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吉林油田第十二中学 2025-2026 学年度初三第四次模拟考试
数 学
（试卷满分 120 分，答题时间 120 分钟）
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3 分，共 18 分）
1. 1 的相反数是
2
(
1
1
)A.2 B. -2 C. D. _
2 2
2.如图是一款陀螺的示意图，其主视图为
正面 A B C D
3.在数轴上表示 3x + 1≤ -5 的解集，正确的是
A B C D
4.下列运算正确的是
A.a+2a=3a B. a3 ·a2=a6 C. （a4）2=a6 D. a3+a4=a7
5.如图，将两块相同的直角三角板按如图方式摆放，则 AB 与 CD 平行，这一判断过程体现的数学依据是
A.垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行
C.两点之间，线段最短 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
6.如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线，所作切线与 BA 的延长线交于点 P， ∠B=20 ° , 则∠P=
A. 20° B. 25° C.40° D.50°
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7.计算：
8.一元二次方程 mx —2x—3=0 有实数根，写出一个符合条件的 m 的值 （答案不唯一）.
① ②
第 5 题 第 6 题 第 9 题 第 10 题 第 11 题
9.长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具.某品牌的长尾夹如图①所示，图②是其在闭合状态时的示意图，经测量知 AE=AF= 1cm ，EB=FD=2 cm ，EF=0.8 cm,则在图②闭合状态下点 B 、D 之间的距离是 cm.
10.如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ， ∠A=40 ° , 分别以点 A 、B 为圆心，大于 1 AB 长2
为半径画弧，两弧相交于点M 和点 N ，作直线 MN 与 AC 交于点 D ，连接 BD ，则∠DBC 的度数是 .
11.如图，直线y= -2x+6 与 x 轴交于点 N，与y 轴交于点 M，A 为 OM 的中点，平行四边形 ABOC的顶点 B 在 x 轴上，顶点C 在直线MN 上，则平行四边形 ABOC 的面积为 .
三、解答题（共 11 小题，共 87 分）
12.（6 分）先化简，再求值： ，其中 m = 2 +1．
13. （6 分）在“健康中国 2030”与“体重管理年” 的行动引领下，某校田径社团开展了“2026 健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分 A、B 、C 三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法.
（1）参与者小华被分到 C 组的概率是
（2）求参与者小华和小明被分配到同一组的概率．
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14.（6 分）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本.文具店 4 月 15 日定制出 2000 本，16 日、17 日定制量持续增加，到 4 月 17 日当天的定制量达到 3380 本，若 16 日、 17 日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率.
15.（7 分）如图四边形 ABCD 是菱形，AE⊥BC 于点 E ，AF⊥CD 于点 F.
（1）求证： △ABE≌△ADF.
（2）若菱形的边长为 5，AE=4，求 CF 的长.
16.（7 分）如图①、图②、图③均是 5×5 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中， 以 AC 为边画一个等腰△ACD ，点 D 为格点.
(2)在图②中△ABC 的边 BC 上确定一点 E ，连接 AE ，使 S△ABE=2S△ACE。
(3)在图③中△ABC 的边 AB 上确定一点 F ，连接 CF ，使 tan∠ACF
(
图②
) (
图③
)图①
17. （7 分）某校学生会为了解该校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：
A.对各班班长进行调查；
B.对某班的全体学生进行调查；
C.从全校每班随机抽取 5 名学生进行调查.
在问卷调查时，每名被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会把收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图.
（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案 （填 A， B 或 C）；
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 小时；
（3）根据以上统计结果，估计该校 800 名学生中每天做作业用 1.5h 的人数.
(
38
) (
27
15
13
7
)
18. (8 分)数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬45°7 ′50″，求北纬45°7 ′50″纬线的长度？为完成成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
根据以上信息，求北纬求北纬 45°7 ′50″ 的纬线的长度？（结果保留整数）
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19.（8 分）如图，等边△ABC 中，AB=6 ，CD⊥AB. 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿边 AB 向终点B 运动，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q ，过点 P 向上作PF∥AC ，且 PF= 3 PQ ，以PF 、PQ 为边作矩形 PQEF ，设点 P 的运动时间为 x（秒），矩形 PQEF 与△ACD 的重叠部分图形的面积为y.
(1) PQ = （用含 x 的式子表示）.
(2)求当点F 落在 CD 上时 x 的值.
(3)当矩形 PQEF 与△ACD 的重叠部分图形为四边形或三角形时，求y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.
20.（10 分）项目式学习 ·测量盒子质量
问题背景： 日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量.
实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点 A处，且托盘上放置了一个 100g 的砝码，右侧托盘可以在 BC 段滑动，已知 AC= 15cm，BC=50cm，通过往牛奶盒里加人水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据.实验数据：
实验序号 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
总质量 m(牛奶＋水/g) 120 60 50 40 150
CD 的距离 l/cm 12.5 25 30 37.5 10
问题解决
任务一：根据表中数据可知，CD 的长度随着总质量 m 的增大而 ，并依此猜想：l 与 m
满足怎样的函数关系： （填“一次函数 ”“反比例函数 ”或“二次函数 ”）；
任务二：某同学给空牛奶盒里加入了 65g 的水，移动托盘使天平保持平衡，此时 CD=20cm，求这个空牛奶盒的质量；
任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含 65g 水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动.
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21.（10 分）在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段 AB,取其中点 E ，将线段
AB 绕点 A 逆时针旋转得到线段 AC(点 B 、点 E 旋转后的对应点分别为点 C 、点 F).如图① , 设旋转角度为 α , 且 0 < α< 180 ° , AB=6.
(1)当 α= 60 °时，求点 E 旋转到点 F 所经过的路径长度(结果保留π).
(2)小组同学又进行了如下探究：如图② , 连接 BC ，取 BC 中点 G ，连接 AG 、EF 交于点 O，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：
①AG⊥EF 且线段 AG 与线段 EF 互相平分；
②AG +EF =36；
③AG ·EF= 18.
正确的结论是 (填序号);选择一个正确结论说明理由；
(3)小组同学又进行如下操作：如图③ , 连接 BC ，取 BC 中点 G ，连接 FG ，若线段 FG 与线段F'G'关于直线 AB 成轴对称，连接 FF' 、GG' ，直接写出当四边形 FF'G'G 为正方形时 α的值.
图① 图② 图③
22. (12 分) 某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究.首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图① , 将其整体看成图象 G ，是二次函数和一次函数的图象组合.分析得到：若 x<0 时，y=ax +bx;若 x ≥0 时，y= kx.随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下：
x - 4 -1 2
y 0 - 3 4
(1)直接写出 k、a 、b 的值.
(2)如图② , 他们在整个图象上设计了一个动点 P ，设点 P 的横坐标为 m ，过 P 点作一条平行于 x 轴的直线l ，在直线 l 上取点 Q ，点 Q 的横坐标为 m+2.
①当 m < -2 时，求出点 Q 落在图象 G 上时 m 的值.
②如图③ , 若过 P 、Q 两点作 x 轴的垂线段，垂足分别为点 M 、点 N,得到矩形 PQNM ，当矩形 PQNM 为正方形时，求 m 的值.
③在直线l 上另取点 D ，点 D 的横坐标为 - m-1 (点 D 与点 P 不重合) ，当线段 PD 的长度随 m的增大而增大时，分别直接写出线段 PD 与图象 G 的交点个数为 1 个和2 个时 m 的取值范围.
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吉林油田第十二中学 2025-2026 年度第二学期第四次模拟考试
初三数学参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1 2 3 4 5 6
D D C A B D
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
7 8 9 10 11
3 1 2.4 30 ° 4.5
三、解答题（共 87 分）
12.化简结果
1
m -1
（4分）
当 m= ·2 +1时，原式 （2 分）
1
13. （1） （2 分） 3
1
（2） （4 分）
3
14.解：设这两日定制量的日平均增长率是 x. 由题意得： （ 1 分） 2000（1 + x）2 = 3380 （3 分）
解得：x 1 = 0.3 = 30% x2 = -2.3（不合题意舍去）（6 分）
答：这两日定制量的日平均增长率是 30%.
15.（1）AAS 证全等 （4 分）
（2）CF = 2 （6 分）
16. 图略，每个图 2 分，结论 1 分.
17.（1）C （2 分）
（2）1.5 （3 分）
（3）304 人 （7 分）
18.约为 27110 km. （8 分）
PQ x （2 分）
（2）x （4 分）
（3） y （10 分）
20.解：任务一：减小，反比例函数；（3 分）
任务二：这个空牛奶盒的质量为 10g；（7 分）任务三：右边托盘应向左边移动 8.75 cm. (12 分)
21.解：(1) π (3 分)
(2) ①② (4 分)证明略 (8 分)
(3) 30 °或 150 °(10 分)
22.解：(1)k=2,a=1,b=4 .
(2)①m=-3.(6 分)
②当 m 的值为-2- 6 ，-2+ 2 ，-2- 2 ，1 时矩形 PQNM 为正方形.(10 分)
1
③交点个数为一个时一

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