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2025-2026学年高二下学期5月学情调研数学试题
一、单选题
1．设函数，则（ ）
A． B．3 C． D．6
2．在等差数列中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．已知x是自变量，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．记为数列的前n项积，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．记为数列的前n项和，设甲：是等比数列，乙：存在常数k，使得是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
7．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．在等差数列中，，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．曲线关于对称
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线方程为
10．在正整数数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．是完全平方数
11．现定义“离散有限数列”同时满足以下3个条件：①各项全为正偶数；②从第2项起数列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数m，使得最后一项为m与一个偶数的积，则（ ）
A．1352、104、4是“离散有限数列”
B．当1024、t、2是“离散有限数列”时，t的取值唯一
C．项数大于或等于3的等差数列一定不是“离散有限数列”
D．当“离散有限数列”的首项是4位数时，末项不可能是48，也不可能是18
三、填空题
12．若一组点通过最小二乘估计得到的回归直线方程为，且，则______．
13．定义，，，若，则______．
14．设首项为0的数列满足，则的最小值为______．
四、解答题
15．近年来某App用户保持连续增长，李明收集了2021～2025年该App在线用户数y（单位：万人）的数据，如表所示．
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
App在线用户数y 80 150 210 260 300
(1)求x与y的相关系数r（结果保留两位小数）；
(2)求y关于x的回归直线方程，并预测2027年该App的在线用户数．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式为，；相关系数．
参考数据：．
16．某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据．
有艺术特长 无艺术特长
男 250 100
女 350 150
(1)用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率；
(2)在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关．
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．记为数列的前n项和，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求的前n项和．
18．已知函数．
(1)若．
（ⅰ）证明：曲线过定点；
（ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)当时，讨论的单调性．
19．已知数列满足．
(1)证明：单调递减；
(2)证明：，并求的前n项和；
(3)记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C A D D C ACD ABD
题号 11
答案 AC
1．B
【详解】此时，．
于是．
2．B
由等差数列的性质求解即可.
【详解】因为，
所以,
故．
3．A
【详解】注意到，，均在直线上．故，
而不在该直线上，即四点不共线，故．于是．
4．C
【详解】对于A选项，．故A错误；
对于B选项，．故B错误；
对于C选项，．故C正确；
对于D选项，．故D错误.
5．A
由求得，由求得，再求和即得．
【详解】由条件知，，，
于是．
6．D
【详解】对于充分性，当时，为等比数列，
此时，是公差为1的等差数列，显然其不为等比数列，充分性不成立；
对于必要性，取，，，此时是等比数列．
此时不为等比数列，必要性不成立．
故甲是乙的既不充分也不必要条件．
7．D
求导，并根据导函数定义可得答案.
【详解】因，
则，
于是．
8．C
【详解】由题意可得①，，
此时显然，由①可得，
代入②得
即，
整理得，解得或（舍），故．
9．ACD
求出，根据二次函数的对称性判断A，导数的正负性判断BC，导数的几何意义判断D.
【详解】对于A选项，，
显然曲线关于对称，故A正确；
对于B选项，当时，，单调递减，
故B错误，C正确；
对于D选项，，，
可得曲线在处的切线方程为．即，
故D正确．
10．ABD
对于A，B，C选项，可采用代入法验证分析，D选项需要将n替换成，再计算分析即可.
【详解】对于A选项，，若，则，矛盾，又因为是正整数数列，故，故A正确；
对于B选项，此时，若，则，矛盾；若，则，矛盾，故．故B正确；
对于C选项，此时，故，故C错误；
对于D选项，将n替换成得，将等式两边同时作为的项数可得，故，于是是完全平方数，故D正确．
11．AC
利用“离散有限数列”的定义可判断A选项；设存在、，使得，，推导出，可得出的可能取值，可判断B选项；利用等差数列的定义结合“离散有限数列”的定义可判断C选项；讨论末项的可能取值，并列举出一个符合条件的序列，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，满足②，易知也满足①③．
故1352、104、4是“离散有限数列”，故A正确；
对于B选项，存在、．使得，，所以，
则，所以的值可能是或，即t可能的值有2个，故B错误；
对于C选项，不妨设a、b、c为等差数列的连续3项，若该等差数列为“离散有限数列”，
则存在正整数、，使得，，所以，
由得，所以，由、，
可得，．所以不成立．故C正确：
对于D选项，因为，其中且2为偶数，所以48不满足条件③，所以48不可能是末项，
若末项且n为偶数，则，此时，不满足条件③，
对任意正整数和正偶数p，均有，故18满足条件③，
所以18可能是末项，且9000，180，18是符合条件的一个“离散有限数列”，故D错误.
12．
【详解】.
回归直线方程一定经过样本中心点，
，即，.
又，.
13．
根据函数的迭代关系求得，然后由导数公式求解．
【详解】注意到，故，，所以，所以．
14．3
根据已知平方得出，再根据求和关系得出，最后分奇数偶数计算求解最小值.
【详解】由．得，则，
所以，即，则，
由且可知当n为奇数时，为偶数；
当n为偶数时，为奇数．
所以为偶数，设．则，要使该值最小，
即使更接近11，故当时，的值最小为，
且当的前19项中奇数项均为0，偶数项均为-1，时满足题意.。
15．(1)；
(2)，预测2027年该App的在线用户数为420万人.
（1）先计算年份代码和用户数的均值，再计算各离差乘积及平方和，代入相关系数公式求解即可；
（2）利用最小二乘估计公式求出回归系数和截距，得回归直线方程，再将2027年对应的代码代入计算即可.
【详解】（1）由题得，，
则，．
（2）由（1）可得，
则，，
所以y关于x的回归直线方程为，
当时，，所以预测2027年该App的在线用户数为420万人．
16．(1)
(2)可以认为学生性别与有无艺术特长无关
（1）利用二项分布的概率公式求解即可；
（2）根据卡方公式求出的值，与临界值进行比较即可判断.
【详解】（1）因为该校男生有艺术特长的概率为，
记有艺术特长的男生人数为，显然，
于是．
（2）因为 ，
故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为学生性别与有无艺术特长无关
17．(1)证明见解析；
(2)
（1）根据，求出，得到结论；
（2）求出，利用错位相减法和分组求和法进行求解
【详解】（1）因为，
所以，两式相减得，
即，化简得，
则，
当时，，，则，所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，则，
因为，所以，
则，所以，
则．
设①，则②，
式子①-②得，
故，
故．
18．(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
(2)当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【详解】（1）（ⅰ）由题得，
因为，所以曲线过定点．
（ⅱ）由题得，则， 所以．
又，所以曲线在点处的切线方程为．即．
（2）由题得，．则，
对于，，
当，即时，，在上单调递增．
当，即时，由，得，
当时，，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
当时，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析，
(3)当时，，当时，
【详解】（1）由题意可得
因为，
所以．
因为且，所以，故单调递减．
（2）令，则，
因为，
所以.
因为，所以．
则，所以得证．
，
又．所以．
（3）由（1）可知，设，
，且.
所以，故单调递减．
当时，；
当时，分奇偶情况讨论：
若n为奇数，设，，中位数，
对于任意满足的正整数k，有，，两等式的右端均含有项，
由于单调递减，所以，即，
将这个不等式相加得，
两边同时加上，有，
两边同时除以n，；
若n为偶数，设，，中位数，
对于任意满足的正整数k，有，，
同理，两等式含有的项数相同且递减，
故，即，
将这个不等式相加得，
加上中间两项，得，
两边同时除以n．得．
综上，当时，，当时，．

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