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安徽黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单选题
1．若（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ）
A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱
4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．
6．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．
8．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积可能为（ ）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角三角形
B．
C．若为边的中点，则|AM|的取值范围为
D．
三、填空题
12．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则正四棱锥的侧面积为________.
13．已知，是两个互相垂直的单位向量，若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围___________．
14．若一个三角形的三条边长是三个连续正整数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的面积为______．
四、解答题
15．已知复数，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)若复数，求复数的模．
16．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面积为,求的周长
17．在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是．
(1)若，求：的最大值；
(2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值
18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角．
(2)为边上一点，且．
①若，求当取最小值时的值；
②若为角平分线，求的取值范围．
19．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程
在复数集C内的根为、，容易得到
设实系数一一元三次方程①
在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为
展开得：②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、
(1)对于方程在复数集C内的根为、、，求的值；
(2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围.
(3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值.
参考答案
1．C
【详解】,所以,.
2．B
【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则.
3．C
【详解】依题意得，且，
又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.
4．B
【详解】因为该三角形有两解，所以，
即，所以的取值范围是.
5．A
【详解】因为，，
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由余弦定理可得，则．
6．D
【详解】过作交轴于点，可得，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
根据斜二测画法，可得，如图所示，则，
所以的面积，故选项D正确.
7．B
【详解】以为原点，建立如图平面直角坐标系，
则，，.
设，，则，，
所以.
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
8．C
【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值，

设正方体为，球，的半径分别为，，
作出对角线及球心，所在的截面，如图所示，
正方体的棱长为，，
在直角中，，
，，
，，
，
，解得，
即正方体的棱长的最小值为，
所以
故选：C.
9．ABD
【详解】对于A，由，得，即，解得，
则，而，因此，A正确；
对于B，由，得，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确.
10．AB
【详解】由题意知为等边三角形且其面积为，
故，即得，
设的外接圆圆心为，设三棱锥的外接球球心为O，
因为平面，当共线且O位于之间时，
设外接圆的半径r，则，
由于平面，平面，
故，而，
故，
所以点D到平面的最大距离为，点D到平面的最小距离为，
所以三棱锥体积的最大值为，最小体积为．
所以三棱锥的体积可能为或.
故选：AB．
11．ACD
【详解】对于A，因，，由余弦定理得，
整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确；
对于B， .
而，，B错误；
对于C，由中线长公式， ，则.
在△ABC中，有，且，则得，解得，
进而，即得 ，故，C正确；
对于D：由正弦定理， ， ，
则等价于 ,即，即,也即(*)，
因，则 ，
故，当且仅当时取等.
即(*)成立 ,故不等式恒成立，D正确.
12．.
【详解】正四棱锥底面边长为2，高为3，
则侧面的高，
故此正四棱锥的侧面积．
故答案为．
13．
【详解】设.
∵是互相垂直的单位向量，∴.
两向量夹角为钝角 且与不反向共线.
计算数量积，由得.
排除反向共线：设，则，
解得. 当时，夹角为（不是钝角），故应舍去.
综上，的取值范围是.
14．
【详解】根据题意，设三角形的三条边长分别为，
对应的三个角分别为，因为最大角是最小角的2倍，所以.
根据正弦定理得，而，
所以，化简得①.
根据余弦定理得②，
①②联立得，化简解得，所以三角形三条边长分别为.
又，所以，所以.
所以该三角形的面积为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为复数，且为纯虚数，
所以，解得，故.
（2），所以，
则，故.
16．(1)；(2)
【详解】（1）
由正弦定理得：
即：



（2）
由余弦定理得：
的周长
17．(1)
(2)
【详解】（1）若绕旋转：斜边上的高，体积，
当时，，所以，
当且仅当时等号成立，此时，
即几何图形体积的最大值为．
（2）因为，
所以，
当，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1），
由正弦定理得：，
展开得：，
，而,，
故，
，，
，故．
（2）
①，
，
，
，
，
根据余弦定理：，
，
令，
则
，
则当且仅当时等号成立，
解得：时，
时，取最小值．
②为的角平分线
在中，由正弦定理得，
即，
,,
，
．
又，,，
，当且仅当时等号成立，
故
19．(1)11；
(2)；
(3).
【详解】（1）将变形，已知，则方程为，
由材料得这里，
若根为，根据根与系数的关系有，，
（2）由题有的三个实根为，设，
展开得，故，
则，又，故，
综上：当时，的取值范围为；
（3）设菱形的对角线的交点为M点，坐标为，
先证点M为函数的对称中心，证明如下：
由题意，A，C两点关于M对称，，故C点坐标为，
将C点坐标代入函数可得，
即
即，
化简可得：，
因为有四个不同的点，所以关于m的方程有四个不同的解，故各项系数均为0，
即，解得，所以，且在上.
又因为ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，故
又，则，
所以，
即，
，
，
若，则或，即点A与点M重合或点B与点M重合，此时四边形ABCD不能构成菱形，
故

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