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四川南充高级中学2025－2026学年九年级下学期第十次阶段性质量检测数学试卷
一、单选题
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
2．如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列算式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到，点 D 恰好在上 ．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表（有两个数据被遮盖），下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
成绩分 24 25 26 27 28 29 30
人数 1 ■ 3 ■ 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数
6．若关于的方程是一元一次方程，则此方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳头鹿，大圈舍可以容纳头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍间，大圈舍间，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为的直径，弦交于E，交于D，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线（a，c为常数且）经过，，，，且，以下结论：①；②且；③方程一定有两个不等的实数根：④，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③
二、填空题
11．计算： ___________．
12．一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______．
13．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________．
14．如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则____．
15．如图在平面直角坐标系中，已知点，点，点B，点C分别在x轴上，且点B在点C左侧，连接．若，则的最小值为______．
16．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则_____．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
19．为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，回答下面问题：
(1)本次调查的学生人数为______；
(2)在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数；
(3)小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率．
20．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值．
21．如图，在坐标平面内，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的坐标为，点B的横坐标为6．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式：
(2)若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，点D是以为直径的上一点，连接并延长至点A，连接，，过点D作于点F，延长交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
23．某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
24．菱形中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到．
(1)如图1，连接，求证：
(2)如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度；
(3)如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求 的取值范围．
25．如图1，抛物线经过点，点．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
(3)如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
参考答案
1．B
解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意；
选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意．
2．D
【详解】A．圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意；
C．球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意；
D．长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意，
故选：D．
3．C
解：，A错误．
，B错误．
，C正确．
，D错误．
4．D
解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
5．C
解：由表格中的数据可知，成绩为25分、27分的人数之和为．成绩为30分的人数最多，
∴成绩的众数是30分．
将这组成绩按从小到大的顺序排列后，第15，16个成绩都是29分，
∴中位数是29分，
故中位数和众数与被遮盖的数据无关．
6．A
解：由题意得：，
∴
原方程为：，
解得：，
故选：A
7．C
解：设需要小圈舍间，大圈舍间，
根据题意可列方程为：，
故选：．
8．B
解：连接，
可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．D
解：连接、、、、，
五边形为正五边形，
、，
在中，，
，
同理得：，
，
故选项A正确；
设、，且，则，
，，
，
，
、，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
，
，
，
故选项B正确；
由上可知，、，
在和中，
，
，
，
，
，
故选项C正确；
，
，
，
故选项D错误．
10．B
解：将代入得：，
故①正确；
抛物线的对称轴为，
若，则抛物线开口向下，
在上，随的增大而增大，即，不符合题意；
若，抛物线开口向上，
在上，随的增大而减小，即，
抛物线经过，且，
，
当时，，
当时，，
，
若，则点在轴上方，
右交点必在2的右侧，即，
若，则点在轴下方，
此时，
将代入得：，
根据题干条件无法判断的符号，则无法判断，
故②错误；
方程的判别式为，
抛物线经过，且，
有两个不同的实数根m，n，
则其判别式为，
，
，
方程一定有两个不等的实数根，
故③正确；
、，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
11．
解：．
故答案为：．
12．6
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
13．
解：根据图示知，已知不等式的解集是．
∵，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
14．2
解：∵是的直径，，
∴，
∵是的弦，于点E，，
∴，
在中，，
∴．
15．
解：如图，把沿x轴向右平移，使点B与点C重合，点A平移至点E的位置，作点E关于x轴的对称点F，连接，，
∴，
∴，
∴当点D，C，F三点共线时，最小，最小值为的长，
∵点，，
∴点，
∴点，
∵点，
∴，
即的最小值为．
16．
解：如图，连接，过点作于点，
设，则，
，为的中点，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，解得，（小于，舍去），
．
故答案为：．
17．
解：
．
18．（1）见解析；（2）105°
【详解】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．
19．(1)200
(2)1080人
(3)
（1）解：（人），
即本次调查的学生人数为200人，
故答案为：200；
（2）解：喜欢“C布艺手缝”的百分比为，
喜欢“简单烹饪”的百分比为，
喜欢“简单烹饪”的人数为（人），
答：估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为1080人；
（3）解：列表如下：
小明小红 A B D
B
D
E
由表格可知，两名同学选课一共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种，
．
20．(1)
(2)
（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：由题意知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：m的值为．
21．(1)，
(2)存在，点C的坐标为或
（1）解：把点代入，得：，
解得．
∴反比例函数的解析式为；
当时，，
∴，
把点、代入，
得：，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：存在．
设点C的坐标为．
由、得：
；
；
；
若以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，且为边，则或．
①当时，，则，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，则，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点C的坐标为或．
22．(1)证明：如图，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
(2)．
（1）略；
（2）解：如图，连接，过点D作于点H，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元
解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，解得．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
（元）．
答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．
（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．
由题意得，解得
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．
②设为包，则为包．
记总利润为元，则
．
的数量不低于的数量，
，．
，随的增大而减小。
当时，的最大值为2800元．
答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．
24．(1)证明：四边形为菱形，
，，，
∴，
又绕点顺时针旋转得到，
，
，，
，
，
，
；
(2)或或
(3)
（1）略
（2）解：，，
∴，
当点、重合时，；
此时、、重合，；
当时，
，，
，
，又，
，
，
此时，
连接，交于点，如图，
四边形 为菱形，，
，，，
，
，，
；
当时，此时，
，
，
综上，或或；
（3）解：连接，连接，交于点，
由菱形的对称性知，
的面积与的面积相等，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
当与或点重合时，取得最大值；当与重合时，取得最小值1；
∴，即．
25．(1)
(2)不变，10
(3)F（－2，1），的最小值是
（1）解：∵经过 A（-5，0），B（-1，-2），
∴ ，
解得： ，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PTy轴交x轴于点T，
设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，
∵Q（-4，0），
∴AQ=1，OQ=4 ，
∵NQy轴，PTy轴，
∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，
∴，，
∴QN=，
QM=，
∴4 QM+ QN=4×+=10；
（3）解：定点F（－2，1），
的最小值是．
如图，过O作OFAB交CE于点F．
设直线AB的解析式为，
∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2）
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
∵OFAB，且过O（0，0），
∴直线OF的解析式为，
∴设F（n，），
∵CEOD，
∴四边形CDOF是平行四边形．
∴OF=CD=，
∴ ，
∴n=±2
∵n<0
∴n=－2
∴F（－2，1）为直线CE经过的定点．
过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H．
则G的横坐标为-2，
∵G在直线AB上，
∴G（-2，），
∴FG=1-（）=，
设E（t，）则H（t，），
∴EH=() - ()==，
∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，
∴△EHC∽△FGC，
∴，
又∵FG= ，
∴当EH取最大值时，的值最小，
∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时，
∴的最小值是．

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