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辽宁鞍山市第三中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知角的终边经过点，则的值等于
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，则函数的值为（ ）
A． B．3
C． D．0
6．下列四个函数：①；②；③；④，其中既是偶函数且最小正周期为的函数个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在中，，，，则（ ）
A． B．边上的中线长
C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为
10．在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰直角三角形
11．已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，在区间上单调
B．若关于直线对称，则
C．若，且为的一个对称中心，则
D．若，当时，函数取得最大值，则
三、填空题
12．函数的单调递减区间为_____________．
13．______．
14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
四、解答题
15．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
16．中，角、、的对边分别为、、，.
（1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值；
（2）若，求的值.
17．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为．
(1)分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中；
(2)当为何值时，有最大值？并求出最大值．
18．已知向量，．
(1)若向量在向量上的投影向量为，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(3)对，求证：当取得最小值时，．
19．如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角．
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A B C B D BC BC
题号 11
答案 BCD
1．A
由三角函数的定义可求出的值.
【详解】由三角函数的定义可得，故选A.
2．B
由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由，得，即，解得.
3．D
把变为就可以看出怎么平移.
【详解】∵，∴把函数的图象向右移个单位就可得到函数的图象.
故选D.
本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.
4．A
求出，即可得出的值.
【详解】由题意，，
，
∵，
∴，
∴，
∴.
5．B
结合图象及已知条件得到，结合求出解析式，得到，再根据图象及周期分析判断即可.
【详解】因为，两点之间的距离为10，所以周期，则.
又，，所以，则.
又，所以，所以，，解得，.
又，所以或.
当时，，
当时，.
结合图象及周期可知，应在上升图象上，所以应取最大值，即.
6．C
【详解】逐一分析4个函数的奇偶性与最小正周期：①：定义域为，，是奇函数，不符合条件.
②：定义域为，，是偶函数；由正弦函数图像及其对称特征知最小正周期，符合条件.
③：由，得，定义域为，，是偶函数；最小正周期，符合条件.
④：定义域为，关于原点对称，，是偶函数；最小正周期，符合条件.综上，符合条件的函数为②③④，共个.
7．B
根据正弦函数的单调性可知，当时，；在区间上只取得一次最大值，可得，列出不等式求解可得.
【详解】由于函数在上单调递增，
，，
且，
解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上知，的取值范围是．
故选：B．
8．D
根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断.
【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得，
即，
则，函数周期为4.
当时，，则，
因此当时，，函数在上单调递增.
对于AB，，而，
则，因此，AB错误；
对于C，，
而，因此，C错误；
对于D，，
而，因此，D正确.
9．BC
对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可.
【详解】选项A：向量与的夹角为，
所以，A错误.
选项B：设中点为，则，则
，
故边上的中线长，B正确.
选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系，
即，
也即，解得，C正确.
选项D：由余弦定理得，即，
设外接圆半径为，由正弦定理，则.
所以外接圆的面积，D错误.
10．BC
对于AD：举反例说明即可；对于B：根据正弦函数单调性分析判断；对于C：利用余弦定理运算求解.
【详解】对于选项A：例如，，满足，
但此时不是直角三角形，故A错误；
对于选项B：因为为锐角三角形，则，即，，
且，则，，
又因为在内单调递增，
则，，
两式相加得 ，故B正确；
选项C：由余弦定理得，即，
整理可得，解得，
所以符合条件的三角形有两个，故C正确；
对于选项D：例如，满足，
但不是等腰直角三角形，故D错误.
11．BCD
本题逐一分析四选项，A，代入换元判断区间内单调性判定错误，B，利用对称轴处函数取最值列等式平方求解参数得结果正确，C，由对称中心函数值为零求出正切值，再用齐次式算出二倍角正弦值成立，D，借助辅助角公式结合最值条件推导出与关系，利用三角恒等变换与角范围取舍正切值判定正确.
【详解】选项A：时，
令，得
该范围横跨正弦函数减区间与增区间，故在此区间不单调，A错误；
选项B：关于对称，则为最值.
代入得，即.
两边平方化简得，B正确；
选项C：当时，，是对称中心，则.
即，.
，C正确；
选项D：当时，，时取最大值.
由辅助角公式，其中，
且，即.
取最大值时，，，
则，，
所以，
故.
由正切二倍角公式
整理得，解得.
因为，所以，因此选项D正确.
12．
以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可.
【详解】令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
13．
利用两角差的正切公式化简求值即可.
【详解】解：
．
故答案为：.
14．
根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可.
【详解】因为点是圆上一点，，所以，
因为，
所以，
设与的夹角为，，
则，所以，
又，所以，
又点是圆内部一点，所以，
综上；
，
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）利用，两边平方，即可求出的值，再根据同角三角函数的平方关系可求；
（2）求出的范围，得出的值，利用，结合两角差的余弦公式可求的值.
【详解】（1）∵，
∴，
解得：，又，所以，
∴.
（2）由题意及（1）得，
，，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴
.
16．（1）；（2）.
（1）结合已知条件和正弦定理先求解出的值，再根据三角形的面积公式求解出的值，最后根据余弦定理求解出的值；
（2）根据已知条件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之间的倍数关系，结合倍数关系即可计算出的值，即可求得的值.
【详解】解：∵，∴，或
（1）∵，
，
（2），
，，∴，
∴，，，
17．(1)，；
(2)当为时，面积S有最大值，最大值为.
（1）根据给定的几何图形，求出面积及周期的函数关系，再利用三角恒等变换化成指定形式.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值.
【详解】（1）由，扇形是半径为1，得，
则的面积，
由，得，
同理，
因此
，
所以S关于的函数解析式为；
，
所以关于的函数解析式为.
（2）由（1）知，由，得，
则当，即时，取得最大值，
所以当为时，面积有最大值，最大值为.
18．(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
（1）利用投影向量公式，向量在向量上的投影向量为，代入坐标列出等式，即可求出参数；
（2）因为向量夹角范围为：，因为夹角为锐角，故范围为，代入夹角公式计算即可；
（3）根据模长公式得到关于的解析式，当取最小值时，的取值，进而根据向量数量积为0得到两向量垂直进行证明．
【详解】（1）向量在向量上的投影向量为，
因为，，代入可得：；
故，化简得：，解得；
（2）因为向量与的夹角为锐角，等价于，且向量与不共线，
故需满足：，解得：；
故的取值范围为；
（3）为关于的二次函数，
因为，所以时，取到最小值，
即在时取最小值；
此时；
故．
19．(1)；
(2)；
(3)（单位：m/min）．
【详解】（1）在中，因为，，
所以，，从而：
，
由正弦定理，得．
（2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近：
假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，
此时，甲行走了，乙走了，
所以由余弦定理得：
，
即，
因为乙还在缆车上，故，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得．
乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，
即，解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．

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