在R上的函数,若对任意,当时,,则称具有性质P.
(1)判断是否具有性质P;
(2)若具有性质P,求所有满足条件的实数a,b;
(3)若的值域为,且在上是严格增函数,证明:“为偶函数”的充要条件是“具有性质P”.
参考答案及解析
1．答案：4
解析：因为,,,所以,则.
2．答案：
解析：由,得,得,所以关于x的不等式的解集为.
3．答案：2
解析：因为,,,所以,解得.
4．答案：
解析：点到直线的距离.
5．答案：18
解析：的展开式的通项公式为,令,得,所以,所以的系数为18.
6．答案：2
解析：因为,,,所以,当且仅当,时等号成立,所以ab的最大值为2.
7．答案：6
解析：解法一:由题意,从除甲以外的4人中选2人即可,则不同的选法一共有(种).
解法二:从5人中选3人,一共有(种)选法,若选出的3人中不含甲,则有(种)选法,所以甲一定参加的不同选法一共有(种).
8．答案：1
解析：如图,记抛物线的焦点为F,则.设,则,连接PF,则,又点P到y轴的距离为,所以,解得.
9．答案：3
解析：因为复数z满足,所以复数z在复平面内对应的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.的几何意义是点Z到点的距离,的几何意义是点Z到点的距离.因为点到原点的距离为1,所以的最小值为,即的最小值为1,又,所以,解得.
10．答案：
解析：因为,所以,.设,,因为,与的夹角为,所以,,当时,取得最大值,且最大值为.
11．答案：
解析：如图,椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆的下、上焦点分别为,.
因为这四个焦点在同一个圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为,四个焦点所在的圆的方程为.由,得,可得椭圆与圆的一个交点为,由题意可知,点在椭圆上,所以,解得.
12．答案：
解析：如图,设油壶的倾斜角为,当油液面经过点D时,.
下面考虑油液面不超过点D时的情况,若油恰好从壶嘴流出,则油液面经过点F,设油液面经过点F时,油液面与AD,CB分别交于点G,H,GH的中点为M,过M作AD的垂线,垂足为N,则,,所以,又,所以.因为,所以,在中,,即,即,即,所以,得,又,所以油恰好从壶嘴流出时,油壶的倾斜角为.
13．答案：C
解析：既是等差数列,又是等比数列的一定是非零常数数列,故选C.
14．答案：C
解析：错误项分析A(×)(举反例)令,,满足,但.错误项分析B(×)(举反例)令,,满足,但,,.C(√)因为,所以,即.错误项分析D(×)(举反例)令,,满足,但,,.综上,选C.
15．答案：A
解析：首先作出曲线、曲线、直线和直线围成的封闭图形,如图中阴影部分所示.
设直线,,则直线,与曲线,的交点分别为,,的中点.设经过平移对称操作后点A,B分别平移到,.当,即时,将A,B均向下平移个单位长度,则,.当,即时,,.当,即时,将A,B均向上平移个单位长度,则,.所以经过平移后,点的轨迹方程是;点的轨迹方程是,故选A.
16．答案：D
解析：错误项分析A(×)(举反例)如图1,二次函数与二次函数都有最小值,但函数和函数的图象没有交点,即,所以没有最低点,所以A错误.
错误项分析B(×)(举反例)对于二次函数及一次函数,如图2中阴影部分所示,有最低点A,但函数没有最小值,所以B错误.
错误项分析C(×)(举反例)对于二次函数及一次函数,如图3中阴影部分所示,二次函数有最小值,但没有最低点,所以C错误.
D(√)若有最低点,则当这个最低点是函数图象上的点时,函数有最小值;当这个最低点是函数图象上的点时,函数有最小值.所以D正确.综上,选D.
17．答案：(1)9(2)40.3岁(3)事件A与事件B不相互独立,理由见解析
解析：(1)年龄在,,的人数分别为45,55,50,若采用分层随机抽样的方式抽取30人,则抽到年龄在的人数为.(2)以每组数据的中点值代表这组每个人的年龄,因为,所以这150人的平均年龄约为40.3岁.(3)由题意可知,,,,因为,所以事件A与事件B不相互独立.
18．答案：(1)(2)证明见解析;三棱锥的体积为8
解析：(1)如图,连接AC,交BD于O,取的中点,连接,则,O分别为正四棱台上、下底面的中心,且平面ABCD.因为,,所以,,在平面中,过作,交OA于E,则平面,即直线和平面ABCD所成的角,又,,所以在中,,所以,即直线与平面ABCD所成的角为.因为平面平面,所以直线与平面所成的角也为.(2)如图,连接,在正四棱台中,,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,所以点A和到平面的距离相等,连接,则,因为该正四棱台的高为3,所以,所以三棱锥的体积为8.
19．答案：(1)(2)
解析：(1)因为,所以,又,所以,,所以,,因为,所以,则,则,所以,又,所以曲线在处的切线方程为,即.(2)因为的最小正周期为,所以,所以,则.令,因为,所以,所以在区间上恰好有1351个解,即的图象与直线在区间上恰好有1351个交点,因为的图象与直线在的一个最小正周期内有两个交点,且,所以在675个最小正周期中两个图象有1350个交点,所以的图象与直线在区间上有且只有一个交点,所以或,解得或.所以的取值范围是.
20．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为双曲线的方程为,所以,
所以,则离心率.
(2)因为,,点B是线段AM的中点,所以,
因为点B在双曲线上,所以,
解得或,
又点B在双曲线的右支上,所以,
即,所以直线l的斜率.
(3)由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为,代入双曲线的方程并消去x得,,
.
设,,则,则,,
因为,,
所以,,
因为,
所以,
因为,,
所以,
化简得,
所以,
化简得,即,
因为且,所以且,
又,所以且,
所以实数m的取值范围为.
21．答案：(1)不具有性质P
(2),
(3)证明见解析
解析：(1)当时,等价于,即.
因为在R上单调递增,
所以,不满足当时,,
所以不具有性质P.
(2)因为具有性质P,所以当时,
由得,,所以.
当时,对任意,都有,此时,
即若具有性质P,则在处取得唯一最小值,所以.
假设,当,,且时,
因为,,
所以,与矛盾,故假设不成立,故.
,设的两根为,,,,
假设,则,当,且时,,与矛盾,故假设不成立,
同理,时也不满足题意,故.
当且时,,是偶函数,且在上单调递增,,
所以当时,都有,
又,,所以成立,
即当且时,函数具有性质P.
综上,,.
(3)因为是偶函数,所以.
因为函数在上单调递增,
所以当时,,
又,,
所以成立,
又在处取得唯一最小值,
所以具有性质P.
用反证法证明.假设不是偶函数,则存在,使得.
若,因为在上单调递增,
则存在,使得①.
由,得,因为具有性质P,所以,与①矛盾,所以不成立.
若,因为在上单调递增,
则存在,使得.
由,得,因为具有性质P,
所以,与②矛盾,所以不成立,
所以假设不成立,所以函数为偶函数.
综上,“为偶函数”的充要条件是“具有性质P”.

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